Chuyên đề bất đẳng thức nguyễn tất thu

Trang 1

Mục lục

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG

THỨC3

1.1 Khõi niệm vỏ cõc tợnh chất của bất đẳng thức 3

1.1.1 Số thực dương, số thực óm 3

1.1.2 Khõi niệm bất đẳng thức 3

1.1.3 Cõc tợnh chất cơ bản của bất đẳng thức 4

1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn về bất đẳngthức 5

1.2.1 Dự đoõn dấu “=” xảy ra 5

1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hụa 8

Trang 2

2 Mục lục2.3.1 Bất đẳng thức Schur 452.3.2 Cõc trường hợp đặc biệt 462.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng 462.3.4 Cõc vợ dụ 462.3.5 Bỏi tập 502.4 Hướng dẫn, đõp số 51

Trang 3

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNGTHỨC

1.1Khõi niệm vỏ cõc tợnh chất của bất đẳng thức

1.1Số thực dương, số thực óm

• Nếu xlỏ số thực dương, ta ký hiệu x > 0• Nếu xlỏ số thực óm, ta ký hiệu x < 0

• Nếu x lỏ số thực dương hoặc x = 0, ta nụi x lỏ số thực khừngóm, ký hiệux>0

• Nếuxlỏ số thực óm hoặcx = 0, ta nụixlỏ số thực khừng dương,ký hiệux60.

1.1Khõi niệm bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1 Số thực a được gọi lỏ lớn hơn số thực b, ký hiệua > b nếu a − b lỏ một số dương, tức lỏ a − b > 0 Khi đụ ta cũng kýhiệub < a.

Ta cụ: a > b ⇔ a − b > 0.

Trang 4

4 Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Định nghĩa 1.2 Giả sử A, B lỏ hai biểu thức bằng số Khi đụ cõcmệnh đề cụ dạng:

" A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B

" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A>B" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A6Bđược gọi lỏ mộtbất đẳng thức.

Quy ước :

Trang 5

1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn về bất đẳng thức 5Tợnh chất 1.5.(a > b > 0c > d > 0 ⇒ ac > bdTợnh chất 1.6. a > b > 0 ⇔ 0 <1a<1bTợnh chất 1.7. a > b > 0, n ∈ N∗⇒ an> bnTợnh chất 1.8. a > b > 0, n ∈ N∗⇒ pna >pn bHệ quả 5:

• Nếuavỏ blỏ hai số dương thớ : a > b ⇔ a2> b2• Nếuavỏ blỏ hai số khừng óm thớ : a>b ⇔ a2>b2.

Tợnh chất 1.9. Với mọi a, b ∈ Rta cụ:

• |a + b|6|a| + |b|• |a − b|6|a| + |b|

• |a + b| = |a| + |b| ⇔ a.b>0• |a − b| = |a| + |b| ⇔ a.b60.

1.2Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn vềbất đẳng thức

1.2Dự đoõn dấu “=” xảy ra

Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoõn dấu “=” xảy ra khinỏo cụ ý nghĩa rất quan trọng Trong một số trường hợp, việc dựđoõn dấu “=” xảy ra giỷp định hướng tớm lời giải Thừng thường, vớicõc bất đẳng thức đối xứng ba biến thớ đẳng thức xảy ra khi ba biếnbằng nhau, với cõc bất đẳng thức hoõn vị thớ đẳng thức cụ khi haibiến bằng nhau, với cõc bất đẳng thức cụ biến thuộc đoạn ê

α;βôthớđẳng thức xả ra khi cụ một biến bằngαhoặcβ,···

Trang 6

Vợ dụ 1.1

Cho cõc số thực x, y, z > 0thỏa x + y + z63 Chứng minh rằngsx2+ 3x2+sy2+ 3y2+sz2+ 3z2 >6.

