(Luận văn) về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Đại học Huế Trường Đại học Sư Phạm trần đỗ minh ch©u lu an n va p ie gh tn to Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Chuyên ngành: Đại số vµ lý thuyÕt sè w d oa nl M· sè: 62.46.01.04 nf va an lu z at nh oi lm ul tóm tắt luận án tiến sĩ toán học z m co l gm @ an Lu n va Huế - 2014 ac th si Công trình hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên GS.TS Lê Văn Thuyết - Đại học Huế lu an va n Phản biÖn 1: gh tn to p ie Ph¶n biƯn 2: w d oa nl Ph¶n biƯn 3: nf va an lu lm ul LuËn ¸n bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp z at nh oi trường Đại học Huế, số 04, Lê Lợi, thành phố Thừa Thiên Huế, vào hồi ngày tháng năm 2015 z an Lu -Thư viện trường Đại học Sư phạm - Đại häc HuÕ m -Th­ viÖn quèc gia ViÖt Nam co l gm @ Có thể tìm hiểu luận án tại: n va ac th si Mở đầu Vào năm 1960, A Grothendieck đà giới thiệu lý thuyết đối đồng điều địa phương dựa công trình J P Serre năm 1955 bó đại số Ngay sau đó, lý thuyết nhanh chóng phát triển nhiều nhà toán học giới quan tâm Ngày lý thuyết đối đồng điều địa phương đà trở thành công cụ thiếu nhiều lĩnh vực khác toán học Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp lu an Một kết quan trọng môđun đối đồng điều địa phương va n tính triệt tiêu Cho M môđun vành giao hoán Noether R Năm 1967, tn to A Grothendieck đà môđun đối đồng điều địa phương gh triệt tiêu cấp HIi (M ) i > dim Supp M (R, m) vành địa phương, p ie M hữu hạn sinh Hmd (M ) 6= 0, ®ã d = dim M Sau đó, ông w chứng minh độ sâu M số i bé để Hmi (M ) 6= Định lý triệt oa nl tiêu Lichtenbaum-Hartshorne tiếng khẳng định d vành địa phương I iđêan (R, m) với dim R = n HIn (R) = chØ lu nf va an b R b + P) với iđêan nguyên tố liên kết chiÒu cao nhÊt P dim R/(I b TÝnh chÊt tiÕp theo nhiều người quan vành đầy đủ m-adic R lm ul tâm tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Ngay z at nh oi M hữu hạn sinh HIi (M ) nhìn chung không hữu hạn sinh Vì người ta đặt câu hỏi với điều kiện môđun G Faltings đà đặc trưng số HIi (M ) hữu hạn sinh Năm 1978, i bé để HIi (M ) không hữu hạn sinh Đặc z l gm môđun đối đồng điều địa phương @ biệt, ông đưa nguyên lý địa phương toàn cục tính hữu hạn sinh (R, m) vành giao hoán Noether địa phương m phương tính Artin Cho co Một tính chất ý môđun đối đồng điều địa an Lu M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Năm 1971, chứng n va ac th si minh ngắn gọn sử dụng giải nội xạ tối thiểu nội xạ M tính Artin bao E(R/m), I G Macdonald R Y Sharp đà suy Hmi (M ) Artin với i Sau đó, sử dụng Định lý triệt tiêu Lichtenbaum- Hartshorne, R Y Sharp phát lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai HId (M ) Về sau, L Melkersson đà chứng minh lại hai kết tính Artin phương pháp sơ cấp Nhiều thông tin hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi (M ) HId (M ) đà phản ánh thông qua công trình R Y Sharp, M Brodmann-Sharp, M Hochster vµ C Huneke , K E Smith, K Divaani-Aazar P Schenzel, H lu Zo ăschinger công trình N T Cường học trò an n va Theo I G Macdonald, tập iđêan nguyên tố gắn kết R-môđun Artin tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mục đích luận án nghiên gh tn to A, kí hiệu AttR A, có vai trò quan trọng tương tự tập iđêan nguyên p ie cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp với giá cực đại sở HId (M ), từ làm rõ cấu trúc môđun M vành oa nl w với giá tùy ý Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao R Đồng thời, tập iđêan nguyên tố gắn kết nghiên cứu d an lu mối liên hệ với số bội, tính bÃo hòa nguyên tố đối địa phương hóa Hmi (M ) HId (M ) Nhắc lại R-môđun Artin A gọi thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố lm ul nf va hai lớp môđun đối đồng điều địa phương AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p chứa AnnR A Tính bÃo z at nh oi hòa nguyên tố giíi thiƯu bëi N T C­êng vµ L T Nhµn nhằm nghiên cứu cấu trúc môđun Artin Hmi (M ) có cấu trúc b-môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết Hmi (M ) R b R z Chú ý môđun đối đồng điều địa phương gm @ AttR Hmi (M ) co l xác định Câu hỏi tự nhiên đặt mối quan hệ hai tập AttRb Hmi (M ) Năm 1975, R Y Sharp chứng minh b chạy Att b Hmi (M ) tập iđêan nguyên iđêan nguyên tố P cđa R P∩R an Lu tè m vµ n va R i AttR Hm (M ) Ông đưa thêm số thông tin ac th si chiều iđêan nguyên tố gắn kết đề ngược lại, cho trước tập Hmi (M ) R Tuy nhiên, vấn AttR Hmi (M ), cách xác định tập AttRb Hmi (M ) chưa giải Trong luận án này, đưa câu trả lời cho vấn đề Khi R ảnh đồng cấu vành Gorenstein, R Y Sharp đà chứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết idim R/p Hmi (M ) qua địa phương hóa HpRp (Mp ) ý tưởng tiếp tục M Brodmann R Y Sharp sử dụng để nghiên cứu chiều số bội cho môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) mở rộng kết cho líp lu an vµnh catenary phỉ dơng cã mäi thí hình thức Cohen-Macaulay Chú ý n va nguyên lý chuyển dịch địa phương không trường hợp điều kiện vành sở gh tn to tổng quát Vì toán thứ hai giải luận án tìm Hmi (M ) p ie với môđun R để tồn đối địa phương hóa tương thích w Kết I G Macdonald R Y Sharp năm 1971 đà mô tả rõ ràng b Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, Hmd (M ) R R d cực đại oa nl tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều cấp cao với giá lu HId (R) b Sau đó, K Divaani-Aazar P Schenzel đà mở rộng kết R nf va vành an năm 1979, R Y Sharp tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ) vành R vấn đề mở Bài toán thứ ba giải z at nh oi lm ul cho môđun Mặc dù vậy, vấn đề xác định tập iđêan nguyên tố gắn kết luận án mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun vành HId (M ) R mối liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố, đối địa phương z hóa công thức bội liên kết môđun gm @ Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương l R thương vành Gorenstein cách sử dụng co với giá cực đại, m đối ngẫu địa phương tính chất quen biết môđun hữu hạn sinh ta có an Lu i thể thu thông tin Hm (M ) cách nhanh chóng Tuy nhiên, n va vành tùy ý, phải sử dụng khéo léo tập giả giá giới thiệu ac th si M Brodmann R Y Sharp tính chất đặc thù chiều môđun Artin để chứng minh kết Để nghiên cứu lớp môđun HId (M ), cần đến hiểu biết sâu Định lý phân tích nguyên sơ Noether, tính chất đối hữu hạn HId (M ) số kết đà biết lớp môđun đối đồng điều địa phương Luận án chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức sở biểu diễn thứ cấp, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều tính bÃo hòa nguyên tố môđun Artin, tính catenary phổ dụng vành Chương 2, viết dựa theo báo trình bày kết luận lu án tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp an n va tùy ý với giá cực đại Chương trình bày kết luận án tập với giá gh tn to iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao p ie Trong suốt luận án, giả thiết M R-môđun hữu hạn sinh có chiỊu Krull dim M = d vµ A lµ w phương, (R, m) vành giao hoán Noether địa oa nl R-môđun Artin d Trong Chương 2, trình bày kết liên quan đến việc chuyển lu Hmi (M ) qua đầy đủ m-adic Cụ thể, chúng nf va an tập iđêan nguyên tố gắn kết đặc trưng vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay lm ul thông qua mối quan hệ tập AttR Hmi (M ) AttRb Hmi (M ) Chóng z at nh oi t«i cịng đưa điều kiện cần vành sở R để tồn hàm tử đối địa phương hóa tương thích với môđun Artin R-môđun hữu hạn sinh, công thức sau cho ta mối quan hệ c tập iđêan nguyên tố liên kết M tập iđêan nguyên tố liên kết M [ c= b R) b Ass b M Ass b (R/p z Víi Hmi (M ) R [ (1) n va pAttR A b R) b AssRb (R/p an Lu AttRb A = A m Tuy nhiên công thức đối ngẫu cho môđun Artin co pAss M l gm @ R ac th si nhìn chung không chí A = Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2) Chúng công thức (1) cho môđun Artin xạ cảm sinh A ánh b Spec(R) song ánh (Mệnh đề 2.1.3) Khi R f a : Spec(R) thương vành Gorenstein địa phương minh mối quan hệ sau (R0 , m0 ) chiều n, chứng AttR Hmi (M )) vµ AttRb Hmi (M ) (MƯnh ®Ò 2.1.7) AttRb (Hmi (M )) [ = b R) b AssRb (R/p (2) i (M )) p∈AttR (Hm Chó ý tồn vành Noether địa phương R viết dạng lu an thương vành Gorenstein địa phương công thức (2) với n va R-môđun hữu hạn sinh M với sè nguyªn i ≥ (xem VÝ dơ tn to 2.1.8) Vì câu hỏi tự nhiên liệu quan hệ (2) trường gh hợp tổng quát hơn, R vành catenary phổ dụng với thớ hình thức p ie Cohen-Macaulay Định lý 2.2.5, kết Chương 2, trả lời w phần cho câu hỏi này, số đặc trưng vành catenary phổ AttRb (Hmi (M )) AttR (Hmi (M )) đưa d tập oa nl dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ lu nf va an Công cụ để chứng minh Định lý 2.2.5 khái niệm giả giá giới thiệu M Brodmann R.Y Sharp Với số nguyên i 0, giả giá thứ i lm ul M , kí hiệu PsuppiR (M ), cho công thức idim R/p Chú ý vai trò z at nh oi PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec R : HpRp (Mp ) 6= 0} PsuppiR (M ) môđun Artin Hmi (M ) theo nghĩa z tương tự tập giá môđun hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.5, @ gm suy đặc trưng cho lớp vành catenary phổ dụng c) (Hệ 2.2.8) PsuppiRb (M an Lu Với iđêan nguyên tố m PsuppiR (M ) co l thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ p R, hàm tử địa phương hóa p hàm tử R-môđun đến phạm trù Rp -môđun thỏa n va khớp, tuyến tính từ phạm trù ac th si mÃn Mp Rp -môđun Noether Mp 6= víi mäi p ⊇ AnnR M Tuy nhiªn, c¶ p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m Ap = Vì thế, nhiều khía cạnh, hàm tử địa phương hóa không hữu ích việc nghiên cứu môđun Artin Do cần xây dựng với địa phương hóa" p Spec(R) hàm tử "đối Fp : MR MRp từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun cho Fp tương thích với R-môđun Artin A, nghĩa Fp có tính chất sau: lu an (a) Fp tuyến tính khớp phạm trù R-môđun Artin; (b) Fp biến R-môđun Artin thành Rp -môđun Artin; (c) Fp (A) 6= p AnnR A với R-môđun Artin A va n Chúng điều kiện cần để tồn hàm tử đối địa phương hóa tn to ánh xạ tự nhiên R vành Artin (Định lý 2.3.8) p ie gh thớ hình thức b thỏa mÃn tính chất lên Đặc biệt, RR Một số tác giả đà xây dựng đối địa phương hóa Fp , với p Spec(R) nl w Tuy nhiên không đối địa phương hóa thỏa mÃn ba tính chất R catenary phổ dụng thớ hình d oa (a), (b), (c) Với giả thiết an lu thức Cohen-Macaulay, M Brodmann R.Y Sharp đà xem vai trò idim(R/p) Hmi (M ) để xây dựng thành công công thức bội liên kết lm ul điều địa phương (Mp ) đối địa phương hóa môđun đối đồng nf va Rp -môđun HpRp Hmi (M ) Câu hỏi đặt với điều kiện ta có đối địa phương z at nh oi hóa tương thích cho môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M )? Định lý 2.3.11 câu trả lời phận cho câu hỏi Chúng điều p Spec(R), tồn hàm tử đối địa phương hóa z kiện cần để, với @ Fp tương thích với môđun Hmi (M ) vành R catenary phổ m co dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay l cho gm Fp : MR → MRp từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun an Lu Trong Chương 3, quan tâm đến tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá mối n va ac th si liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố số bội môđun Theo N T Cường L T Nhàn, R-môđun A thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyªn tè AnnR (0 :A p) = p víi mäi iđêan nguyên tố p AnnR A Tính bÃo hòa nguyên tố nhìn chung không thỏa mÃn với môđun đối đồng điều địa phương Artin N T Cường - L T Nhàn - N T Dung đà đặc trưng tính bÃo hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại Hmd (M ) thông qua tính catenary vành R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ r»ng nÕu R lµ miền nguyên không catenary Hmdim R (R) không bÃo hòa nguyên tố Với cấp i tùy ý, L T Nhàn T N An đà đặc trưng tính Hmi (M ) Hä chøng minh r»ng Hmi (M ) tháa mÃn tính
i i bÃo hòa nguyên tố vµ chØ nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm (M ) Chú lu bÃo hòa nguyên tố an va n ý môđun đối đồng điều địa phương HId (M ) Artin môđun có R thương gh tn to thể không thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố vành quy (xem Ví dụ 3.3.7) Để nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn ie p kết HId (M ), đặc trưng tính bÃo hòa nguyên tố cho môđun nl w thông qua tính catenary vành chuyển môđun đối đồng điều địa an lu 3.1.2) M (Định lý d oa phương cấp cao với giá cực đại môđun thương nf va Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharp đà mô tả tập vành đầy đủ lm ul iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun đối đồng điều địa phương HIdim R (R) b Kết đà K Divaani-Aazar P Schenzel R z at nh oi mở rộng cho môđun Trong luận án này, từ Định lý 3.1.2, mở rộng kết R Y Sharp cho trường hợp môđun z bÃo hòa nguyên tố (Hệ 3.2.2) HId (M ) tháa m·n tÝnh @ gm PhÇn ci cđa chương dành để nghiên cứu đối giá số bội cho môđun m co l HId (M ) Hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" định nghĩa K E Smith an Lu
Fp (−) = HomR HomR (, E(R/m)), E(R/p) n va từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun, E() bao ac th si nội xạ đà gợi ý cho định nghĩa khái niệm tập đối giá môđun HId (M ), kí hiệu CosR (HId (M )), tõ ®ã ®­a ®èi ®ång ®iỊu địa phương đặc trưng khác cho tính bÃo hòa nguyên tố HId (M ) thông qua tập đối giá (Định lý 3.3.5) Với R-môđun Artin A, ta kí hiƯu N-dimR A lµ chiỊu Noether cđa A giíi thiƯu bëi R N Roberts Theo D Kirby, nÕu q lµ iđêan R cho (0 :A q) có độ dài hữu hạn `R (0 :A qn+1 ) mét ®a thøc bËc N-dimR A víi q hƯ sè hữu tỷ n đủ lớn, ta kí hiệu đa thức A (n) Đặt N-dimR A = s Ta cã biĨu diƠn lu an ΘqA (n) va n = `(0 :A q n+1 e0 (q, A) s )= n + đa thức có bậc nhỏ s s! n  0, e0 (q, A) số nguyên dương Ta gọi e0 (q, A) A ứng với q Năm 2002, M Brodmann R Y Sharp ®· giíi thiƯu gh tn to béi cđa ie khái niệm tập giả giá p liên kết cho môđun PsuppiR (M ) để xây dựng thành công công thức bội Hmi (M ) Kết cuối Chương sử dụng tập CosR (HId (M )) để đưa công thức liên kết số bội cho HId (M ) nl w đối giá số d oa môđun thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố (Hệ 3.3.8) kiến thức chuẩn bị nf va an lu Chương lm ul Trong chương này, nhắc lại số kiến thức đà biết vỊ biĨu z at nh oi diƠn thø cÊp vµ tập iđêan nguyên tố gắn kết, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều tính bÃo hòa nguyên tố môđun Artin, lớp vành catenary z phổ dụng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết chương sau @ co l môđun Artin gm Mục 1.1 nhắc lại số khái niệm kết vỊ biĨu diƠn thø cÊp cđa m Mơc 1.2 dµnh để nhắc lại số khái niệm tính chất môđun đối an Lu đồng điều địa phương tính độc lập với vành sở, tính triệt tiêu, tính n va Artin Chúng đặc biệt quan tâm đến tính chất tập iđêan nguyên ac th si 10 (ii) The induced map b → Spec(R) is bijective Spec(R) Note that there exists a Noetherian local ring (R, m) which is not complete such that [ AttRb A = b R) b AssRb (R/p p∈AttR A for every Artinian R-module A For example, let R be an arbitrary discrete valuation ring which is non-complete Then R satisfies the conditions in Proposition 2.1.3 and so this formula is true Example 2.1.2 showed that the formula (1) is not true in general for all lu an local cohomology modules with respect to the maximal ideal So, we consider n va the relation tn to AttRb (Hmi (M )) [ = b R) b AssRb (R/p i (M )) p∈AttR (Hm gh p ie between AttR Hmi (M ) and AttRb Hmi (M ) The following result gives a suffi- w cient condition for which this formula holds true R is a quotient of a Gorenstein local ring oa nl Proposition 2.1.7 Assume that R-module M and any integer i ≥ we have [ b R) b AttRb (Hmi (M )) = AssRb (R/p d Then for any finitely generated nf va an lu i (M )) p∈AttR (Hm lm ul (2) is true for every z at nh oi Note that there exists a Noetherian local ring (R, m) such that the formula Hmi (M ), but R is not a quotient of a Gorenstein local ring ( see Example 2.1.8) z @ co R is a quotient of a Gorenstein local ring then R is a m As we know, if l Cohen-Macaulay gm 2.2 The case of a universally catenary ring all of whose formal fibers are an Lu quotient of a Cohen-Macaulay local ring but the contrary is not true, for n va example when R is a domain of dimension in Example 2.1.8 In other way, ac th si 11 the class of a quotient of a Gorenstein local ring is exactly subset of that of a quotient of a Cohen-Macaulay local ring T Kawasaki proved that a quotient of a Cohen-Macaulay local ring if and only if R R is universally catenary with all its formal fibers are Cohen-Macaulay Recall that, for each b such that P ∩ R = p, the natural p ∈ Spec(R) and P ∈ Spec(R) b induces a local one f : Rp → R bP Then the homomorphism R → R bP /pR bP of f over the maximal ideal pRp bP ⊗ (Rp /pRp ) ∼ fiber ring R = R of Rp is called formal fiber of R with respect to p and P Therefore it is natural to ask about the problem in a more general situation, where R lu is universally catenary and all its formal fibers are Cohen-Macaulay? The an va purpose of this section gives a partial answer to this question Concretely, n we show a characterization of universally catenary with all its formal fibers tn to are Cohen-Macaulay via the relation between the set of minimal elements of ie gh attached primes of b The crucial tool to prove the main Hmi (M ) over R and R p result of this section is the notion of pseudo-support defined by Brodmann - oa nl w Sharp as follows Definition 2.2.1 i ≥ be an integer The i-th pseudo-support of M, d Psuppi (M ), is defined by an lu denoted by Let nf va  i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) 6= lm ul The following theorem is the main result of this section z at nh oi Theorem 2.2.5 The following statements are equivalent: (i) R is universally catenary and all its formal fibers are Cohen-Macaulay; b R) b AssRb (R/p for any finitely gm @ = [ z i (ii) AttR b (Hm (M )) i (M )) p∈AttR (Hm and any integer i ≥ 0; co b Ann b Hmi (M )) for any finitely dimR (R/ AnnR Hmi (M )) = dimRb (R/ R R-module M and any integer i ≥ an Lu generated m (iii) R-module M l generated R via the n va As a consequence, we characterize the structure of the base ring ac th si 12 relation between the pseudo-supports of c In general, we have the M and M i i c following relation between PsuppR (M ) and Psupp b (M ) R Lemma 2.2.7 For every integer i ≥ 0, we have c)} PsuppiR M ⊆ {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M Now, we present another characterization of R when it is universally catenary and all formal fibers are Cohen-Macaulay via the i-th pseudosupport of M Corollary 2.2.8 The following statements are equivalent: lu an (i) R is universally catenary and all its formal fibers are Cohen-Macaulay; va (ii) n c)} for any finitely generated PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M and any integer i ≥ gh tn to R-module M Co-localization p ie 2.3 R is a quotient of a Gorenstein local ring, in1975, R Y Sharp w When i−dim R/p Hmi (M ) through localization HpRp d of oa nl proved the Shifted Localization Principle to pass the set of attached primes an lu i−dim R/p HpRp (Mp ) as " the localization" of (Mp ) P Schenzel also considered Hmi (M ) at prime ideal p to study nf va finitely generated modules over local rings This idea was used by R Y Hmi (M ) They also extended this result when R is z at nh oi cohomology modules lm ul Sharp and M Brodmann to research the dimension and multiplicity for local universally catenary and has property that all its formal fibers are CohenMacaulay However, this Shifted Localization Principle is not true in general z The aim of this section is to find a neccessary condition of base ring such that @ co p ∈ Spec(R), the localization at m It should be mentioned that, for each l Hmi (M ) gm there exists a co-localization compatible with all local cohomology modules an Lu p is a linear exact functor from MR to MRp such that Mp is Noetherian Mp 6= whenever p ⊇ AnnR M This functor takes an important role n va and ac th si 13 on study of Noetherian modules However, for each Artinian even when R- module, p ⊇ AnnR A, if p 6= m then Ap = and Supp(A) ⊆ {m} So the localization functor is not useful on study of Artinian modules It is of interest to construct for each p ∈ Spec(R) a ``co-localization" functor Fp : MR −→ MRp such that Fp is compatible with Artinian R-modules, concretely Fp has the following properties: lu (a) Fp is linear and exact on the category of Artinian R-modules; (b) Fp sends Artinian R-modules to Artinian Rp -modules; (c) Fp (A) 6= if p ⊇ AnnR A for every Artinian R-module A an Some authors have tried to construct a co-localization Fp , for every va n p ∈ Spec(R) However, none of the known co-localizations have all the tn to desired properties (a), (b), (c) In this section, we give a neccessary condition ie gh for the existence of such a co-localization satisfying properties (a), (b), (c) p It follows that the desired one does not exist in general Firstly, we present oa nl w some lemmas for the proof of main result Lemma 2.3.1 If p ∈ AttR A then AnnR (0 :A p) = p d lu A, where Ai is pi -secondary Let r be an integer such that < r < n Set nf va of A = A1 + .+An be a minimal secondary representation an Lemma 2.3.3 Let lm ul B = A1 + + Ar Then For each finitely generated z at nh oi AttR (A/B) = {pr+1 , , pn } R-module M and p ∈ Spec(R), we know that z p 6⊇ AnnR M if and only if Mp = If Fp is a linear co-localization functor @ Lemma 2.3.4 Let l gm of Artinian module then we have the same property as follows p ∈ Spec(R) Suppose that p 6⊇ AnnR A Then Fp (A) = Let Fp : MR −→ MRp be a functor is linear and exact on the category of Artinian R-modules n va Fp p ∈ Spec(R) an Lu Assume that Let m Lemma 2.3.6 Fp : MR −→ MRp co for every linear functor ac th si 14 Let A be an Artinian R-module such that Fp (A) is a non-zero Artinian Rp - module Then AnnR (0 :A p) = p By N T Cuong and L T Nhan, for each Artinian R-module A, we have N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A) Moreover, there exists R-module Artinian A such that N-dimR A < dim(R/ AnnR A) The following proposition presents some characterizations for which the equality holds Note that the equivalence between (i) and (iii) was shown by H Zo ăschinger Proposition 2.3.7 The following statements are equivalent: lu (i) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A for every Artinian R-module A an n va (ii) dim(R/ AnnR (iii) b ) = dim(R/(P ∩ R)) for all P ∈ Spec(R) b dim(R/P gh tn to A) = N-dimR A for every top local cohomology module b ), where P ∈ Spec(R) b and k = dim(R/P b ) A = Hmbk (R/P p ie The following Theorem shows a neccessary condition such that there exists w a co-localization compatible with every Artinian modules ( it means that to oa nl satisfy properties (a), (b), (c) as above) d Theorem 2.3.8 Suppose that there exists, for every p ∈ Spec(R), a functor lu R are Artinian lm ul of nf va an Fp : MR −→ MRp satisfying the properties (a), (b), (c) Then the natural b satisfies going up property In particular, all the formal fibers map R −→ R have z at nh oi In general, for