(Luận văn) toán tử monge ampère trong cn và trên đa tạp kähler compact

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi viết chung với đồng tác giả Các kết viết chung với đồng tác giả lu an trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết n va luận án trung thực chưa công bố tn to cơng trình khác ie gh Nghiên cứu sinh p Hoàng Nhật Quy d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục lu an n va Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng thống kê ký hiệu tn to Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 11 0.3 Phương pháp nghiên cứu 0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu luận án 0.5 Các kết đạt ý nghĩa đề tài p 0.1 w ie gh Mở đầu d oa nl nf va an lu lm ul Tính chất địa phương lớp Eχ,loc (Ω) 11 12 13 z at nh oi 15 1.1 Giới thiệu 15 1.2 Kiến thức chuẩn bị 18 z Lớp N (Ω) 1.2.2 Lớp Eχ,loc (Ω) co l gm @ Tính chất địa phương lớp Eχ,loc m 1.3 1.2.1 an Lu Tô pô không gian δEχ 19 20 30 n va 18 ac th si 2.1 Giới thiệu 30 2.2 Kiến thức chuẩn bị 31 2.2.1 Các lớp Cegrell 32 2.2.2 Không gian δEχ 32 2.2.3 Khái niệm dung lượng 33 Các kết không gian δEχ 34 2.3.1 Tô pô không gian δEχ 34 2.3.2 Sự hội tụ không gian δEχ 39 2.3.3 Tốn tử Monge-Ampère khơng gian δEχ 41 2.3.4 Một số ý 46 2.3 lu an n va tn to Hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn đa gh 48 p ie Kă ahler compact Gii thiu 48 nl w 3.1 Kiến thức chuẩn bị 3.3 Sự hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn d oa 3.2 49 Kết luận nf va an lu 54 65 lm ul 67 Tài liệu tham khảo 68 z at nh oi Các cơng trình sử dụng luận án z @ Phụ lục 74 m co l gm an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học lu PGS TS Phạm Hoàng Hiệp Nhân dịp này, xin gửi đến Thầy an lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi thực cảm thấy vô va n may mắn làm việc Thầy nhận nhiều hướng tn to dẫn trình làm nghiên cứu sinh gh p ie Nhân tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH nl w Nguyễn Văn Khuê, GS TSKH Lê Mậu Hải GS TSKH Nguyễn d oa Quang Diệu trao đổi lời góp ý vô quý báu an lu Thầy Đặc biệt GS TSKH Nguyễn Văn Khuê gợi mở việc so nf va sánh tô pô xây dựng δEχ chương với tô pô cảm lm ul sinh từ tô pô xây dựng tác giả khác trước Điều khiến cho việc nhận thức tô pô vừa xây dựng thêm sâu z at nh oi sắc kết đạt chương thêm hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Giảng viên, thành viên nhóm seminar Giải tích z gm @ phức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội có co l tranh luận, trao đổi, góp ý hữu ích q trình làm nghiên cứu sinh Tổ môn Lý thuyết hàm Các kết luận án m an Lu viết thành ba báo cụ thể sau: n va • [1] Vũ Việt Hùng, Hồng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca- ac th si pacity on smooth hypersurfaces of compact Kăahler manifolds", Ann Polon Math 103, 175-187 • [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hồng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Local property of the class Eχ,loc ", J Math Anal Appl., 402, 440–445 • [3] Hồng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ ", Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73 Nhân muốn gửi lời cảm ơn tới GS S Kolodziej lu trao đổi, góp ý làm hồn thiện số kết luận an án va n Tơi biết ơn Phịng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm tn to Hà Nội hướng dẫn tạo điều kiện để tơi thực đầy đủ gh p ie thủ tục kịp thời quy chế trình làm nghiên cứu nl w sinh d oa Nghiên cứu sinh nf va an lu Hoàng Nhật Quy z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bảng thống kê ký hiệu Ký hiệu Nội dung PSH− (Ω) Tập hàm đa điều hòa âm Ω lu an PSH(X, ω) Tập hàm tựa đa điều hòa đa tạp X n va Xem định nghĩa mục 2.2.1 F Xem định nghĩa mục 2.2.1 E Xem định nghĩa mục 2.2.1 p ie gh tn to E0 χ Xem định nghĩa mục 1.3 nl w nf va Xem định nghĩa mục 2.1 Xem định nghĩa mục 1.2.2 lm ul Xem định nghĩa mục 2.2.2 z at nh oi hϕD,Ω an Eχ,loc (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.1 lu δH d N (Ω) δEχ Xem định nghĩa mục 1.1 oa Eχ Xem định nghĩa mục 1.2.2 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ký hiệu Nội dung B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.2.5 DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.6 lu an n va Xem định nghĩa mục 3.2.7 Ep (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7 F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 Ka (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.2.9 cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3 capX (E) Xem định nghĩa mục 3.2.2 eχ (u) Xem định nghĩa mục 2.2.2 p ie gh tn to E(X, ω) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài lu an Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung lý thuyết đa vị nói va n riêng thu hút nhiều quan tâm đầu tư nghiên cứu gh tn to nhà toán học lớn giới nửa sau kỷ thứ p ie XX Sau nửa kỷ phát triển, đến hiểu biết lớp hàm w đa điều hòa - đối tượng nghiên cứu lý thuyết đa oa nl vị, cộng cụ thiết lập tương đối sâu sắc phong phú d Tại Tổ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý lu nf va an thuyết đa vị bắt đầu giảng viên tập trung nghiên cứu vài thập kỷ trở lại Và đến vấn đề mà giảng lm ul viên môn tập trung nghiên cứu riêng vấn đề z at nh oi seminar chung tiếp cận xu hướng nghiên cứu chuyên gia lý thuyết đa vị giới z gm @ Trong số nhiều kết đạt lý thuyết đa vị, quan tâm tới lớp hàm đa điều hịa có lượng l m co Monge - Ampère hữu hạn Năm 2004, U Cegrell đưa nhiều lớp an Lu lượng hữu hạn miền siêu lồi Cn E0 (Ω), E(Ω), F(Ω), E(Ω) lớp hàm đa điều hòa lớn mà n va ac th si tốn tử Monge - Ampère định nghĩa độ Radon khơng âm bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm hàm đa điều hòa Năm 2006, Z Blocki đưa đặc trưng lớp Cegrell E(Ω) tập mở Cn đề cập tới tính chất địa phương lớp E(Ω) Năm 2009, nhóm tác giả S Benelkourchi, V