(Luận văn) một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH lu an n va gh tn to p ie MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC d oa nl w THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH lu an va n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC tn to p ie gh Đề tài MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC d oa nl w THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI nf va an lu lm ul CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP z at nh oi MÃ SỐ: 8460113 z @ m co l gm Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH an Lu Năm 2020 n va ac th si Mục lục Danh mục chữ viết tắt ký hiệu lu Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng n va 1.1 Hàm lồi số tính chất 1.2 Bất đẳng thức Jensen số bất đẳng thức liên quan 1.3 Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ đồng thức gh tn to ie an thức Jensen bất đẳng thức liên quan p Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ nl w 1.4 12 19 d oa bất đẳng thức lu an Quan hệ trội số bất đẳng thức tam giác thiết lập 26 2.1 Các định nghĩa tính chất liên quan 26 2.2 Quan hệ trội độ dài cạnh số bất đẳng thức liên quan 29 2.2.1 Trong tam giác 29 2.2.2 Trong tam giác cân 34 2.2.3 Trong tam giác tù 35 Quan hệ trội góc số kết 36 2.3.1 Hàm sin 37 2.3.2 Hàm cosin 43 2.3.3 Hàm tang 45 Quan hệ trội yếu tố khác số bất đẳng thức 48 z at nh oi z m co l gm @ an Lu 2.4 lm ul 2.3 nf va từ quan hệ trội n va ac th si 2.4.1 Cạnh góc tam giác 48 2.4.2 Chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác 52 2.4.3 Cạnh, bán kính đường trịn bàng tiếp trung tuyến tam giác 54 Kết luận 56 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Độ dài cạnh tam giác ABC a, b, c a s b c Nửa chu vi tam giác ABC lu an n va Các góc đỉnh tam giác ABC ; hb ; hc Các đường cao tương ứng từ đỉnh A,B,C tam giác ABC R, r Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC ; rb ; rc Bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C ∆ Diện tích tam giác ABC ie gh tn to A, B, C F hàm lồi không giảm (lồi không tăng) miền xác định p nl w F hàm lõm không tăng (lõm không giảm) miền xác định := f paq+ f pbq+ f pcq a b b c c a := + + c a a 2 := pa
bq pb
cq pc
aq2 z at nh oi ° Tam giác cân lm ul c Tam giác tù nf va Q b Tam giác nhọn lu °a d oa Tam giác an P A( F P B) F P C (F P D) p∆q p∆aq p∆oq p∆iq ° f paq F m co l gm 0 k  0, k  8 k 
8 k k @ z k )] k z an Lu pb
cq2 Mk pxq  Mk px; y; z q : pxyz q : [ (xk + y k : minpx; y; z q : maxpx; y; z q log x : loge x n va ac th si Lời nói đầu Bất đẳng thức nội dung khó chương trình tốn trung học phổ thơng, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đặc biệt, lu việc đưa hay chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác, bất an đẳng thức liên hệ đại lượng tam giác như: cạnh, góc, diện tích, bán kính va n đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường khơng dễ dàng Các vấn đề thu hút tn to nhiều người học, làm nghiên cứu toán từ năm trước Cho đến ie gh đề tài đa dạng, nhận quan tâm nhiều người p Chúng ta biết rằng, bất đẳng thức liên quan đến đối tượng áp dụng, quy nl w luật áp dụng liên hệ đa chiều với chuyên ngành Toán khác Do đó, oa vấn đề quan trọng đặt lĩnh vực này, nghiên cứu nguồn gốc, chất d bất đẳng thức hình học tam giác để có góc nhìn tổng quan lu nf va an Hàm lồi, Schur- lồi (tương ứng, lõm; Schur- lõm) lớp hàm có nhiều ứng dụng quan trọng chương trình tốn trung học phổ thông, đặc biệt lm ul ứng dụng việc đề xuất hay chứng minh bất đẳng thức z at nh oi Trong luận văn, nghiên cứu số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt bất đẳng thức Jensen, z bất đẳng thức liên quan áp dụng hàm lồi, hàm Schur-lồi (tương ứng, Schur-lõm) gm @ vào quan hệ trội đại lượng hình học tam giác Trên sở đó, chúng l tơi đề xuất số bất đẳng thức liên quan đến đại lượng tam giác dựa co số hàm lồi (lõm) đặc biệt m Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung an Lu luận văn chúng tơi trình bày chương: n va ac th si Chương Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức, tính chất áp dụng Một số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam giác hàm lồi (tương ứng, lõm) tổng quát, dạng mệnh đề Xen vào đó, số kết đặc biệt, dạng hệ Chương Quan hệ trội số bất đẳng thức tam giác thiết lập từ quan hệ trội Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức trội, định nghĩa lu hàm lồi, quan hệ trội đại lượng hình học tam giác kết an đạt áp dụng hàm lồi cụ thể dạng mệnh đề, hệ va n Đề tài hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình PGS TS tn to Lê Cơng Trình Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, giúp ie gh đỡ hồn thành luận văn p Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học nl w Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán Thống kê quý Thầy Cô d oa giáo giảng dạy lớp cao học Tốn chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 21, an lu tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập nf va nghiên cứu thực đề tài Đồng thời, không quên cảm ơn đến bạn lớp, người thân động viên, đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi thời gian qua lm ul Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, z at nh oi điều kiện thời gian học tập, cơng tác có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng z tơi mong nhận góp ý thẳng thắn, xây dựng quý thầy cô giáo gm @ bạn học viên để luận văn hoàn thiện Học viên m co l Quy Nhơn, tháng 05 năm 2020 an Lu Nguyễn Trường Huynh n va ac th si Chương Bất đẳng thức hình học tam lu giác thiết lập từ bất đẳng thức an n va ie gh tn to Jensen bất đẳng thức liên quan p Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm lồi nl w (tương ứng, lõm) tính chất có liên quan, bất đẳng thức Jensen, số bất đẳng d oa thức sinh từ bất đẳng thức Jensen, với số áp dụng bất đẳng thức nf va giác an lu Jensen để đưa số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam Trong tồn luận văn này, chúng tơi kí hiệu I thay cho Ipa; bq BĐT thay cho Bất