Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1 1 Khái niệm không gian Banach và toán tử tuyến tính 3 1 2 Nửa nhóm liên tục mạnh 5 1 2 1 Nửa nhóm ma trận 5 1 2 2 Nửa nhóm toán tử liên tục đều 6 1 2 3[.]
Mục lục Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm khơng gian Banach tốn tử 1.2 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.1 Nửa nhóm ma trận 1.2.2 Nửa nhóm tốn tử liên tục 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.3 Nửa nhóm tích phân 1.4 Phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn 1.5 Phương trình vi phân hàm trễ vơ hạn tuyến tính 3 5 11 16 19 Chương 2: Ứng dụng nửa nhóm tích phân phương trình v 2.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn 22 2.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân hàm trễ vô hạn 29 Kết luận Tài liệu tham khảo 46 47 MỞ ĐẦU Từ năm 1821, Cauchy đặt toán: Xác định hàm φ(x) liên tục đoạn kín R đó, cho với số thực x, y ta có: φ(x + y) = φ(x).φ(y) Từ ý tưởng người ta xây dựng nên lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach (xem [7], [12],[15] ) có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu Một ứng dụng quan trọng lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục mạnh nghiên cứu tồn nghiệm tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm cụ thể phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn phương trình vi phân hàm trễ vơ hạn Mục tiêu luận văn trình bày lại cách hệ thống khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tích phân nghiên cứu tính tồn nghiệm phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn trễ vơ hạn Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số khái niệm, kết không gian Banach, tốn tử tuyến tính khơng gian Banach, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tích phân, phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn phương trình vi phân hàm trễ vô hạn Chương 2: Ứng dụng nửa nhóm tích phân phương trình vi phân hàm Trong chương này, chúng tơi sử dụng nửa nhóm tích phân để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn trễ vơ hạn dạng: dx(t) = Ax(t) + F (xt ), dt t>0 Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đặng Đình Châu - Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội Nhân dịp này, xin trân trọng cảm ơn thầy dành cho tơi hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo trình thực luận văn, q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn trân thành, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đồng nghiệp nhóm xeminar giải tích đóng góp ý kiến q báu, khích lệ tơi hồn thành tốt luận văn Mặc dù cố gắng, khả hạn chế, thời gian nghiên cứu hạn hẹp, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận bảo thầy, cô bạn đồng nghiệp Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2010 Tác giả Lê Anh Minh CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm không gian Banach tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho E khơng gian vectơ tuyến tính, chuẩn E hàm ||.