Phương pháp số cho hệ phương trình tuyến tính

Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2 Một số phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số 1.3 tuyến tính 1.2.1 Phương pháp Gauss 1.2.2 Phương pháp phân rã 1.2.3 Phương pháp trực giao Sai số Các phương pháp số cho hệ phương trình tuyến tính 11 2.1 Tổng quát phương pháp lặp 11 2.2 Phương pháp lặp cổ điển 15 2.2.1 Jacobi cổ điển 15 2.2.2 Phương pháp Gauss – Seidel 16 2.2.3 Phương pháp nới lỏng (S.O.R S.S.O.R) 17 2.2.4 Phương pháp tăng tốc Chebyshev 20 2.2.5 Phương pháp lặp Peaceman-Rachford 22 Các phương pháp lặp đại 25 2.3.1 Phương pháp Richardson 25 2.3.2 Phương pháp Gradient liên hợp 32 Phương pháp Gradient – Lanczos cho hệ không đối xứng 38 2.4.1 Phép lặp GCR, Orthomin – Orthodir 39 2.4.2 Phép lặp Arnoldi – GMRES 40 2.4.3 Phép lặp Bi-CG, CGS Bi-CGSTAB 43 2.3 2.4 i KẾT LUẬN 47 ii LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy Th.S Lê Trần Tình Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa luận Thanh Hóa, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Như Long MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiệm tốn khơng phải biểu diễn tường minh Vì vậy, việc giải số để trích dẫn thơng tin nghiên cứu định lượng nghiệm tốn vơ quan trọng Trong khoa học tính tốn, sử dụng lược đồ giải số thường dẫn tới việc giải hệ phương trình tuyến tính Qua đó, ta thấy việc tính tốn nghiệm hệ tuyến tính trung tâm hầu hết lược đồ giải số Vì vậy, tơi chọn đề tài "Phương pháp số cho hệ phương trình tuyến tính" làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính phương pháp giải số cho hệ tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày phương pháp giải số trọng tâm cho hệ tuyến tính thuật tốn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp định tính: Nghiên cứu tài liệu tham khảo Phương pháp định lượng: Nghiên cứu lược đồ giải số cho hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình tuyến tính Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Khóa luận tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, học viên, giáo viên học học phần giảng dạy giải tích số Cấu trúc luận văn Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các phương pháp số cho hệ phương trình tuyến tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nội dung khóa luận nhằm tóm lược lại số nội dung thường sử dụng nghiên cứu tốn hệ phương trình đại số tuyến tính, số phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính sai số 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính Xét hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số sau:   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1     a x + a x + + a x = b 21 22 2n n      an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn (1.1) Hệ phương trình viết dạng ma trận Ax = b (1.2) Trong    b1          a2n   , x =  x2  , b =  b2        . . xn bn ann a11 a12 a1n   a21 a22 A=   an1 an2   x1  Nếu det A 6= nghiệm hệ (1.2) tính theo cơng thức x = A−1 b Áp dụng cơng thức tính ma trận đảo ta biến đổi dẫn đến lời giải diễn tả định lý Cramer sau: Định lý Cramer Gọi Aj ma trận nhận từ ma trận A cách thay cột thứ j cột b, hệ (1.2) có nghiệm xj tính cơng thức xj = 1.2 det Aj det A Một số phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2.1 Phương pháp Gauss Nội dung phương pháp Gauss đưa hệ phương trình (1.2) dạng tam giác trên, lúc nghiệm tìm nhờ q trình ngược Quá trình đưa hệ phương trình (1.2) hệ tương đương dạng tam giác gọi trình khử, thực lược đồ sau đây: Ta chia phương trình thứ cho a11 (nếu a11 = ta đổi chỗ phương trình hệ cho a11 6= 0) Sau nhân phương trình với −a21 ; −a31 ; ; −an1 theo thứ tự, cộng vào phương trình thứ hai, ba, , thứ n Bằng cách ta khử x1 khỏi phương trình hệ từ phương trình thứ hai trở Bước ta khử x2 khỏi phương trình từ phương trình thứ ba trở vv Sau hữu hạn bước, ta đưa hệ (1.2) dạng tam giác sau đây:   c11 x1 + c12 x2 + + c1n xn = d1     c22 x2 + + c1n xn = d1      cnn xn = dn Khi đó, nghiệm x∗ = (x∗1 ; x∗2 ; ; x∗n ) ∈ Rn tìm nhờ phép ngược Ví dụ 1: Giải phương rình:     8x1 − 3x2 + 2x3 = 20 4x1 + 11x2 − x3 = 33   6x + 3x + 12x = 36 Lời giải: Biến đổi ma trận đại số bước       = a21 a 11 a2 a21 a22 a12 6= 0; ; a22