(Luận văn) phương trình suy rộng và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI lu PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN an n va p ie gh tn to nl w Chun ngành : Tốn giải tích d oa Mã số : 46 01 02 nf va an lu z at nh oi lm ul z Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN VŨ m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu lu Chương Kiến thức chuẩn bị an n va Khơng gian Rn Rm×n 1.2 Cơ sở giải tích đa trị 1.3 Một số kết khái niệm khác 1.3.1 Cơ sở giải tích lồi 1.3.2 Định lý điểm bất động Kakutani 10 p ie gh tn to 1.1 Chương Phương trình suy rộng nghiệm chúng 11 nl w Các kết 11 2.2 Trường hợp ánh xạ đa diện 17 2.3 Tính ổn định phương trình suy rộng tuyến tính d oa 2.1 nf va an lu Chương 19 23 3.1 Sơ lược toán quy hoạch toán học 23 3.2 Điều kiện đủ cấp hai 24 3.3 Nghiệm nhiễu địa phương toán quy hoạch phi tuyến 33 3.4 Điều kiện Lipschitz trường hợp đa diện 36 45 z Kết luận z at nh oi lm ul Một số ứng dụng vào toán quy hoạch phi tuyến 46 gm ii m co l Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ @ Tài liệu tham khảo an Lu n va ac th si Mở đầu Trong luận văn này, quan tâm đến lớp tốn mà nói chung thiết lập lại dạng bao hàm thức sau lu an ∈ f (x) + T (x), (1) n va T ánh xạ đa trị xác định nhận giá trị Rn Về mặt thuật ngữ, gh tn to f hàm liên tục, khả vi Fréchet từ tập mở Ω ⊂ Rn đến Rn , ta nói phương trình suy rộng, dựa theo [1] (Chú ý là, T đồng ie p với ánh xạ x ∈ Rn 7−→ {0} (1) trở thành phương trình f (x) = 0.) Trong nl w số trường hợp, người ta xét đến lớp mở rộng (1), có dạng (2) d oa ∈ f (p, x) + T (x), an lu f : (p, x) ∈ Rk × Ω −→ Rn , T (1) Mục tiêu chủ yếu nghiên nf va cứu tập nghiệm (giải theo biến thứ hai x) (2) p gần giá trị sở p0 lm ul Một trường hợp riêng (2) trường hợp đặc biệt T lấy toán z at nh oi tử vi phân ∂ψC [2, Section 23] tương ứng với hàm tiêu tập lồi đóng C ⊂ Rn Nhắc lại hàm ψC xác định ( 0, x ∈ C z ψC (x) := x ∈ / C Điều cho ta phương trình suy rộng đặc biệt co (3) m ∈ f (p, x) + ∂ψC (x) l gm @ +∞, an Lu Về mặt trực quan hình học, bao hàm thức dẫn đến −f (p, x) pháp vec tơ tập lồi C x Nhiều toán quy hoạch toán học, toán n va ac th si bù, toán kinh tế dạng khác mà ta biểu diễn thành (3) Chẳng hạn, xét toán bù phi tuyến F (x) ∈ K ∗ , x ∈ K, hx, F (x)i = 0, (4) đó, F : Rn → Rn , K nón lồi đa diện khác rỗng Rn K ∗ := {y ∈ Rn | hy, ki ≥ với k ∈ K}, viết lại thành ∈ F (x) + ∂ψK (x) lu an Người đọc quan tâm đến lớp toán bù phi tuyến (với K = Rn+ ), n va tham khảo thêm [3, 4, 5, 6] Điều kiện cần Kuhn-Tucker cho quy hoạch tn to toán học [5] dạng đặc biệt (4) Thật vậy, xét toán gh θ(y) (5) p ie với ràng buộc g(y) ≤ 0, h(y) = 0, nl w θ, g h hàm khả vi từ Rm đến R, Rq Rr theo thứ tự Khi đó, d oa điều kiện cần tối ưu Kuhn-Tucker tương ứng lu ∇gi (y)ui + i=1 r X ∇hj (y)vj = 0, j=1 nf va an ∇θ(y) + m X g(y) ≤ 0, hu, g(y)i = 0, z at nh oi lm ul u ≥ 0, h(y) = 0, kí hiệu ∇ϕ ánh xạ gradient hàm số khả vi ϕ Ta viết lại z r dạng (4) cách lấy n = m + q + r, K = Rm × Rm + × R , x = (y, u, v)   −g(y)    m co l −h(y) gm @ ∇θ(y) + g (y)∗ (u) + h0 (y)∗ (v)  F (x) =   (tương ứng h0 (y)) an Lu với g (y)∗ (tương ứng h0 (y)∗ ) toán tử liên hợp ứng với ánh xạ tuyến tính g (y) n va ac th si Luận