lm ul đẳng thức Và cuối chương, trình bày hệ thống số bất đẳng thức z at nh oi hình học tam giác dựa vào hàm lồi đặc biệt Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo [2] [4] luận văn z @ Hàm lồi số tính chất l gm 1.1 P I với cặp số dương α, β thoả mãn y q Ô f pxq  1, ta u có βf py q an Lu f pαx β m x, y co Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f pxq gọi hàm lồi (lồi dưới) I € R với n va ac th si  ” xảy x  y, ta nói hàm số f pxq lồi thực (chặt) I € R Hàm số f pxq gọi hàm lõm (lồi trên) I € R với x, y P I với cặp số dương α, β thoả mãn α β  1, ta có Nếu dấu ” f pαx βy q ¥ αf pxq βf py q Nếu dấu ”  ” xảy x  y, ta nói hàm số f pxq lõm thực (chặt) I € R Tính chất 1.1.1 Với p, q lu fp ¡ 0, ta có an px p pf pxq qy q Ô q p qf py q q n va Tính chất 1.1.2 Nếu f pxq lồi (lõm) I € R g pxq : cf pxq hàm lõm (lồi) tn to I € R c   pc ¡ 0q gh Tính chất 1.1.3 Tổng hữu hạn hàm lồi (lõm) I p ie I € R € R hàm lồi (lõm) nl w Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn hàm lồi) Nếu f pxq khả vi bậc hai I f pxq lồi (lõm) d oa I f pxq ¥ pf pxq Ô 0q trờn I an lu Bt đẳng thức Jensen số bất đẳng thức nf va 1.2 lm ul liên quan z at nh oi Định lý 1.2.1 (BĐT Jensen) Giả sử f hàm lồi tập mở I x1 , x2 , , xn Khi ú ta cú x2 Ô f px1q f p x2 q n gm n xn @
x z f (1.2.1)  x2   xn co l Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy : x1 f pxn q P I  x2   xn ” xảy ac th n va x1  an Lu BĐT (1.2.1) Và với hàm lõm chặt dấu ” m Chú ý 1.2.1 Khi hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại với si Định lý 1.2.2 (BĐT Jensen tổng quát) Cho f hàm liên tục lồi I Nếu x1 , x2 , , xn f pt1 x1 P I t1, t2, , tn P p0; 1q cho t1 t2 x2 tn xn q Ô t1 f px1 q t2 t2 f px2 q  1, ta có tn f pxn q Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy khi: x1 tn (1.2.2)  x2   xn Chú ý 1.2.2 Khi hàm f hàm lõm liên tục tập mở I ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.2) Và với hàm lõm chặt dấu ” x1  x2   xn  ” xảy Hệ 1.2.1 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với xi thuộc I, với lu ri thuộc R , i  1, , n, ta có an n va fp r1 f px1 q r2 f px2 q rn f pxn q r1 x1 r2 x2 rn xn q Ô r1 r2 rn r1 r2 rn tn to Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại gh Hệ 1.2.2 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với xi thuộc I, với p ie ri thuộc R , i  1, , n, ta có r1 x1 r2 x2 rn xn r2 x1 r3 x2 r1 xn q fp q r1 r2 rn r1 r2 rn rn x1 r1 x2 rn
1 xn fp q ¤ f px1q f px2q f pxnq r1 r2 rn d oa nl w fp nf va an lu Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại Hai định lý sau đưa dựa vào BĐT Jensen lm ul Định lý 1.2.3 (M Petrovic) [4] Cho f : r0; 8q Ñ R hàm lồi a, b, c 3f p z at nh oi cạnh tam giác Khi ta có ¸ 2s q Ô f paq Ô f p0q 2f psq (1.2.3) z 8q Ñ R hàm lồi a, b, c cạnh tam giác Khi ta có a c , x  s
a, y  s
b, z  s
c n ac th (1.2.4) va b 2f p0q, an Lu s  ¸ s q Ô f pxq Ô f psq m 3f p co l gm Định lý 1.2.4 Cho f : r0; @ Chú ý 1.2.3 Nếu hàm f hàm lõm ta có BĐT ngược lại với BT (1.2.3) si Hay ? cos 3Ô Du A sin cos A 2.3.3 cos C B C sin 2 π C  , dấu ” sin  ” vế trái xảy A  B  ra, nên ta c iu cn chng minh B Ô  ” vế phải khơng xảy Hàm tang ¥ lồi chặt p0; π2 q Định lý 2.3.2 Hàm F pxq  tank x, với k lu π Định lý 2.3.3 Hàm F pxq  log tanpkxq hàm lõm chặt p0; q lồi chặt 4k π π ; q với k ¡ p 4k an n va k π F pxq  p tan2 kx
1q ¥ 0, với x P p0; q 2 tan kx cos kxtan kx 4k π nên hàm F pxq  log tanpkxq hàm lõm chặt p0; q với k ¡ 4k π π Và tương tự hàm lồi chặt p ; q với k ¡ 4k F pxq  tan kx p ie gh tn to Chứng minh Với F pxq  log tanpkxq, ta có nl w d oa Áp dụng Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, ta kết qu sau lu
tank B Ô tank A2 tank 3q   tan ¥ ta có tank C; B ? tank C ; z at nh oi k Ô tank A lm ul 2q k nf va 1q an Mệnh đề 2.3.12 Cho tam giác ABC, với k A B C tan tan 2 Ô p∆aq (2.3.34) p∆q (2.3.35) p∆aq (2.3.36) z Hệ 2.3.1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, 4q tan tan A B ¥ 9; C ? tan ¥ tan2 C n ac th 45 va tan2 B an Lu 3q tan2 A m B co tan2 ? ¥ 3; C tan2 ¥ 1; tanC l A tanB gm 2q tan2 @ 1q tanA si Mệnh đề 2.3.13 Cho tam giác ABC khơng nhọn, ta ln có tan A tan B C tan ? ¥ 2
Chứng minh Theo Định lý 2.3.2 hàm F pxq  tanx lồi chặt p0; Hơn nữa, theo công thức (2.3.3) ta suy π q p π4 ; π8 ; π8 q   p A2 , B2 , C2 q Khi đó, áp dụng hàm F pxq ta tan A tan B tan lu an Mà n va tan π 2tan π ¥ tan π4 C π 2tan ? 1 ? 2p
1q  2
gh tn to Nên ta điều cần chứng minh p ie Trên số áp dụng với hàm lượng giác với góc thơng thường Ngồi A B C ra, cịn có số BĐT khác góc dạng , , , đồng thức, n n n w   sin An nf va π A   cos n n A tan Ô tan n 3n cos sin B n B tan n cos lm ul C n Ô sin 3n ; pn Ơ 1q C Ô 3cos ; n 3n C π tan   tan n n pn ¥ q cos pn ¥ q  sin nx , ta cú F 2pxq 
n12 sin nx Ô nên F pxq hàm z at nh oi Chứng minh Xét hàm F pxq B n sin an lu sin 2q 3q π n d 1q oa nl Mệnh đề 2.3.14 Cho tam giác ABC n số thực Khi ta ln có lõm Do đó, áp dụng vào trội 2.3.1, ta có BĐT Các BĐT lại z chứng minh tương tự @ ? m an Lu n ac th 46 va 3q ? A B C 3p
2q sin sin sin Ô ; ? 4 4? ? A B C 3p 2q cos cos cos Ô ; 4 4 ? A B C 3p2
3q Ô tan tan tan 4 co 2q ? l 1q gm Hệ 2.3.2 Với n  4, ta si Chú ý 2.3.3 Chúng ta có BĐT với số đồng thức biết sau 1q ¸ 2q ¸ 3q ¸ 4q    r b c k
r rb rc a2 rb   ¸ k k rc ¸ p4Rqk   ¸ rb ¸ k
r 
r k  ¸ tank p A q; ¸
 rc tan2k p  p4Rqk a2 k a a A q; sin2k p 1¸ 2k  A q; hb r hc k  ¸ cos2k p Nhận xét 2.3.4 Cho ABC tam giỏc bt k vi A Ô B cho B ¤ Q ¤ C ¤ P , nên R ¤ A Vậy ta có A q ¤ C tam giác P QR lu an pA, B, C q   pP, Q, Rq va n tn to có ¤ A ¤ B ¤ π3 ¤ C ¤ π2 , ta π Mệnh đề 2.3.15 Giả sử tam giác ABC thoả ? 3
1 π π π Chứng minh Theo Nhận xét 2.3.4, cho P  , Q  , R  Áp dụng Định lý 2.1.8 x với hàm log sin lõm p0; π q trội (2.3.4), ta ¥ p ie gh r R oa nl w d A B C sin sin sin 2  sin A2 sin B2 sin C2 nf va r R an lu Mặt khác ta có: π ¥ sin π4 sin π6 sin 12 lm ul r R ¥ ? 3
1  nên ta ? z at nh oi 3
1 Chú ý 2.3.4 Nếu ta áp dụng hàm F pxq  log sin x F pxq  cos x lõm ta z ? ; cosC ¥ cosB ? l 2q cosA ¥ gm sin A sin B sin C @ 1q cos , cos sC , cos  3 sin sA , sin sB , sin sC n ac th 47  s va sB an Lu sA m Thêm vào đó, theo [13],tồn số s thoả:   s    co si Trường hợp đặc biệt ta cú cỏc kt qu sau ? A A q Ô Mr pcos q, pr 2   sq, A A q ¥ Mr pcos q, pr 2 π Đẳng thức xảy A  B  C  ¡ sq ? 2.4 3Mr psin 3Mr psin Quan hệ trội yếu tố khác số lu bất đẳng thức an n va Trong phần này, xét quan hệ trội cạnh góc; cạnh bán kính tn to đường trịn bàng tiếp; chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp; trung tuyến bán p ie gh kính đường tròn bàng tiếp số kết khác liên quan Cạnh góc tam giác w 2.4.1 ¥ c A ¥ B ¥ C Đặt τ1  21 pA d oa nl Định lý 2.4.1 Cho tam giác ABC có a ¥ b 1 B q; τ2  pA C q τ3  pB C q Khi 2 nf va an lu pτ1, τ2, τ3q   pA, B, C q 1 Chứng minh Vì a ¥ b ¥ c; A ¥ B ¥ C τ1  pA B q; τ2  pA 2 τ3  pB C q nên τ1 ¥ τ2 ¥ τ3 Từ suy điều phải chứng minh z at nh oi lm ul C q Mệnh đề sau kết việc áp dụng Mệnh đề 6.A.3 hệ 3.H.2.c Phần z I [7] kết hợp với trội Định lý 2.4.1 ¥ aτ1 bτ2 cτ3 ¥ aτ3 bτ2 (2.4.1) cτ1 m cC co bB l aA gm @ Mệnh đề 2.4.1 Cho tam giác ABC, ta ln có an Lu Áp dụng tương tự hệ 3.H.3.c Phần I [7], cho ta mệnh đề sau n va ac th 48 si Mệnh đề 2.4.2 Cho tam giác ABC,khi ta cú Ô aAa bB cC b c π2 (2.4.2) Định nghĩa 2.4.1 Một hàm F gọi lồi cấp (3-lồi) khả vi cấp f pxq ¥ 0, @x P p0; 2sq Từ BĐT Levinson cho hàm 3-lồi [2], tr 363, có số kết sau Định lý 2.4.2 Nếu F hàm 3-lồi r0; 2ss lu 2s 1¸ 1¸ F paq
F p q Ô F pb 3 cq
F p 4s q (2.4.3) an Đẳng thức xảy tam giác tam giác n va tn to Mệnh đề 2.4.3 Với tam giác ABC bất kỳ, ta ln có gh ¸b c a b Ơ c (2.4.4) p ie a
w Đẳng thức xảy tam giác d oa nl x , x P p0; 2sq Chứng minh Xét hàm F pxq  2s
x 2s 12s Ta có F pxq  ¡ nên F pxq hàm 3-lồi F pxq  p2s
xq p2s
xq4 Áp dụng Định lý 2.4.2 với nf va an lu a b c , F pb cq  lm ul F p aq  b c a , Fp 2s 4s q  , F p q  3 Định lý 2.4.3 Nếu F : r0; ¸ π
A A π π q
F p q ¥ 3F p q
3F p q 2 (2.4.5) l gm @ Fp π s Ñ R hàm 3-lồi với tam giác ABC ta có z ¸ z at nh oi Rút gọn, ta có điều phải chứng minh Nếu hàm F 3-lồi chặt, đẳng thức xảy tam giác m co Chứng minh Trong phần chứng minh này, sử dụng khái quát BĐT an Lu Levinson từ [6], [12], nghĩa Định lí 2.4.3 trường hợp riêng Định lý sau n va ac th 49 si Cho F : r0;2as Ñ R hàm 3-lồi, xi ¸ F px1 q
3F p P r0;2as, i  1, 2, x1 x3 Ô 2a, x2 Ô a, thỡ 1á 1á x1 q Ô F p2a
x1 q
3F p2a
x1 q 3  x2  x3 π A Bây giờ, giả sử A ¥ B, A ¥ C Áp dụng BĐT với a  , x1  , x2  B C , x3  , ta có Định lý 2.4.3 chứng minh 2 Nếu hàm F 3-lồi chặt, đẳng thức xảy x1 Mệnh đề 2.4.4 Với tam giác ABC với k ¸ cotk p ¸ A A q
tank p q ¥ 31 2 P p0; 1q Y p2; 8q, ta ln có
31
k k (2.4.6) Đẳng thức xảy tam giác lu an n va gh tn to Chứng minh Thật vậy, dễ dàng chứng minh theo định nghĩa, hàm F pxq  tank x π 3-lồi r0; s với k P p0; 1q Y p2; 8q Khi đó, ta áp dụng Định lý 2.4.2 với p ie Fp π
A π
A A π q  tank p q  cotk p q, 3F p q  31 2 k , 3F p k π q  31
w Ta có bất đẳng thức chứng minh oa nl Nhận xét 2.4.1 Cho tam giác ABC, xét hàm F pxq P p0; 1q Y p2; 8q Ta có d  1, cot A2
