(Luận văn) một số định lý tồn tại nghiệm trong quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU SƠN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU SƠN lu MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG an n va p ie gh tn to w Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG 60.46.01.12 d oa nl Mã số: nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si i Mục lục lu an Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu n va p ie gh tn to Bài tốn quy hoạch tồn phương Rn 1.1 Định lý quy hoạch tuyến tính 1.2 Định lý Frank-Wolfe quy hoạch toàn phương 1.3 Mở rộng định lý Frank - Wolfe 1.3.1 Quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương 1.4 Quy hoạch đa thức lồi 17 17 21 29 33 Quy hoạch tồn phương khơng 2.1 Giả thiết bổ đề phụ trợ 2.2 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ 2.3 Trường hợp ràng buộc 2.4 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ hai d oa nl w 4 12 13 15 nf va an lu lm ul Kết luận gian Hilbert z at nh oi Tài liệu tham khảo 37 38 z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG” kết q trình cố gắng khơng ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp người thân Qua trang viết xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TS Trần Vũ Thiệu, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo thầy Khoa Tốn – Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người ln động viên, chia khó khăn tơi suốt thời gian theo học thạc sĩ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả luận văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z co l gm @ m Nguyễn Hữu Sơn an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va p ie gh tn to R R+ R ∪ {±∞} H l2 kxk |x| {xn } hay {xk } xk * x0 xk → x0 hx, yi [x, y] x≤y d oa nl w nf va z at nh oi lm ul z m co l gm @ conv{x1 , , xk } dC (x) A+B A−B A∪B A∩B A×B A⊂B an lu x≥y tập số thực tập số thực không âm tập số thực mở rộng không gian Hilbert không gian dãy số vô hạn chuẩn véc-tơ x ∈ H giá trị tuyệt đối x ∈ R dãy điểm H xk hội tụ yếu (hội tụ theo tích vơ hướng) tới x0 xk hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) tới x0 tích vơ hướng hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x y véc-tơ x nhỏ hay véc-tơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) véc-tơ x lớn hay véc-tơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) bao lồi điểm x1 , , xk khoảng cách từ điểm x tới tập C tổng véc-tơ hai tập A B hiệu véc-tơ hai tập A B hợp hai tập A B giao hai tập A B tích Đề hai tập A B A tập B (mọi phần tử A phần tử B) A tập (có thể bằng) B nón lùi xa tập lồi F phần S(= intH S) an Lu n va A⊆B 0+ F intS ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Khi xét toán tối ưu min{f (x) : x ∈ D} ta thường đặt câu hỏi: Với điều kiện hàm hàm mục tiêu f tập ràng buộc D tốn có nghiệm tối ưu? Trong quy hoạch tuyến tính ta biết kiện quen thuộc sau: hàm tuyến tính bị chặn tập lồi đa diện D 6= ∅ phải đạt cực tiểu D Tính chất xem định lý quy hoạch tuyến tính Frank - Wolfe [5] hàm toàn phương (bất kể hàm lồi hay khơng) mà bị chặn tập lồi đa diện D 6= ∅ hàm chắn đạt cực tiểu D Kết biết với tên gọi định lý Frank Wolfe quy hoạch toàn phương định lý mở rộng định lý quy hoạch tuyến tính Tiếp nhiều tác giả khác mở rộng định lý Frank - Wolfe cho lớp hàm mục tiêu khác tập ràng buộc D khác tập lồi đa diện Đề tài luận văn đề cập tới định lý tồn nghiệm dạng khác toán quy hoạch tồn phương lồi khơng lồi giới thiệu kết tổng quát mới, nêu tài liệu tham khảo [4] tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert Để hiểu rõ dạng tốn quy hoạch tồn phương định lý tồn nghiệm trình bày, luận văn nhắc lại số khái niệm cần thiết tập lồi, hàm tồn phương, dạng thức Legendre, tốn tử compact không gian Hilbert kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương Rn Các kiến thức kết chủ yếu trình bày chương luận văn Nội dung luận văn giới thiệu kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert Các định lý kiểu Frank - Wolfe thứ thứ hai hệ trường hợp riêng Những nội dung trình bày chi tiết chương luận văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Luận văn viết dựa chủ yếu trên tài liệu tham khảo [1] − [8] có gồm hai chương Chương "Bài tốn quy hoạch tồn phương Rn " trình bày kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tuyến tính (định lý quy hoạch tuyến tính), tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính (định lý Frank - Wolfe quy hoạch tồn phương), tốn quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương quy hoạch đa thức lồi Với lớp tốn xét có dẫn ví dụ phân tích giả thiết nêu định lý tương ứng Chương "Quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert" trình bày kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương khơng lồi với miền ràng buộc xác định bất đẳng thức tuyến tính hay tồn phương lồi khơng gian Hilbert Để thu kết này, tác giả [4] sử dụng tính chất dạng thức Legendre tính chất tốn tử compac với miền giá trị đóng Các kết tồn nghiệm thiết lập khơng cần đến tính lồi hàm mục tiêu tính compact tập ràng buộc chúng bao hàm trường hợp riêng số kết tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương khơng gian Rn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài tốn quy hoạch tồn phương Rn lu an n va Định lý quy hoạch tuyến tính 1.1 p ie gh tn to Chương trình bày kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] − [3] [5] − [7] oa nl w Bài tốn quy hoạch tuyến tính, ký hiệu (LP ), phát biểu dạng: d min{f (x) = cT x : Ax ≤ b}, (LP) an lu nf va A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm , c, x ∈ Rn (x - véc tơ biến cần tìm) Trong quy hoạch tuyến tính ta biết kiện quen thuộc với tên gọi "định lý quy hoạch tuyến tính" Nội dung định lý sau z at nh oi lm ul z Định lý 1.1.1 ([7], Định lý 9, tr 312) Một hàm tuyến tính f (x) = cT x bị chặn tập lồi đa diện D 6= ∅ phải đạt cực tiểu D @ λi u + q X µj v + r X k=1 k γk w , λi ≥ 0, p X i=1 λi = 1, µj ≥ 0, λi , µj , γk ∈ R, an Lu j=1 j m i=1 i co x= p X l gm Chứng minh