Guedj, A Zeriahi đưa lớp lượng với trọng Eχ (Ω) Quan sát tính chất địa phương lớp nhận thấy rằng, lớp E(Ω) F(Ω) lu có quan hệ địa phương tồn cục, tức hàm u ∈ E(Ω) an va tập K b Ω tồn v ∈ F(Ω) cho u = v K, lớp E(Ω) có n tính chất địa phương lớp F(Ω) khơng có Đối với lớp Eχ (Ω) tn to khơng có tính chất địa phương Vậy vấn đề quan tâm gh p ie nghiên cứu xây dựng lớp từ lớp Eχ (Ω), có tính chất địa nl w phương có quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ (Ω) tương d oa tự cặp E(Ω) F(Ω) an lu Tiếp tục nghiên cứu sâu lớp hàm Eχ (Ω), dẫn đến nf va giới thiệu nghiên cứu luận án lớp hàm δEχ Về lớp hàm δ lm ul - đa điều hòa (δ - psh) đề cập nghiên cứu năm 1977 Ta ký hiệu H = H(Ω) lớp hàm thuộc lớp z at nh oi PSH(Ω) δH = H − H tập hàm u ∈ L1loc (Ω) cho u = v − w, với v, w ∈ H Khi H = PSH(Ω) khơng gian δPSH(Ω) với tô pô z gm @ cảm sinh từ tô pô không gian L1loc (Ω) nghiên cứu co l C O Kiselman 1977 [36] U Cegrell 1979 [13] Các kết sau lớp δH nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn m an Lu Monge - Ampère Với H = F(Ω), lớp hàm δF đưa n va nghiên cứu bới U Cegrell J Wiklund 2005 [19], tác giả ac th si 10 chứng minh lớp δF không gian Banach không khả ly khơng gian đối ngẫu tơ pơ (δF)0 phân tích (δF)0 = δF Với H = E(Ω), lớp hàm δE đưa nghiên cứu bới L M Hải P H Hiệp 2006 [27], tác giả δE không gian Fréchet không khả ly không phản xạ tốn tử Monge - Ampère định nghĩa δE Với H = Ep (Ω), lớp hàm δEp đưa nghiên cứu P ˚ Ahag R Czy˙z 2010 [4] lu Bắt nguồn từ gợi mở kết đây, luận án an đưa nghiên cứu lớp δEχ với tô pô sinh va n họ tập lồi, cân, hấp thụ Và với tô pô không gian δEχ không tn to gian Fréchet không khả ly không phản xạ gh p ie Một vấn đề khác lý thuyết đa vị thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu hội tụ theo dung lượng dãy hàm nl w d oa đa điều hòa Khái niệm dung lượng giới thiệu nghiên cứu an lu tác giả E Bedford B A Taylor năm 1982 [6], nf va tiếp tục nghiên cứu Y Xing từ 1996 [43] Và gần hơn, lm ul năm 2003, S Kolodziej đưa nghiên cứu khái niệm dung lượng a Kăahler compact [41] Tip tc nghiờn cu khỏi niệm này, z at nh oi tác giả P H Hiệp thu số kết công bố vào năm 2008 2010 [32], [31] [34] Đặc biệt [24], tác z gm @ giả S Dinew P H Hiệp đưa nhiều hệ điều kiện đủ để co l dãy hàm tựa đa điều hòa hi t theo dung lng trờn a Kăahler compact Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu hệ m an Lu điều kiện có đảm bảo cho hội tụ theo dung lượng hàm n va tựa đa điều hòa chúng thu hẹp siêu mặt trơn ac th si 71 [26] Guedj V., Zeriahi A (2007), "The weighted Monge-Ampère energy of quasiplurisubharmonic functions", J Funct Anal 250, 442– 482 [27] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp (2006), "The Topology on the space of δ−psh Functions in the Cegrell classes", Result in Math 49, 127-140 [28] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp (2011), "Some Weighted Energy