tan A2  cot A nên ta nf va Với k an lu k  tank x 3-lồi r0; π2 s với lm ul cot A cot B cot C ¥ ? Với k  2, ta ¸ z at nh oi Đẳng thức xảy tam giỏc l u tan2 p @ A qƠ8 z cot2 p A q l gm Đẳng thức xảy tam giác k Đẳng thức xảy tam giác tam giác an Lu ¸ A A 31 cos p q
sink p q ¤ 2 2k k m ¸ P p
8; 0q Y r1; 2s, ta ln có
(2.4.7) co Mệnh đề 2.4.5 Với tam giác ABC với k n va ac th 50 si Chứng minh Thật vậy, chứng minh theo định nghĩa, với k P p
8; 0q Y r1; 2s, hàm π F pxq  cosk x 3-lồi r0; s Khi đó, ta áp dụng Định lý 2.4.2 với π
A π
A A A A π 31 π Fp q  cosk p q  sink p q, F p q  cosk p q, 3F p q  k , 3F p q  k 2 2 k Ta bất đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 2.4.6 Với tam giác ABC bất kỳ, ta ln có A B C tan tan tan 2 Ô ? (2.4.8) Đẳng thức xảy tam giác tam giác lu Chứng minh Tương tự, hàm F pxq an va Định lý 2.4.2 với  log sinx 3-lồi r0; π2 s Khi đó, ta áp dụng ¸ π
A ¸ A A B C π
A q  log sin  logcos  log cos cos cos , 2 2 2 ¸ A B C π π A F p q  log sin sin sin , 3F p q  log p q3 , 3F p q  log p q3 2 2 n ¸ p ie gh tn to Fp Thay vào thu gọn, ta bất đẳng thức cần chứng minh oa nl w Định lý 2.4.4 ( Bất đẳng thức Popoviciu)([9], tr 174) Nếu F : r0;π s Đ R d hàm lồi với tam giác ABC ta có lu ¸ π
A π q
Fp q ¸ nf va an 3F p F pAq ¥ (2.4.9) lm ul Đẳng thức xảy tam giác z at nh oi Một số kết Định lý 2.4.4 mệnh đề sau Mệnh đề 2.4.7 Với tam giác ABC bất k, ta luụn cú ? Ô cos2 A2 cos2 B2 cos2 C2 (2.4.10) z @ 3 sin A sin B sin C Đẳng thức xảy tam giác tam giác (2.4.11) an Lu A B C cosAcosBcosC Ô sin2 sin2 sin2 2 m co Mệnh đề 2.4.8 Với tam giác nhọn ABC, ta có l gm Đẳng thức xảy tam giác tam giác n va ac th 51 si 2.4.2 Chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác Định lý 2.4.5 Trong tam giác, ta ln có  1 , , 3r 3r 3r    1 , , hb hc    1 , , rb rc (2.4.12) Chứng minh Nhắc lại rằng, tam giác ta có 2∆  aha  bhb  chc  2xra  2yrb  2zrc Nên ta được: lu an rb rc , hb   rc , hc   rb n va    ie gh tn to Vậy ta suy 1 , , hb hc r p Hơn ta có:  h1    hb a 1 , , 3r 3r 3r 1 , , rb rc p1q , nên ta nhận hc    1 , , hb hc p2q d oa nl w  nf va an lu Từ p1q p2q ta có điều cần chứng minh Các mệnh đề sau kết áp dụng Định lý 2.4.5 với hàm lồi lõm lm ul Mệnh đề 2.4.9 Trong tam giác ABC, ta u cú Ô z at nh oi 9r hb hc Ô rb (2.4.13) rc z ng thc xảy tam giác ABC T ú ta c iu phi chng minh Ô 1 1 rb 1 rc an Lu 1 hc m 1 hb co 1 l Ô ta c x gm 3r @ Chứng minh Áp dụng hàm lồi F pxq  n va ac th 52 si Các mệnh đề sau kết sử dụng tính lồi (lõm) hàm F pxq rx x , F pxq  cho Định lý 2.4.5 log x, F pxq 
2rx
rx  Mệnh đề 2.4.10 Trong tam giác ABC, ta cú 27r3 Ô hahbhc Ô rarbrc (2.4.14) ng thc xy tam giác ABC Mệnh đề 2.4.11 Trong tam giác ABC, ta có lu
2r 1 hb
2r hc ¥
2r r (2.4.15) an Đẳng thức xảy tam giác ABC n va tn to Mệnh đề 2.4.12 Trong tam giác ABC, ta ln có hb r hb
r hc r hc
r ¥ (2.4.16) p ie gh r