Lời giải Ta dự đoõn dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.Khi x = 1thớ x2= 1 vỏ 3x2 = 3 nởn ta õp dụng bất đẳng thức AM-GMcho4số ta đượcx2+ 3x2 = x2+ 1x2+ 1x2+ 1x2>4x.Tương tựy2+ 3y2 >4y vỏ z2+ 3z2>4z.Do đụsx2+ 3x2+sy2+ 3y2+sz2+ 3z2>2Ế1px+p1y+p1zả>p 18x +py +pz.Mặt khõcpx +py +pz6p3(x + y + z)63nởn ta cụsx2+ 3x2+sy2+ 3y2+sz2+ 3z2 >183 = 6(đpcm).Vợ dụ 1.2

Trang 7

1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn về bất đẳng thức 7

Lời giải Vớ x, y, z>0 nởn ta dự đoõn dấu “=” xảy ra khi cụ một sốbằng0 Ta giả sử z = min{x, y, z}, ta cụx y + yz + zx>x y; 1( y − z)2 > y12 vỏ 1(z − x)2> x12.Suy raV T>x y·1(x − y)2+1x2+ 1y2Ì= x 1y+ yx− 2+xy+ yx = 1t − 2+ tVới t = xy+yx> 2.Ta chứng minh1t − 2+ t>4 ⇔ 1 + t2− 2t>4t − 8 ⇔ t2− 6t + 9>0 ⇔ (t − 3)2>0.Bất đẳng thức cuối luừn đỷng Vậy bỏi toõn được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi z = 0 x

y+y

x = 3 ⇔ x =3 Ẹp5

2 y, y > 0

Vợ dụ 1.3

Cho a, b, c > 0thỏa a + 4b + 9c = 6.Chứng minh rằnga3+ b3+ c3>1

6.

Lời giải ạp dụng bất đẳng thức Cừ si cho ba số thực dương ta cụ

a3+ x3+ x3>3x2ahaya3+ 2x3>3x2a.

Tương tự: b3+ 2y3 >3 y2b, c3+ 2z3 >3z2c với x, y, z lỏ cõc số thựcdương.

Trang 8

8 Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨCMỏa + 4b + 9c = 6 ⇒ k + 8k + 27k = 6 ⇒ k =16⇒ x =16, y =13, z =12.Suy raa3+ b3+ c3>16 Đẳng thức xảy ra khi a =16, b =13, c =12.

1.2Kĩ thuật chuẩn hụa

•Bất đẳng thức thuần nhất: Bất đẳng thức cụ dạngf (a1, a2, ··· , an)>0(1) vớiai∈ D Được gọi lỏ thuần nhất nếu

f (ka1, ka2, ··· , kan) = f (a1, a2, ··· , an)với mọi k ∈ D.

•Nếu (1) lỏ bất đẳng thức thuần nhất thớ ta cụ thể giả sửg (a1, a2, ··· , an) =0với g (a1, a2, ··· , an)lỏ một biểu thức thuần nhất.

Vợ dụ 1.4

Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằnga(b + c)

(b + c)2+ a2+ b(c + a)

(c + a)2+ b2+ c(a + b)(a + b)2+ c266

5.

Trang 9

1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn về bất đẳng thức 9

Ta tớmm sao cho (2) đỷng với mọi a ∈ (0;3)vỏ đẳng thức xảy ra khia = 1 Ta biến đổi (2) như sau

15− 12a2− 6a + 9+ m (a − 1)>0 ⇔2a2− 6a + 42a2− 6a + 9+ 5m (a − 1)>0⇔ (a − 1)·2(a − 2)2a2− 6a + 9+ 5mÌ>0 (3).

Ta chọnmsao cho phương trớnh 2(a − 2)

2a2− 6a + 9+5m = 0cụ nghiệma = 1,hay lỏ

−2

5+ 5m = 0 ⇔ m = 225.Khi đụ (3) tương đương với

(a − 1)Ếa − 22a2− 6a + 9+15ả>0 ⇔ (a − 1)â2a2− a − 1đ>0 ⇔ (a − 1)2(2a + 1)>0.Bất đẳng thức cuối hiển nhiởn đỷng Vậy bỏi toõn được chứng minh.

Vợ dụ 1.5

Cho cõc số thực a, b, c Chứng minh rằng6(a + b + c)(a2+ b2+ c2)627abc + 10

q

âa2+ b2+ c2đ3.

Lời giải Khừng mất tợnh tổng quõt, ta giả sử a2+ b2+ c2= 9 vỏ|a|>|b|>|c| Khi đụ , bất đẳng thức cần chứng minh trở thỏnh

Trang 10

10 Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨCTa chứng minh(9 + 2bc)âb2c2− 4bc + 8đ6100 ⇔ 2(bc)3+ (bc)2− 20bc − 2860⇔ (2bc − 7)â(bc)2+ 4(bc) + 4đ60 ⇔ (2bc − 7)(bc + 2)260 (4).Vớ9 = a2+ b2+ c263a2⇒ a2>3 ⇒ b2+ c266.

Suy ra 2bc − 76b2+ c2− 76−1 < 0 nởn (4) đỷng Vậy bỏi toõn được

chứng minh

Vợ dụ 1.6

Cho cõc số thực dươnga, b, c thỏaabc = 1 Chứng minh rằng1a + b + 1+1b + c + 1+1c + a + 161.

Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau

Trang 11

1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bỏi toõn về bất đẳng thức 11

Vợ dụ 1.7

Cho x, y, z > 0vỏx + y + z = 1 Chứng minh rằng :x2+ y2+ z2>3âx2

y + y2z + z2xđ

Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau

âx2+ y2+ z2đ (x + y + z)>3âx2y + y2z + z2xđHayx3+ y3+ z3+ x2z + y2x + z2y>2âx2y + y2z + z2xđ(5).ạp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cụx3+ x y2>2x2y; y3+ yz2>2 y2zvỏ z3+ zx2>2z2x.

Cộng ba bất đẳng thức trởn ta cụ bất đẳng thức (5) Vậy bỏi toõn

được chứng minh

1.2Bỏi tập

Bỏi tập 1.1 Cho a, b, c > 0.Chứng minh:

abc(a + b + c) + (a2+ b2+ c2)2>4p3(a2+ b2+ c2)abc.

Bỏi tập 1.2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:(a + b + c)2a2+ b2+ c2+12Ếa3+ b3+ c3abc − a2+ b2+ c2ab + bc + caả>4.

Bỏi tập 1.3 Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằng7 (a + b + c)(ab + bc + ca)69abc + 2(a + b + c)3.

Trang 12

Bỏi tập 1.5 Cho cõc số thực dương thỏa mọn p3 a2+p3 b2+p3 c2= 3.Chứng minh rằng

a2+ b2+ c2>p3 a4+p3 b4+p3 c4.

Trang 13

Chương 2

CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

2.1Bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM − GM lỏ bất đẳng thức cổ điển được sử dụngnhiều trong cõc bỏi toõn chứng minh bất đẳng thức Ta biết trungbớnh cộng của nsố thực a1, a2, ··· , an lỏ số a1+ a2+ · · · + an

n vỏ trungbớnh nhón của n số đụ lỏ pn

a1a2· · · an (với điều kiện lỏ pn

a1a2· · · an

tồn tại) Bất đẳng thức AM − GM cho chỷng ta đõnh giõ giữa trungbớnh cộng của cõc số thực khừng óm vỏ trung bớnh nhón của chỷng.Cụ thể như sau:

2.1Bất đẳng thức AM-GM

Định lợ 2.1 (BĐT AM-GM)Chon số thực khừng óma1,a2,· · ·,an.ta cụ

a1+ a2+ · · · + an

n >pn

a1· a2· · · an

đẳng thức xảy ra khi a1= a2= · · · = an.

Chứng minh Cụ nhiều cõch đề chứng minh bất đẳng thức AM −G M, dưới đóy ta sẽ chứng minh bất đẳng thứcAM−GMbằng phươngphõp quy nạp.

