sucesiones en el cuerpo

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INSTITUTO DE MATEMATICAS

SUCESIONES

EN EL CUERPO R

Ing MARIO RAUL AZOCAR

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SUCESIONES EN EL CUERPO R

Ing MARIO RAUL AZOCAR

1969

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ad

1, FR campo fe les reales

Desde los estudios de humanidades nuestres alumnos est&n familiarizados con el conjunto 72 de los n@meros reales, de tal modo que conocen y manejan con seguridad

Tas operaciones fundamentales entre ellos

Por esta raszOn, el pdrrafo presente

rlryatyeses

tiene como objetivo rrieecinal sistemaciazar Las orepiodades cel cCoajunto de los nimoros weales, que osteriormente serdn de uso

frecuente

a) Axtomas de ađiciốn,

Fn el conjunto In se define una one- raci6én llamada suma, que asocia a cada par oxdeiado de ndmeros reales: a y b un namero real a + b, de tal modo que se cumplen los axiomas siquientes:

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AZ} Para todc a @ TIR, b€ RE vy c€ MR, se tiene: fa + oF + oc = ar (D+ C) (asociatividad)

IR un nimero: 0, tal que:

l@) b2 2 mn c+ œ @ 2

a+ 07a ÿ a€ *r

A4) Para cada a @ IR existe un elemento {-a) € IR, tai que:

a+ (-a) = 0

De acuerdo a la terminolcgŸa aige-

praica conviene cbservar que la pareja (IR, +); constiruye un

grupo abeliano

b) Axiomas de Muitiplicacién

En el conjunto IR se define una ope-

raci6n llamada productc, que asocia a cada pareja ordenaca de

nimeros reaies: a y b un niimero real ab, de tal mcdo que se ve- rifican las axiomas siguientes:

-

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M2) Para todo a @ Rm, be RMyce€E MR, se tiene: ta-mi+-c = a- (bec) ({asociatividad)

M3) Existe en R un elemento: 1 # 0, tal que:

a-l=a ¥ ae i

M4) Para cadaaé€ Ry a #0, existe un elemento al Ee i,

tal que: acat = 1

Observamos al lector que el conjunto

cs : _ e

=

_tituye un grupo abeliano

c) Axicma đe Distribuciốn

Di) Para tcđo a @€ 1m, b€ Ryceé€e R, se tiene:

(a + b) - cC= a : c+b :ec

Este axioma que vincula las operaclo-

nes de adici6n y multiplicaciốn, junto con las axiomas prece-

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đ) Axiomas đe Orđen

En el conjunto IR, para cada par de ndmeros reales se define una relaci6n binaria: "menor que" ex-

presada por el simbolo, <, de tal modo que se verifican los axiomas siguientes:

di) Para cadaa@ Rybeé I se tiene una y s6lo una de las

expresiones: a<b a= b b<a

@2)} Para cadaa€ R,be€ Ryc € IR, se tiene que:

a<b V b<c implica a<c

@3) Para cada a € R, b@€@ Ryceé€é RR, se tiene que:

a<b implica a + c<b +œc

94) Para cada a € R, bE mè y c € Rh, se tiene que:

a<b y O0<c implican ac< be

¬ f ˆ

+

Bo êm +onjunto IR de los nứmeros reales, por saticfacer los axiomas (01) (02), (Ø3) y (04) se đicen que es un campo ordenado

-

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`

dificultad las relaciones ( > ) "mayor que"; ( < ) "menor o igual que" y (> ) “mayor o igual que", en efecto, basta tomar ia definicién siguiente:

DEF 1

a>b significa b < a a<b significa (no a > b)

a> b significa (no a < b)

Todos los axiomas precedentes, vale decir, los axiomas de ađiciồn, de multiplicaci6én, de distribu- cién y de orden, son indudablemente muy familiares para los j6évenes estudiantes liceanos Creemos que no ocurre lo mismo con el llamado axioma de completitud o axioma de completividad, que es el que realmente permite diferenciar al campo de los niéime-

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x < b ¥ x Es

El aGmero b se llama cota superior del conjunto S

Como ejemplo de conjunto acotado su- periormente, podemos mencionar el conjunto IR™, de los reales negativos, que admite como cota superior el nfimero cero