|| : E → R+ x 7→ ||x|| thỏa mãn tính chất (i) ||x|| > 0, ||x|| = ⇔ x = 0; (ii) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ C(hoặc R), x ∈ E; (iii) ||x + y|| ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ E Một nửa chuẩn E hàm p : E → R+ thỏa mãn tính chất (ii) (iii) Định nghĩa 1.1.2 Một không gian định chuẩn (E, ||.||) khơng gian tuyến tính E với chuẩn ||.|| E, ta ký hiệu chuẩn không gian E ||.||E Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn (E, ||.||) gọi khơng gian Banach đầy đủ, nghĩa dãy Cauchy E hội tụ Ví dụ 1.1.4 Gọi BC(R, E) khơng gian tuyến tính hàm liên tục, bị chặn R nhận giá trị E với chuẩn sup ||f || = sup |f (t)|, ∀f ∈ BC(R, E) t∈R Khi đó, BC(R, E) không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 Cho E không gian Banach Một ánh xạ A : D(A) ⊂ E → E gọi toán tử tuyến tính D(A) khơng gian tuyến tính E A tuyến tính Trong trường hợp D(A) gọi miền xác định A Ví dụ 1.1.6 Giả sử M ma trận cấp n × n với hệ số thực Khi M xác định tốn tử tuyến tính từ Rn vào cho x 7→ M x, x ∈ Rn ma trận cột gồm n dịng Ví dụ 1.1.7 Giả sử B tốn tử vi phân d/dt với D(B) xác định : { } dg dg(0) D(B) = g ∈ BC(R, E) : ∈ BC(R, E), =1 dt dt Do ̸∈ D(B) nên D(B) khơng khơng gian tuyến tính BC(R, E) Từ đó, B khơng tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.8 Giả sử A tốn tử tuyến tính khơng gian Banach E với D(A) = E Khi A gọi tốn tử tuyến tính bị chặn E tồn số dương c cho ||Ax|| c||x||, ∀x ∈ E Dễ thấy, A toán tử tuyến tính bị chặn A liên tục Với tốn tử tuyến tính bị chặn A, số khơng âm ||A|| = inf{c ∈ R : ||Ax|| c||x||, ∀x ∈ E} gọi chuẩn A Định nghĩa 1.1.9 Một tốn tử tuyến tính A từ D(A) ⊂ E vào E gọi đóng đồ thị {(x, Ax) ∈ E × E, ∀x ∈ D(A)} đóng Định nghĩa 1.1.10 Giả sử E khơng gian Banach phức Ta gọi tập ρ(A) = {λ ∈ C : λ − A : D(A) → E song ánh} tập giải phần bù σ(A) = C \ ρ(A) phổ A Theo định lý đồ thị đóng, với λ ∈ ρ(A) ánh xạ R(λ, A) = (λ − A)−1 tốn tử tuyến tính bị chặn E gọi giải thức A λ Ví dụ 1.1.11 Cho A tốn tử tuyến tính khơng gian Banach phức hữu hạn chiều Cn Khi ρ(A) tập tất giá trị riêng A 1.2 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Nửa nhóm ma trận Giả sử Mn (C) không gian tất ma trận phức cấp n × n Định nghĩa 1.2.1 Với A ∈ Mn (C) t ∈ R ma trận mũ etA xác định ∞ k k ∑ t A tA e = k! k=0 Định lý 1.2.2 Với A ∈ Mn (C) ánh xạ R+ ∋ t 7→ etA ∈ Mn (C) liên tục thỏa mãn e(t+s)A = etA esA với t, s > e0A = I Chứng minh Xem [7] Định nghĩa 1.2.3 Ta gọi (etA )t>0 nửa nhóm (một tham số) sinh ma trận A ∈ Mn (C) Ví dụ 1.2.4 Nửa nhóm sinh ma trận đường chéo A = diag(a1 , , an ) etA = diag(eta1 , , etan ) Ví dụ 1.2.5 Một số trường hợp đặc biệt cos t sin t , A= etA = −1 − sin t cos t A= A= −1 1.2.2 , , −1 cosh t sinh t etA = sinh t cosh t 1+t t etA = −t − t Nửa nhóm tốn tử liên tục Định nghĩa 1.2.6 Giả sử A ∈ L(E), chọn lân cận mở U σ(A) trơn với biên +∂U xác định hướng dương Khi với t > 0, ta định nghĩa ∫ etλ R(λ, A)dλ etA = 2πi +∂U R(λ, A) xác định định nghĩa 1.1.10 Mệnh đề 1.2.7 Với A ∈ L(E), mệnh đề sau tương đương (i) (etA )t>0 nửa nhóm X cho R+ ∋ t 7→ etA ∈ (L(E), ||.||) liên tục (ii) Ánh xạ R+ ∋ t → T (t) = etA ∈ (L(E), ||.