Artinian local cohomology modules Hmi (M ), we also N-dimR (Hmi (M )) ≤ dim(R/ AnnR Hmi (M )) Moreover, there exists (R, m) such that N-dimR (Hm1 (R)) < dim(R/ AnnR Hm1 (R)) z local rings gm N-dimR (Hmi (M )) = dim(R/ AnnR Hmi (M )), it means that l saturation then i-th level, if Hmi (M ) satisfies the prime @ By Proposition 1.4.8, at each co the prime saturation is stronger and follows the equality of dimension The m following result not only gives some characterizations for which the equality an Lu N-dimR (Hmi (M )) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) to be true for every Artinian n va ac th si 15 i local cohomology modulesHm (M ) but also states that if this equality holds for any finitely generated R-module M and for any integer i then it is equivalent to the prime saturation Lemma 2.3.10 The following statements are equivalent: (i) dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR (Hmi (M )) M i and R-module M every Noetherian (ii) for every integer AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p for every integer i, every Noetherian R-module and every lu (iii) R p ∈ Var(AnnR Hmi (M )) is universally catenary and all its formal fibers are Cohen- an n va Macaulay p ∈ Spec(R), let Fp be the co-localization defined by A S Richardson If gh tn to For each R is complete then it follows from local duality that i−dim(R/p) (Mp ) Under the assumption that R is universally p ie Fp (Hmi (M )) = HpRp catenary and all formal fibers of i−dim(R/p) Rp -module HpRp oa nl w considered the role of R are Cohen-Macaulay, Brodmann - Sharp of the Artinian local cohomology module (Mp ) as the ``co-localization" d Hmi (M ) in order to establish suc- an lu cessfully an associativity formula for the multiplicity of Hmi (M ) Therefore, nf va it is of interest to study the existence of a co-localization compatible with all functor R-modules, Fp (Hmi (M )) R p ∈ Spec(R), is Artinian, and for every integer i Fp (Hmi (M )) 6= and every Noetherian is universally catenary and all formal fibers of are an Lu In this chapter, we achieved some results as follows: m co Conclusions of chapter R R- l Cohen-Macaulay a is linear exact on the category gm Then Fp @ p ⊇ AnnR Hmi (M ) M such that z whenever module Suppose that there exists, for every Fp : MR −→ MRp of Artinian Hmi (M ) z at nh oi Theorem 2.3.11 lm ul Artinian local cohomology modules n va ac th si 16 - Characterizing the base ring so that the formula of passing attached primes through completion is satisfied for all Artinian modules - Showing the formula of passing attached primes through completion for Hmi (M ) when the base ring is a quotient of a Gorenstein local ring - Presenting some characterizations of universally catenary rings whose i all formal fibers are Cohen-Macaulay via the relations between AttRb Hm (M ) and c) AttR Hmi (M ); Psuppi (M ) and Psuppi (M - Proving a neccessary condition of base ring in order to exist a co- lu localization compatible with every Artinian R-module an - Giving a criterion of base ring such that there exits a co-localization va n i compatible with every Artinian local cohomology modulesHm (M ) p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 17 Chapter The top local cohomology modules with respect to an arbitrary ideal Through out this chapter, let (R, m) be a Noetherian local ring, I be an ideal of R and M be a finitely generated R-module with dim M = d Let b and Var(I) denote the set of all prime ideals of R containing I Denote by R c the m-adic completions of R and M respectively M The set of attached primes of the top local cohomology modules with lu respect to the maximal ideal b was described clearly by Hmd (M ) over R and R an I G Macdonald and R Y Sharp By the Lichtenbaum-Hartshorne Vanishing va n Theorem, R Y Sharp clarified the set of attached primes of b After that, K Divaani-Aazar and P Schenzel extended this result R gh tn to over HIdim R (R) HId (M ) over R in the relation with the prime saturation, co-support and associative for module The purpose of this chapter is to describe this set for p ie w formula for multiplicity of HId (M ) On the study of the set of attached primes HId (M ), we characterized the prime saturation for this module via the oa nl of d catenary of base ring and tranfered to the case of the top local cohomology lu M nf va an modules with respect to the maximal ideal of a quotient module of lm ul 3.1 The prime saturation prime saturation if z at nh oi By N T Cuong and L T Nhan, an Artinian R-module A satisfies the AnnR (0 :A p) = p for all p ∈ Var(AnnR A) When R is complete, the prime saturation is satisfied for all Artinian local cohomology z gm @ modules However, this property is not satisfied in general The prime saturation is characterized for local cohomology modules with respect to l co the maximal ideal In this section, we give the characterization for the prime m saturation for the top local cohomology modules with respect to an arbitrary an Lu ideal HId (M ) via the catenary of base ring and tranfered to the case of the top n va local cohomology modules with respect to the maximal ideal of a quotient ac th si 18 module of M First, we keep the following notations which will be used through this chapter Let Notation 3.1.1 \ 0= N (p) be a reduced primary decomposition p∈AssR M of the submodule of M Set p  AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, p + I = m \ Set N = N (p) Note that N does not depend on the choice of the p∈AssR (I,M ) lu reduced primary decomposition of because AssR (I, M ) ⊆ AssR M an n va The following theorem gives a characterization for the prime saturation HId (M ) in the relation with the catenary of the base ring and the set of tn to of gh attached primes of HId (M ) ie Let p Theorem 3.1.2 N be defined as in Notations 3.1.1 The following w statements are equivalent: HId (M ) satisfies the prime saturation d oa nl (i) R/ AnnR HId (M ) p+I = m for all R/ AnnR HId (M ) is catenary and HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) 3.2 The set of attached primes z at nh oi lm ul (iii) The ring √ nf va p ∈ AttR HId (M ) is catenary and an lu (ii) The ring In this section, we extend the result of K Divaani-Aazar and P Schenzel z from the case where R is complete to the case that HId (M ) satisfies the prime @ AssR (I, M ) and AttR HId (M ) Corollary 3.2.1 Let an Lu AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) In particular, if AssR (I, M ) 6= ∅ then n va (i) AssR (I, M ) be defined as in Notations 3.1.1 Then we m have co relation between l gm saturation First, by Theorem 3.1.2, we have the following corollary of the ac th si 19 HId (M ) 6= (ii) Suppose that AssR (I, M ) = ∅ Then HId (M ) satisfies the prime saturation if and only if HId (M ) = The following corollary is the main result of this section HId (M ) satisfies the property prime saturation then p  AttR HId (M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m Corollary 3.2.2 If Proposition 3.2.3 Let AssR (I, M ) be defined as in Notations 3.1.1 Then the following statements are equivalent: lu an (i) [ va AttRb HId (M ) = b R) b AssRb (R/p n p∈AttR HId (M ) tn to (ii) HId (M ) satisfies the prime saturation and R/p is unmixed for all p ie gh p ∈ AssR (I, M ) ∈ Spec R K E Smith studied a functor called ``dual to localization"
Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p) d oa nl Let p w 3.3 Co-support and multiplicity an lu nf va from the category of R-modules to the category of Rp -modules, where E(−) and only if lm ul is the injective hull Note that this functor Fp is linear exact, Fp (A) 6= if p ⊇ AnnR A, and when R is complete then Fp (A) is Artinian for R-module A Let Proposition 3.3.1 and let Fp (−) be the above dual to be defined as in Notations 3.1.1 Suppose that R is gm @ complete Then N p ∈ Spec(R) z localization Let z at nh oi any Artinian m co l d−dim(R/p) Fp (HId (M )) ∼ (M/N )p = HpRp an Lu Proposition 3.3.1 suggested us giving the following notion of co-support HId (M ) n va of ac th si 20 Definition 3.3.2 Let N be defined as in Notations 3.1.1 The co-support of HId (M ), denoted by CosR (HId (M )), is defined as follows  d−dim(R/p) CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | HpRp (M/N )p 6= The following lemma gives the relation between the co-support CosR (HId (M )) Var(AnnR HId (M )) and Lemma 3.3.3 CosR (HId (M )) ⊆ Var(AnnR HId (M )) The following theorem characterizes the prime saturation of HId (M ) in terms of the co-support lu an Theorem 3.3.5 The following statements are equivalent: HId (M ) satisfies the prime saturation; n va (i) CosR (HId (M )) = Var(AnnR HId (M )) gh tn to (ii) Theorem 3.3.5 asserts that if ie HId (M ) satisfies the prime saturation then its p co-support is a closed subset of nl w By D Kirby, if Spec(R) in the Zariski topology q is an ideal of R in which (0 :A q) has finite length then n  We denote this polynomial by ΘqA (n) Set N-dim A = s We nf va have an lu for d oa `(0 :A qn+1 ) is a polynomial of degree N-dimR A with rational coefficients A z at nh oi by multiplicity of n+1 lm ul e0 (q, A) s = `(0 :A q ) = n + polynomial of degree less than s s! when n  0, in which e0 (q, A) is a positive integer We call e0 (q, A) ΘqA (n) with respect to q In 2002, M Brodmann and R Y Sharp introduced the concept pseudo-support z psdi (M ), to establish successfully an associativity gm formula for the multiplicity of @ dimension, denoted by PsuppiR (M ) and ith pseudo- Hmi (M ) Recently, L T Nhan and T N An l co have extended this result of M Brodmann and R Y Sharp for the case of m Hmi (M ) satisfies the prime saturation So, using the co-support of HId (M ), an Lu we establish the associative formula for multiplicity of this module when it n va satisfies the prime saturation ac th si 21 Corollary 3.3.8 Let q be an m-primary ideal Let AssR (I, M ) and N be HId (M ) satisfies the prime saturation then X
`Rp HpR (M/N ) e(q, R/p) p p defined as in Notations 3.1.1 If e0 (q, HId (M )) = p∈Cos HId (M ) dim(R/p)=d In this case, X e0 (q, HId (M )) = e(q, M/N ) = `Rp (Mp )e(q, R/p) p∈AssR (I,M ) Conclusions of chapter In this chapter, we obtained the following results: lu - Presenting some characterizations of the prime saturation of local coho- an va mology modules with respect to an arbitrary ideal in terms of the catenary n of the base ring, the set of the attached primes of the top local cohomology modules with respect to the maximal ideal gh tn to HId (M ) and relation with HId (M ) in case of this Artinian p ie - Describing the set of attached primes of w module satisfies the prime saturation oa nl - Introducing the concept of co-support of local cohomology modules with d respect to an arbitrary ideal and characterizing the prime saturation of HId (M ) nf va an lu via it - Establishing successfully an associative formula for multiplicity of z at nh oi prime saturation lm ul HId (M ) in terms of the co-support when this Artinian module satisfies the z m co l gm @ an Lu n va ac th si 22 CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS FOR FURTHER STUDY Conclusions In this thesis, we obtained some results in the set of attached primes of local cohomology modules with respect to the maximal ideal and that of the top local cohomology modules with respect to an arbitrary ideal For local cohomology modules with respect to the maximal ideal, we proved the formula passing attached primes through lu an when m−adic completion R is a quotient of a Gorenstein local ring (Proposition 2.1.7) We also n va gave characterizations of universally catenary local rings having all Cohen- tn to Macaulay formal fibers via this formula (Theorem 2.2.5) Moreover, we ie gh showed a neccesary condition of the base ring for the existence of a co- p localization compatible with every local cohomology modules with respect nl w to the maximal ideal (Theorem 2.3.11) d oa For the top local cohomology modules with respect to an arbitrary ideal, an lu we described the set of attached primes of this module by characterizing nf va the saturation in terms of the catenary of base ring and then we reduced to lm ul the case of local cohomology modules with respect to the maximal support (Theorem 3.1.2) We also gaved the characterizations of the prime saturation z at nh oi via the co-support (Theorem 3.3.5), and then proved the associative formula for the multiplicity of this module (Corollary 3.3.8) z l Recommendations gm @ In order to clarify the results in the thesis, we also gave some examples m co We intend to study some topics as follows next time: an Lu - Showing some classes of non-complete rings for the existence of a co- n va localization compatible with every local cohomology modules in artribary ac th si 23 order with respect to the maximal ideal - Extending some results in the set of attached primes, the prime saturation, co-support and multiplicity of the top local cohomology modules to those at some lower levels - Exploiting the pseudo-support and primary decomposition on the study of the structure of finitely generated modules over Noetherian local ring lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 LIST OF POSTGRADUET'S WORKS RELATED TO THE THESIS L T Nhan and T D M Chau (2012), On the top local cohomology modules, J Algebra, 349, 342-352 L T Nhan and T D M Chau (2014), Noetherian dimension and colocalization of Artinian modules over local rings, (4)21, Algebra Colloquium, 663-670 lu T D M Chau and L T Nhan (2014), Attached primes of local cohomology an J Algebra, 403, 459-469 n va modules and structure of Noetherian local rings, p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si