(Luận văn) một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của đa thức ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN w Chuyên ngành: Toán Giải tích d oa nl Mã số: 8460102 nf va an lu lm ul Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CÔNG TRÌNH z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Lê Công Trình, thầy trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt thời gian qua Cảm ơn thầy dẫn tận tình, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành luận văn Chúng tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy chúng tơi, đặc biệt thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ tận tình, truyền đạt kiến thức lu quý báu suốt hai năm học tập vừa qua an Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn va n tập thể lớp Cao học Tốn học khóa 22 ln động viên, giúp đỡ gh tn to suốt trình học tập thực luận văn Vì kiến thức hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi p ie w sai sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận ý kiến thiện d oa nl đóng góp, chỉnh sửa q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn lu nf va an Xin trân trọng cảm ơn z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục lu Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị n va 1.2 Một số kiến thức ma trận 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita 1.2.2 Giá trị riêng ma trận 1.2.3 Ma trận xác định dương nửa xác định dương Chuẩn ma trận p ie gh tn to Một số bất đẳng thức cho số thực w an 1.1 oa nl 1.2.4 Đa thức ma trận biến 1.4 Tích ten-xơ ma trận d 1.3 10 nf va an lu 11 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma lm ul trận đa thức ma trận z at nh oi 2.1 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng z 2.1.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng ma trận vô @ 13 l gm hướng 2.1.2 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận vô hướng 17 co Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận m 2.2 an Lu 26 n va ac th i si ii Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận 29 3.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng 29 3.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Tài liệu tham khảo 40 48 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Giải tích ma trận hướng nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Bất đẳng thức ma trận (còn gọi bất đẳng lu thức ma trận), đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), đối tượng an n va nghiên cứu quan trọng Giải tích ma trận, với nhiều ứng dụng, chẳng hạn tn to tính tốn khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, đặc biệt lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử gh p ie Các đa thức ma trận đa thức biến với hệ số ma trận vng, cịn w gọi λ-ma trận Các đa thức ma trận xem ma trận với hệ tử oa nl đa thức biến số Các vấn đề liên quan đến đa thức ma trận d nghiên cứu nhiều nhà Tốn học có uy tín giới, có nhiều ứng dụng quan lu nf va an trọng Phương trình đạo hàm riêng, Khoa học Kỹ thuật Mục tiêu đề tài nghiên cứu số bất đẳng thức ma trận có hệ tử lm ul số phức (cịn gọi ma trận vơ hướng), đa thức ma trận z at nh oi Ngoài mở đầu, mục lục, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cục thành chương z Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị @ l gm Trong chương trình bày số kiến thức ma trận đa thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận co m văn an Lu Chương 2: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn n va ac th si ma trận đa thức ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tơi tổng hợp trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng Trên sở chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức liên quan lu an đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng Phần tiếp theo, chúng tơi trình bày lại va n số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận gh tn to Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi p ie sai sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận ý kiến thiện oa nl w đóng góp, chỉnh sửa quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp để luận văn hồn d Bình Định, tháng năm 2021 lu nf va an Học viên z at nh oi lm ul Trần Ngọc Thanh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận đa an n va thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận tn to văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [3], [5], [7], [9], [12] Một số bất đẳng thức cho số thực p ie gh 1.1 w Cho véc tơ thực x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ta xếp thành phần véc tơ d oa nl theo thứ tự giảm dần sau x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] an lu Định nghĩa 1.1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , nf va k X x[i] ≤ y[i] , k = 1, 2, , n i=1 lm ul i=1 k X ta nói x trội yếu y ký hiệu x ≺w y Pn i=1 xi = Pn z at nh oi Nếu x ≺w y i=1 yi ta nói x trội y ký hiệu x ≺ y Định nghĩa 1.1.2 Cho x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) số không z @ âm Nếu i=1 y[i] , k = 1, 2, , n i=1 Qn i=1 xi = Qn i=1 yi ta nói x log-trội y ký hiệu ac th n va x ≺log y an Lu Nếu x ≺wlog y m ta nói x log-trội yếu y ký hiệu x ≺wlog y co l x[i] ≤ k Y gm k Y si nh lý 1.1.3 (Bt ng thc Hăolder (Hardy, Littlewood Polya (1952, trang 22))) Cho số thực dương xij αj cho α1 + α2 + · · · + αm = với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Khi m n Y X i=1 ! xij ≤ (xij )1/αj j=1 j=1 #αj " n m X Y i=1 Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Minkowski (xem Marshall Olkin (1979, trang 459))) Cho x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn số thực tùy ý p số thực dương Khi lu n X !1/p an |xk + yk |p ≤ k=1 n X !1/p |xk |p n X + !1/p |yk |p k=1 k=1 n va Một số kiến thức ma trận gh tn to 1.2 Trong toàn luận văn, ma trận vô hướng xét ma trận vuông cấp p ie n với hạng tử số phức Không gian ma trận phức cấp n kí hiệu Cn×n oa nl w Cho A = (aij ) ∈ Cn×n , ma trận chuyển vị liên hợp A A∗ = (aji ) Nhắc lại tích d vơ hướng hai véc tơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn định nghĩa an lu hx, yi := n X xi y i nf va i=1 z at nh oi lm ul Chuẩn Euclide véc tơ x = (xi ) ∈ Cn định nghĩa kxk = hx, xi1/2 Tích Hadamard (tích Schur) hai ma trận A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×n , kí hiệu z A ◦ B = (aij bij ) 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita m co l gm @ A ◦ B, định nghĩa sau an Lu Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận Hermite A∗ = A n va ac th si Từ định nghĩa ma trận Hermite ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút hai nhận xét sau Nhận xét 1.2.2 Ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite hAx, yi = hx, Ayi với x, y ∈ Cn Nhận xét 1.2.3 Một ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite A có phần tử đường chéo số thực, phần tử đối xứng qua đường chéo liên hợp lu an Định nghĩa 1.2.4 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận unita va n AA∗ = A∗ A = I to tn  gh  −i p ie Ví dụ A =    ∈ C2×2  −i  1 B =  i 2 −1 + i   3×3 1+i  ∈ C  + i −1 + i w oa nl ma trận unita d Nhận xét 1.2.5 Nếu A ∈ Cn×n ma trận unita A khả nghịch | det A| = an lu Giá trị riêng ma trận nf va 1.2.2 lm ul Định nghĩa 1.2.6 Số phức λ ∈ C gọi giá trị riêng ma trận A ∈ Cn×n z at nh oi tồn véc tơ v ∈ Cn , v 6= cho Av = λv Khi véc tơ v gọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A z gm @ Nhận xét 1.2.7 Nếu v véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A αv xét véc tơ riêng chuẩn hóa, tức kvk = p l véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A Vì svậy, sau ta thường hv, vi = n P co vi ¯ vi = i=1 m an Lu Nhận xét 1.2.8 Phương trình Av = λv ⇔ (A − λI)v = có nghiệm khơng tầm thường v 6= Suy det(A − λI) = Như vậy, giá trị riêng ma trận A n va ac th si 19 có 1 ( a ) + ( ab ) hh, Zhi khk.kZ.hk ≤ b Hệ 2.1.12 Cho Z ∈ Cn×n ma trận xác định dương với hai giá trị riêng lớn nhỏ Z a b Với véc tơ h ∈ C thỏa ||h|| = , ta có 1 ( a ) + ( ab ) kZ.hk ≤ b hh, Zhi 2.2 lu Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận an n va Trong mục chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng Sau kết đa thức ma trận Định lý 2.1.1 ie gh tn to đa thức ma trận p Định lý 2.2.1 ([10, Định lý 3.2.2]) Cho PA (λ) = Pd i=0 Ai λ i đa thức ma trận với nl w Ai ∈ Cn×n ma trận xác định dương Với x, y ∈ Cn×1 thỏa mãn |x| = |y| = x∗ y = Giả sử σ(Ai ) = λi1 , , λini phổ ma trận Ai λi1 ≤ λi2 ≤ ≤ λini , d oa  nf va an lu với i = 0, 1, , d Khi |x∗ PA (λ)y| ≤ K · Chứng minh Ta có d i=0 z at nh oi K = max λini − λi1 λini + λi1 (x∗ PA (|λ|)x)(y ∗ PA (|λ|)y), lm ul  p z d d X X ∗ ∗ i |x PA (λ)y| = x Ai λ y ≤ |x∗ Ai y| · |λ|i @ i=0 m co l gm i=0 an Lu n va ac th si 20 Từ Định lý 2.1.1 ta d X ∗ i |x Ai y||λ| ≤  d  i X λni − λi1 λini + λi1 i=0 i=0 d X ≤K· 1 · (x∗ Ai x) · (y ∗ Ai y) · |λ|i x∗ Ai |λ|i x
12 · (y ∗ Ai |λ|i y) i=0 d X ≤K· ! 12 x∗ Ai |λ|i x d X · i=0 y ∗ Ai |λ|i y i=0 d X x∗ =K· ! 21 ! ! 21 Ai |λ|i y∗ · x d X lu i=0 an Ai |λ|i y i=0 p (x∗ PA (|λ|)x)(y ∗ PA (|λ|)y) n va =K· ! ! 12 gh tn to p ie Sau kết đa thức ma trận Định lý 2.1.2 Định lý 2.2.2 ([10, Định lý 3.2.4]) Cho PA (λ) = Pd i đa thức ma trận nl w i=0 Ai λ oa với Ai ∈ Cn×n ma trận xác định dương Cho x, y ∈ Cn×1 thỏa mãn |x| = |y| = d Gọi σ(Ai ) = {λi1 , , λini } phổ ma trận Ai λi1 ≤ λi2 ≤ ≤ λini , với an lu i = 0, 1, , d Khi nf va K = max λini − λi1 λini + λi1 (d + 1)(x∗ PA (|λ|)x + y ∗ PA (|λ|)y)2 − 4(x∗ PA (|λ|)y)2 , d i=0 Chứng minh Ta có z at nh oi  p lm ul |x∗ PA (λ)x − y ∗ PA (λ)y| ≤ K · z gm @ d d X