Các bài toán tổ hợp xác suất hay và khó

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CÁC BÀI TỐN ĐẾM – XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ SƯU TẦM TỪ CÁC DIỄN ĐÀN VÀ ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học Cách thời gian lâu, fanpage có đăng tài liệu tổ hợp xác xuất mức giỏi nhận phản hồi từ phía bạn theo dõi Trong lần đăng cập nhật bạn nhận sản phẩm biên soạn tỉ mỉ từ fanpage kèm theo tương đối nhiều tốn khó bổ sung Hy vọng tài liệu giúp ích cho bạn Mục lục Lý thuyết cần nhớ 1.1 Xác suất có điều kiện 1.2 Bài toán chia kẹo Euler 1.3 Một số kết tốn đếm có yếu tố hình học 2 10 11 Các toán tổng hợp 13 Lý thuyết cần nhớ 1.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B số xác định công thức P( A| B) = P( AB) P( B) > P( B) Tính chất 1 P( A| B) > P(Ω| B) = P( B| B) = 1, Nếu Ai , i = 1, , n biến cố đôi xung khắc P n [ ! Ai | B n = ∑ P ( A i | B ) i =1 i =1 (Công thức nhân xác suất) P( AB) = P( B) P( A| B) = P( A) P( B| A) Chú ý Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy biến cố biến cố khác xảy Trong trường hợp hai biến cố A B độc lập việc biến cố B xảy khơng ảnh hưởng tới việc xảy biến cố A nên P( A| B) = P( A) Ta công thức nhân xác suất thông thường Định lý (Xác suất toàn phần) Nếu Bi , i = 1, , n, hệ biến cố đôi xung khắc cho n [ Bi = Ω i =1 với biến cố A ta ln có n P( A) = ∑ P( Bi ) P( A| Bi ) i =1 Hệ biến cố Bi (i = 1, , n) gọi hệ đầy đủ Định lý (Công thức Bayes) Cho biến cố A hệ đầy đủ Bi (i = 1, , n) có xác suất dương Khi P( Bi | A) = P( Bi ) P( A| Bi ) = P( A) P( Bi ) P( A| Bi ) n ∑ P( Bi ) P( A| Bi ) i =1 Tài liệu sưu tầm LATEX h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Định lý (Nguyên lý bù trừ - Công thức Sieve) Cho tập A n tập A1 , A2 , , An Ta có j +1 = (− ) A ∩ A ∩ ∩ A A ∪ A ∪ ∪ A | i1 n| i2 ij ∑ 16ii 2) Tìm n biết có 1725 tam giác có đỉnh ba số điểm thuộc d1 d2 nói Lời giải Số cách chọn ba điểm n + 10 điểm cho Cn3 +10 Số cách chọn ba điểm 10 d1 C10 Số cách chọn ba điểm n d2 Cn − C3 Số tam giác tạo thành Cn3 +10 − C10 n 3 − C = 1725 Từ giả thiết ta có phương trình Cn+10 − C10 n (1) " n = 15 (n + 10)(n + 9)(n + 8) n(n − 1)(n − 2) (1) ⇔ − 120 − = 1725 ⇔ 6 n = −23 Vì n > nên n = 15 Vậy tổng chữ số n Chọn đáp án B Câu 72 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcd, a b c d Lời giải Gọi S tập hợp số tự nhiên có dạng s = abcd, a b c d 9, N = {1; 2; 3; , 9} Ta có trường hợp Tài liệu sưu tầm LATEX 39 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • Trường hợp Các số a, b, c, d đơi phân biệt Khi số s tương ứng với tập có phần tử N Do ta có C94 = 126 số • Trường hợp Trong số a, b, c, d có cặp số Ta có C93 cách chọn tập có phần tử N, giả sử { x, y, z} (x < y < z) Với tập này, ta có cách tạo phần tử A xxyz, xyyz, xyzz Vậy trường hợp ta có 3C93 = 252 số • Trường hợp Trong số a, b, c, d có ba số Ta có C92 cách chọn tập hợp có hai phần tử N, giả sử { x, y} (x < y) Với tập ta có hai cách tạo phần tử A xxxy xyyy Trong trường hợp ta có 2C92 = 72 số • Trường hợp Trong số a, b, c, d có hai cặp số hai cặp khác Ta có C92 cách chọn tập hợp có hai phần tử N, giả sử { x, y} (x < y) Với tập ta có cách tạo phần tử A xxyy Trong trường hợp ta có C92 = 36 số • Trường hợp a = b = c = d Dễ thấy có số thỏa mãn Vậy số phần tử A 126 + 252 + 72 + 36 + = 495 Suy xác suất cần tìm 495 = 0,055 9000 Câu 73 Trong chuyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt đánh thứ tự từ đến 100), không vác tre dài tận 100 đốt nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền lên, bày cho anh ta: “Con hô câu thần xác suất, xác suất tre rời ra, mang nhà” Biết tre 100 đốt tách cách ngẫu nhiên thành đoạn ngắn có chiều dài đốt đốt (có thể có loại) Tính xác suất để số đoạn đốt nhiều số đoạn đốt Lời giải Giả sử có x đoạn đốt y đoạn đốt tách từ tre 100 đốt cho ( x, y ∈ N) Ta có 2x + 5y = 100 ⇒ x ⇒ x = 5m ⇒ 2m + y = 20 ⇒ y ∈ {0; 2; 4; 6; ; 20} Với số ( x; y) tìm cho ta số đoạn đốt đốt tách từ có số cách để tách y tre 100 đốt thành x đoạn đốt y đoạn đốt Cx+y Do đó, số cách để tách tre 100 đốt thành đoạn đốt đoạn đốt 10 12 14 16 18 20 C50 + C47 + C44 + C41 + C38 + C35 + C32 + C29 + C26 + C23 + C20 = 545813094 Để tách tre 100 thành đoạn ngắn có chiều dài đốt đốt cho số đoạn đốt nhiều số đoạn đốt đoạn ta cịn phải có x − y = Khi x = 15 y = 14 15 Vậy xác suất để số đoạn đốt Số cách để tách tre 100 đốt thành 15 đoạn đốt 14 đoạn đốt C29 15 C29 nhiều số đoạn đốt đoạn ≈ 0,1421 545813094 Câu 74 Cho đa giác ( H ) có 60 đỉnh nội tiếp đường tròn (O) Người ta lập tứ giác tùy ý có bốn đỉnh đỉnh ( H ) Tính xác suất để lập tứ giác có bốn cạnh đường chéo ( H ) Lời giải Gọi A biến cố “Lập tứ giác có bốn đỉnh đỉnh ( H ) bốn cạnh đường chéo ( H )” Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C60 Để đếm số phần tử A, ta đặt thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ Chọn đỉnh tứ giác có 60 cách Đánh số đỉnh đa giác 1, 2, 3, , 60 số đỉnh chọn Cần chọn thêm đỉnh ứng với ( a, b, c) thuộc từ đến 59, theo yêu cầu a < b − < c − 57, nên có 3 , theo cách đếm tứ giác bị lặp lại lần nên kết 60 · C55 = 15 · C Xác suất cần tìm 60 · C55 55 15 · C55 P= ≈ 0,807 C60 Tài liệu sưu tầm LATEX 40 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Câu 75 Từ tập tập A = {1; 2; 3; ; 2020}, người ta chọn ngẫu nhiên hai tập Tính xác suất biến cố hai tập chọn khác rỗng đồng thời có số phần tử số chẵn nhỏ 1009 Lời giải Số tập A 22020 , số phần tử không gian mẫu C222020 Số tập khác rỗng A có số phần tử chẵn nhỏ 1009 2k 1008 C2020 + C2020 + C2020 + · · · + C2020 + · · · + C2020 2k 1010 = C2020 + C2020 + C2020 + · · · + C2020 + · · · + C2020 −1 2k 2020 = C2020 + C2020 + C2020 + · · · + C2020 + · · · + C2020 −1 2019 ·2 − = ·22018 − = Số cách lấy hai tập hợp khác rỗng có số phần tử chẵn nhỏ 1009 C222018 −1 C22018 Suy xác suất cần tìm P = 2 −1 C22020 Câu 76 Cho tập X = {1; 2; 3; ; 8} Lập từ X số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính xác suất để lập số chia hết cho 1111 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 8! Gọi số cần tạo có dạng A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 , ∈ X, 6= a j với i 6= j Do X có tổng tất phần tử 36 nên A chia hết cho mà (9, 1111) = nên A chia hết cho 9999 Ta có A = a1 a2 a3 a4 · 104 + a5 a6 a7 a8 = a1 a2 a3 a4 · 9999 + a1 a2 a3 a4 + a5 a6 a7 a8 Vì A a1 a2 a3 a4 · 9999 chia hết cho 9999 nên a1 a2 a3 a4 + a5 a6 a7 a8 phải chia hết cho 9999 Mặt khác ∈ X nên a1 a2 a3 a4 + a5 a6 a7 a8 < · 9999 a1 a2 a3 a4 + a5 a6 a7 a8 = 9999 Cứ cách chọn , i ∈ {1, 2, 3, 4} có cách chọn ai+4 để + ai+4 = Chọn a1 có cách, a2 có cách, a3 có cách a4 có cách 8·6·4·2 384 Như xác suất cần tìm = 8! 8! Câu 77 Cho tập hợp S có 12 phần tử Hỏi có cách chọn hai tập (không kể thứ tự) S mà hợp chúng S? Lời giải Để xây dựng cặp tập (có tính thứ tự) ( A, B) mà A ∪ B = S, ta lấy phần tử x ∈ S cho vào A B theo cách • x ∈ A x ∈ / B; • x∈ / A x ∈ B; • x ∈ A x ∈ B Vì S có 12 phần tử nên số cặp thứ tự ( A, B) 312 , có trường hợp A = B A = S B = S 312 − 312 + Vậy số cặp A, B khơng tính thứ tự +1 = 2 Câu 78 Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nghiên lúc ba thẻ Tính xác suất cho hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi Tài liệu sưu tầm LATEX 41 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn hai thẻ ln đơn vị? Lời giải Để hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị phải rút ba thẻ cho khơng có hai thẻ hai số tự nhiên liên tiếp Số phần tử không gian mẫu (số cách rút ba thẻ bất kì) là: C26 Số cách rút ba thẻ có số tự nhiên liên tiếp: Chọn hai số tự nhiên liên tiếp: (1; 2), (2, 3), · · · (25; 26) Nếu chọn hai thẻ (1; 2) (25; 26) có cách, thẻ cịn lại không 24 Vậy trường hợp có tất 2(26 − 3) = 46 cách chọn Nếu chọn hai thẻ (2; 3), (3, 4), · · · (24; 25) có 23 cách, thẻ cịn lại có 26 − = 22 cách Vậy trường hợp có tất 23 · 22 = 506 cách chọn Số cách rút ba thẻ ba ba thẻ ba số tự nhiên liên tiếp 24 cách − 46 − 506 − 24 = 2024 cách rút ba thẻ cho khơng có hai thẻ hai số Suy có C26 2024 253 tự nhiên liên tiếp Vậy xác suất cần tìm P = = 325 C26 Câu 79 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có 2018 chữ số Tính xác suất để số chọn số tự nhiên chia hết cho mà số có hai chữ số Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm x = a1 a2 a2017 a2018 Khi số phần tử không gian mẫu n(Ω) = · 102017 Số số tự nhiên chia hết cho 102017 Gọi biến cố A: “số chọn số tự nhiên chia hết cho mà số có hai chữ số 9” Khi biến cố A: “số chọn số tự nhiên chia hết cho mà số có nhiều chữ số 9” • Trường hợp Số chọn chia hết cho mà khơng có số ta có · 92016 (số) • Trường hợp Số chọn chia hết cho mà có số xếp vị trí ta có 92016 (số) • Trường hợp Số chọn chia hết cho mà có số xếp vị trí từ a2 đến a2018 ta có 2017 cách chọn vị trí cho chữ số Do a1 6= a1 6= có cách Xếp vị trí cịn lại ta có 92015 Do ta có · 2017 · 92015 (số) Vậy n( A) = · 92016 + 92016 + · 2017 · 92105 = 16217 · 92105 n( A) 102017 − 16217 · 92105 16217 Vậy xác suất biến cố A P( A) = = = − · (0,9)2015 n(Ω) 900 · 102017 Câu 80 Cho tập hợp S = {m ∈ Z| − 10 m 100} Có tập hợp S có số phần tử lớn phần tử tạo thành cấp số cộng có tổng 0? Lời giải Giả sử {u1 ; u2 ; ; un } ⊂ S, n > tập hợp thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng qt giả sử u1 < u2 < < un theo thứ tự lập thành cấp số cộng cơng sai d > Ta có Sn = ⇔ u1 + un = 0, lại có u1 + (n − 1)d = un nên suy (n − 1)d = 2un , điều chứng tỏ d ước nguyên dương 2un d 6= 2un n > Như số tập hợp thỏa YCBT tổng số số ước thực 2un với un ∈ {1; 2; ; 10} Bằng cách liệt kê ta có tất 34 ước 2un với un ∈ {1; 2; ; 10} Câu 81 Trò chơi quay bánh xe số chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15, , 100 với vạch chia Tài liệu sưu tầm LATEX 42 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn giả sử khả chuyển từ nấc điểm có tới nấc điểm cịn lại Trong lượt chơi có người tham gia, người quyền chọn quay lần, số điểm tính sau • Nếu người chơi chọn quay lần điểm người chơi điểm quay • Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm sau lần quay không lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay • Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm sau lần quay lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người có điểm số cao thắng cuộc, hòa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi Lời giải Bình có cách thắng • Thắng sau lần quay thứ Nếu Bình quay vào nấc 80, 85, 90, 95 100 Bình thắng lần quay thứ Xác suất thắng Bình trường hợp P1 = = 20 • Thắng sau hai lần quay Nếu Bình quay lần vào 15 nấc 5, 10, , 75 Bình phải quay thêm lần thứ hai (để đủ điểm thắng) Ứng với nấc quay lần quay thứ nhất, Bình có nấc để thắng lần quay thứ hai Xác suất thắng Bình trường hợp 15 P2 = · = 20 20 16 Vậy xác suất thắng Bình P = P1 + P2 = + = 16 16 Câu 82 Một lớp có 36 ghế đơn xếp thành hình vng × Giáo viên muốn xếp 36 học sinh, có hai anh em Kỷ Hợi TÍnh xác suất để hai anh em Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng ngang hàng dọc Lời giải Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = 36! Gọi A biến cố: “Kỷ Hợi ngồi cạnh nhau” Ta xét trường hợp • Trường hợp Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng ngang Có khả chọn hàng ngang, cách chọn hàng ngang có cách chọn ghế liên tiếp cho Kỷ Hợi, có 2! cách hốn đổi ghế Kỷ Hợi, có 34! cách xếp 34 học sinh vào 34 ghế lại Số cách xếp cho Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng ngang × × 2! × 34! • Trường hợp Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự, số cách xếp cho Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng dọc × × 2! × 34! Do số phần tử biến cố A n ( A) = × × × 2! × 34! Xác suất biến cố A n( A) × × × 2! × 34! = = P ( A) = n(Ω) 36! 21 Câu 83 Cho đa giác ( H ) có 60 đỉnh nội tiếp đường trịn (O) Người ta lập tứ giác tùy ý có bốn đỉnh đỉnh ( H ) Tính xác suất để lập tứ giác có bốn cạnh đường chéo Tài liệu sưu tầm LATEX 43 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán ( H ) Lời giải Gọi đỉnh đa giác A1 , A2 , , A60 Ta tìm tứ giác lồi có cạnh cạnh đa giác Ta xét trường hợp sau: Trường hợp Tứ giác có cạnh cạnh đa giác • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A4 , số cách chọn đỉnh lại C154 • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A5 , số cách chọn đỉnh lại C153 • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A57 , số cách chọn đỉnh lại C11 Tương tự với cạnh lại Vậy trường hợp có 60 C154 + C153 + · · · + C11 = 89100 (tứ giác) Trường hợp 2.Tứ giác có hai cạnh hai cạnh đa giác Xét hai khả xảy • Nếu hai cạnh hai cạnh kề có 60 · C155 ( tứ giác) • Nếu hai cạnh khơng kề nhau, cạnh A1 A2 có C155 cách chọn cạnh cịn lại Do có 60 · C155 ( tứ giác) Trường hợp Tứ giác có cạnh ba cạnh tứ giác Khi ta có 60 tứ giác Vậy số tứ giác lồi có cạnh cạnh đa giác 89100 + 60 · C155 + Số tứ giác có cạnh đường chéo đa giác 60 · C155 + 60 = 94110 C460 − 94110 = 393525 Vậy xác suất cần tìm P( A) = 393525 = 0.807 C60 Câu 84 Cho A tập hợp tất số có năm chữ số đơi khác lập từ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Lấy ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất để lấy số ln có mặt hai chữ số 1; hai chữ số đứng kề nhau, chữ số nằm bên trái chữ số Lời giải Số số có năm chữ số lập · A47 = 5880 số Xét tập hợp A số có dạng abcde, ta xét trường hợp • a = 1, có cách xếp cặp 17, ba vị trí cịn lại có A36 ⇒ có · A36 = 120 số • a 6= 1, a có cách chọn a 6= 0; 1; Xếp cặp 17 có cách, hai vị trí cịn lại có A25 ⇒ có · · A25 = 300 số Khi tập hợp A có 120 + 300 số ⇒ P ( A) = 420 = 5880 14 Câu 85 Người ta sử dụng sách Tốn, sách Vật lí, sách Hóa học (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, học sinh sách khác loại Trong số 12 học sinh có hai bạn Thảo Hiền Tính xác suất để hai bạn Thảo Hiền có phần thưởng giống Lời giải Từ 24 sách, ta chia thành 12 phần thưởng, gồm phần thưởng Tốn-Lý, phần thưởng Tốn-Hóa phần thưởng Lý-Hóa Gọi A biến cố "Thảo Hiền nhận phần quà giống nhau" Do n(Ω) = C12 Tài liệu sưu tầm LATEX 44 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • Trường hợp phần thưởng Tốn-Lý có C32 cách • Trường hợp phần thưởng Tốn-Hóa có C42 cách • Trường hợp phần thưởng Lý-Hóa có C52 cách Nên n( A) = C32 + C42 + C52 n( A) 19 Vậy P( A) = = n(Ω) 66 Câu 86 Gọi S tập số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Lấy số thuộc S Tính xác suất để lấy số chẵn số có tổng hai chữ số hàng chục hàng trăm Lời giải Số phần tử tập S n(S) = A47 − A36 = 720 Gọi n = a1 a2 a3 a4 ∈ S số chẵn có a3 + a2 = Khi { a3 , a2 } ∈ {{0, 5}; {1, 4}; {2, 3}} Ta có trường hợp sau • Trường hợp a4 = Khi đó, a2 a3 có cách chọn a2 a3 ∈ {14, 41, 23, 32} Cịn lại a1 có cách chọn Vì có × = 16 số • Trường hợp a4 = +) Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} a1 có cách chọn Như có × = số +) Nếu a2 a3 ∈ {14, 41} a1 có cách chọn Như có × = số Do đó, trường hợp có tất + = 14 số • Trường hợp a4 = +) Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} a1 có cách chọn Như có × = số +) Nếu a2 a3 ∈ {23, 32} a1 có cách chọn Như có × = số Do đó, trường hợp có tất + = 14 số • Trường hợp a4 = +) Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} a1 có cách chọn Như có × = số +) Nếu a2 a3 ∈ {14, 41, 23, 32} a1 có cách chọn Như có × = 12 số Do đó, trường hợp có tất + 12 = 20 số Tóm lại, có tất 16 + 14 + 14 + 20 = 64 số chẵn có chữ số khác số có tổng hai chữ số hàng chục hàng trăm 64 Vậy xác suất cần tính P = = 720 45 Câu 87 Gọi S tập hợp số tự nhiên nhỏ 106 thành lập từ hai chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số S Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải Số tự nhiên nhỏ 106 có tối đa chữ số Số số tự nhiên nhỏ 106 , lập từ hai chữ số + + 22 + 23 + 24 + 25 = 64 (số) Suy n(S) = 64 Vì số cần lập chia hết cấu tạo số nó, khơng có chữ số (là số 0), có chữ số 1, có chữ số (là số 111111) Tài liệu sưu tầm LATEX 45 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Xét số có chữ số, có ba chữ số khơng có chữ số Có thể lập số Xét số có chữ số, có ba chữ số chữ số Có thể lập C32 số Xét số có chữ số, có ba chữ số hai chữ số Có thể lập C42 số Xét số có chữ số, có ba chữ số ba chữ số Có thể lập C52 số Vậy lập + C32 + C42 + C52 = 22 số chia hết cho cách Suy n ( Ω ) = C = 2016 Lấy số từ S, có C64 64 Gọi A biến cố: "lấy ngẫu nhiên hai số từ S số chia hết cho 3" + C · C = 1155 Ta có n( A) = C22 22 42 n( A) 1155 55 Vậy P( A) = = = n(Ω) 2016 96 Câu 88 Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần gieo (mỗi số số chấm mặt súc sắc) Tính xác suất cho P khơng chia hết cho Lời giải Ta có n(Ω) = 63 = 216 Gọi A biến cố “P 6”, ta xét trường hợp sau Cách 1: Tính trực tiếp • Trường hợp 1: Khơng xuất mặt chấm chấm Có 43 khả • Trường hợp 2: Có lần xuất mặt chấm khơng xuất mặt có số chấm chẵn – Có mặt chấm: 3(1 · · 2) khả – Có mặt chấm: 3(1 · · 2) khả – Có mặt chấm: · · khả Vậy có tổng cộng 43 + 3(1 · · 2) + 3(1 · · 2) + · · = 83 khả P 6 83 Do P( A) = 216 Cách 2: Phần bù Ta đếm số khả P = abc • Trường hợp Có lần xuất mặt chấm Có 63 − 53 khả • Trường hợp Có lần xuất mặt chấm, khơng có mặt chấm P số chẵn – Có mặt chấm: 3(2 · + · · 2) khả (b, c chẵn; b chẵn, c lẻ ngược lại) – Có mặt chấm: C32 · khả 133 83 = Vậy có tổng cộng 63 − 53 + 3(4 + · · 2) + C32 · = 133 khả P Do P( A) = − 216 216 Câu 89 Có học sinh không quen biết đến cửa hàng kem có quầy phục vụ Tính xác suất để có học sinh vào quầy học sinh lại vào quầy khác Lời giải Mỗi học sinh có cách chọn vào quầy, suy n(Ω) = 65 Gọi A biến cố: " học sinh vào quầy học sinh lại vào quầy khác" Số cách chọn học sinh từ học sinh để vào quầy C53 Số cách chọn quầy từ quầy để học sinh vào C61 Câu 90 Cho đa giác lồi (H) có 30 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất cho đỉnh chọn tạo thành tứ giác có bốn cạnh đường chéo ( H ) Lời giải Tài liệu sưu tầm LATEX 46 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn = 27405 Số cách chọn ngẫu nhiên đỉnh 30 đỉnh C30 Xét tứ giác lồi A1 A x Ay Az Để cạnh đường chéo x < y − < z − 27 cách chọn ( x; y; z ) Suy có C tứ giác lồi A A A A Như vậy, ta có C25 x y z 25 tứ giác lồi có cạnh đường chéo Vậy có 30 × C25 30 · C25 17250 Tuy nhiên, tứ giác lồi bị lặp lại lần nên có = 17250 tứ giác thỏa mãn Vậy P = ≈ 27405 0.6294 Câu 91 Có số tự nhiên có chữ số abcde thỏa mãn a b c d e a > b > c > d > e Lời giải Cách • Xét trường hợp a b c d e Mỗi gồm số tự nhiên có chữ số xếp số có dạng abcde thoả mãn a b c d e Do ta xét số tự nhiên có chữ số nên a, b, c, d, e nhận giá trị từ đến Xảy trường hợp sau – Trường hợp tất chữ số khác có C95 số thỏa mãn – Trường hợp có chữ số lặp lại i lần (2 i 5): Chọn chữ số lặp lại có cách, chọn − i chữ số từ số cịn lại có C85−i cách Vậy trường hợp có · (C83 + C82 + C81 + C80 ) cách – Trường hợp có chữ số khác lặp lại lần có C92 · C71 số thỏa mãn – Trường hợp có chữ số lặp lại lần chữ số khác lặp lại lần có 2C92 số thỏa mãn Vậy trường hợp a b c d e có tất số số thỏa mãn C95 + · (C83 + C82 + C81 + C80 ) + C92 · C71 + 2C92 = 1287 • Xét trường hợp a > b > c > d > e Tương tự trường hợp trên, với a, b, c, d, e nhận giá trị từ đến có số dạng 00000 không thỏa mãn Vậy trường hợp có tất số số thỏa mãn 2 · C81 + 2C10 − = 2001 C10 + 10 · (C93 + C92 + C91 + C90 ) + C10 Vì có số có chữ số giống tính lần nên số số tự nhiên có chữ số abcde thỏa mãn a b c d e a > b > c > d > e 1287 + 2001 − = 3279 Cách • Trường hợp a b c d e: Đặt a0 = a, b0 = b + 1, c0 = c + 2, d0 = d + 3, e0 = e + 4, ta có a0 < b0 < d0 < c0 < d0 < e0 Vì a > 1, e nên a0 > 1, e0 13 Khi số abcde ứng với = 1287 gồm số phân biệt a0 , b0 , c0 , d0 , e0 chọn từ tập {1; 2; ; 13} Suy trường hợp có C13 số thỏa mãn • Trường hợp a > b > c > d > e: Đặt a0 = a + 4, b0 = b + 3, c0 = c + 2, d0 = d + 1, e0 = e, ta có a0 > b0 > d0 > c0 > d0 > e0 Vì e > 0, a nên e0 > 0, a0 13 Khi số dạng abcde ứng với gồm số phân biệt a0 , b0 , c0 , d0 , e0 chọn từ tập {0; 1; 2; ; 13} Vì số dạng 00000 khơng thỏa − = 2001 số thỏa mãn mãn, nên trường hợp có C14 Vì có số có chữ số giống tính lần nên số số tự nhiên có chữ số abcde thỏa mãn a b c d e a > b > c > d > e 1287 + 2001 − = 3279 Câu 92 Có học sinh lớp A, học sinh lớp B xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện dãy ghế (xếp học sinh ghế) Tính xác suất để học sinh ngồi đối diện khác lớp Lời giải Tài liệu sưu tầm LATEX 47 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Gọi D biến cố để xếp học sinh thỏa mãn học sinh ngồi đối diện khác lớp Số cách xếp 10 học sinh hai trường A, B vào chỗ 10! Ta tìm số cách xếp 10 học sinh thỏa mãn tốn Khơng tính tổng qt ta xét trường hợp sau Học sinh thứ trường A có 10 cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ trường A có cách Chọn học sinh thứ hai trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ hai trường A có cách Chọn học sinh thứ ba trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ ba trường A có cách Chọn học sinh thứ tư trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ tư trường A có cách Chọn học sinh thứ năm trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ năm trường A có cách Vậy có 10 · · · · · · · · · = 25 · (5!)2 25 · (5!)2 Do P ( D ) = 10! Câu 93 Có 50 học sinh cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đơi (khơng có anh chị em sinh ba trở lên) Cần chọn học sinh 50 học sinh Có cách chọn mà nhóm em chọn khơng có cặp anh em sinh đôi nào? Lời giải Số cách chọn học sinh 50 học sinh C50 Gọi A số cách chọn học sinh mà có hai cặp sinh đơi ta tính A: • Chọn cặp sinh đơi cặp có C42 cách cách Vậy A = C · C • Chọn học sinh 46 học sinh cịn lại có C46 46 Gọi B số cách chọn học sinh có cặp sinh đơi.Ta tính B • Chọn cặp sinh đơi cặp có C41 cách • Gọi B0 số cách chọn học sinh 48 học sinh cịn lại cho khơng có cặp sinh đơi Khi B = C41 B0 Ta tính B0 cách – Chọn học sinh 48 học sinh có C48 – Chọn học sinh 48 học sinh cho có cặp sinh đơi có C31 · C46 − C1 · C1 Suy B0 = C48 46 − C · C ) Vậy B = C4 (C48 46 − A − B = C5 − C2 · C1 − C1 (C3 − C1 · C1 ) = Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán C50 50 46 46 48 2049852 Câu 94 Có số tự nhiên có 30 chữ số cho số có mặt hai chữ số 1, đồng thời số chữ số có mặt số tự nhiên số lẻ? Lời giải Số cần lập có dạng 1a2 a3 a30 Suy số cần lập có số chữ số lẻ số chữ số xuất số tự nhiên xét chẵn số • Khơng có chữ số 1, ta có C29 số • Có hai chữ số 1, có C29 Tài liệu sưu tầm LATEX 48 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • 28 số • Có 28 chữ số 1, có C29 + C + C + · · · + C 28 số Ta có Do đó, có tất C29 29 29 29 29 (1 + x )29 = C29 + xC29 + x2 C29 + · · · + x29 C29 Lần lượt thay x = 1, x = −1 vào (∗), ta ( 29 C29 − C29 + C29 + · · · − C29 =0 C29 + C29 + C29 29 + · · · + C29 29 =2 (∗) (1) (2) Cộng vế với vế (1) (2), ta có 28 C29 + C29 + C29 + · · · + C29 = 229 + C + C + · · · + C 28 = 228 số Vậy có tất C29 29 29 29 Câu 95 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; ; 100} Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Tính xác suất chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân Lời giải Trước tiên, ta đếm số phần tử S Mỗi tập thuộc S có dạng { a, b, c}, < a < b < c < 100, a + b + c = 91 Khi ta có 91 > a +( a + 1) + 90 − a ( a + 2) nên a 29 Với a 29, ta có b + c = 91 − a, mà c > b + nên 2b 90 − a ⇒ b 29 90 − a 90 − a b > a + nên có − a cách chọn b Suy số tập A thuộc S ∑ − a = 645 2 a =1 Hay số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 645 Tiếp theo, ta đếm số cấp số nhân S Vì số hạng cấp số nhân số nguyên dương nên công m bội số hữu tỷ dương, giả sử số bé cấp số nhân a công bội , với a, m, n ∈ Z+ , a n 30; m > n, gcd(m, n) = m m2 Khi ta có a + + = 91 ⇔ a m2 + mn + n2 = 91n2 n n Vì gcd(m, n) = nên gcd m2 + mn + n2 , n2 = nên suy a n2 Mà a 30 nên n2 30 ⇒ n • Với n = 1, ta có a m2 + m + = 91 Phương trình có nghiệm nguyên dương ( a; m) ∈ {(1; 9), (7; 3), (13; 2)}, nên có cấp số nhân (1; 9; 81), (7; 21; 63), (13; 26; 52) • Với n = 2, ta có a m2 + 2m + = 364, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 3, ta có a m2 + 3m + = 819, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 4, ta có a m2 + 4m + 16 = 1456, khơng có nghiệm nguyên dương • Với n = 5, ta có a m2 + 5m + 25 = 2275 Phương trình có nghiệm ngun dương ( a; m) = (25; 6), ta nhận cấp số nhân (25; 30; 36) Vậy có cấp số nhân S Gọi A biến cố “chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân” n( A) = n( A) Suy ra: P( A) = = n(Ω) 645 Tài liệu sưu tầm LATEX 49 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Câu 96 Cho tập A gồm 2018 phần tử, tính tổng số tập khác rỗng tập A có số phần tử số chẵn Lời giải n Số tập A có n phần tử C2018 với n 2018 Số tập A khác rỗng có số phần tử số chẵn 2016 2018 2016 2018 C2018 + C2018 + · · · + C2018 + C2018 = C2018 + C2018 + · · · + C2018 + C2018 −1 = 22018 − = 22017 − Câu 97 Bạn A chơi game máy tính điện tử, máy có bốn phím di chuyển hình vẽ bên Mỗi lần nhấn phím di chuyển, nhân vật game di chuyển theo hướng mũi tên độ dài bước ln Tính xác suất để sau bốn lần di chuyển, nhân vật game trở vị trí ban đầu Lời giải Số cách di chuyển tùy ý từ phím với lần bấm phím 44 Để nhân vật vị trí ban đầu có trường hợp • Mỗi phím bấm lần, có 4! = 24 cách • Bấm lần phím lên lần phím xuống dưới, bấm lần phím sang trái lần phím sang phải, có + = 12 cách Xác suất cần tìm 24 + 12 = 64 Câu 98 Ba bạn A, B, C viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 14] Tính xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 143 Trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn [1; 14] có: (i) số chia cho dư (i) số chia cho dư (i) số chia hết cho Để tổng số chia hết cho ta có trường hợp sau: Trường hợp Cả chữ số chia hết cho có: 43 (cách) Trường hợp Cả số chia cho dư có: 53 (cách) Trường hợp Cả số chia cho dư có: 53 (cách) Trường hợp Trong số có số chia hết cho 3; số chia cho dư 1; số chia dư ba người viết lên bảng nên có: · · · 3! (cách) Gọi biến cố E: “Tổng số chia hết cho 3” Ta có n( E) = 43 + 53 + 53 + · · · 3! = 914 914 457 Vậy xác suất cần tìm: P( E) = = 14 1372 Tài liệu sưu tầm LATEX 50 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Câu 99 Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nghiên lúc ba thẻ Hỏi có cách rút cho hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị? Lời giải Để rút hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị thẻ rút phải khơng có hai thẻ hai số tự nhiên liên tiếp Số cách rút thẻ C26 Số cách rút thẻ có hai số tự nhiên liên tiếp xác định sau: Chọn số tự nhiên liên tiếp: {1, 2}; {2, 3}; .; {25, 26} Chọn hai thẻ liên tiếp {1, 2} {25, 26} có hai cách, thẻ cịn lại khơng chọn thẻ số 24 có 23 cách Vậy có · 23 = 46 cách Chọn hai thẻ cặp {2, 3}; {3, 4}; ; {24, 25} có 23 cách, chọn thẻ cịn lại có 26 − = 22 cách Vậy có 23 · 22 = 506 cách Số cách chọn thẻ thẻ đánh số tự nhiên liên tiếp {1, 2, 3}; {2, 3, 4}; ; {24, 25, 26} có 24 cách − 46 − 506 − 24 = 2024 cách chọn hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi Vậy có C26 hai thẻ ln đơn vị Câu 100 Một túi đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi Tính xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho Lời giải Gọi A0 = {3; 6; 9}, A1 = {1; 4; 7; 10}, A2 = {2; 5; 8} Để ba số nhận có tổng chia hết cho 3, ta có trường hợp i) Lấy ba phần tử từ A0 lấy ba phần tử từ A1 lấy ba phần tử từ A2 , trường hợp có 2C33 + C43 cách ii) Chọn từ tập A0 , A1 , A2 phần tử, trường hợp có C31 C31 C41 cách 2C33 + C43 + C31 C31 C41 Vậy xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho C10 Câu 101 Cho đa giác 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh 12 đỉnh đa giác Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác Lời giải = 220 • Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C12 • Ta chia 12 đỉnh đa giác thành ba nhóm, đỉnh liền tạo thành nhóm Mỗi nhóm ta chọn đỉnh cho chúng cách suy có tam giác ⇒ n( A) = • Xác suất P( A) = n( A) = = n (Ω) 220 55 Câu 102 Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất để số chia hết cho Lời giải Ta có X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi Ω không gian mẫu phép thử : “Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác ” Ta có n(Ω) = · · · · · · · · = · 9! Tài liệu sưu tầm LATEX 51 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Gọi biến cố A : “lấy số tự nhiên chia hết cho ” Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 • Trường hợp Trong số , i ∈ {1, 2, , 9} không chứa số Số cách chọn n 9! • Trường hợp Trong số , i ∈ {1, 2, , 9} có chứa số Khi để số n chia hết cho số , i ∈ {1, 2, , 9} buộc phải có số {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8} số {3; 6; 9} Số cách chọn n C32 · · 8! Do : số cách chọn số chia hết cho n( A) = 9! + C32 · · 8! = 33 · 8! Vậy xác suất để chọn số chia hết cho P( A) = n( A) 33 · 8! 11 = = n(Ω) · 9! 