(Luận văn) không gian mêtric mờ làm đầy được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha lu an n va gh tn to p ie KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha lu an n va p ie gh tn to KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC nl w : 46 01 05 u nf va an lu Mã số d oa Chun ngành : Hình học tơpơ ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z m co l gm @ TS NGUYỄN HÀ THANH an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Phạm Việt Duy Kha lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành công! lu an Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin n va Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học đồng góp ý quý báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình p ie gh tn to tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội nl w học tơpơ khoa Tốn khóa 27 sẻ chia giúp đỡ thời oa gian học tập làm luận văn d Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn an lu quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học ll u nf va oi m Phạm Việt Duy Kha z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Không gian mêtric lu an 1.4 Phần trong, bao đóng, biên, đường kính tập hợp, tập trù mật 11 n va 1.5 Không gian khả ly 13 tn to 1.6 Ánh xạ liên tục 13 p ie gh Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN MÊTRIC MỜ 15 nl w 2.1 Định nghĩa t-chuẩn 15 oa 2.2 Ví dụ t-chuẩn 15 d 2.3 Định nghĩa Không gian mêtric mờ 16 lu va an 2.4 Tính chất khơng giảm ánh xạ tập mờ 17 u nf 2.5 Định nghĩa Mêtric mờ ổn định 17 ll 2.6 Định nghĩa Mêtric mờ mạnh 17 oi m z at nh 2.7 Định nghĩa Tôpô mờ tập mờ mở 17 2.8 Quả cầu mở 18 z 2.9 Hệ 19 @ gm 2.10 Định lý không gian mêtric mờ không gian Hausdorff 19 m co l 2.11 Mêtric mờ chuẩn 20 2.12 Định nghĩa tập F- bị chặn 20 an Lu 2.13 Định lý tập compact không gian mêtric 20 2.14 Định lý dãy hội tụ 21 va n 2.15 Định nghĩa dãy Cauchy không gian mêtric mờ 22 ac th si Chương GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHƠNG GIAN MÊTRIC MỜ 23 3.1 Không gian mêtric mờ đầy đủ 23 3.2 Không gian mêtric mờ phân tầng 29 3.3 Một số ví dụ phản ví dụ khơng gian mêtric mờ phân tầng 30 3.4 Các định lý không gian mêtric mờ phân tầng tính làm đầy 34 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Khi nghiên cứu không gian mới, ngồi việc tìm hiểu tương đồng với khơng gian biết, vấn đề khiến nhà Tốn học đặc biệt quan tâm tìm hiểu khác biệt với lí thuyết cổ điển Việc nghiên cứu không gian mêtric mờ khơng nằm ngồi định hướng Ngay từ khái niệm hình thành, hai lu chủ đề vừa nêu thu hút mạnh mẽ ý nhà Toán học khắp an giới va n Trong số người tiên phong tìm hiểu lí thuyết khơng gian mêtric to tn mờ, Geogre Veermani tên bật với việc xây dựng ie gh khái niệm tảng ban đầu tương đồng định với p không gian biết Ví dụ họ chứng minh mêtric mờ M nl w tập X cảm sinh tôpô  M X, điều tương tự lí d oa thuyết cổ điển Kế thừa kết này, sau V Gregori S Romaguera an lu chứng minh tơpơ cảm sinh khơng gian mêtric mờ u nf va đầy đủ khả mêtric đầy đủ [12] Chính nhờ vào chứng minh mà kết khơng gian mêtric lí thuyết cổ điển thác ll oi m triển phát biểu cấu trúc mêtric mờ tính đầy đủ, tính khả li, tính z at nh compact [12] Ngoài vấn đề tương đồng nói trên, để làm rõ khác biệt với z gm @ lí thuyết