Giả sử D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} Theo định lý biểu diễn tập lồi đa diện, x ∈ D có biểu diễn n va Aui ≤ b, i = 1, , p, Av j ≤ 0, j = 1, , q, Awk = 0, k = 1, , r, hwi , wj i = 0, i 6= j (Nếu D không chứa đường thẳng nào, tức r = 0, ac th si lấy ui đỉnh D v j tia cực biên nón lồi đa diện K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}.) Khi đó, hàm f (x) = cT x D cho T f (x) = c x = p X T i λi c u + i=1 q X T j µj c v + j=1 r X γk cT wk (1.1) k=1 Do cT x bị chặn với µj ≥ γk ∈ R, phải có cT v j ≥ 0, j = 1, , q, cT wk = 0, k = 1, , r đó, rõ ràng (1.1) đạt p X cực tiểu với điều kiện λi ≥ 0, λi = 1, µj ≥ 0, γk ∈ R i=1 lu Vì thế, cách đặt an n va f ∗ = min{cT ui : i = 1, , p}, I1 = {i : cT ui = f ∗ }, I2 = {j : cT v j = 0}, gh tn to ∗ ∗ ∗ ∗ thấy cực Xtiểu (1.1) đạt λi , µi , γk cho λi = với i∈ / I1 , λ∗i ≥ 0, λ∗i = 1, µ∗j ≥ 0, j ∈ I2 , µ∗j = với j ∈ / I2 Tập nghiệm ie i∈I1 p toán (LP ) ( X i∈I1 oa x∗ : x∗ = d nl w X∗ = λi ui + X µj v j j∈I2 nf va an lu + r X ) γk wk , λi ≥ 0, X λi = 1, µj ≥ 0, γk ∈ R i∈I1 lm ul k=1 z at nh oi  Liệu định lý hàm f khác hàm tuyến tính tập ràng buộc D khơng cịn tập lồi đa diện? z Nhận xét 1.1.2 Định lý 1.1.1 nói chung khơng cịn f khác hàm tuyến tính tập D khơng tập lồi đa diện Các Ví dụ 1.1.3 1.1.4 minh hoạ cho nhận xét co l gm @ m Ví dụ 1.1.3 Bài tốn với hàm mục tiêu tuyến tính D khác tập lồì đa diện: min{x2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} an Lu n va ac th si vô nghiệm, θ := inf{x2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} = > −∞ (xem Hình 1.1) Hình 1.1: Ví dụ 1.1.3 lu an n va p ie gh tn to Ví dụ 1.1.4 Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu khác hàm tuyến tính vơ nghiệm cả(khi hàm mục tiêu có cận hữu hạn Chẳng hạn,  toán cực tiểu: : x ∈ D ≡ R vô nghiệm, + x2 θ := inf ) :x∈R + x2 (xem Hình 1.2) d oa nl w ( nf va an lu z at nh oi lm ul z Hình 1.2: Ví dụ 1.1.4 gm @ 1.2 Định lý Frank-Wolfe quy hoạch tồn phương l Xét tốn quy hoạch tồn phương, ký hiệu (QP ), có dạng co m min{f (x) = xT Qx + cT x : Ax ≤ b}, an Lu (QP) n va ac th si 24 Cố định k ≥ k0 chọn δk,i > cho thci , vi ≥ − ε ∀t ∈ (0, δk,i ) Ta có gi (xk − tv) = hci , xk − tvi + αi ≤ hci , xk i + αi − thci , vi ε ≤ − − thci , vi ≤ 0, ∀i ∈ I02 (2.13) Đặt δk := min{δk,i | i ∈ I02 } Từ (2.12) (2.13) suy gi (xk − tv) ≤ 0, ∀t ∈ (0, δk ), ∀i = 1, , m Điều có nghĩa lu xk − tv ∈ F, ∀k ≥ k0 , ∀t ∈ (0, δk ) (2.14) an n va Theo (2.7) ta có ie gh tn to f (xk − tv) = hxk − tv, T (xk − tv)i + hc, xk − tvi t2 = f (x ) + hv, T vi − thT xk + c, vi ≤ f (xk ) p k (2.15) d oa nl w Kết hợp (2.14), (2.15) ta có xk − tv ∈ Sk , ∀k ≥ k0 , t ∈ (0, δk ) (2.16) an lu nf va Do đó, tồn γ > cho kxk − tvk2 − kxk k2 − 2thxk , vi + t2 kvk2 < kxk k2 , ∀t ∈ (0, γ) z at nh oi lm ul (2.17) Đặt δ := min{δk , γ} Khi đó, theo (2.16), (2.17) ta có xk − tv ∈ Sk kxk − tvk < kxk k, ∀k ≥ k1 , ∀t ∈ (0, δ) z l gm @ Điều trái với giả thiết xk phần tử có chuẩn nhỏ Sk Như vậy, ta chứng minh {xk } dãy bị chặn m co • Do {xk } bị chặn nên có dãy hội tụ yếu Không giảm tổng quát, ta giả sử xk hội tụ yếu tới x Do xk ∈ F với k F tập đóng yếu (xem Bổ đề 2.1.6) nên ta có x ∈ F Do hx, T xi dạng thức Legendre, nên nửa liên tục yếu ta có 1 hx, T x) ≤ lim inf hxk , T xk i k−→∞ 2 an Lu n va ac th si 25 Như vậy, theo (2.4) 1 f (x) = hx, T xi + hc, xi ≤ lim inf( hxk , T xk i + hc, xk i) k−→∞ 2 ≤ lim inf(f ∗ + ) = f ∗ k−→∞ k Chứng tỏ x nghiệm (QP ) Định lý chứng minh xong Sau vài hệ quan trọng Định lý 2.2.1  lu Hệ 2.2.2 Xét tốn qui hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính (QLP ) (tức (QP ) với Ti = với i = 1, , m), hx, T xilà dạng Legendre Giả thiết f (x) bị chặn tập F 6= ∅ Khi đó, tốn (QLP ) có nghiệm an n va tn to Chứng minh Do Ti = với i = 1, , m, nên I1 = ∅ Vì điều kiện (A) đương nhiên thỏa mãn Từ suy hệ  p ie gh Hệ 2.2.3 Xét toán (QP ) với hx, T xi dạng Legendre Giả sử ci = với i ∈ I1 f (x) bị chặn tập F 6= ∅ Khi đó, tốn (QP ) có nghiệm w d oa nl Chứng minh Do ci = với i ∈ I1 , nên hci , vi = với i ∈ I1 Do điều kiện (A) thỏa mãn hệ suy  lu nf va an Hệ 2.2.4 Xét toán (QP ) với hx, T xi dạng Legendre Giả sử {v ∈ 0+ F | hv, T vi = 0} ⊂ {0} f (x) bị chặn tập F 6= ∅ Khi đó, tốn (QP ) có nghiệm lm ul z at nh oi Chứng minh Do {v ∈ 0+ F | hv, T vi = 0} ⊂ {0}, nên hci , vi = với i = 1, , m, điều kiện (A) thỏa mãn Từ suy kết luận bổ đề  z co l gm @ Hệ 2.2.5 Cho hx, T xi dạng Legendre H Giả sử hàm toàn phương f (x) = 21 hx, T xi + hc, xi bị chặn không gian Hilbert H Khi đó, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ H m Chứng minh Xét (QP ) với Ti = 0, ci = αi = với i = 1, m, Khi đó, F = H rõ ràng điều kiện (A) thỏa mãn Từ suy kết luận bổ đề  Ví dụ sau cho thấy Định lý 2.2.1 khơng thể thiếu giả thiết tính chất Legendre dạng toàn phương an Lu n va ac th si 26 Ví dụ 2.2.6 Ký hiệu H = L2 [0, 1] không gian Hilbert, gồm tất hàm [0, 1] bình phương khả tích với tích vơ hướng Z hx, yi = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [0, 1] Xét toán quy hoạch (QP ):   min{f (x) = hx, T xi} với điều kiện  x ∈ L [0, 1] : g (x) = hc (t), x(t)i + ≤ 0, i (2.18) lu an n va gh tn to T : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] xác định T x(t) = tx(t) c1 : [0, 1] −→ R, xác định   √1 < t ≤ 1, c1 (t) = t  t = p ie Để ý c1 (t) ∈ L2 [0, 1] Thật vậy, xét dãy hàm yn : [0, 1] −→ R, xác định với n nguyên dương  1   √ t ≥ , n t yn (t) = (2.19)   ≤ t < n d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Rõ ràng yn tăng [0, 1] yn (t) −→ y(t) với t ∈ [0, 1] Mỗi yn khả tích Riemann [0, 1] khả tích Lebesgue [0, 1]   Z Z 1 √ dt = − √ yn (t)dt = −→ n −→ ∞ n t n z R1 Từ suy c1 (t)dt tồn tích phân Lebesgue có giá trị Như vậy, c1 (t) ∈ L2 [0, 1] R1 Tiếp theo, ta chứng minh Q(x) = hx, T xi = tx2 (t)dt dạng thức Legendre Thật vậy, xét dãy hàm xk : [0, 1] −→ R, xác định với số nguyên dương k (√ k ≤ t ≤ k1 , xk (t) = k1 ≤ t ≤ m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Dễ kiểm tra lại xk (t) ∈ L2 [0, 1] Ta nhận xét với đa thức p Z Z √ k