||) khả vi thỏa mãn phương trình vi phân d dt T (t) T (0) = AT (t) t > = I Ngược lại, hàm khả vi T (.) : R+ → (L(E), ||.||) thỏa mãn phương trình vi phân có dạng T (t) = etA với A ∈ L(E) Cuối cùng, ta có A = T˙ (0) Chứng minh Xem [7] Định nghĩa 1.2.8 Nửa nhóm (T (t))t>0 không gian Banach E gọi liên tục (hay liên tục theo chuẩn) R+ ∋ t 7→ T (t) ∈ L(E) liên tục với tôpô L(E) Hiển nhiên, (etA )t>0 nửa nhóm liên tục với A ∈ L(E) Ngược lại ta có Định lý 1.2.9 Mọi nửa nhóm liên tục (T (t))t>0 khơng gian Banach E có dạng T (t) = etA , t > 0, với A ∈ L(E) Chứng minh Xem [7] Ví dụ 1.2.10 Trên E = lp , p ∞, xét toán tử dịch chuyển cho ma trận vô hạn 1 j = i + 1, i, j ∈ N, A = (aij ) với aij = 0 trường hợp cịn lại Khi σ(A) = {λ ∈ C : |λ| 1} với |λ| > ∞ ∑ Ak R(λ, A) = = (rij (λ))i,j∈N λk+1 k=0 rij (λ) = ( ) j−i+1 j − i > 0, 0 j − i < λ Bằng tính tốn ta thu etA = (eij (t)) với eij (t) = với t ∈ R+ tj−i (j−i)! 0 j − i > 0, j − i < 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.2.11 Cho E không gian Banach Một họ (T (t))t>0 tốn tử tuyến tính bị chặn từ E vào E nửa nhóm tốn tử bị chặn E nếu: (i) T (0) = I, với I toán tử đồng E (ii) T (t)T (s) = T (t + s), ∀t, s > Định nghĩa 1.2.12 Nửa nhóm (T (t))t>0 tốn tử bị chặn E nửa nhóm liên tục mạnh ánh xạ ξx : R+ → E 7→ T (t)x t ánh xạ liên tục từ R+ vào E với x ∈ E Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử bị chặn E thường gọi C0 - nửa nhóm Mệnh đề 1.2.13 Với nửa nhóm (T (t))t>0 khơng gian Banach E, mệnh đề sau tương đương (i) (T (t))t>0 liên tục mạnh (ii) Với x ∈ E lim T (t)x = x t↓0 (iii) Tồn δ > 0, M > tập trù mật D ⊂ E cho (a) ||T (t)|| M với t ∈ [0, δ], (b) lim T (t)x = x với x ∈ D t↓0 Chứng minh Xem [7] Ví dụ 1.2.14 Nửa nhóm dịch chuyển trái liên tục mạnh Lp (R) với p < ∞ Chứng minh Dễ thấy với t, T (t) ánh xạ co, (T (t))t>0 bị chặn R Lấy f hàm liên tục R với giá compact Khi lim ||T (t)f − f ||∞ = lim sup |f (t + s) − f (s)| = t↓0 t↓0 s∈R từ lim ||T (t)f − f ||p = t↓0 Mặt khác, với p < ∞ tập hàm liên tục với giá compact trù mật Lp (R) Theo mệnh đề (1.2.13) nửa nhóm dịch chuyển trái liên tục mạnh Mệnh đề 1.2.15 Với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t>0 tồn số ω ∈ R M > cho với t > ta có ||T (t)|| M eωt hay (T (t))t>0 bị chặn mũ Chứng minh Xem [7] Định nghĩa 1.2.16 (Về toán tử sinh) Toán tử sinh A : D(A) ⊆ E → E nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t>0 khơng gian Banach E toán tử ′ Ax = ξx (0) = lim (T (h)x − x) h↓0 h với tập xác định D(A) = {x ∈ E : ξx khả vi R+ } ξx : t 7→ T (t)x ∈ E Ví dụ 1.2.17 Nửa nhóm ma trận sinh ma trận A có tốn tử sinh A, tốn tử sinh nửa nhóm liên tục toán tử A ∈ L(E) Bổ đề 1.2.18 Giả sử (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t>0 Khi tính chất sau thỏa mãn: (i) A : D(A) ⊆ E → E toán tử tuyến tính ∫t d S(t − s)F (us )ds |w(t)| = dt ∫t βeωt c1 e−ωs ds βeωt c1 b < (1 − b1 ) Kb Từ đó, suy ||vt − φ||B < Kb (1 − b1 ) + b1 = Kb với t ∈ [0, b] bất kỳ, điều suy v ∈ Fφb Tiếp theo, ta chứng minh F ánh xạ co Fφb Với u, v ∈ Fφb t ∈ [0, b] Theo định nghĩa F ta có ||(Fu)0 − (Fv)0 ||B = từ suy ||Fu − Fv||Fb = sup |(Fu)(t) − (Fv)(t)| t∈[0,b] 33 Hơn nữa: