(Luận văn) các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Yến lu an n va ie gh tn to CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC p CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Yến lu an n va CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA p ie gh tn to CÁC NHÓM HỮU HẠN oa nl w Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số d Mã số: 60 46 01 04 u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: @ m co l gm PGS TS MỴ VINH QUANG an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 n va ac th si LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dành nhiều thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Bùi Tường Trí quý thầy khoa Tốn giảng dạy cho tơi kiến thức Đại số Giải tích để từ tơi tự đọc thêm kiến thức hồn thành luận văn lu Bên cạnh đó, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư an va phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Tốn q Thầy Cơ giảng n dạy, tạo điều kiện cho hồn thành khóa học gh tn to Và để có kết ngày hơm nay, tơi nhận lời động p ie viên, đóng góp ý kiến bạn bè người thân nl w Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, tơi d oa mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc ll u nf va an lu Xin chân thành cảm ơn! oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu dùng luận văn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu Chương CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN 15 an 2.1 CAP-nhóm nhóm hữu hạn .15 va n 2.2 Một số đặc trưng nhóm giải hữu hạn .24 gh tn to KẾT LUẬN 41 p ie TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN lu H nhóm G H < ⋅G H nhóm tối đại G H M (mâu nl w thuẫn) d oa Do N G ( P ) = M = ) P= C N ( P ) Theo định lí 1.16.3 P M ∩ N nên N N ( P= an lu ta có N nhóm p-lũy linh Suy ra, N có nhóm p-phần bù chuẩn tắc K cho va = N PK , K ∩= P Mặt khác, N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G nên theo ll u nf định lí 1.20 ta có N = T1 × × Tm Ti (i = 1, m ) nhóm đơn chuẩn tắc oi m → Ti ,(i = 1, m ) Khi đó, K  N nên N Xét toàn cấu chiếu pi : N  z at nh pi ( K )  Ti Do Ti nhóm đơn nên pi ( K ) =1 ⇒ K =1 Suy ra, N = P nên N pnhóm Vì N =P ≤ M =N G ( P ) < G Điều mâu thuẫn với G = LN z @ gm Trường hợp 2: LN < G Khi LN nhóm tối đại G Suy N m co l nhóm chuẩn tắc tối tiểu LN L 2-nhóm tối đại G Theo bổ đề 2.1.11, ta có LN nhóm giải Mặt khác theo bổ đề 2.1.6, LN CAP-nhóm an Lu G Do theo hệ 2.1.12, G nhóm giải n va ac th si 31 2.2.8 Định lí Cho G nhóm p số nguyên tố lớn chia hết cấp G Nếu nhóm tối đại M G F pcn CAP-nhóm G G p-giải Chứng minh Nếu F pcn = 0/ S pcn (G ) = G Do đó, theo bổ đề 2.1.7 ta có G p-giải Giả sử F pcn ≠ 0/ Nếu G nhóm đơn G nhân tử lu an G Vì nhóm tối đại L G F pcn CAP-nhóm G nên n va G ≤ L G ∩ L ≤ Cả hai trường hợp xảy Do G khơng tn to nhóm đơn ie gh Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Ta chứng minh qui nạp theo p cấp G Giả sử định lí với nhóm có cấp nhỏ cấp G oa nl w Xét nhóm thương G N Theo giả thiết qui nạp G N nhóm p-giải d Nếu N p ' -nhóm G p-giải Nếu N khơng p ' -nhóm với pcn lu ta có L ∩ N ≠ L chứa p-nhóm Sylow G Mặt khác, L an L∈F u nf va CAP-nhóm G nên NL = L Suy ra, ta có N ≤ S pcn Theo bổ đề 2.1.7, ta có ll N p-giải Vậy G p-giải oi m z at nh 2.2.9 Định lí Cho p số nguyên tố chia hết cấp G P p-nhóm Sylow G z Khi đó, G p-giải P CAP-nhóm G m co H K nhân tử G Khi H K an Lu p-nhóm p ' -nhóm l ( ⇒ ) Giả sử G nhóm p-giải gm @ Chứng minh n va ac th si 32 Nếu H K p-nhóm HP = KP p ' -nhóm Hall K p ' -nhóm Hall H Nếu H K p ' -nhóm H ∩ P = K ∩ P Do P CAP-nhóm G ( ⇐ ) Giả sử P CAP-nhóm G Ta chứng minh qui nạp theo cấp G Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Theo giả thiết qui nạp, G N p-giải lu an n va Nếu N p ' -nhóm G p-giải tn to Nếu N khơng p ' -nhóm P CAP-nhóm G N nhân ie gh tử G nên PN = P p Suy N p-nhóm Vậy G p-giải w d oa nl 2.2.10 Hệ an lu Cho π tập số nguyên tố G nhóm Khi đó, G π -giải ll u nf nhóm G va với p ∈ p tồn p-nhóm Sylow P G cho P CAP- oi m Chứng minh z at nh G π -giải ⇔ G p-giải với p ∈ p ⇔ Với p ∈ p , z p-nhóm Sylow P G CAP-nhóm G (theo định lí 2.2.9) a) Định nghĩa m co l gm @ 2.2.11 Nhóm A4  free an Lu n va ac th si 33 Nhóm G gọi nhóm A4  free khơng có nhóm thương nhóm G đẳng cấu với nhóm phép A4 bậc b) Tính chất Mọi nhóm nhóm A4  free nhóm A4  free Chứng minh Ta dùng phương pháp phản chứng lu Giả sử G nhóm A4  free tồn nhóm H G cho H an khơng nhóm A4  free Khi đó, có nhóm thương K L nhóm va n K H đẳng cấu với nhóm A4 Mà K nhóm G nên suy gh tn to G có nhóm thương nhóm đẳng cấu với nhóm A4 (mâu thuẫn) p ie 2.2.12 Bổ đề nl w Cho p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp nhóm H P p-nhóm d oa Sylow H Nếu P ≤ p H A4  free H p-lũy linh lu u nf va an Chứng minh ll Cho P p-nhóm Sylow H m oi Ta có P ≤ p nên P nhóm Abel Nếu P nhóm cyclic theo định lí 1.16.4 ta z at nh có H p-lũy linh z gm @ Do đó, giả sử P = p P p-nhóm Abel sơ cấp Ta chứng minh qui nạp theo cấp m co không lớn p l H Gọi L nhóm tối đại H Khi đó, cấp p-nhóm Sylow L an Lu n va ac th si 34 Theo giả thiết qui nạp, L p-lũy linh Do đó, ta giả sử H nhóm khơng plũy linh tối tiểu (tức là, H nhóm khơng p-lũy linh nhóm tối đại H p-lũy linh) Theo định lí 1.17.5 1.17.6, H có p-nhóm Sylow P q-nhóm Sylow Q nhóm cyclic Do đó, H = PQ P  H với q số nguyên tố ( p ≠ q) Suy ra, ≠ H C H ( P ) q-nhóm H C H ( P ) đẳng cấu với nhóm Aut( P ) Thật vậy, ta xét t : H  → Aut( P ) h  hτ : P → P lu p  h −1 ph an n va ∀h ∈ H , ta có h −1 Ph = P (do P  H ) nên h −1 ph ∈ P, ∀p ∈ P Suy hτ ánh xạ gh tn to τττ −1 −1 = h= ( pp ') h= pp ' h h −1 phh p ' h h ( p )h ( p ') Suy hτ đồng cấu p ie ∀p ∈ ker hτ ⇒ h −1 ph = ⇒ p = hh −1 = Suy ker hτ = w d oa nl : p hτ ( x ) (do h −1 Ph = P hay P = hPh −1 ) ∀p ∈ P, = ∃x hph −1 ∈ P= va an lu Vậy hτ đẳng cấu, ∀h ∈ H Suy ra, ht ∈ Aut( P ) τ ánh xạ u nf = ( hh ')ττττ ( p ) ( hh= ') −1 p ( hh ') h = ' −1 h −1 phh ' h= ' −1 h ( p )h ( h  h ' )( p ) Suy τ ll đồng cấu τ } {h ∈ H h = = −1 z gm @ Suy H C H ( P ) ≅ Imt ≤ Aut( P ) } ph = p, ∀p ∈ P = C H ( P ) z at nh {h ∈ H h oi m ker τ = m co q = l 2 Mặt khác, Aut( P ) =( p − 1)( p − p ) p < q nên q p + Suy ra, p = an Lu Giả sử Q = qα Khi đó, Φ (Q ) = qα −1 (do Q q-nhóm cyclic) n va ac th si 35 Suy H Φ (Q ) p= q 12 = Bây giờ, ta chứng minh H Φ (Q ) ≅ A4 Đặt T = H Φ (Q ) , P p-nhóm Sylow chuẩn tắc H nên PΦ (Q ) Φ (Q ) p-nhóm Sylow chuẩn tắc T Suy T có n2 = n3 = Gọi K 3-nhóm Sylow T Đặt X= {L < T ∃t ∈ T : L= t −1 Kt} Vì 3-nhóm Sylow liên hợp với nên X= n= lu an Ta có ∀L ∈ X , ∃t ∈ T : L =t −1 Kt Xét ánh xạ ϕ : X → T N T ( K ) n va t −1 Kt L  tN T ( K ) với t ∈ T : L = ie gh tn to Dễ thấy ϕ song ánh hay X T= = : NT ( K ) p Suy ra, N T ( K ) = hay N T ( K ) = K w d oa nl Khi X = {K1 , K , K , K } tập 3-nhóm Sylow T va an lu Từ ta xây dựng đồng cấu α : T → S4 sau: ll u nf Với t ∈ T bất kì, ta định nghĩa α t ∈ S4 α t (i ) = j ⇔ t −1 Ki t = K j ( α t phép oi m hốn vị phép liên hợp tự đẳng cấu) z at nh Với t , g ∈ T , ta có t −1 ( g −1 Ki g ) t = ( gt ) −1 Ki gt Do đó, α gt = α gα t z gm @ Vậy α đồng cấu Suy ra, T ≅ Im α ≤ S4 m co l Mặt khác, N T ( K ) = K nên ker α =∈ 1} = {t T αt ∈ S4 : αt = an Lu n va ac th si 36 Do đó, H Φ (Q ) ≅ A4 (điều mâu thuẫn với H A4  free ) Vậy H nhóm p-lũy linh 2.2.13 Định lí Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H Nếu tất 2-nhóm tối đại p-nhóm Sylow H CAP-nhóm G G A4  free , H p-lũy linh Chứng minh lu an Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Gọi P p-nhóm Sylow n va α H với P = p Ta xét trường hợp sau: to ie gh tn Trường hợp 1: α ≤ p Theo bổ đề 2.2.12, ta có H p-lũy linh oa nl w Trường hợp 2: α ≥ d Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho N ≤ H P* p- nhóm an lu u nf va Sylow N cho P* ≤ P , P p- nhóm Sylow H ll Nếu P* ≥ P p ta lấy nhóm P1 P* cho P1 2-nhóm oi m tối đại P z at nh Nếu P* < P p ta lấy 2-nhóm tối đại P1 P cho z gm @ P* ≤ P1 NP1 = P1 Suy N p-nhóm p ' -nhóm m co l Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = an Lu n va ac th si 37 Nếu Ο p ' ( H ) ≠ ta xét nhóm thương G Ο p ' ( H ) Dễ thấy giả thiết định lí cho nhóm thương G Ο p ' ( H ) Do đó, phương pháp qui nạp, ta có H Ο p ' ( H ) p-lũy linh suy H p-lũy linh Khi đó, ta có Ο p ( H ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc Giả sử Ο p ' ( H ) = tối tiểu G cho N ≤ Ο p ( H ) Xét nhóm thương G N • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N khơng lớn p theo bổ đề 2.2.12, ta có H N p-lũy linh lu an • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N lớn p phương va n pháp qui nạp, ta có H N p-lũy linh tn to gh Bây giờ, gọi T N p-phần bù chuẩn tắc H N Nếu N ≤ Φ ( H ) N p ie p-nhóm Ο p ' ( H N ) = T N Theo định lí 1.4, tồn phần bù K N T nl w cho T = KN K ∩ N = Khi đó, K p ' -nhóm Nếu h ∈ H K K h liên d oa h hợp T (theo định lí 1.3) Suy ra, K= K x , ∀x ∈ T ⇒ hx −1 ∈ N G ( K ) Do ll N ≤/ Φ ( H ) Khi đó, tồn nhóm tối đại M H cho oi m Giả sử u nf Vậy H p-lũy linh va an lu nên H N G ( K ) ⇒ K  H N G ( K ) N Vì N ≤ Φ ( H ) = = H N= G ( K )T z at nh H = NM Nếu N p-nhóm Sylow H theo giả thiết 2-nhóm tối đại P1 N CAP-nhóm G Suy P1 ∩ N = N ≤ P1 (điều z xảy α ≥ ) Vậy N khơng p-nhóm Sylow H gm @ m co H P + ≠ P + N ≠ N Suy P + ∩ N ≤ pα −2 l Gọi P + p-nhóm Sylow M Khi đó, P + N p-nhóm Sylow an Lu n va ac th si 38 Nếu P + nhóm tối đại P + N ta lấy nhóm tối đại P1 P + cho P + ∩ N ≤ P1 Nếu P + ≤ pα −2 ta có 2-nhóm tối đại P1 P + N cho P + ≤ P1 Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = Do P + ∩ N = N ≤ p Vì N p-nhóm Sylow T nên theo bổ đề 2.2.12, ta có T p-lũy linh Suy ra= T NK , N ∩= K K p-phần bù chuẩn tắc T Rõ ràng, K p-phần bù chuẩn tắc H Vậy H p-lũy linh lu 2.2.14 Nhóm tháp Sylow loại siêu giải an n va Nhóm G gọi nhóm tháp Sylow loại siêu giải G thỏa gh tn to điều kiện sau: p1 > p2 > > pr số nguyên tố chia hết cấp G p ie i) nl w ii) P1 P2 Pk  G, ≤ k ≤ r Pk pk -nhóm Sylow G d oa 2.2.15 Hệ an lu Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Nếu G A4  free tất u nf va 2-nhóm tối đại nhóm Sylow H CAP-nhóm G ll H nhóm tháp Sylow loại siêu giải oi m Chứng minh z at nh Ta chứng minh qui nạp theo cấp H z gm @ Cho p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H P p-nhóm Sylow m co l H Khi đó, theo định lí 2.2.13 ta có H nhóm p-lũy linh Gọi N p-phần bù chuẩn tắc H Dễ thấy, tất nhóm con Sylow an Lu N nhóm Sylow H Do đó, N thỏa mãn giả thiết định lí n va ac th si 39 nên theo giả thiết qui nạp N nhóm tháp Sylow loại siêu giải Điều chứng tỏ H nhóm tháp Sylow loại siêu giải 2.2.16 Định lí Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H Nếu tất nhóm tối đại p-nhóm Sylow H CAP-nhóm G H p-lũy linh Chứng minh lu Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Gọi P p-nhóm Sylow an H với P = pα Ta xét trường hợp sau: n va tn to Trường hợp 1: α ≤ p ie gh Theo bổ đề 2.2.12, ta có H p-lũy linh nl w Trường hợp 2: α ≥ d oa Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho N ≤ H P* p- nhóm va an lu Sylow N cho P* ≤ P , P p- nhóm Sylow H ll u nf Nếu P* ≤ pα −1 ta lấy nhóm tối đại P1 P cho P* ≤ P1 oi m Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên z at nh N ∩ P1 = NP1 = P1 Suy N p-nhóm p ' -nhóm z Nếu Ο p ' ( H ) ≠ ta xét nhóm thương G Ο p ' ( H ) Dễ thấy giả thiết @ m co có H Ο p ' ( H ) p-lũy linh suy H p-lũy linh l gm định lí cho nhóm thương G Ο p ' ( H ) Do đó, phương pháp qui nạp, ta an Lu n va ac th si 40 Khi đó, ta có Ο p ( H ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc Giả sử Ο p ' ( H ) = tối tiểu G cho N ≤ Ο p ( H ) Xét nhóm thương G N • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N khơng lớn p theo bổ đề 2.2.12, ta có H N p-lũy linh • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N lớn p phương pháp qui nạp, ta có H N p-lũy linh Bây giờ, gọi T N p-phần bù chuẩn tắc H N Nếu N ≤ Φ ( H ) N p- lu an nhóm Ο p ' ( H N ) = T N Theo định lí 1.4, tồn phần bù K N T va n cho T = KN K ∩ N = Khi đó, K p ' -nhóm Nếu h ∈ H K K h liên gh tn to h hợp T (theo định lí 1.3) Suy ra, K= K x , ∀x ∈ T ⇒ hx −1 ∈ N G ( K ) Do p ie = H N G ( K ) ⇒ K  H Vậy H H N= N G ( K ) N Vì N ≤ Φ ( H ) nên = G ( K )T w p-lũy linh N ≤/ Φ ( H ) Khi đó, tồn nhóm tối đại M H cho oa nl Giả sử d H = NM Nếu N p-nhóm Sylow H theo giả thiết nhóm tối lu va an đại P1 N CAP-nhóm G Suy P1 ∩ N = N ≤ P1 (điều ll u nf xảy α ≥ ) Vậy N khơng p-nhóm Sylow H oi m Gọi P + p-nhóm Sylow M Khi đó, P + N p-nhóm Sylow z at nh H P + ≠ P + N ≠ N Suy P + ∩ N ≤ pα −2 z Nếu P + ≤ pα −1 ta có nhóm tối đại P1 P + N cho P + ≤ P1 Vì gm @ P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = Do l m co P+ ∩ N = N ≤ p Vì N p-nhóm Sylow T nên theo bổ đề 2.2.12, ta an Lu có T p-lũy linh Suy ra= T NK , N ∩ = K K p-phần bù chuẩn tắc T Rõ ràng, K p-phần bù chuẩn tắc H Vậy H p-lũy linh n va ac th si 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tơi trình bày số vấn đề sau: • Đưa định nghĩa CAP-nhóm với số tính chất nhóm Tìm số loại nhóm nhóm hữu hạn giải có tính chất phủ né • Đưa số tiêu chuẩn hữu hạn giải dựa giả thiết số nhóm tối đại 2-nhóm tối đại có tính chất phủ né lu Để tiếp cận kết kể trên, tham khảo tự chứng an n va minh số kết nhỏ dùng vào việc chứng minh kết tn to Ngồi ra, cịn nhiều tính chất ứng dụng quan trọng khác CAP- gh nhóm việc nghiên cứu cấu trúc nhóm hữu hạn Tuy nhiên, giới p ie hạn thời gian tầm hiểu biết nên tác giả chưa trình bày nl w Rất mong có nhận xét từ thầy cô bạn để luận văn d oa hoàn chỉnh ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số đại, Nxb ĐH Quốc gia, Tp Hồ Chí Minh Tiếng Anh Ezquerro L.M (1993), A contribution to the theory of finite supersolvable groups, Rend Sem Mat Univ Padova 89, pp.161-170 Gillam J.D (1974), Cover-avoid subgroups in finite solvable groups, J Algebra, lu 29, pp.324-329 an Gorenstein D (1968), Finite Groups, Harper and Row Publishers, New York, va n Evanston, London New York ie gh tn to Kurzweil H., Stellmacher Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Springer, p Robinson D J.S (1993), A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, nl w Berlin oa Rose J (1977), “On finite insolvable groups with nilpotent maximal subgroups”, d J Algebra 48, pp.182-196 lu va an Shum K.P., Guo Xiuyun (2003), “Cover-avoidance properties and the structure u nf of finite groups”, Journal of Pure and Applied Algebra 181, pp.297 - 308 ll Tomkinson M.J (1976), Cover-avoidance properties in finite soluble groups, m oi Canad Math Bull 19(2) , pp.213-216 z at nh Tiếng Đức z 10 Gaschütz W (1962), Praefrattini gruppen, A rch Math 13, pp.418-426 @ gm 11 Huppert B (1967), Endliche Gruppen, Vol I, Springer, New York, Berlin l 12 Schaller K.U (1971), Über Deck–Meide–Untergruppen in endlichen m co auflösbaren Gruppen, Ph.D Thesis, University of Kiel an Lu n va ac th si