văn nhằm trình bày lại số kết liên quan đến dáng điệu nghiệm toán(2) số ứng dụng quan trọng chúng lĩnh vực liên quan Về mặt nội dung, luận văn chia thành chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi hệ thống hóa lại kiến thức sở giải tích đại số Rn , khái niệm định nghĩa để triển khai luận văn sau Chương Phương trình suy rộng nghiệm chúng Chương chúng tơi trình bày kết luận văn, phương trình suy rộng dáng điệu nghiệm chúng (tiêu biểu Định lý 2.1) Tiếp lu an theo, xem xét lớp ánh xạ đa trị quan trọng đảm bảo số va tính chất cần thiết Định lý 2.1 Phần cuối số ứng dụng n trường hợp phương trình suy rộng tuyến tính Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng từ kết ie gh tn to Chương Một số ứng dụng p Chương 2, ứng dụng điều kiện đủ cấp hai, tìm nghiệm nhiễu toán quy hoạch phi tuyến, điều kiện Lipschitz số ứng dụng khác w oa nl Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Vũ d Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người tận tình giúp đỡ an lu để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân nf va thành cảm ơn q thầy khoa Tốn Thống kê, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao lm ul học Tốn khóa 21 tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập z at nh oi nghiên cứu Nhân tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn z Cuối tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo @ co l chủ đề có liên quan gm hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu m Tác giả an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Khơng gian Rn Rm×n n va 1.1 to tn Mục hệ thống hóa số khái niệm ký hiệu liên quan đến không ie gh gian Ơclit thực Như thường lệ, ta viết Rn để không gian gồm véc tơ p thực n chiều (quy ước viết dạng cột) Rm×n khơng gian ma trận thực w cỡ m × n Với ma trận M ký hiệu M T ma trận chuyển vị M Nếu oa nl M T = M ta nói ma trận đối xứng M nửa xác định dương xT M x ≥ với véc tơ x Cuối cùng, M xác định dương xT M x > x 6= d an lu Cho trước hai véc tơ xT = (x1 , x2 , , xn ) y T = (y1 , y2 , , yn ) Rn , tích nf va vơ hướng chúng xác định theo biểu thức lm ul hx, yi := xT y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn z at nh oi Khi đó, chuẩn Ơclit tương ứng hàm số k·k : Rn −→ R cho kxk = p hx, xi z p @ Với ma trận A cỡ m × n đại lượng kAk := λmax (AT A) gọi chuẩn phổ gm A, λmax (AT A) ký hiệu cho giá trị riêng lớn ma trận đối xứng co l AT A Phép toán lấy tích vơ hướng lấy chuẩn có số tính chất sau [7] m an Lu i) hAx, yi = hx, AT yi (hay viết tương đương theo phép toán ma trận xT Ay = y T AT x); n va ac th si ii) kABk ≤ kAkkBk; kAxk ≤ kAkkxk; 2hAx, yi ≤ kAxk2 + kyk2 Trong phần sau đây, cần đến số khái niệm tôpô [8] Cho trước x ∈ Rn số thực r > Hình cầu mở tâm x bán kính r tập hợp B(x, r) = {y ∈ Rn : ky − xk < r} Tương tự, hình cầu đóng tâm x bán kính r định nghĩa sau ¯ r) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ r} B(x, Tập hợp S ⊂ Rn gọi mở điểm thuộc S điểm trong, nghĩa lu ¯ r) x bao hàm S Tập với điểm x ∈ S tồn lân cận B(x, an va ¯ r) hợp S gọi tập đóng ứng với x ∈ / S tồn lân cận B(x, n x không chứa điểm thuộc tập S to tn Cho ánh xạ f : Ω ⊂ Rn −→ Rm f gọi liên tục x ∈ Ω với dãy gh (xk ) ⊂ Ω hội tụ x ta có limk→∞ f (xk ) = f (x) Ánh xạ f gọi Lipschitz p ie tập hợp Ω0 ⊂ Ω tương ứng với số L > ∀x, y ∈ Ω0 oa nl w kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk, d Ta nói hàm f khả vi Fréchet điểm x Ω tồn ánh xạ tuyến an lu tính f (x) : Rn −→ Rm , thỏa mãn [9] nf va kf (x + h) − f (x) − f (x)(h)k = khk khk→0 lim lm ul z at nh oi Ánh xạ f (x) gọi đạo hàm Fréchet f x Khi Jacobian f x ma trận ánh xạ tuyến tính f (x) Các phần tử ma trận đạo hàm riêng thành phần f lấy theo biến tương z ứng từ x đến S định nghĩa d(x, S) := inf{kx − yk | y ∈ S}, m co l gm @ Cho S ⊂ Rn khác rỗng, x ∈ Rn điểm Hàm khoảng cách an Lu với quy ước d(x, ∅) = +∞ Với S 6= ∅ hàm d(·, S) Lipschitz với số L = 1.[10] n va ac th si Hình 1.1: Tính chất Lipschitz khoảng X 1.2 Cơ sở giải tích đa trị Một ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm hiểu ánh xạ từ Rn vào tập hợp gồm tập Rm Đồ thị gph F , miền hữu hiệu dom F miền ảnh rge F lu an ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng xác định biểu thức [11] va n gphF = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)}, to tn domF = {x ∈ Rn | F (x) 6= ∅}, p ie gh rgeF = {y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn cho y ∈ F (x)} nl quy tắc w Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm xác định ∀y ∈ Rm d oa F −1 (y) = {x ∈ Rn | y ∈ F (x)}, lu nf va F : Rn ⇒ Rm an Định nghĩa 1.1 (Tính liên tục ánh xạ đa trị [11]) Xét ánh xạ đa trị lm ul • Ta nói F nửa liên tục x¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Rm z at nh oi thỏa mãn F (¯ x) ⊂ V tồn lân cận mở U ⊂ Rn x¯ cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U z liên tục l gm @ Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F , F gọi nửa m co • Ta nói F nửa liên tục x¯ ∈ dom F với tập mở V ⊂ Rm thỏa mãn F (¯ x) ∩ V 6= ∅ tồn lân cận mở U x¯ cho an Lu F (x) ∩ U 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF n va ac th si Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F , F gọi nửa liên tục • Ta nói F liên tục x¯ ∈ dom F F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x¯ Nếu F liên tục điểm thuộc dom F , F gọi liên tục Ví dụ 1.2 Xét ánh xạ đa trị: lu     {0} F (x) = [-1, 1]    {1} x0 an va n từ R vào R nửa liên tục R không nửa liên tục p ie gh tn to x¯ = Như vậy, F liên tục R ( Hình 1.2) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ Hình 1.2: Đồ thị F (x) co Định nghĩa 1.3 [11] Ta nói ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm Lipschitz (địa m phương) (hoặc gần) x¯ với mô-đun l (U.L l), tồn l > δ > ¯ F (x) ⊂ F (¯ x) + lkx − x¯kB an Lu cho n va ac th si 36 thấy LM khơng có giá trị đơn gần p0 bao hàm LM P chặt chẽ Xét toán quy hoạch toàn phương 2 (x1 − x2 ) − ηx1 , −x1 + 2x2 ≤ 0, Với ràng buộc −x1 − 2x2 ≤ 0, Trong η tham số Cho η = tốn có cực tiểu gốc tọa độ; với η > có cực tiểu địa phương 23 η(2, ±1) điểm yên ngựa (η, 0).Vì trường hợp LM ánh xạ đa trị ngặt SP η > lu an 3.4 Điều kiện Lipschitz trường va n hợp đa diện tn to gh Định lý 3.11 [21] Cho F hàm liên tục, khả vi Fréchet từ tập lồi p ie mở Ψ ⊂ Rn đến Rn Cho R ánh xạ đa trị đa diện từ Rn đến Rn , định nl w nghĩa H := F + R Cho x0 ∈ Ψ x ∈ Rn , định nghĩa d oa LFx0 (x) := F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) lu