r nl w Đẳng thức xảy tam giác ABC oa Định lý 2.4.6 Cho tam giác ABC, ta có d  ¡wp1, 1, 1q (2.4.17) nf va an lu rb rc , , hb hc Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả sử  nên  rb rc  , hb  rb ; hb  rb  rc rc   rb rb Vậy ta có điều phải chứng minh   rc  rb ra rc rc  rc rb rb rb rc , ¥ an Lu rc ; hc  m rc hc  co rb hb , hc l Do ta gm rc @  rb z  z at nh oi lm ul Ta có ¥ rb ¥ rc n va ac th 53 si Mệnh đề 2.4.13 Cho tam giác ABC với n ¥ 1, ta có  n  rb hb n  rc hc n ¥ (2.4.18) Chứng minh Xét hàm F pxq  xn px ¡ 0, n ¥ 1q, hàm F pxq lồi đối xứng nên hàm S- lồi Mặt khác F pxq tăng nên áp dụng Định lý 2.1.3 kết hợp trội Định lý 2.4.6, ta  n  rb hb n  rc hc n ¥ 1n 1n 1n  Vậy ta điều cần chứng minh Nhận xét 2.4.2 Áp dụng hàm lõm F pxq  x n px ¡ 0, n ¡ 1q ta lu an c n c n c rb hb n rc hc Ô n va Cnh, bán kính đường trịn bàng tiếp trung tuyến gh tn to 2.4.3 p ie tam giác w Định lý 2.4.7 ([7], tr.285) Cho tam giác ABC, với t ¥ ta ln có ? d oa nl  t pat, bt, ctq wprat , rbt , rct q (2.4.19) lu nf va an Từ Định lý 2.4.7 Định lý 2.1.3 ta có mệnh đề sau  ? lm ul Mệnh đề 2.4.14 Cho tam giác ABC Với t ¥ 1, ta ln có t Đặc biệt, với t  ta có ct q Ô rat rbt b cq Ô 2pra rb (2.4.20) rct rc q (2.4.21) gm @ 3pa bt z ? pat z at nh oi ? pk ¥ 1q (2.4.22) m an Lu Mk pat , bt , ct q Ô Mk prat , rbt , rct q co l Mệnh đề 2.4.15 Cho tam giác ABC Với t ¥ 1, ta ln có n va ac th 54 si ¥ Mk px, y, zq hàm S- lồi tăng Do đó, áp dụng Chứng minh Ta xét với k cho trội Định lý 2.4.7 ta  Mk p ? t qpat, bt, ctq Ô Mk prat , rbt , rct q pt ¥ 1q ? Nên Mk pat , bt , ct q Ô Mk prat , rbt , rct q pt ¥ 1q Vậy ta có điều phải chứng minh Mặt khác, từ tính chất S-lõm hàm đối xứng Tn pxq  ± xi với xi ¡ 0, nên áp lu dụng trội Định lý 2.4.7 ta an n va Mệnh đề 2.4.16 Cho tam giỏc ABC Ta luụn cú Ô 3abc ? (2.4.23) gh tn to 8ra rb rc p ie Đẳng thức xảy tam giác ABC nl w Định lý 2.4.8 ([7], II.8.D2, tr.286) Cho tam giác ABC, với t ¥ ta ln có (2.4.24) d oa pmta, mtb, mtcq wprat , rbt , rct q lu nf va an Áp dụng Định lý 2.4.8 Định lý 2.1.3 ta mệnh đề sau lm ul Mệnh đề 2.4.17 Cho tam giác ABC với t ¥ 1, ta có z at nh oi Mk pmta , mtb , mtc q Ô Mk prat , rbt , rct q pk ¥ 1q (2.4.25) z m co l gm @ an Lu n va ac th 55 si Kết luận Luận văn trình bày, tổng hợp đến hình thành số BĐT từ hàm lồi (lõm), đồng thời làm rõ cách thiết lập BĐT Mặt khác, luận văn làm sáng tỏ lu nguồn gốc số BĐT quen thuộc tam giác Bên cạnh đó, từ quan hệ an trội trình bày áp dụng, cho thấy đa dạng BĐT va n phạm vi hẹp tam giác Cụ thể, luận văn đạt số kết sau 1.1.2, Định lý 1.1.1 tiêu chuẩn xác định hàm lồi) Trình bày BĐT Jensen p ie gh tn to (1) Trình bày định nghĩa số tính chất hàm lồi (Tính chất 1.1.1, Tính chất w hệ quả, Định lý M Petrovic 1.2.3, Định lý 1.2.4 để thiết lập BĐT số oa nl áp dụng (Ví dụ 1.2.1, Ví dụ 1.2.2, Ví dụ 1.2.4) d (2) Làm rõ Định lý 1.3.1, BĐT (1.3.3) trình bày số áp dụng (Mệnh đề lu nf va an 1.3.1, Mệnh đề 1.3.2, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.5, Mệnh đề 1.3.6, Mệnh đề 1.3.7) hệ lm ul (3) Trình bày số kết từ BĐT Định lý 1.4.1 (Mệnh đề 1.4.1, Mệnh z at nh oi đề 1.4.2, Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.4.6) hệ (4) Trình bày định nghĩa trội, làm rõ quan hệ trội tính chất (Định lý z gm @ 2.1.2, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.8) l (5) Trình bày số BĐT độ dài cạnh (Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề m co 2.2.6, Mệnh đề 2.2.8, Mệnh đề 2.2.9) từ quan hệ trội Định lý 2.2.1 Trình an Lu bày Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 số áp dụng (Mệnh đề 2.2.10, ,Mệnh đề 2.2.12, ,Mệnh đề 2.2.13) n va ac th 56 si (6) Trình bày quan hệ trội góc (Định lý 2.3.1) áp dụng (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4, Mệnh đề 2.3.5, Mệnh đề 2.3.8, ,Mệnh đề 2.3.9, ,Mệnh đề 2.3.12, ,Mệnh đề 2.3.14), làm rõ quan hệ trội Mệnh đề 2.3.10 (7) Trình bày số BĐT cạnh góc tam giác (Mệnh đề 2.4.1, Mệnh đề 2.4.2, Định lý 2.4.3, Mệnh đề 2.4.4, Mệnh đề 2.4.5) Trình bày, làm rõ quan hệ trội chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp (Định lý 2.4.5) số kết (Mệnh đề 2.4.9, Mệnh đề 2.4.10, Mệnh đề 2.4.11, Mệnh đề 2.4.12, Mệnh đề 2.4.13) Trình bày làm rõ quan hệ trội Định lý 2.4.7, Định lý 2.4.8 lu an BĐT (Mệnh đề 2.4.14, Mệnh đề 2.4.15, Mệnh đề 2.4.1) va n (8) Sáng tạo BĐT hình học tam giác, cụ thể, Hệ 1.4.10, Hệ 1.3.5 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 57 si Tài liệu tham khảo [1] A Bager, ’A Family of Goniometric Inequalities’, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz No 338-352 (1971), 5-25 lu [2] O Bottema, Geometric Inequalities, et al (1968) an n va [3] R Z Djorkjevic, Some Inequanlities for the Triangle, Ibid No 247-273 (1969), tn to 35-39 ie gh [4] Dragoslav S Mitrinovic, J Pecaric, V Volenec, (Mathematics and its applica- p tions), Chapter VIII, Recent advances in geometric inequalities -Kluwer Academic oa nl w Publishers (1989) d [5] M S Jovanovic, Some Inequanlities for Triangle elements, Ibid No 498-541 nf va an lu (1975), 171-178 [6] S Lawrence and D Segalman, ’A Generation of Two Inequanlities Involving lm ul Means’, Proc Amer Math Soc 35 (1972), 96-100 z at nh oi [7] A W Marshall and I Olkin, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications, New York-London-Toronto-Sydney-San Francisco, 1979 z [8] D Milosevic, Jedna primena konveksnih funkcija’, Matematika (1979), 69-71 gm @ [9] Mitrinovic, Dragoslav S., Analytic Inequalities, T(Springer, 1970) l m co [10] M Mitrovic, ’Problem 222’, Math Vesnik (24) (1972), 308 n ac th 58 va trotehn Fak Ser Mat Fiz No 357-380 (1971), 21-28 an Lu [11] A Oppenheim, Some Inequanlities for the Triangle, Univ Beograd Publ Elek- si [12] J E Pedaric, On an Inequality of N Levinson, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz No 678-715 (1980), 71-74 [13] J Steinig, Some Trigonometric Inequanlities,, El Math 27 (1972), 121-129 [14] J Steinig, ’Sur quelques applications géométriques d’une inégalité relative aux fonction convexes’, Enseignment Math (2) 11 (1965), 281-285 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 59 si