De acuerdo a la definici6n anterior tenemos que si un conjunto S ce nimeros reales es acotado supe- riormente, ningtin nimero de S es mayor que la cota superior b

Ademas si b es cota superior de S, todo nGmero real mayor que b también es cota superior de S

Finalmente, conviene observar que,

hay conjuntos de nimeros reales que no son acotados superiormente

Tal cosa ocurre, por ejemplo, con el conjunto de los enteros positivos

DEF 3

Un conjunto S de nfimeros reales se

-

Trang 9

El nGmero a se llama cota inferior del conjunto S

El conjunto IRt de los reales posi- tivos es acotado inferiormente, ya que admite como cota infe-

rior al cero y también a cualquier nfmero negativo DEF 4

Un conjunto S de nGmeros reales se

dice acotado,si es acotado superior e inferiormente

Como ejemplos de conjuntos acotados podemos mencionar los intervalos:

(a, b) = {x ]a<x<b }

fa, b] = {x]acx<b}

(a, b) = {x |x<a<b}

fa, b) = {x|x<a<b}

En todos ellos el nfimero a es cota inferior y el nũmero b es

cota superiór DEF 5

Se llama supremo de un conjunto §

-

de nGmeros reales, a todo real M, tal que:

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1) x <M ¥xre eS

n4 oy io S af > A

2) V Mọ< 1 a x s tal que x > Mo

Para indicar que M es supremo del conjunto S, pondremos:

4 = suns

De acuerdo a esta definici6n tenemos que un nimero M es supremo ce un conjunto S de nimeros reales si y sdlo si:

1) M es cota superior de S

2) M es la menor cota superior de S

De esta observacién se infiere de

inmediato que si un conjunto S tiene supremo, éste debe ser

finico De todos modos para no dejar ninguna duda al respecto,

demostraremos esta afirmaci6n

TEOREMA 1

7 Si un conjunto S đe nũmeros reales tiene un supremo, éste es Único

Dm

Trang 11

N

La definici6én de supremo de un con-

junto S frecuentemente se da por una formulacién equivalente que pasamos a indicar

TEOREMA 2

Un nimero real M es supremo de un

conjunto S de nimeros reales si y sSlo si: 1) x <M ÿ x €sS

2) ve >0 qxes tal que x >M-e_E

Sea M el supremo de un conjunto S, entonces por definicidn de supremo, tenemos que:

1) x < M’ ¥x EéES

2) ¥ My <M 3 xes tal que x > Mo

It

Tomando ¢ = M - My? resulta Mo M-~ € con € > 0 y entonces

la condici6én (2) se expresa por: ˆ

—_

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Asi si M es supremo de S se verifican las dos condiciones in- dicadas en el teoremz

Reciprocamente sea M un nimero que veorizica las ceiaciones:

< M ¥x es

bee ~ *

2) ¥ (Ð > 0 qgxes tal que x >M-e

Daremos a la condicién (2) la forma corriente que tiene en la definici6n de supremo En efecto, tomando Mo =M- ¢€, se tiene Mo < M y entonces (2) se recice a:

3) ¥ MO <M qgx€s tal que x > My

“9S Iintervalos abierto y cerrado que se indican:

(a,b) { x | a<x< b }

[a

tienen ambos como supremo al n&imero b; pero en el primer conjun- {x ]|a<x<b }

to, b no es,elemento del intervalo y en el segundo, b es elemento del ccnjunto

DEF 6

Se llama Infimo de un conjunto S de

+

nameros reales, a un real m, tal que:

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1) x > ™m Vx es

2) ¥m, > @ qxes tal que x < mM,

Para indicar que m es infimo del con- junte oc, pondremos: m = inf Ss

La definicién precedente expresa que

un namero m es infimo de un conjunto S de nfmeros reales, si y sSlo si:

+4) m es cota inferior de S,

2} mes la mayor cota inferior de Ss

i

De aqui entonces que si un conjunto de nGmeros reales tiene ft-

fimo, @ste debe ser Gnico

Tal como ocurri6 con la idea de su- premo, la nocién de infimo puede expresarse también en la forma

Siguiente:

TEOREMA 3

TÔ, UÚn nữmero real m es {nfimo de un conjun-

to S de números reales si y s6lo si: 1) x >m Vxe€sS

Trang 14

Dm

Analoga a 12 del teorema 2 Se deja al lector

Los intervalos semi-abiertos que se

nan Nui.e

1 - - <

(a,b} = {x a<x <b }

[4;E: = { x | asx<b}

tienen ambos come intimo al niGmero a En el primero de ellos aés y en el segundo a é@ 5S

Introducidas las nociones de finfamo y

do supremo estamos en condiciones de dar el llamado axioma de completitud, que ccmo hemos dicho es el que permite diferenciar el campc de los reales de otros campos ordenados

e) Axioma de Compvletitud

Todo conjunto S de ntimeros reales, no vacio y acotado infericrmente tiene infimo

2m

Sea A= { a @ IR | a es cota inferior de S }

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Como S es acotado inferiormente, tenemos que A no es vacfo

Además, si x € S VỤ a € A, por ser a cota inferior de ŠS ocu-

rre que, a < x, para todo a @ A y entonces A es acotado supe- riocmente

Aprovechando el axioma de completitud, como A es no vacio y acotado superiormente, conclufmos que A tiene un supremo a Haremos ver que a es infimo de S Por ser a& Supremo de A tenemos que:-

1) asx< a ¥Yae€éaAs

y como todo x € S es cota superior de A ocurre que: 2) a < x ¥xeés

La expresiốn (2) nos muestra que a es cota inferior de §S y la expresi6én (1) muestra que, toda cota inferior a de S, es menor que a, as{ tenemos que a es la mayor cota inferior de S, o sea que a = infS

TEOREMA 5 (Dedekind)

Sean A y B dos subconjuntos de IR, tales que: 1) AUB = IR

2) AFG ~ BFG

3) a@A ~ pbDEB

> a< b

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entonces existe un manero w € IR, tal que: xR <w + > xX @A M > j =—> xX EB

De vou *do a la hipétesis (2) el conjunto A no es vacfo yooor (3) ob conjunte ® es arotado suneriormente Aprovechan- dQ OF axiona de conmpleritne concluimos que A tiene un supremo Soa entonces supA = t0,

Por ser w el supremo de A, tenemos:

4) a < w Vae€EaA

y como todo b € B es cota superior de A resulta:

5) wi< b ÿ b €8

Ahora si x > w, afirmamos que x € B, pues si suponemos x € A, la expresién (4) obliga que x < w,

expresi6n que contradice la hipétesis x > w

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Observacién

En el tecrema anterior estA implici- ta 2a ncr.sn de cotadura de Dedekind, que tradicionalmente ha

3 .-z Sensiderada para definir la noci6n de nGmero rea!, partien-

v del congunte Q de ios racionales Pero el tesreme afirme

Gl

mucho m@s En efecto, se -=be que una cotadura en ei =ampoS đe

Aw oy ts 0:

los racionales define un rdmero real; el teoreme de Dede} aseqjura que una cetsdura en él campo de los reales tamp én de- fine una real v ello indudabiemente establece una not :a dife- rencia entre el conjunto de ics racionales y él conjunto dé

los reales DEF 7

Se llama vecindad o entorno de un nắ~-

mero real a,tcdo intervalo de ia forma (a - h, a # kK conan y

k positivos DEF 8

Se dice que un nfimero a,es punts de

acumulaci6n de un conjunto §,si en toda vecindad de a sxisren

infinitos nameros del conjunto 5S

^

Un punto de acumulaciồn đe tun conjun-

to no es necesariamente un elemento del conjunto; as{ en el

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- ~ ~ - ~~ peee 7 ?, , e + ose eee gy

“sero 1P pi Lên + 5 El conjunto de los númercs del intervalo abierto (0, 1) tiene, entre ctros, por puntos de acumulaci6én los nfimeros cero y uno, números que no pertenecen a dicho conjunto El conjunto de tedos los nG@meros enteros no tiene puntos de acumulaciốn E1

conjunto de los nimeros contenidos en el intervalo cerrado [0, 1: tiene a todo nimero de 61 como punto de acumulaci6n

TEOREMA 6

Todo conjunto acotado de infinitos nameros tiene por lo menos un punto de acumulaci6n

Dm

Como- el conjunto C de niimeros es acotado, existen los nf- meros my M Indicando con x un nfmero cualquiera de C, pode- mos distinguir los dos siguientes casos:

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2°- Hay x = ¥, tal que en el intervalo (m, X) no hay in-

finitos adneros đe C

En el primer caso el teorema es in- “ediato, pues en la hip6tesis considerada, m es un punto de a- cumulacién de C, ya que para todo h > 0, ocurre que en la ve-

cindad (m - h, m +h) hay infinitos ndmeros de C

En el segundo caso sea X, el supremo Gd] los x, puede ocurrir entonces que X = Mo bien X < M

Cuando X = M se tiene que cada x es un X, luego para todo n&mero x del conjunto C ocurre que en el intervalo (m, x) no hay infinitos términos de C, pero como en

el intervalo (m, M) hay infinitos nfmeros de C, resulta que todo intervalo (x, M) tiene infinitos elementos del conjunto, lo

que asegura que M es punto de acumulaci6n de él

Veamos finalmente el caso X < M, de- mostraremos que en esta hipétesis,X es un punto de acumulaci6n; en efecto sỉ no lo fuera, existiria por lo menos una vecindad

(X - h, X + h) en la cual no habria infinitos nGmeros de C,

luego lo mismo ocurriria en (m, X + h), de aqui que X + h seria un x, lo que indudablemente es absurdo por ser X el supremo de

los xX

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Este teorema se conoce con el nombre

de Teorema ce Eol:ano-Weierstrass DEY 2

Un conjunto S de nimeros reales se

dice cerrado si tcdo punto de acumulaciốn de S pertenece a S

DEF iO

Se llama conjunto derivado de un con- junto S de ntmeros reales, a: sonjunto S' de todos los puntos 3

đe acumulaciến de S DEP 11

Se llama clausura de un conjunto S de niimeros reales al conjunto: §=S US'

2.~ Sucesiones ER

DEF 12

$i a cada namero natural n= 1, 2, 3, « -, S@ hace corresponder un nimero ane el conjunto:

Te a,,) =a 1° a 2! a 3° a n! ¬

se llama sucesi6én

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De acuerdo con esta definici6én, son

sucesiones los siguientes conjuntos de números: 1

fa | a, =z} = {1, 3 3z < weeee }

fa fale % fat (a ]} = (0, 1, 0, 1, }

fa, da, enon ™™) = {1, 1, 1, 1, } DEF 13

Diremos que una sucesi6n (an) tiene

al nimero a como limite, si tomado un número c€ > 0 arbitrario,

existe un nGmero natural N, tal que:

la n - a| < € ¥ n> N

Para indicar que la sucesi6n (a) tiene como limite el nfmero a, emplearemos la notacién:

+ lim a_ = a

n

Conviene observar que de acuerdo con la teorfa de las desigualdades la expresidén lan _ a | < €, puede reemplazarse por:

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+ 1

+ u Í T 1

~E

y deabido a ếsto, emplearemos indistintamente una u otra segiin

lo estimemos conveniente

De acuerdo con la đefiniciốn de lí- mite que hemos dado, se tiene:

pues tomado arbitrariamente un nfmero ce > 0, resulta que

lẽ - 0Ì < € W n>N

siendo N el mayor entero contenido en 1/e DEF 14

Toda sucesi6n ta) que tenga un lỉ~-

mite a, se đirã convergente Toda sucesi6én no convergente se

đirã đivergente

DEP 15

Una sucesi6n ta) se dir& divergen-

te a infinito (~) si tomado un nGmero arbitrario G > 0 exis-

te un nGmero natural N tal que:

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Qa >@G ¥ n> N

Para indicar que (a) diverge a in-

f3 m2 hờn, ory 1 + Ÿˆ „4t °

finite, emplearemos la notaci6n:

lima n =»

TEOREMA 7

Toda sucesi6n convercerte eS acotada

C a

Si (a) converge hacia a, tomado e¢ > O arbitrario, existe

un nimero natural N, tal que:

a — £ < a <ate VWn vs d

n

asi entonces a partir del rango N adelante todos los términos đe la sucesiốn (a) quedan en el intervalo {a - €, a+ e€) y co-

mo fuera de dicho intervalo solamente hay un nimero finito (N)

de términos de la sucesién, siempre ser& posible indicar una cota superior y una cota inferior para el conjunto can) +

3.- Teoremas sobre limites de sucesiones

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TEOREMA 8

Si lim a, = a entonces lim k a, = k*a = k-lim ân

£

im

“mn efecto, tomado €« > 0, existe N tal que:

€

ja, - al < Th paran >N,

tKÍ

a Ou O He} Qu O

|ka, - kal < paran > N,

y esta expresién, de acuerdo a la definicién de limite de una sucesién, nos expresa cue:

x ~ lì

lim ka, = k k: lim ane

TEOREMA 9

§ = ï „”* = t < < t

Si lim ar a, lim ar a V ân é ân S$ a entonces lim a, = a

Dm

For hipétesis tomado € > 0, existe N, y Ng tales que:

a-~ ex an < ate paran>N,

a — £ < ân < ate para n > No

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ai <a xi n <a n resulta

a-e< an < ate para n> N

œ Sứ

lan -al<e para n> N

siendo N el mayor de los nfimeros Ny V N,

Las sucesiones (a,) V ta) se dicen sucesiones minorante y mayorante respectivamente con respecto a la sucesiốn (ai)

Corolario

n

Si 0< q< 1, se tiene: lim q = 0

En efecto, si p es un nimero positivo tal que q = "

i resulta: 1 1 1 1 1“ 0< q ` = = ¬——— (1+ p)°ồ 1+ np+ +pẺ np pn 1

y como la sucesié6n () tiende a 0, igual cosa ocurre con q”

TEOREMA 10

Si lima =a ty lim be = b, entonces lim (a, + bu") = a + b= lim ân + lim bo

Dm +

Por hipétesis, tomado « > 0, existen Ny V No tales que:

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la n lb - bị lại tut para n > Ny para n > Ny norm

Pero scr Ctra parte se tiene que:

ia + bo) - (a + b) = ta - a) + (bu ~ b}

|(a + bi) - (a+ b)] gla - al + [b„ - bị ce donde

| (a, + bi) - (a + b)| < e | para n > N

siendo N el mayor de los ntmercs Ny V Ny Asi tenemos: lim (a + iT Corolario 1 Si lima n b_) at =a

Lim (a, - bu)

En efecto:

lim

I a+t+b= lima_+ limb

il it

y lim bo = b, entonces

lim a_- lim b n n

(a - b_) = lim Lan + (-b_)] HH lim a_ + lim (-b )

Trang 27

Corolario 2

Siq> i, se tiene: limg œ

En efecto sea p un nfimero positivo tal que: q = 1 +p,

Luego n lim q > lim TEOREMA 11 Si lima n Oy be es acotada, 1+ p lim (ín) = e entonces lima b = Q nn

Como por hipdtesis bo es acotada existe un nimero 6 > 0

tal que [bại < B; ademas como a,

trario hay N de modo que:

RIM

tiende a cero, tomado c arbi~-

bara n > N

para n > N, lo que demuestra el teorema

Trang 28

TEOREMA 12

Si lim a,=ary lim bo = b, entonces lim Bạn = lim ân lim bo

Dm

Se tiene que:

a = a bu - ab + ab 7 (a, - a)-b, + ab luego

lim ae bo = lim (a, - a)-b, + lim ab,

pero como la sucesi6én (a, - a) converge a 0 y la sucesi6n bd

es acotada, resulta:

lim ay be =a - lim bo =a - b= lim an > lim bo:

TEOREMA 13

Si lim an = ay lim bo = b # 0, entonces

an a lim ân

lim ~- ` = - = ——— con b # 0 b n b lim b n

Dm

Trang 29

a |bị 1 2 ib > + Oo sea ~ <-

2 Ib | |b

¬ " 1

lo gue nos indica que la sucesiốn (E ) es acotada Por otra n

arte tenemos g que:

b~- b tim (2 - #) = lim ——h 'b n b* be b n 1 , 1 = 5 11m r— (b - bạ) = 0 n © Sea _ iL 3 lim 5 75 n Finalmente se tiene: an 1 1 1 a

lim 5 = lim an "5 = lim an lim- =a: 5 = 5 n n n

oO sea:

a lima

tim -= n Tim b n

TEOREMA 14

Si lim a = a, cin 3 V an > 0, cntonces b, _ b

lim log an) = “log(lim an)

Dm

£ vÉ

mero b > 1 se tendra b

Trang 30

existira N tal que: =e ân b < = <« bể para n > N a de donde a ~e < Plog -1 « +c a Oo sea