lu an Classes of Plurisubharmonic Functions", Potential Analysis 34, va n 43–56 tn to property of the class Eχ,loc ", J Math Anal Appl 402, 440–445 p ie gh [29] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Local oa nl w [30] Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Phạm Hoàng Hiệp (2007), "ω- d pluripolar sets and subextension of -plurisubharmonic functions lu nf va an on compact Kăahler manifolds", Ann Polon Math 91, 25-41 [31] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "Convergence in capacity", Ann Polon z at nh oi lm ul Math 93, 91-99 [32] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "On the convergence in capacity on z compact Kăahler manifolds and its applications", Proc of Amer l gm @ Math Soc 136, 2007-2018 m co [33] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes", Complex Var and Elliptic Equations 53, 675– an Lu 684 n va ac th si 72 [34] Phạm Hoàng Hiệp (2010), "Convergence in capacity and applications", Math Scand 107, 90-102 [35] Nguyễn Văn Khuê, Phạm Hoàng Hiệp (2009), "A Comparison Principle for the complex Monger-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Amer Math Soc 361, 55395554 [36] Kiselman C O (1977), Fonctions delta - convexes, delta- lu an sousharmoniques et delta-plurisousharmoniques, In Séminaire va n Pierre Lelong (Analyse), année 1975/76, pages 93 - 107 Lectures to gh tn Notes in Math., Vol 578 Springer Berlin p ie [37] C.O Kiselman, Sur la définition de l’opérateur de Monge-Ampère nl w complexe, Complex Analysis (Toulouse, 1983), 139 - 150, Lectures d oa Notes in Math 1094, Springer, Berlin, (1984) lu nf va an [38] Klimek M (1991), Pluripotential Theory, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, Oxford Science Publications lm ul [39] Kolodziej S (1995), "The range of the complex Monge-Ampère z at nh oi operator", Indiana Univ Math J II 44, 765–782 z [40] Kolodziej S (1998), "The Monge-Ampère equation", Acta Math l gm @ 180, 69–117 m co [41] S Kolodziej, The Monge-Ampốre equation on compact Kăahler manifolds, Indiana Univ Math J 52 (2003), 667-686 an Lu n va ac th si 73 [42] Kolodziej S (2005), "The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory", Mem Amer Math Soc 178 [43] Xing Y (1996), "Continuity of the complex Monge-Ampère operator", Proc Amer Math Soc 124, 457-467 [44] Xing Y (2010), "The general definition of the complex MongeAmpère operator on compact Kăahler Manifolds", Canad J Math 62, 218-239 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Phụ lục Trong mục nhắc lại cách vắn tắt khái niệm lu liên quan tới đa tạp phức, a Kăahler, dng vi phõn, dũng v toỏn an tử Monge - Ampère n va ie gh tn to a phc v a Kă ahler p ã Cho M không gian Hausdorff với sở đếm được, K ∈ {R, C} oa nl w Trên M cho họ đồ tọa độ {Uα , ϕα }α∈A cho M = ∪α∈A Uα d ánh xạ ϕα : Uα → ϕα (Uα ) ⊂ Km đồng phôi Uα ∩ Uβ 6= ∅ lu nf va an ánh xạ sau gọi phép biến đổi tọa độ lm ul ϕαβ := ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ), z at nh oi Khi ta có khái niệm sau i Nếu K = R ánh xạ ϕαβ vi phôi lớp C k tập mở z Rm M gọi đa tạp khả vi lớp C k có chiều m (nếu gm @ k = ∞ thi M gọi đa tạp trơn) m M gọi đa tạp phức có chiều m co l ii Nếu K = C ánh xạ ϕαβ chỉnh hình tập mở Cm an Lu • Cho M đa tạp khả vi Vectơ tiếp tuyến ξ điểm a ∈ M xác n va định tốn tử vi phân khơng gian hàm xác định gần a có ac th 74 si 75 dạng C (Ω, R) f 7−→ ξ · f = X ξj 1≤j≤m ∂f (a) ∂xj (x1 , , xm ) hệ tọa độ địa phương tập mở Ω a Hay P ta viết đơn giản ξ = ξj ∂/∂xj Vì ta có (∂/∂xj )1≤j≤m sở không gian tiếp tuyến với M a, ký hiệu TM,a • Cho f hàm xác định lân cận a ∈ M Vi phân lu f dạng tuyến tính TM,a xác định sau: X dfa (ξ) = ξ · f = ξj ∂f /∂xj (a), ∀ξ ∈ TM,a an va n Đặc biệt ta có dxj (ξ) = ξj , ta viết ngắn gọn df = P (∂f /∂xj )dxj gh tn to Vì (dx1 , , dxm ) có sở đối ngẫu (∂/∂xj )j=1, ,m p ie ∗ không gian đối tiếp tuyến TM,a w ∗ ∗ = ∪x∈M TM,x gọi Ta đặt TM = ∪x∈M TM,x TM oa nl chùm tiếp tuyến chùm đối tiếp tuyến M d • Cho M đa tạp phức m chiều Khi ta coi M lu nf va an đa tạp thực với số chiều 2m Giả sử (z1 , , zm ) hệ tọa độ địa phương M Đặt zk = xk + iyk , k = 1, , m (xk , yk )k=1, ,m lm ul hệ tọa độ địa phương đa tạp thực M Gọi (∂/∂xk , ∂/∂yk )k=1, ,m z at nh oi (dxk , dyk )k=1, ,m sở đối ngẫu lần lươt sở ∗ không gian tiếp tuyến TM,x không gian đối tiếp tuyến TM,x với M z gm @ x l Gọi Jx cấu trúc phức xác định không gian TM,x ∂ ∂ ∂ ∂ )= , Jx ( )=− ∂xk ∂yk ∂yk ∂xk m co Jx ( an Lu Ta thấy Jx2 = −id : TM,x → TM,x Ta chứng minh Jx n va không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ địa phương gần x ac th si 76 Thật vậy, giả sử (w1 , , wm ) hệ tọa độ địa phương gần x khác Khi phép đổi tọa độ zj = zj (w1 , , wm ) chỉnh hình với j = 1, , m Đặt wk = uk + ivk , theo phương trình Cauchy - Riemann ta có ∂yj ∂xj ∂yj ∂xj = , =− ∂uk ∂vk ∂vk ∂uk Vì ta có lu X ∂xj ∂ X ∂yj ∂ ∂ ∂ Jx ( ) = Jx ( + )= ∂uk ∂uk ∂xj ∂uk ∂yj ∂vk j j an n va tn to Jx ( X ∂xj ∂ X ∂yj ∂ ∂ ∂ ) = Jx ( + )=− ∂vk ∂vk ∂xj ∂vk ∂yj ∂uk j j ie gh Vậy Jx tác động lên sở ( ∂u∂ k , ∂v∂ k )k=1, ,m có dạng tác p động lên sở ( ∂x∂ k , ∂y∂ k )k=1, ,m w oa nl • Gọi H cấu trúc Hermitian khơng gian vectơ thực TM,x d Khi ξ, η ∈ TM,x H(Jx ξ, η) = iH(ξ, η) = 12 ( ∂x∂ k − i ∂y∂ k ) Khi ta suy Jx ( ∂z∂k ) = i · ∂ ∂zk nf va an ∂ ∂zk lu Đặt Khi cấu trúc Hermitian H không gian vectơ thực TM,x với cấu lm ul trúc phức Jx sinh cấu trúc Hermitian không gian vectơ phức z at nh oi TM,x ⊗ C lúc M đa tạp Hermitian ∂ ∂ ¯ ¯jk ma trận H = (hj k¯ ) Đặt hj k¯ = hkj ¯ = H( ∂z , ∂z ) Suy hj k¯ = h j k z gm @ xác định dương Gọi ξ, η trường vectơ tiếp tuyến loại (1, 0) Khi Khi H(ξ, η) = P j,k hj k¯ ξj η¯k k an Lu j X ∂ ∂ ,η = ηk ∂zj ∂zk m ξj co X l = n va ac th si 77 Dng Kăahler trờn M m X i ˆ = H hj k¯ dzj ∧ d¯ zk j,k=1 ˆ đa tạp Hermitian M l dng vi phõn úng, Nu dng Kăahler H ˆ = M gọi đa Kăahler tc l dH a trn lu an • Giả sử M, N đa tạp trơn với số chiều m n, va n ánh xạ ϕ : M → N thỏa mãn: i ϕ đơn ánh gh tn to ii Với điểm p ∈ M bất kỳ, ánh xạ tiếp tuyến ϕ∗ : TM,p → TN,ϕ(p) p ie không suy biến, tức ϕ∗ đơn ánh p w Khi (M, ϕ) gọi đa tạp trơn N oa nl • Đặc biệt, M ⊂ N M đa tạp trơn m chiều N d với p ∈ M tồn hệ tọa độ địa phương (p ∈ U ; uj )j=1, ,n nf va an lu cho: z at nh oi lm ul M ∩ U = {q ∈ U : um+1 (q) = · · · = un (q) = 0} Nếu m = n − M gọi siêu mặt trơn đa tạp N z gm @ Dạng vi phân dịng m Rn × × Rn vào C Ω ⊂ Rn tập mở co l • Ký hiệu Λp (Rn , C) tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu từ an Lu n va Một p - dạng vi phân Ω ánh xạ α : Ω → Λp (Rn , C) P0 Với x ∈ Ω α(x) có dang α(x) = I αI (x)dxI , I = ac th si 78 (i1 , , ip ), ≤ i1 < < ip ≤ n, dxI = dxi1 ∧ ∧ dxip αI hàm Ω • Tích ngồi dạng vi phân α= X αI dxI p - dạng vi phân Ω I β= X βJ dxJ q - dạng vi phân Ω J Khi tích α ∧ β p + q - dạng vi phân Ω cho công lu an thưc sau va α∧β = X n γL dxL tn to L ie gh γL dxL = có ik = jl (1 ≤ k ≤ p, ≤ l ≤ q) p γL dxL = (−1)σ αI βJ dxl1 ∧ ∧ dxlp+q w oa nl với ≤ l1 < < lp+q ≤ n, σ hoán vị i1 < < ip j1 < < jq d tập {1, 2, , n} an lu nf va Một số tính chất tích ngồi: lm ul + (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) + (α + β) ∧ γ = α ∧ γ + β ∧ γ + Nếu p > n α = z at nh oi + α ∧ β = (−1)pq β ∧ α z P I αI dxI p - dạng gm @ • Vi phân ngồi dạng vi phân: Cho α = l vi phân, vi phân ngồi dα p + - dạng vi phân có dạng X I dαI ∧ dxI an Lu dα = m co sau: n va ac th si 79 Một số tính chất vi phân ngoài: α, α0 p - dạng vi phân lớp C β q - dạng vi phân lớp C Khi ta có + d(α + α0 ) = dα + dα0 + d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)p α ∧ dβ + d2 α = d(dα) = với α p - dạng vi phân lớp C lu an • Ký hiệu D(p) (Ω) tập p - dạng vi phân trơn có giá comP pact Ω Với α = 0I αI dxI ∈ D(p) (Ω) giá α suppα = n va gh tn to ∪I suppαI p ie Ta gọi dạng tuyến tính liên tục T : D(n−p) (Ω) → C dòng w bậc p hay p - dòng Ω oa nl Như ta biết T ∈ (D(n−p) (Ω))0 dòng bậc p T d viết dạng: an lu T = X TI dxI nf va I lm ul TI phân bố, tức TI ∈ (D(Ω))0 z at nh oi • Cho T p - dòng Ω β q - dạng vi phân Ω Khi tích ngồi T ∧ β p + q - dòng Ω xác định z < T ∧ β, α >=< T, β ∧ α >, ∀α ∈ Dn−p−q (Ω) l gm @ Khi ta có β ∧ T = (−1)pq T ∧ β an Lu p + - dòng xác định m co • Cho T p - dịng Ω, vi phân ngồi T dT n va < dT, α >= (−1)p+1 < T, dα >, ∀α ∈ Dn−p−1 (Ω) ac th si 80 Dịng T gọi đóng dT = • Dịng lý thuyết đa vị Với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn , ta đặt zk = xk + iyk , k = 1, , n Khi ta coi Cn ∼ = R2n Bằng cách đặt dxk = dyk = 2i (dzk (dzk + d¯ zk ) − d¯ zk ) khái niệm dạng vi phân dòng R2n xem xét Cn xuất khái niệm dạng vi phân dòng song bậc (p, q) lu Với ≤ p, q ≤ n, ta ký hiệu C(p,q) tập dạng phức song bậc (p, q) an n va có hệ số Cn Cho w ∈ C(p,q) , ta viết X tn to w= wJK dzJ ∧ d¯ zK |J|=p,|K|=q ie gh p wJK số phức nl w Dạng vi phân w ∈ C(p,p) gọi thực w = w, ¯ tức wJK = d oa w¯KJ , ∀|J| = |K| = p n iX β= dzj ∧ d¯ zj j=1 nf va an lu Dng Kăahler chớnh tc trờn Cn cú dạng sau: z at nh oi dV = lm ul Dạng thể tích Cn z n i β = ( )n dz1 ∧ d¯ z1 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn n! @ l gm Dạng dương sơ cấp C(p,p) dạng có biểu thức sau: an Lu wj ∈ C(1,0) , j = 1, 2, , p m co i w = ( )p w1 ∧ w¯1 ∧ ∧ wp ∧ w¯p n va Dạng w ∈ C(p,p) gọi dương với dạng dương sơ cấp ac th si 81 α ∈ C(n−p,n−p) ta có w ∧ α = τ dV, với τ ≥ Cho Ω ⊂ Cn tập mở Tập dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số thuộc C0∞ (Ω, C) ký hiệu D(p,q) (Ω) Khi với T ∈ (D(n−p,n−q) (Ω))0 gọi dòng song bậc (p, q) hay (p, q) - dòng Ω Cho T (p, q) - dòng Ω ψ (k, l) - dạng Ω với hệ số lu C ∞ (Ω, C) cho max{p + k, q + l} ≤ n Khi T ∧ ψ (p + k, q + l) an n va - dòng xác định sau: to gh tn < T ∧ ψ, ϕ >=< T, ψ ∧ ϕ >, ∀ϕ ∈ D(n−p−k,n−q−l) (Ω) p ie Ta xét toán tử sau đây: nl w ∂ : D(p,q) (Ω) → D(p+1,q) (Ω) d oa ∂¯ : D(p,q) (Ω) → D(p,q+1) (Ω) lu nf va an Khi với T (p, q) - dịng Ω ta có < ∂T, ϕ >= (−1)p+q+1 < T, ∂ϕ > lm ul z at nh oi ¯ ϕ >= (−1)p+q+1 < T, ∂ϕ ¯ > < ∂T, ¯ dc T = i(∂T ¯ − ∂T ) Từ suy ddc T = 2i∂ ∂T ¯ Đặt dT = ∂T + ∂T, z (p + 1, q + 1) - dòng xác định sau: @ l gm < ddc T, ϕ >=< T, ddc ϕ >, ∀ϕ ∈ D(n−p−1,n−q−1) (Ω) n va i α = ( )n−p α1 ∧ α ¯ ∧ ∧ αn−p ∧ α ¯ n−p an Lu dương với dạng dương sơ cấp m co Cho T (p, p) - dòng tập mở Ω ∈ Cn Khi T gọi ac th si 82 ta có T ∧ α phân bố dương độ đo Borel dương Ω Giả sử T = P TJK ( 2i )p dzJ ∧ d¯ zK (p, p) - dòng dương tập mở Ω Với E ⊂ Ω tập Borel ta gọi trọng T E, ký hiệu ||T ||(E), xác định sau: ||T ||(E) = X |TJK |(E) J,K lu |TJK |(E) biến phân độ đo TJK an n va • Dạng vi phân đa tạp tn to Cho M đa tạp khả vi m chiều Khi p - dạng vi phân M ie gh ∗ ∗ ánh xạ u từ M vào Λp TM cho với x ∈ M u(x) ∈ Λp TM,x p thỏa mãn liên hệ với hệ tọa độ địa phương khac nl w gần x qua phép đổi tọa độ Cụ thể, (x1 , , xm ) hệ tọa độ d oa địa phương gần x biểu thức u(x) có dạng sau: X uI (x)dxI , |I|=p nf va an lu u(x) = z at nh oi ∧ dxip lm ul uI (x) hàm xác định lân cận x dxI = dxi1 ∧ Giả sử (y1 , , ym ) hệ tọa độ địa phương khác gần x biểu z thức u(x) lúc là: u0J (x)dyJ , an Lu dyJ = dyi1 ∧ ∧ dyip m co l |J|=p gm @ u(x) = X Gọi xj = xj (y1 , , ym ), j = 1, , m phép đổi tọa độ Khi n va ac th si 83 liên hệ dxI dyJ cho công thức sau: dxI = dxi1 ∧ ∧ dxip m X ∂xi ∂xi1 dyj ) ∧ ∧ ( p dyj ) =( ∂yj ∂yj j=1 X ∂xip ∂xi1 = ··· · dyi1 ∧ ∧ dyjp ∂y ∂y j j p 1≤j , ,j ≤m p X = 1≤j1 , ,jp ∂xip ∂xi1 ··· dyJ ∂y ∂y j j p ≤m lu an n va Toán tử Monge - Ampère gh tn to • Cho z = (z1 , , zn ) ∈ Cn , zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R Ta nhắc lại p ie số ký hiệu sau oa nl w ¯j dzj = dxj + idyj , d¯ zj = dxj − idyj − dz d ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( −i ), = ( +i ) ∂zj ∂xj ∂yj ∂ z¯j ∂xj ∂yj an lu nf va n n X X ∂ ∂ ∂= dzj , ∂¯ = d¯ zj ∂z ∂ z ¯ j j j=1 j=1 lm ul ¯ dc = i(∂¯ − ∂) từ suy ddc = 2i∂ ∂¯ d = ∂ + ∂, z at nh oi Nếu u ∈ C (Ω), với Ω ⊂ Cn tập mở ta có l gm j,k=1 ∂ 2u dzj ∧ d¯ zk ∂zj ∂ z¯k @ dd u = 2i n X z c Khi tốn tử Monge - Ampère phức Cn định nghĩa an Lu n lần m co c (ddc )n = dd ∧ ddc} | ∧ {z n va ac th si 84 Với u ∈ C (Ω) ta tính cụ thể sau ∂ 2u (dd u) = n!det( )dV ∂zj ∂ z¯k c n n dV = ( 2i )n dz1 ∧ d¯ z1 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn dạng thể tích Cn • Sau ta trình bày vắn tắt việc mở rộng toán tử Monge Ampère cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương Trước hết ta nhắc lại số kết sau lu Mệnh đề Nếu u ∈ PSH(Ω) ddc u (1, 1) - dòng dương với an n va hệ số độ đo gh tn to Chứng minh Xem [38] p ie Kết sau E Bedford B A Taylor [5] công thức nl w tích phân phần đóng vai trò quan trọng việc mở rộng định d oa nghĩa toán tử Monge - Ampère an lu Mệnh đề Cho ≤ m ≤ n, u1 , , um ∈ C (Ω) ψ (n − m, n − lm ul ψ ∧ ddc u1 ∧ ∧ ddc um = − Ω Z z at nh oi có Z nf va m) - dạng vi phân với hệ số C0∞ (Ω) Ω Khi với m > ta ddc ψ ∧ du1 ∧ dc u2 ∧ ddc u3 ∧ ∧ ddc um Ω Z c c Z co l gm Chứng minh Xem [5] Ω @ Ω u1 ddc ψ ∧ ddc u2 ∧ ∧ ddc um z ψ ∧ dd u1 ∧ ∧ dd um = m Cho u1 , u2 , , un ∈ PSH ∩ L∞ loc (Ω) ≤ k ≤ n Gọi ψ an Lu (n − k, n − k) - dịng dương có giá compact Ω dãy {ukj }∞ j=1 ⊂ n va PSH ∩ C ∞ (G) giảm tới hàm uk G, với suppψ ⊂ G b Ω Ta ac th si 85 chứng minh ddc u1 ∧ ∧ ddc uk (k, k) - dòng dương với hệ số độ đo Ω quy nap - Ta có kết với k = - Giả sử chứng minh ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 (k − 1, k − 1) dòng dương với hệ số độ đo k Do uk ∈ PSH ∩ L∞ loc (Ω) nên u khả tích địa phương theo hệ số dòng ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 dịng uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 có lu hệ số độ đo Từ ta định nghĩa dòng ddc u1 ∧ ∧ ddc uk công an n va Ω tn to thức sau Z Z c c k dd u ∧ ∧ dd u ∧ ψ = uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ Ω ie gh Tính dương ddc u1 ∧ ∧ ddc uk giải thích sau p Do ddc ukj ∧ ψ dương giả thiết quy nạp ta có Z (ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ) ∧ (ddc ukj ∧ ψ) ≥ oa nl w Ω d Theo định lý hội tụ trội cơng thức tích phân phần ta có Z Z c c k dd u ∧ ∧ dd u ∧ ψ = uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ Ω Ω Z = lim ukj ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ j→+∞ Ω Z = lim ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ukj ∧ ψ ≥ nf va an lu Ω z at nh oi lm ul j→+∞ Vậy ddc u1 ∧ ∧ ddc uk (k, k) - dòng dương với hệ số độ đo Ω z @ Các nghiên cứu Z Blocki U Cegrell tiếp tục gm co l mở rộng miền định nghĩa toán tử Monge - Ampère cho cac lớp m hàm đa điều hòa rộng Trong [15], U Cegrell n va nghĩa bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm an Lu lớp E(Ω) lớp hàm lớn mà tốn tử Monge - Ampère định ac th si