Microsoft Word Duong tron Euler Trang 1 0937186151 ledacuoc@gmail com CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN EULER (ĐƯỜNG TRÒN 9 ĐIỂM) 1 Cho tam giác ABC có các đường cao , ,AD BE CF đồng quy tại H ( D BC , E AC , F[.]
CHUYÊN ĐỀ: ĐƯỜNG TRÒN EULER (ĐƯỜNG TRÒN ĐIỂM) Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE , CF đồng quy H ( D BC , E AC , F AB ) Gọi I , J , K , M , N , P trung điểm BC , AC , AB, AH , BH , CH a) Chứng minh D, E , F , I , J , K , M , N , P nằm đường trịn, từ suy KP, NJ , MI đồng quy b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , O ' tâm đường tròn qua điểm D, E , F , I , J , K , M , N , P Chứng minh O ' trung điểm HO , từ suy O ' M OA Hướng dẫn: A M E J K O' F O H N B P D I C a) Dễ thấy KJPN , MJIN hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính KP NJ MI Còn chân đường cao nhìn đường kính góc vng đpcm Chi tiết thiếu mắm muối: KJ , NP đường trung bình ABC , HBC KJ //NP, KJ NP KJPN hình bình hành BC AD, KJ //BC KJ AD ; mà KN //AD (đường trung bình ABH ) KN KJ KJPN hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính KP, NJ Tương tự có MJIN hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính NJ , MI điểm K , M , J , P, I , N thuộc đường trịn đường kính KP NJ MI NEJ PFK 900 D, E , F thuộc đường tròn đường kính KP NJ MI MDI OI IJ 1 OI HA HM HA AB 2 OIHM hình bình hành có O ' trung điểm IM nên O ' trung điểm HO , từ suy O ' M đường trung bình HAO O ' M OA b) Dễ thấy OI //HM OIJ ∽ HAB Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Lấy điểm D đoạn thẳng BM cho đường thẳng qua D vng góc với BC cắt đoạn thẳng AC E Gọi F giao điểm tia BE đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM ( E nằm B F ) FAE Chứng minh DAE Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ) , có H trực tâm Vẽ đường kính AD Gọi M trung điểm BC ; I , J , K theo thứ tự hình chiếu D lên BH , CH BC Chứng minh bốn điểm I , J , K , M nằm đường tròn Trang 0937186151-ledacuoc@gmail.com