27 Câu 103 Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh lớp 10 đề gồm 25 câu hỏi độc lập, câu hỏi có đáp án trả lời có đáp án Mỗi câu trả lời 0,4 điểm, câu trả lời sai không điểm Bạn Bình học mơn Tiếng Anh nên làm cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất 25 câu Gọi A biến cố “Bình làm k câu”, biết xác suất biến cố A đạt giá trị lớn Tính k Lời giải Vì đề thi có 25 câu câu có phương án trả lời nên xác suất để Bình làm k câu P= k C25 k 25−k C k · 325−k · · = 25 25 4 k 25−k với k ∈ N k 25 với k 25 Xét hàm ( f (k ) = C25 · f ( k ) > f ( k − 1) Ta có f (k ) lớn ⇔ ⇔ 6,5 > k > 5,5 ⇒ k = f ( k ) > f ( k + 1) Suy max f (k ) = f (6) 06k625 Vậy k = Câu 104 Hai chuồng nhốt thỏ, thỏ mang màu trắng màu đen Bắt ngẫu nhiên chuồng thỏ Biết tổng số thỏ hai chuồng 35 xác suất để bắt hai thỏ lông 247 màu đen Tính xác suất để bắt hai thỏ lông màu trắng 300 Lời giải Gọi số thỏ chuồng số x, số thỏ chuồng số 35 − x Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = Cx1 · C35 −x Gọi a số thỏ đen chuồng số Gọi b số thỏ đen chuồng số Khơng tính tổng qt ta giả sử a > b Ta có xác suất bắt hai thỏ đen Ca1 · Cb1 247 = 1 300 Cx C35− x ab 247 = x (35 − x ) 300     ab 247(= 19 · 13 = 247 · 1) a = 19         a = 19 b = 13 ⇒ ⇒ ⇒ b = 13 x (35 − x ) 300         300 x = 20  x ( 35 − x ) a, b < 35 ⇔ Vậy xác suất để bắt hai thỏ lông trắng P( A) = Tài liệu sưu tầm LATEX 52 1·2 = 300 150 h Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Câu 105 Từ chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 Tính xác suất để viết số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 Lời giải • Số số gồm chữ số khác từ tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}: Chọn a1 6= có cách, xếp số cịn lại có A56 cách nên có tổng số · A56 = 4320 số • Số số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 : Ta có a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 3( a1 + a2 ) số chia hết cho Mà + + + + + + = 21 số chia hết chữ số không xuất số lập phải số chia hết cho Trường hợp Chữ số khơng có mặt số lập Ta có { a1 , a2 , , a6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Khi a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = nên {{ a1 , a2 }, { a3 , a4 }, { a5 , a6 }} = {{1, 6}, {2, 5}, {3, 4}} Có 3! cách xếp cặp {1, 6}, {2, 5}, {3, 4} vào vị trí cặp { a1 , a2 }, { a3 , a4 }, { a5 , a6 }, cặp vị trí lại có cách xếp nên có 3! · 23 = 48 số Trường hợp Chữ số khơng có mặt số lập Ta có { a1 ; a2 ; , a6 } = {0; 1; 2; 4; 5; 6} Khi a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = nên {{ a1 , a2 }, { a3 , a4 }, { a5 , a6 } = {{0, 6}, {1, 5}, {2, 4}} Tương tự coi chữ số chữ số khác, ta có 48 cách Nhưng cần loại số có số đứng đầu, có dạng 06a3 a4 a5 a6 Lý luận tương tự, có · · = số Suy trường hợp này, ta có 48 − = 40 số Trường hợp Chữ số khơng có mặt số lập Ta có { a1 ; a2 ; ; a6 } = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Tương tự trường hợp 2, ta có 48 − = 40 số Vậy có 48 + 40 + 40 = 128 số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 128 Xác suất cần tìm p = = 4320 135 Câu 106 Từ chữ số {0,1,2,3,4,5,6} viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 Tính xác suất p để viết số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 Lời giải Các cặp số { a1 , a2 }; { a3 , a4 }; { a5 , a6 } thỏa mãn toán a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 • Trường hợp {0, 6}; {1, 5}; {2, 4} • Trường hợp {0, 5}; {1, 4}; {2, 3} • Trường hợp {1, 6}; {2, 5}; {3, 4} Khi khơng gian mẫu n (Ω) = · · · · · = 4320 Số số thỏa mãn toán kể trường hợp a1 = số số · (2!)3 · 3! Khi a1 = số số · (2!)2 · 2! Suy số số thỏa mãn toán 144 − 16 = 128 128 Do p = = 4320 135 Câu 107 Một nhóm hóc sinh gồm nam có Bình bạn nữ có An xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế hàng ngang dự lễ tổng kết năm học Tính xác suất để xếp hai bạn nữ gần có bạn nam, đồng thời Bình khơng ngồi cạnh An Lời giải Số cách xếp 10 bạn vào ghế ngồi |Ω| = 10! Gọi A biến cố để “xếp hai bạn nữ gần có bạn nam, đồng thời Bình khơng ngồi cạnh An” Có hai trường hợp sau Tài liệu sưu tầm LATEX 53 h Tạp chí tư liệu tốn học

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	907,55 KB