nf va an Giả sử có tập compact X0 ⊂ Ψ cho i) Với x0 x1 thuộc X0 , hạn chế LFx0 LFx1 đến X0 giống ii) Với γ > x0 ∈ X0 , z at nh oi lm ul Xγ ∩ (LFx0 + R)−1 (0) = X0 ; z gm @ Xγ := X0 + γB ⊂ Ψ m co phương 0, với (H −1 ∩ Xδ )(0) = X0 l Khi có số δ > cho ánh xạ đa trị H −1 ∩ Xδ Lipschitz địa an Lu Chứng minh Cho x0 ∈ X0 , định nghĩa Tx0 để (LFx0 + R)−1 Đặt  := 21 γ Đầu tiên chứng minh tồn số λ số dương n va ac th si 37 η cho với x0 ∈ X0 , Tx0 ∩ X Lipschitz ηB với mô-đun λ Chọn x0 ∈ X0 ; tổng LFX0 + R đa diện, [35, Proposition 1], với số λ(x0 ) η(x0 ) > cho Tx0 Lipschitz η(x0 )B với mô-đun λ(x0 ) Nếu ta lấy η(x0 ) đủ nhỏ, theo đó, (Tx0 ∩ X )(0) = X0 hàm đa trị Tx0 ∩ X Lipschitz η(x0 )B với mô-đun λ(x0 ) Bây giờ, sử dụng giả thiết liên tục, chọn lân cận N0 x0 đủ nhỏ cho với x ∈ X0 ∩ N0 , (a) λ(x0 )kF (x) − F (x0 )k < 12 , lu (b) Với x0 ∈ X , kLFx0 (x0 ) − LFx (x0 )k ≤ 21 η(x0 ) an va Chọn x ∈ X0 ∩ N0 q ∈ 12 η(x0 )B Nếu w ∈ (Tx ∩ X )(q), w ∈ X tương n tự to gh tn q ∈ LFx (w) + R(w), ie p q + LFx0 (w) − LFx (w) ∈ LFx0 (w) + R(w) nl w nf va an lu Tuy nhiên, d oa w ∈ (Tx0 ∩ X )[q + LFx0 (w) − LFx (w)] z at nh oi lm ul kq + LFx0 (w) − LFx (w)k ≤ kqk + kLFx0 (w) − LFx (w)k 1 ≤ η(x0 ) + η(x0 ) = η(x0 ), 2 Vì tính liên tục Lipschitz ta có w ∈ X0 + λ(x0 )kq + LFx0 (w) − LFx (w)kB z @ co l x0 , x, x1 ∈ X0 , ta có LFx0 (x1 ) = LFx (x1 ) Do gm Bây đặt x1 điểm X0 với d(w, X0 ) = kw − x1 k Bởi giả thuyết m kLFx0 (w) − LFx (w)k = kLFx0 (x1 ) − LFx (x1 ) + [F (x0 ) − F (x)](w − x1 )k an Lu ≤ kF (x0 ) − F (x)kkw − x1 k n va ac th si 38 d(w, X0 ) ≤ λ(x0 )kqk + λ(x0 )kF (x0 ) − F (x)kkw − x1 k ≤ λ(x0 )kqk + d[w, X0 ] d(w, X0 ) ≤ 2λ(x0 )kpk, (Tx ∩ X )(q) ⊂ (Tx ∩ X )(0) + 2λ(x0 )kqk, lu Điều cho thấy Tx ∩ X Lipschitz 12 η(x0 )B với mô-đun 2λ(x0 ) an Bây giờ, với λ η > 0, với x ∈ X0 , Tx ∩ X Lipschitz ηB với n va mô-đun λ cho β ≤ δ , với y ∈ Xγ z ∈ X0 với ky − zk ≤ δ , gh tn to Từ giả thiết liên tục compact, ta chọn đối số < δ ≤ min{, η} p ie max{1, λkF (y) − F (z) − F (z)(y − z)k ≤ ky − zk nl w Bây chọn q ∈ 21 ηB đặt x ∈ (H −1 ∩ Xδ )(q) Khi q ∈ F (x) + R(x), d oa x1 ∈ X0 với kx − x1 k = d[x − x0 ] ta có nf va an lu q + LFx1 (x) − F (x) ∈ LFx1 (x) + R(x) x ∈ (Tx1 ∩ X )[q + LFx1 (x) − F (x)] Tuy nhiên lm ul z at nh oi kq + LFx1 (x) − F (x)k ≤ kqk + kx − x1 k 1 ≤ η+ η≤η 2 Vì tính Lipschitz liên tục Tx1 ∩ X , z nghĩa (3.21) n va (H −1 ∩ Xδ )(q) ⊂ X0 + 2λkqkB an Lu Do m d(x, X0 ) ≤ 2λkqk co l gm @ d[x, X0 ] ≤ λkqk + d[x, X0 ] ac th si 39 với q ∈ 12 ηB Bây đặt x0 ∈ X0 Bởi giả thuyết ∈ (Fx0 + R)(x0 ) = F (x0 ) + R(x0 ) = H(x0 ), Vì X0 ⊂ (B −1 ∩ Xδ )(0) Mặt khác, áp dụng (3.21) với q = ta thấy (H −1 ∩ Xδ )(0) ⊂ X0 , (H −1 ∩ Xδ (0) = X0 H −1 ∩ Xδ Lipschitz ηB với mô-đun 2λ Chứng minh hoàn thành Nhận xét 3.12 Kết cho phép đo chuyển vị điểm dừng x nhân tử u hàm đạo hàm toán nhiễu Chúng ta lu cho thấy điều tiến hành đo lường dịch chuyển đơn giản an trường hợp hàm liên quan Lipschitz p Theo đó, ta viết U0 thay va n U (x0 , p0 ) làm phần 3.2 gh tn to Định lý 3.13 [21] Giả sử giả thuyết Định lý 3.9 , giả sử C Q đa diện Khi lấy lân cận N7 p0 số µ cho với ie p p ∈ N7 , x ∈ SP (p) u ∈ U (x, p), nl w d[(x, u), x0 ì U0 ] àd[0, F (x, u, p0 ) + ∂ψC×Q (x, p)] (3.22) d oa ≤ µkF (x, u, p0 ) − F (x, u, p)k nf va an lu " lm ul F (x, u, p) := f (x, p) + g (x, p) ∗ u # −g(x, p) z at nh oi Chứng minh Chúng ta áp dụng Định lý (3.11) đến hàm F (x, u) cho F (x, u, p0 ) Ta lấy R = ∂ψC×Q lựa chọn cho X0 , ta lấy tập {X0 } × U0 , để ψ = Ω × Rm z @ Để kiểm chứng giả thuyết (i), chứng minh u0 , u1 , u2 ∈ U0 , gm co l LF(x0 ,u0 ) (x0 , u2 ) = LF(x0 ,u1 ) (x0 , u2 ) m Tuy nhiên, tính tốn đại số cho thấy đại lượng " # n va −g(x0 , p0 ) an Lu f (x0 , p0 ) + g (x0 , p0 ) ∗ u2 ac th si 40 Vì (i) thỏa mãn Đối với giả thuyết (ii), ta giả sử u0 ∈ U0 số x u, ∈ (LF(x0 ,u0 ) + ∂ψC×Q (x, u) Khi x điểm dừng u nhân tử liên hợp x, tốn quy hoạch tồn phương (cf (3.6)): f (x0 , p0 )(x − x0 ) + 12 hx − x0 , L”(x0 , u0 , p0 )(x − x0 )i Với ràng buộc g(x0 , p0 ) + g (x0 , p0 )(x − x0 ) ∈ Qo , (3.23) x∈C Tuy nhiên (3.23) thỏa mãn điều kện đủ cấp hai (tại x0 bội số nó, mơ-đun phụ thuộc vào bội số), ràng buộc quy; hai tính chất tương tự với tính chất toán phi tuyến (3.11) Bởi vậy, ý lu an với u0 ∈ Rm ta thay (3.23) hàm mục tiêu: va n f (x0 , p0 )(x − x0 ) + 12 hx − x0 , L”(x0 , u0 , p0 )(x − x0 )i to tn = f (x0 , p0 )(x − x0 ) + 12 hx − x0 , L”(x0 , u0 , p0 )(x − x0 )i m P (u0 − u0 )i g”i (x0 , p0 )](x − x0 )i i=1 p ie gh + 21 hx − x0 , [ Khi số ngoặc vng ma trận đối xứng n × n nhỏ u0 đóng với nl w u0 Áp dụng Định lý 3.5, ta kết luận lân cận M4 (x0 ) , phụ thuộc vào u0 , d oa cho với u0 dần đến u0 , cặp (x, u) với ∈ [LFx0 ,u0 ) + ∂ψC×Q ](x, u), lu x ∈ / M4 x = x0 Một đối số sơ cấp từ tập compact U0 (Định nf va an lý 3.4) M4 độc lập với u0 Nếu ta lấy λ đủ nhỏ cho x0 + λB ⊂ M4 , với U0 ∈ U0 , lm ul (x, u) ∈ Xγ ∩ [LF(x0 ,u0 ) + ∂C×Q ]−1 (0), z at nh oi x ∈ M4 , x = x0 , u ∈ U0 cách kiểm tra Mặt khác u1 ∈ U0 , rõ ràng (x0 , u1 ) ∈ Xγ , ta kiểm tra lại ∈ LF(x0 ,u0 ) (x0 , u1 ) + z ∂ψC×Q (x0 , u1 ) Theo ta có, với u0 ∈ U0 , gm @ Xγ ∩ [LF(x0 ,u0 ) + ∂ψC×Q ]−1 (0) = x0 × U0 = X0 co l Vì giả thiết (ii) Định lý 3.11 thỏa mãn Và ta kết luận an Lu n va [(F (·, ·, p0 ) + ∂ψC×Q ]−1 ∩ Xγ m với δ > hình cầu W Rn+m , ánh xạ đa trị ac th si 41 Lipschitz W với [(F (·, ·, p0 ) + ∂ψC×Q ]−1 ∩ Xγ ](0) = x0 × U0 Lấy mơ-đun Lipschitz µ Vì SP U nửa liên tục Định lý 3.4, ta tìm lân cận N7 (p0 ) M5 (x0 ) cho M5 ⊂ x0 + δB (a) Với x ∈ M5 p ∈ N7 , U (x, p) ⊂ U0 + δB ; (b) Với p ∈ N7 , SP (p) ⊂ M5 ; lu an (c) Với x ∈ M5 p ∈ N7 u ∈ U (x, p), va n F (x, u, p0 ) − F (x, u, p) ∈ W tn to ie gh Chọn p ∈ N7 , x ∈ SP (p) u ∈ U (x, p) Khi (x, u) ∈ Xδ (a) (b), ta p lấy v hình chiếu gốc tọa độ F (x, u, p0 ) + ∂ψC×Q , từ (3.12) ta w có d oa nl ∈ F (x, u, p) + ∂ψC×Q (x, u), lu nf va an F (x, u, p0 ) − F (x, u, p) ∈ F (x, u, p0 ) + ∂ψC×Q (x, u); Do kvk ≤ kF (x, u, p0 ) − F (x, u, p)k v ∈ W Khi lm ul −1 (x, u) ∈ [F (·, ·, p0 ) + ∂ψC×Q ∩ Xδ ](v), z at nh oi tính liên tục Lipschitz ta có z d[(x, u), {x0 } × U0 ] ≤ µkvk = µd[0, F (x, u, p0 ) + ∂ψC×Q (x, u)] co l chứng minh hồn thành gm @ ≤ µkF (x, u, p0 ) − F (x, p, u)k, m Nhận xét 3.14 Ràng buộc (3.22) đơn giản ta xây dựng giả an Lu thuyết nhiễu tốt n va ac th si 42 Hệ 3.15 [21] Giả sử giả thuyết Định lý 3.13 Giả sử P tập khơng gian tuyến tính, f , g, g Lipschitz Ω × P Khi với số λ giới hạn (3.22) thay d((x, u), {x0 } × U0 ) ≤ λkp − p0 k (3.24) Chứng minh Với số liệu (3.22) ta có, " F (x, u, p0 ) − F (x, u, p) = [f (x, p0 ) − f (x, p)] + [g (x, p0 ) − g (x, p)]∗ u # −[g(x, p0 ) − g(x, p)] Do x ∈ SP (p) nên gần x0 , u giới hạn đồng (x, p) gần (x0 , p0 ), lu an ta thấy với L, va n kF (x, u, p0 ) − F (x, u, p)k ≤ Lkp − p0 k, tn to Và từ (3.22) ta có (3.24) ie gh p Nhận xét 3.16 Ràng buộc (3.24) áp dụng để tính khoảng cách từ x đến điểm w x0 , từ u đến tập U0 Sẽ tốt ta thêm giả thiết SP hàm đơn trị oa nl lân cận p0 , ta thiết lập tính chất mạnh liên tục Lipschitz địa phương Suy đốn vây khuyến khích tồn d an lu số kết biết dường theo hướng Ví dụ, Kojima cho thấy [36] rằng, toán đặc biệt (3.2) điều kiện đủ cấp hai mạnh nf va Định nghĩa 3.1, kết hợp với tính quy ràng buộc, nghĩa SP đơn trị lm ul liên tục gần p0 Ta thấy [26] ràng buộc định tính củng z at nh oi cố từ giả thiết quy sử dụng (và Kojima) hướng ràng buộc liên kết độc lập tuyến tính, SP Lipschitz địa phương thực p0 Sự thật thúc đẩy câu hỏi tự nhiên sau đây: Ta kết z hợp ràng buộc định tính điều kiện đủ cấp hai cách hợp lý ,khi SP @ gm LM hàm đơn trị, Lipschitz địa phương p0 hay khơng? l Ta cho ví dụ cho thấy ràng buộc định tính mạnh ràng co buộc quy, có khả kết hợp với điều kiện đủ cấp hai mạnh nhất, m câu trả lời cho câu hỏi không Đặc biệt, nghiên cứu an Lu tốn hình chiếu gốc tọa độ lên đa giác lồi biểu diễn cực tiểu tập ràng buộc tuyến tính, ta thấy nghiệm n va ac th si 43 tốn khơng Lipschitz với nhiễu nhỏ ràng buộc Để làm rõ chất ví dụ này, ta giải thích thuật ngữ cực tiểu đại diện Một tập ràng buộc tuyến tính m( đẳng thức bất đẳng thức), với n biến gọi cực tiểu đại diện đa giác lồi S ⊂ Rn :(i) S tập nghiệm ràng buộc, (ii) khơng có tập nghiệm ràng buộc tuyến tính m Rn nhỏ S Một số tác giả nghiên cứu ý tưởng này; Bài viết Telgen [37] giải thích đưa đại diện Kết [37] nói tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính cực tiểu đại diện quy khơng chứa bất đẳng thức dư thừa( Có bất đẳng thức riêng lẻ xóa mà khơng làm thay đổi tập lu an nghiệm) Vì yêu cầu cực tiểu đại diện mạnh ràng buộc định tính va ràng buộc quy n Ví dụ, xét họ đa giác lồi S(b, c) định nghĩa với cặp (b, c) gh tn to số thực hệ tuyến tính A(b)x ≥ a(c) , đó: p ie  oa nl w  0 A(b) :=   −1  1      , a(c) :=   1        −1 1 0    b 1+c d an lu kiểm tra S(0, 0) tập {x × R4 | x3 ≥ + max(|x1 |, |x2 |)}, cực nf va tiểu đại diện hệ A(0) ≥ a(0) Bây giờ, hình chiếu gốc tọa độ S(b, c) nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi 2 kxk z at nh oi (QP (b, c)) lm ul Với ràng buộc A(b)x ≥ a(c) Tất nhiên, hàm mục tiêu QP (b, c) dạng bậc hai xác định dương Tuy nhiên, z ta xét véc tơ: gm @ x(b, c) := (0, 0, 1, 0)T + cb−1 (0, 0, 0, 1)T l an Lu Ta thấy với b > ≤ c ≤ 12 b2 , m co u(b, c) := (0.5, 0.5, 0, 0)T + cb−2 (−1, −1, 1, 1)T n va ac th si 44 A(b)x(b, c) = a(c), (3.25) x(b, c) = u(b, c)A(b), u(b, c) ≥ Điều kiện (3.25) cho thấy x(b, c) nghiệm QP (b, c), mặt khác , rõ ràng với b > c1 , c2 ∈ [0, 21 b2 ], kx(b, c1 ) − x(b, c2 )k = b−1 |c1 − c2 | = b−1 k[A(b), a(c1 )] − [A(b), a(c2 )]k, lu chuẩn [A, a] tính cách lấy bậc hai tổng bình phương an thành phần Điều nghĩa nghiệm QP (b, c) xem hàm va n [A, a], khơng Lipschitz lân cận [A(0), a(0)] Điều giải tn to phủ định dự đoán Daniel [18] mâu thuẫn với kết gh phát biểu Levitin [33, Theorem 4] Một trước ví dụ p ie truyền đạt đến Levitin với yêu cầu làm rõ tác giả vào năm 1977, d oa nl w đến năm 1980 không nhận hồi âm nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 Kết luận Trong luận văn này, trình bày số nội dung sau dựa theo tài liệu [1] [21]: lu an va • Khảo sát phương trình suy rộng dáng điệu nghiệm chúng, kết n chủ chốt liên quan đến chủ đề bao gồm Định lý 2.1 Mệnh đề 2.3 diện ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định phương trình suy rộng p ie gh tn to • Xem xét kết từ Định lý 2.1 Mệnh đề 2.3 trường hợp ánh xạ đa w tuyến tính d oa nl • Ứng dụng phương trình suy rộng tuyến tính quy hoạch phi tuyến nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 Tài liệu tham khảo [1] S M Robinson, "Generalized equations and their solutions, Part I: Basic Theory", Mathematical Programming study 10 (1979), 128-141 lu an [2] R T Rockafellar , convex analysis (Priceton University Press, Princeton, va n NJ, 1970) tn to [3] R W Cottle, "Nonlinear programs with postively bounded Jacobians , p ie gh SIAM Journal on Applied Mathematics 14 (1966) 147 - 158 w [4] G B Dantzig and R W Cottle ,"Positive (semi-) definite programming", oa nl in: J Abadie, ed., Nonlinear programming ( North- Holland, Asterdam, 1968) 55-73 d lu nf va 1969) an [5] O L Mangasarian, Nonlinear programming (McGraw-Hill, New York, lm ul [6] J.J Moré ,"Classes of functions and feasibility conditions in non linear com- z at nh oi plementarity problems", Mathematical Programming (1974) 327-338 [7] Phan Thanh Nam, "BÀI TẬP THỰC HÀNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH",BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ (Bình Định- 2015) z @ l gm [8] C Berge, Topological spaces ( Macmilan, New York, 1963) [9] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu, "Techniques of Variational Analysis", m co (Springer-Verlag New York) an Lu [10] R T Rockafellar and Roger J-B Wets, "Variational Analysis",With figure drawn by Maria Wets (1997, 2nd printing 2004, 3rd printing 2009) n va ac th si 47 [11] Nguyễn Đơng n, Giáo trình giải tích đa trị (NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, 2007) [12] Dattorro, Convex Optimization and Euclidean Distance Geometry (Meβ oo, 2005, v2009.10.28) [13] S Kakutani, " A generalization of Brouwer’s fixed point theorem", Duke Mathematical Journal (1941) 457-459 [14] H Nikaido, Convex structures and economic theory (Academic Press, New York and London,1968) lu an [15] H Brézis , Opérateurs maximaux monotones ( North- Holland, Asterdam, va 1973) n Michigan Mathematical Journal 16 (1969) 397-407 p ie gh tn to [16] R T Rockafellar "Local boundedness of nonlinear, monotone operators", [17] S M Robinson, "An implicit-function theorem for generalized variational nl w inequalities", Technical Summary (Report No 1672, Mathematics Research d oa Center, University of Wisconsin-Madison, 1976; available from Nationnal an lu Technical Information Service under Accession No ADA031952) nf va [18] J.W Daniel, " Stability of the solution of definite quadratic programs", Mathematical Programming (1973) 41-53 lm ul z at nh oi [19] S M Robinson, "A characterization of stability in linear programming", Operation Research 25 (1977), 435-447 [20] S M Robinson, "Stability theory for systems of inequalities Part II: Dif- z (1976), 497-513 l gm @ ferentiable nonlinear systems", SIAM Journal on Numerical Analysis 13 m co [21] S M Robinson, "Generalized equations and their solutions, Part II: Applications to nonlinear programming", Mathematical Programming study 19 an Lu (1982), 200-221 n va ac th si 48 [22] A.V Fiacco and G.P McCormick, Nonlinear programming: Sequential unconstrained minimization techniques (Wiley, New York, 1968) [23] M Guignard, "Generalized Kuhn-Tucker conditions for mathematical programming problems in a Banach space’, SIAM Journal on control (1969) 232-241 [24] H Maurer and J Zowe, "First and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems",Mathematical Programming, 16 (1975) 1354-1358 lu [25] H Maurer, "First and second-order necessary and sufficient optimality con- an va ditions in mathematical programming and optimal control",Schriftenreihe n des Rechenzentrums Der Universitaăt Muă nster Ne 38, (August 1979) tn to [26] S M Robinson, "Strongly regular generalized equations", Mathematics of p ie gh Operation Research (1980), 754-76943-62 [27] N H Josephy, "Newton’s method for generalized equations" Technical Sum- w oa nl mary Report No., 1965, Mathematics Research Center, University of Wis- d consin, Madison, WI (June 1979) lu nf va an [28] R B Wilson , "A simplicial algorithm for concave programming", Dissertation, Graduate School of Business Administration, Havard University, lm ul Boston, MA (1963) z at nh oi [29] S P Han and O L Mangasarian, "Exact penalty functions in nonlinear programming", Mathematical Programming 17 (1979) 251-269 z [30] S M Robinson, "First order conditions for general nonlinear optimization", @ SIAM Journal on Applied Mathematics 30 (1976), 597-607 l gm [31] O.L Mangasarian and S Fromovitz, "The Fritz John necessary optimality co conditions in the presence of equality and inequality constraints", Journal m an Lu of Mathematical Analysis and Applications 17 (1967) 37-47 n va ac th si i [32] S M Robinson, "Stability theory for systems of inequalities Part I: Linear Systems", SIAM Journal on Numerical Analysis 12 (1975), 754-769 [33] E S Levitin, "On the local perturbation theory of the problem of mathematical programming in a Banach space, Soviet Mathematics Doklady 16 (1975) 1354-1358 [34] J Gauvin, "A necessary and suffiient regulatity condition to have bounded multipliers in non convex programming", Mathematical Programming 12 (1977) 136-138 lu [35] S M Robinson, "Some cotinuity properties of polyhedral multifunctions", an n va Mathematical programming Study 14 (1981), 206-214 tn to [36] M Kojima, "Strongly stable stationary solutions in nonnlinear programs",in S.M Robinson,ed., Analysis and computation of fixed points.(Academic p ie gh Press, New York, 1980) pp 93-138 [37] J Telgen , "Minimal representation of convex polyhedral sets", Working w oa nl paper No 88, College of Business Administration, Havard University of d Tenessee, Knoxville,TN (February 1980) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si