cổ điển khơng gian mêtric, nhiều nhà Toán học V Gregori, J.J Minana , S.Morillas, S Romaguera, A Sapena, … [6, 8, 9, 13, 14, l m co 15] không ngừng tìm hiểu tính đầy đủ khơng gian mêtric mờ Trong đó, ta đặc biệt ý đến kết Gregori Romaguera việc an Lu chứng minh tồn không gian mêtric mờ làm đầy n va ac th si [13], để từ đây, cặp tác giả tìm hiểu đưa dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy Kết tiếp tục phát triển hoàn thiện V Gregori, J.J Minana , A Sapena góp phần tạo nhiều ứng dụng sau [15] 1.2 Thực tiễn đề tài Các dấu hiệu nhận biết khơng gian mêtric mờ làm đầy hai tác giả Gregori Romaguera phát biểu sau [14]: Một không gian mêtric mờ  X , M ,* gọi làm đầy lu với cặp dãy Cauchy an , bn  X điều kiện sau thỏa mãn: an va Phép gán tương ứng t với lim M  an , bn , t  , t  ánh xạ liên tục (i) n n to (ii) Mỗi cặp dãy Cauchy tương đương điểm tương đương, nghĩa p ie gh tn  0,   , xét theo tôpô thông thường n n w lim M  an , bn , s   với s  lim M  an , bn , t   với t  oa nl (iii) lim M  an , bn , t   với t  n d lu va an Với đời nhóm dấu hiệu này, việc tìm kiếm lớp khơng u nf gian mêtric mờ làm đầy trở thành câu hỏi thú vị dành cho nhà ll toán học Và đặc biệt nữa, ba điều kiện vừa nêu chứng minh m oi xem hệ tiên đề hồn tồn độc lập [8] Và thực tế, dựa vào z at nh “hệ tiên đề” này, Gregori số nhà toán học khác nhiều z trường hợp không gian mêtric mờ không làm đầy thỏa mãn hai gm @ số ba điều kiện nêu l Để có điều kiện (iii) thỏa mãn không gian mêtric mờ  X , M ,* m co * phải t-chuẩn dương Giả thiết vậy, mêtric mờ mạnh (phi an Lu Archimedes) làm đầy điều kiện (ii) thỏa mãn [8] n va ac th si hệ suy trực tiếp từ việc điều kiện (i) thỏa mãn không mêtric mờ mạnh [9] Và suốt thời gian, nhà Toán học chưa tìm hướng tiếp cận cho điều kiện (ii) cơng trình V Gregori, J.J Minana , A Sapena vào năm 2017 [15] Khung lí thuyết tham chiếu Dựa kiến thức tảng Tôpô đại cương, Tôpô mờ đặc biệt hệ thống khái niệm nghiên cứu tính chất Tơpơ mờ tính đầy đủ khơng gian tơpơ mờ Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu lu an 3.1 Mục tiêu nghiên cứu va n Từ dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy nêu to tn Định lí 1, luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định lớp khơng gian ie gh mêtric mờ thỏa mãn điều kiện (ii) để có hướng tiếp cận tiện lợi p cơng tìm kiếm khơng gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là: nl w  Chỉ lớp không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian d oa mêtric mờ quen thuộc an lu  Cung cấp ví dụ không gian mêtric mờ không phân tầng ll u nf mêtric mờ phân tầng va  Chỉ hướng tiếp cận khác việc tìm kiếm không gian oi m 3.2 Phương pháp nghiên cứu z at nh Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số cơng trình có làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu z có để chứng minh số định lý tính chất l gm @ Cấu trúc luận văn Mở đầu m co Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết thúc ba chương an Lu n va ac th si Trong phần tơi trình bày ghi nhận ban đầu thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Các kiến thức chuẩn bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thông, không gian mêtric, kiến thức tiên đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm không gian tôpô thông thường Và đặc biệt nhấn mạnh khái niệm, định lý tính đầy đủ lý thuyết mêtric Chương 2: Một số khái niệm tính chất Khơng gian mêtric mờ lu an Trong chương nêu số kiến thức không gian n va mêtric mờ Geogre Veeramani để làm tiền đề cho việc thông hiểu số tn to ký hiệu sử dụng số tính chất chứng minh đề cập gh chương sau p ie Chương 3: Giới thiệu Không gian mêtric phân tầng – Tính đầy đủ w Khơng gian mêtric mờ oa nl Trong chương nêu lại số định nghĩa kết việc d nghiên cứu tính đầy đủ khơng gian mêtric mờ trước đây, lu va an giới thiệu khái niệm không gian mêtric mờ phân tầng mà cần tới u nf chứng minh sau ll Cuối cùng, trình bày rõ ràng lại phần chứng minh số kết m oi quan trọng liên quan đến tính đầy đủ lớp không gian mêtric mờ; đồng z at nh thời cung cấp số ví dụ để minh họa làm rõ luận điểm nêu z Kết luận: Tơi trình bày lại cách rõ ràng kết chứng m co l phương hướng nghiên cứu tương lai gm @ minh chương chương 3, đồng thời nêu số vấn đề mở rộng an Lu n va ac th si 35 n2  m  , m  n1 | M  am , bm ,s   M  x2 , y2 , s  M  a Từ ta định nghĩa theo quy nạp dãy M  a , b , s  n n ni , bni , s i dãy thỏa mãn M  ani , bni , s   M  xi , yi , s  , i  n Do M phân tầng điều kiện (1) thỏa mãn nên ta suy lim M  ani , bni , t   lim M  xi , yi , t   1, t  i  i  Lấy t  0,    0,1 , chọn    0,1 cho  *  *    Ta có: lu t t t    M  an , bn , t   M  an , ani ,  * M  ani , bni ,  * M  bni , bn ,  3 3 3    an an,bn n va Do dãy Cauchy nên tồn p cho ie gh tn to t t   M  an , ani ,    , M  bni , bn ,    , n, ni  p 3 3   p Vì t  lim M  ani , bni ,   i  3  nên tồn q cho w d oa nl t  M  ani , bni ,    , i  q 3  an lu Chọn n0  max  p, q , ta có M  an , bn , t    *  *    , n  n0 từ ta va suy lim  an , bn , t   oi m Chiều đảo định lý khơng Điển hình phản ví z at nh (i) ll Cần lưu ý:  u nf n dụ 3.3.4, cặp dãy Cauchy tương đương điểm tương đương, z chứng minh ví dụ khơng phân tầng @ gm Kết luận nhấn mạnh thực tiễn lớp không gian phân tầng m co l thỏa mãn điều kiện (ii) Định lý 3.1.14, chưa thể mối quan hệ chiều hạn chế việc an Lu sử dụng dấu hiệu n va ac th si 36 (ii) Ta khơng thể thay tính chất phân tầng tính mạnh định lý vừa nêu Bằng chứng ta chứng minh  X , M ,* Phản ví dụ 3.3.5 mạnh, đồng thời tồn cặp dãy tương đương điểm không tương đương Hay nói cách khác, điều kiện (i) (ii) 3.1.14 thay lẫn Quay lại với định lý 3.1.14, [15] tác giả có đề cập đến việc để có điều kiện (iii) thỏa mãn không gian mêtric mờ  X , M ,* * phải lu dương an Ta bắt đầu sử dụng giả thiết * dương từ phần trở sau việc n va khảo sát Cho  X , M ,  không gian mêtric mờ * dương Lấy an ,bn  p ie gh tn to 3.4.2 Bổ đề dãy hội tụ hai dãy Cauchy X t  c  Chứng minh d oa nl w Nếu dãy M  an , bn , t  hội tụ c theo tôpô thông thường lu an Lấy  xn  , yn  hai dãy Cauchy X giả sử lim  xn , yn , t   c    0,1 , tồn p ll Lấy u nf va n t  M  xr , xs ,     3  cho oi m z at nh t  M  yr , ys ,     với r , s  p 3  z t  Đặt M  x p , y p ,   a    1     a  1     (do  dương) 3  m co l gm @ Khi đó, với n  p , ta có: an Lu n va ac th si 37 t t t    M  xn , yn , t   M  xn , x p ,   M  x p , y p ,   M  y p , yn ,  3 3 3     1     a  1      Như lim M  xn , yn , t   c     n 3.4.3 Mệnh đề không gian mêtric mờ phân tầng làm đầy Dựa vào định lý 3.4.1 bổ đề 3.4.2, ta có mệnh đề sau: Cho  X , M ,  không gian mêtric mờ phân tầng * dương  X , M , làm đầy điều kiện (i) định lý 3.1.14 lu an thỏa mãn (tức bổ sung điều kiện mạnh) va n Chứng minh tn to Để chứng minh mệnh đề này, ta thay điều kiện (i) định lý ie gh 3.1.14 điều kiện tương đương, điều kiện (i) 3.1.13 p Nếu chứng minh điều này, ta bỏ qua điều kiện (ii) (vốn nl w khó tiếp cận) với lớp khơng gian mêtric mờ phân tầng oa Như toán quy việc chứng minh d xn , yn  dãy Cauchy X, t  M  xn , yn , t  hội tụ  0,1 an lu   oi   m   ll hội tụ c0,1 u nf va Vì M  xn , yn , t  0,1 , ta chọn dãy M xni , yni , t cho dãy z at nh Vì xni   xn  , yni   yn  nên chúng dãy Cauchy Kết hợp bổ đề 3.4.2 ta thu kết c  z m co l M  x n , yn , t   c   với m  p cho gm @ Lấy    0,1 cho c    0, t  Ta nhận thấy tồn p  an Lu n va ac th si 38    0,1 cho Để chứng minh tính chất trên, ta chọn       c    c    Vì   xn , yn  dãy Cauchy nên tồn l    cho M x m , xni , t    M y ni , ym , t   với m, i  l  Ngoài ra, tồn q    cho M x ni , yni , t  c  , với i  q M  x , y , t  hội tụ c ni ni lu an Đặt p  max l , q Vì M mêtric mạnh nên với m  p ta có: va      n M  xm , ym , t   M xm , xn p , t  M xn p , yn p , t  M yn p , ym , t       c     c   2  p ie gh tn to  Bây giờ, thông qua phép hạn chế, ta chứng minh lim  xn , yn , t   c w n d lu 3.4.1 oa nl Xét c  , ta có điều phải chứng minh cách hiển nhiên theo định lý   va an Xét c  , giả sử M  xni , yni , t  không hội tụ c ll u nf Khi tồn   với  c   , c      0,1 cho có vơ hạn phần oi m tử dãy M  xn , yn , t  nằm tập compact 0, c     c   ,1 z at nh    M  x , y ,t  hội tụ e , e  c e  theo bổ đề 3.4.2,  x  , y  dãy Cauchy Suy tồn dãy M xn' j , yn' j , t n n z m co Xem c  e , lấy  '  l X ' nj gm @ ' nj an Lu ec cho  c   '  c   '  e   ' n va ac th si 39 Theo nhận xét chứng minh trên, ta vận dụng với e ,  '  0, t  cho M  xn , yn , t   e   ' với m  p1 tồn p1  M  x , y , t  Vì ni  hội tụ c ni nên tồn p2  cho  M xni , yni , t   c   ', c   ' với i  p2 Điều mâu thuẫn với ý vừa chứng minh Bây ngược lại giả sử c  e , ta xét  '   0,1 với   '  ce cho  e  ' e  ' c e lu M  x an ' nj Vì n va  , yn' j , t  hội tụ e nên tồn p3  cho  tn to M xn' j , yn' j , t   e   ', e   ' , với n 'j  p3 , điều mâu thuẫn với tính ie gh chất M  xm , ym , t   c   , với m  p p Và vậy, ta chứng minh M  xn , yn , t  hội tụ c w  oa nl Sau luận văn giới thiệu định lý sau cùng, công cụ để d lớp rộng không gian mêtric mờ làm đầy được, hay nói cách khác lu va an chứng minh cách đầy đủ việc mêtric mờ mạnh phân tầng kèm theo điều u nf kiện * dương thỏa mãn trọn vẹn định lý 3.1.14 dấu hiệu nhận biết ll không gian mêtric mờ làm đầy m oi 3.4.4 Định lý không gian mêtric mờ làm đầy z at nh Cho  M ,  mêtric mờ mạnh phân tầng X với * dương z Khi  X , M ,* làm đầy m co l Lấy an ,bn  hai dãy Cauchy X gm @ Chứng minh Ánh xạ gán tương ứng t với lim M  an , bn , t  liên tục  0, trang bị tôpô thông thường an Lu n n va ac th si 40 Vì M mạnh nên điều kiện (i) định lý 3.1.14 thỏa mãn Theo bổ đề 3.4.2, ta có lim M  an , bn , t   điều kiện (iii) định n lý 3.1.14 thỏa mãn Cuối cùng, dựa theo định lý 3.4.1, ta có kết điều kiện (ii) định lý 3.1.14 thỏa mãn Và ta kết luận  X , M ,* làm đầy  Với định lý 3.4.4, từ ta mạnh dạn áp dụng 3.1.14 dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy lớp mêtric mờ lu mạnh phân tầng kèm theo điều kiện * dương an Tuy nhiên cần đặc biệt lưu ý chiều ngược lại định lý không n va gh tn to Thật vậy, phản ví dụ 3.3.4 cho không gian mêtric mờ mạnh ie làm đầy Tuy nhiên ra, không gian không phân tầng, p chiều đảo định lý 3.4.4 lúc xảy nl w 3.4.5 Hệ tính làm đầy d oa Lấy  M ,   siêu mêtric mờ phân tầng X Với giả thiết siêu va an lu mêtric mờ mêtric hiển nhiên mạnh thỏa mãn (i) Khi  X , M ,   u nf làm đầy Hệ suy trực tiếp từ định lý 3.4.4 ll Tuy nhiên cần lưu ý trường hợp tổng qt siêu mêtric mờ khơng m oi phải lúc làm đầy Điều minh họa qua số ví dụ z at nh mục 3.5 z 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 @ gm Trong mục này, luận văn tập trung giới thiệu ví dụ để minh họa kết l có 3.4 Đặc biệt, tơi trọng nhấn mạnh tất m co điều kiện định lý 3.4.4 cần thỏa mãn đầy đủ dùng an Lu làm dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy n va ac th si 41 3.5.1 Ví dụ 1: Khơng gian mêtric mờ phân tầng không làm đầy dù có t-chuẩn dương (thiếu điều kiện mạnh) giới hạn X   0,1 xét Lấy d mêtric thông thường mêtric mờ chuẩn M d cảm sinh d Định nghĩa ánh xạ: lu  M d  x, y , t  ,  t  d  x, y    M x, y,2t  t  d  x, y   M x, y, t   t   d  d  d  x, y   d  x, y  M  x, y , t    , d x, y  t      M d  x, y,2t  , t   an Khi va   0,1, M ,  không gian mêtric mờ (xem Mệnh đề 9, [6]) n Trong tài liệu [6], tác giả chứng minh  M ,  vừa không làm đầy tn to gh vừa mêtric mờ mạnh X (xem Lưu ý 13, 14, [6]) p ie Ngồi ta có t-chuẩn  dương Kế tiếp ta chứng minh w  M ,  mêtric mờ phân tầng X d oa nl Cần ý d  x, y   d  x ', y ' M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  an lu Giả sử M  x, y, t0   M  x ', y ', t0  , t0  ll Xét trường hợp sau: u nf va Ta chứng minh M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  m oi 1) Nếu  t0  d  x, y   t0  d  x ', y ' thì: z at nh M  x, y , t   z t0 t0   M  x ', y ', t0  t0  d  x, y  t0  d  x ', y ' gm @ d  x, y   d  x ', y ' m co l Từ ta rút kết luận M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  an Lu n va ac th si 42 2) Nếu t0  M  x, y, t0   2t0 2t0  2t0  d  x, y  2t0  d  x ', y ' d  x, y   d  x ', y ' Tương tự ta rút kết luận M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  3) Giả sử d  x, y   t0  d  x ', y '  t0  Hiển nhiên d  x, y   d  x ', y ' M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  Khơng tính tổng qt, giả sử d  x, y   d  x ', y ' Khi M d  x, y, t   M d  x ', y ', t  , t  lu an Hơn M d  x, y,2t   M d  x, y, t  , x, y   0,1 Ta có: va n M  x, y, t0   M d  x, y,2t0   gh tn to p ie  M d  x, y,2t0   t0  d  x , y   t0  M d  x, y , t    d  x, y   d  x, y  t0  d  x ', y '  t0  M d  x, y , t    d  x ', y '  d  x ', y ' oa nl w  t  d  x, y  t0  d  x ', y '   M d  x, y,2t0       d x , y  d  x ', y '     d   t0   t0  M d  x, y , t0       d x , y  d x ', y '       va an lu t0  d  x ', y '   t0  M d  x ', y ', t0    d  x ', y '  d  x ', y '  ll u nf  M d  x ', y ',2t0   m oi  t  d  x, y  t0  d  x ', y '   t0  t0  M d  x, y , t0          d  x, y   d  x ', y '   d  x, y   d  x ', y '   z at nh t0  d  x ', y '  t0  M d  x ', y ', t0    d  x ', y '  d  x, y  m co l an Lu Vậy M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  gm trái giả thiết @  M  x ', y ', t0  z  M d  x ', y ',2t0   n va ac th si 43 4) Cuối cùng, xét trường hợp d  x, y   t0  t0  d  x ', y ' Ta chứng minh trường hợp xảy Với d  x, y   d  x ', y ' , dựa vào giả sử ban đầu, ta có: M  x ', y ', t0    t0 t0  d  x ', y ' t  d  x, y  2t0 t0  t0  2t0  d  x ', y '  d  x, y  t0  d  x, y   d  x, y   M  x, y , t0  lu Rõ ràng M  x, y, t0   an va n M  x, y , t   t0 vậy: t0  d  x, y  Điều hiển nhiên vơ lí ie gh tn to t0 t0   M  x ', y ', t0  t0  d  x, y  t0  d  x ', y ' p 3.5.2 Ví dụ 2: Khơng gian mêtric mờ mạnh phân tầng không nl w làm đầy (thiếu t-chuẩn dương) oa Lấy  t-chuẩn không dương nêu Ví dụ 2.2: d a  b  max a  b  1,0 u nf va an lu với a, b0,1 ll Lấy  xn n3 , yn n3 dãy phân biệt m oi Đặt A   xn n3 , B   yn n3 , giả sử A  B   z at nh Đặt X  A  B , định nghĩa hàm giá trị thực M X  X   0,   thỏa mãn: z   1 M  xn , xm , t   M  yn , ym , t      , m , n max m , n       1 M  xn , ym , t   M  ym , xn , t    n m m co l gm @ an Lu với n, m  n va ac th si 44 Trong tài liệu [13], Ví dụ 2, tác giả chứng minh  X , M ,  không gian mêtric mờ không làm đầy Theo cách định nghĩa hàm giá trị thực trên, ta nhận thấy hàm lấy giá trị khơng phụ thuộc vào xn , ym hay nói cách khác  M ,  mêtric mờ ổn định Trong phần trước, ta nêu rõ mêtric mờ ổn định mạnh phân tầng (xem 3.3.1),  M ,  mêtric mờ mạnh phân tầng Vậy ta nêu trường hợp t-chuẩn  khơng dương khơng xảy tính chất làm đầy lu 3.5.3 Ví dụ 3: Khơng gian mêtric mờ mạnh không làm đầy an Xét không gian mêtric mờ  X , M ,   cho 3.3.5 n va với t-chuẩn dương (thiếu điều kiện phân tầng) gh tn to Ta có  dương suy trực tiếp từ Ví dụ 2.2, a  b  a, b  p ie a  b  nl w Ta chứng minh  M ,   mạnh Đầu tiên nhắc lại cách xây dựng  M ,   oa 3.3.5 với trường hợp sau: d M  xn , ym , t   M  ym , xn , t   xn  ym , n, m  , t  an lu u nf va M  xn , ym , t   M  ym , xn , t   xn  ym  t , n, m  ,0  t  ll Lấy zk  dãy tăng nghiêm ngặt số thực dương hội tụ theo oi m mêtric Ơ-clit Nếu t  , ta có: z at nh M  xn , zk , t   xn  zk   xn , zk  z    xn , ym  ,min  yn , zk    M  xn , ym , t   M  ym ,z k , t  @ gm Do  M ,   mạnh Trường hợp  t  1chứng minh tương tự không làm đầy X m co l Ngồi ra, tài liệu [14], Ví dụ 2, chứng minh mêtric  M ,   an Lu n va ac th si 45 Cuối cùng, ta chứng minh luận văn  M ,   khơng phân tầng (Phản ví dụ 3.3.5) Bên cạnh đó, với nhận xét  X , M ,   không gian siêu mêtric mờ, ta rút kết luận đề cập cuối mục 3.4: Trong trường hợp tổng quát, lúc không gian siêu mêtric mờ trang bị t-chuẩn dương làm đầy thiếu điều kiện phân tầng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 KẾT LUẬN Những kết đạt Từ dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được, luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định lớp không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện nêu định lý 3.1.14, từ có hướng tiếp cận tiện lợi việc tìm kiếm khơng gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là:  Chỉ lớp không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian mêtric mờ quen thuộc, đối tượng tiện lợi cho lu nghiên cứu an  Chỉ điều kiện (ii) (iii) định lý 3.1.14 thay va n trường hợp định, dùng để nhận biết không gian mêtric to  Chỉ lớp không gian mêtric mờ áp dụng 3.1.14 để p ie gh tn mờ làm đầy (3.4.3) xét tính làm đầy (xem 3.4.4) nl w  Làm rõ độc lập đặc tính khơng gian mêtric mờ nêu d oa 3.4.4 nhấn mạnh việc áp dụng dấu hiệu 3.1.14 hạn chế an lu áp dụng lớp không gian mêtric mờ 3.4.4) ll u nf va mạnh phân tầng trang bị t-chuẩn dương (xem phân tích cuối định lý oi m Hướng nghiên cứu z at nh Như vậy, việc tìm kiếm dấu hiệu phổ quát để nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được, ta quay lại với tảng ban đầu từ z @ dãy Cauchy gm Trong [8], tác giả chứng minh ánh xạ tương ứng t với an,bn n dãy an Lu Cauchy không gian mêtric mờ mạnh m co l lim M  an , bn , t  , t  ánh xạ liên tục, với hai dãy n va ac th si 47 Tuy nhiên nhận định lại chưa với trường hợp không gian mêtric mờ phân tầng tổng quát (trong [6], ví dụ 3.3, tác giả tìm dãy Cauchy khiến cho ánh xạ không liên tục trường hợp ví dụ 3.5.1) Hay nói cách khác, điều kiện phân tầng khơng thể thay hồn tồn điều kiện mạnh để thỏa mãn (i) 3.1.14 Dù với việc điều kiện phân tầng giúp ta thay (ii) 3.1.14, ta tiếp tục đặt câu hỏi cho việc tiếp tục nghiên cứu mối tương quan điều kiện phân tầng điều kiện (iii), nghĩa là: Lấy  X , M ,* không gian mêtric mờ phân tầng dãy an ,bn  lu an dãy Cauchy X Liệu có tồn lim M  an , bn , t  với t  ? n n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Trần Tráng (2004) “Tôpô đại cương”, Nxb Đại học Sư phạm TP HCM Đậu Thế Cấp (2005) “Tôpô đại cương”, NXB Giáo dục Tài liệu nước D Mihet (2007), “On fuzzy contractive mappings in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 158, 915-921 George, P Veeramani (1994), “On some results in fuzzy metric spaces”, lu Fuzzy Sets and Systems 64, 395-399 an George, P Veeramani (1997), “On some results of analysis for fuzzy metric va n spaces”, Fuzzy Sets and Systems 90, 365-368 to gh tn V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2015), “On completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 267, 133-139 p ie V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2012), “Some questions in fuzzy oa nl w metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 204, 71-85 d V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Characterizing a u nf va 3-11 an lu class of completable fuzzy metric spaces”, Topology and its Applications, ll V Gregori, S Morillas, A Sapena (2010), “On a class of completable m oi fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 161, 2193-2205 z at nh 10 V Gregori, S Morillas, A Sapena (2011), “Examples of fuzzy metrics and applications”, Fuzzy, Sets and Systems (170), 95–111 z gm @ 11 V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Cauchyness and m co 37 l convergence in fuzzy metric spaces”, RACSAM, Volume 111, Issue 1, 25– spaces”, Fuzzy Sets and Systems 115, 485-489 an Lu 12 V Gregori, S Romaguera (2000), “Some properties of fuzzy metric n va ac th si 49 13 V Gregori, S Romaguera, “On completion of fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 130 (2002) 399-404 14 V Gregori, S Romaguera (2004), “Characterizing completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 144, 411-420 15 V Gregori, J.J Minana , A Sapena (2017), “Completable fuzzy metric spaces”, Topology and its application, Volume 225, 103-111 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si