Blog a ~ c< Plog a, < Blog ate

o bien

| Prog ân — Plog al <e paran>N

Finalmente si 0 < b < 1, se tiene: 1 b = 11 _ 5B _ n no 1 3 , _- - ++~ dD - _b _b = lim log a, = log (lim an) = “log (lim an) Corolario

Si lim bu = b Con db, y b > O entonces lim be = bể TEOREMA 15

ân a Sỉ lim an.“ ay b > 0 entonces lim b = b

Dm

Cualquiera que sea Para fijar ideas supongamos b > 1

Trang 31

l1 + ph >b y como (i + h)P > 1+ ph queda: (1 + h)P >b 1 de donde - 1 +h > b® (1) entonces: 1 “Tt = h <b P y como 1 - hn? < 1 se tiene también _i l-~h<b P (2)

Por Gltimo tomemos un ntimero positivo arbitrarioe y de-

terminemos h de modo que h=eb °,

Como por hip&tesis lim an = a, tomado el nGmero natural p

tal que 1+ ph > b, hay un nGmero entero positivo N de modo que:

-~ al <_ 1 para n > N

Pp

para n >N

Como hemos supuesto que b > il, resulta

_i aA -a +

b Pep <b SH tbe paran >wN

de aquf, considerando las relaciones (1) y (2) se tiene:

a - &@

Trang 32

© sea

a ~ a

-a ` x —_

1-eb?* <b” <l+eb? para n> N

Finalmente multiplicando por bỂ, queda:

a

bo -e<b™< bre +e para no N es decir

ân a

lb “- b°| <e ¥ para n> N

Si 0< b< 1, haciendo g = 2 resulta 8 >1 y luego

a la 1

lim b ™ = lim (2) "= yim + = —1 = Lc (-)2 - pầ

B an an a 8

8 lim 8 8

TEOREMA 16

Si limb n =b> 0, conb n > 0 y lim a_ n = a, a entonces lim bo n= b? Dm Tenemos an an bo an ._ bọ "=b” œ0)

Como (a) es convergente, ella es acotada, luego se puede

determinar dos nfmeros h y k para los cuales se tenga h < an < k

Trang 33

b b a b ¿manh ‹ (nhị Hà (—Pyk sỉ -ñ >» 1 ` ` ⁄ b b b b b a b b ¿nh > (nạ n > (-nyk rei -" « 1 b b b b nero como b b lim (=Ð)Ề= 1 yy lim (-")* 21 b b se tiene b a lim (-") P= 1 b y por lo tanto an a an a a

limb, © = lim b No dim (-") ™ = b* - 1 =b

b

DEF 16

Una sucesién (a) se dice creciente si: a <a tyn€N DEF 17

Ủna sucesiồn (an) se đice đecreciente sỉ:

a Pa 1 Vn€G€N

TEOREMA 17 (Stolz)

Si de las sucesiones u, YY, la segunda tiende a

+

infinito y es creciente, se tiene que:

Trang 34

lim — = lim

Vv BỊ V n + 1 — V n

siempre que el limite del segundo miembro exista o sea infinito,

Dm

Supongamos primeramente que (ua, +1 u) / (vn ¬ vụ)

tienda a un limite finito L; en este caso existir& N tal que,

para n> N se tendr4 u ~ u L-c ch *+ Rñ‹/Lực Yn +1 °° Yn - > ° y comov 14 Vn 0, resulta: - ~ < = < -

M-e) Wega 7 My) SU 7 US Mn ga 7 Vy) (L+ €)

Reemplazando en esta desigualdad n por n +1, n+ 2, , n + (p-1) se obtiene:

(- €) Vigo 7% ed) SU 427 US Mn tg 2 7 Yn gt 2) (Ete)

(L - €) (vy, + 3 Vn + 2) < Un +3 un + 2 “vn +3 — Vn + 1) (Lt)

oe) (vn + p Yn + p 1) < Un + p Yn+p-1 ( n+p Vntp-1) (Lte

y sumando queda:

(L ¬ £) (V n+p - vn) <u, + p ~ u_ n < (v n+p -v_) (L + E) n

+

de donde, suponiendo v n+dq > 0 (lo que ocurre para n + p grande),

Trang 35

Vv u un + u Vv

(Le) (1 - Sa) oc REE ce + (1- 4 -) (Lt)

n+p n+p n+pP n+p n+p

dejanco ahora n fijo y haciendo crecer n + p = m se tendré:

U

L-2e< = <L+2e

m

para n > Ny siendo Ny > N

Suponiendo finalmente que (u, $17 u,) / (vo +177 )

n

tiende a infinito, tomado G > 0 arbitrario, se tendr&:

u - u ++ > G para n > No n + 1 n ° sea fn+ 1 — Un > tư + 1ˆ vn) :

y dando an los valores: n + 1,n + 2 n †+ p - 1 resulta

Bn + 2T 0n +1? GẮN +2 — Vn + 1Ì U4 37 Une 27 SO 4 3 7 Yn + 2)

Un + p 7 Un +p-t ° Gv, + p ~ Vn + p- 1)

y luego sumando se obtiene:

Trang 36

> G para m > N2

lo que demuestra el teorema, que en la literatura matematica

se conoce con el nombre de Criterio de Stolz TEOREMA 18

Si lim a, = a, con a finito o infinito, se tiene:

a +a + + a 11m + 2 = a = lim a n lim — n no = lim —2 = V n u —- U n + 1 n

Trang 37

TEOREMA 19

Si lin a, = a, con a, ya positivos y a finito o in- a

finito, se tiene:

: nh = °

lim Res a2 "ì © e œ se « r° an lim a,

l

Es inmediato que:

n

log lim ay ag sess a

log ai†log aot „.„„t+log ân

lim

n

lim log a = log lim an de donde pasando al antilogaritmo queda:

n

lim ay a2 1c 1 1e an = lim an

Corolario 1

an

Si lim a CF L, siendo an positivo y L finito o no, se

n- 1

tiene:

a

Trang 38

luego:

n a

Linh đan tm _

v 1 *2 n-2 n-1 Än~1

Coroliario 2

iim 3/n = 1; lim Afa = 1; lim/n ==

En efecto, para la primera sucesi6n tenemos: " ¬ 4p — | | | ® Ð II ˆ e 3 l- = — of ow, nm _ 4 1 _

lim Yas lim n1” lim T= 1

‘ n

Para el segundo caso, suponiendo primero, a * 1 se tiene: nj n

l1<¬/a < n para n > a

y como lim in = 1 resulta que lim Va = 1 Considerando

ahora el caso 0 < a < 1, poniendo b = 1/a se tiene b > 1 y

luego:

~ ram Of/y eas, Nfl; 1 _ 1

1 = lim AE mm Aậ* th =* he V —\ Lim a= 1 Asi: Finalmente: n 1

1im n! = lim (n - 1)! ¬ = lim n =

4.- Criterios de convergencia

Trang 39

cesi6én

Recordamos que tna sucesi6én (a) se dice creciente si:

a <a < A@n<.eaee KX < se ® s « 6

1 2 3 ñn “ Ẩn +1

a, > aA, > a.> > a 3 >a 1 “ {1e

TEOREMA 20

Si (a) es creciente y acotada superiormente, tiene iimite

Dm

Puesto que (a) es acotada superiormente, tiene un supre-

mo M y por lo tanto hay un elemento an > M - € siendo c > 0 ar- bitrario y como (a_) es creciente se tiene que

M-e€< an <MteE ¥ n>N

° sea:

<6 ¥ non

que nos indica que M es el limite de la sucesi6én (a) Corolario

Si (An) es decreciente y acotada inferiormente, tiene li-

mite i

Trang 40

En efecto, si (a) es una tal suce- siốn, se tendr3ä que la sucesi6n (an) sera creciente y acotada Superiormente y la existencia del lf{mite de (an) implica la exi

tencia del limite de a, = -~(-a_)

Finalmente veremos un teorema debido a Cauchy y que corrientemente se conoce con el nombre de crite- rio general de convergencia

TEOREMA 21

Condicién necesaria y suficiente para la convergen- Cia de una sucesi6n (a) es que tomado € > 0 arbitrario exista un entero positivo N tal que:

< € paran> mon

La condici6én es necesaria:

En la hipốtesis que (a) converge

hacia un,.limite a, tomado Âô > 0 arbitrario, existe N tal que:

lan - a| < 5 para n>wN

lam ~ al < 5 para m >N