Trang 14

14 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

n = 2 Tức lỏ, cần chứng minha1+ a2

2 >pa1.a2

Bất đẳng thức nỏy tương đương vớia1+ a2>2p

a1a2⇔âpa1−pa2đ2

>0

Bất đẳng thức cuối hiển nhiởn đỷng Đẳng thức xảy ra khia1= a2.Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp n = 4 Tức lỏ cần chứngminha1+ a2+ a3+ a44 >p4a1.a2.a3.a4ạp dụng trường hợpn = 2ta cụa1+ a22 >pa1.a2vỏa3+ a42 >pa3.a4Do đụa1+ a2+ a3+ a44 =a1+ a22 +a3+ a422 >pa1a2+pa3a42 >p4a1a2a3a4Nởn trường hợpn = 4được chứng minh.

Trang 15

2.1 Bất đẳng thức AM-GM 15

Suy ra

a1+ a2+ a3

3 >p3

a1.a2.a3

(đpcm) Để chứng minh cho trường hợp tổng quõt ta chứng minhtheo hai bước sau:

Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức đỷng với n = 2m+) Vớim = 1, ta cụn = 2nởn bất đẳng thức đỷng vớim = 1

+) Giả sử bất đẳng thức đỷng với n = 2m−1, ta chứng minh bất đẳngthức đỷng với n = 2m.Tức lỏa1+ a2+ · · · + a2m−1+ · · · + ann >pna1a2· · · an (1)Đặtx = a1+ a2+ · · · + a2m−12m−1 , y = a2m−1+1+ a2m−1+2+ · · · + a2m2m−1

Theo giả thiết quy nạp ta cụx> 2m−1pa1a2· · · a2m−1, y> 2m−1pa2m−1+1· · · anạp dụng cho trường hợp n = 2ta cụ:x + y2 >px yHaya1+ a2+ · · · + a2m−1+ a2m−1+1+ · · · + an2m > 2mpa1a2· · · an

Hay (1) được chứng minh.

Trang 16

16 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNThật vậy: Đặt an= a1+ a2+ · · · + an−1n − 1 ạP dụng bất đẳng thức Cừ sichon số ta cụa1+ a2+ · · · + ann >pna1a2· · · anHaya1+ a2+ · · · + =a1+ a2+ · · · + an−1n − 1n > nra1a2· · · an−1 =a1+ a2+ · · · + an−1n − 1Suy raa1+ a2+ · · · + an−1n − 1 > n−1pa1.a2· · · an−1

(đpcm) Từ hai bước trởn ta cụ bất đẳng thức AM − GM được chứng

minh 2.1Cõc hệ quảCho cõc số thực dươnga1, a2, ··· , an Ta cụ1a1+ 1a2+ · · · + 1an> n2a1+ a2+ · · · + anĐẳng thức xảy ra khia1= a2= · · · = an.2.1Cõc vợ dụVợ dụ 2.1

Cho a, b, c > 0thỏa a2+ b2+ c2= 3 Chứng minh rằnga5+ b5+ c5>3.

Lời giải ạp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cụ

Trang 17

2b5+ 3>3b2 vỏ2c5+ 3>3c2.

Cộng ba bất đẳng thức trởn ta cụ đpcm

Nhận xờt 1. Ta cụ bỏi tõn tổng qũt như sau Cho a, b, c > 0 thỏamọn a + b + c = 3(hoặcabc = 1) vỏ m, n ∈ N, m>n Khi đụ

am+ bm+ cm>an+ bn+ cn (1).

Bất đẳng thức (1) cún đỷng khi m, nlỏ cõc số hữu tỉ dương Vỏ ta cụthể tổng quõt 3 biến thỏnhk biến.

Vợ dụ 2.2

Cho a, b, c > 0thỏa ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằnga3+ b3+ c3>3.

a3+ b3+ 1>3abb3+ c3+ 1>3bc

c3+ a3+ 1>3ca Cộng ba bất đẳng thức trởn ta cụ đpcm

Vợ dụ 2.3

Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằnga4b2(c + a)+b4c2(a + b)+c4a2(b + c)>a + b + c2 .

Trang 18

18 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNb4c2(a + b)+ c +a + b4 >2bvỏ c4a2(b + c)+ a +b + c4 >2c.Cộng ba bất đẳng thức trởn theo vế ta cụ đpcm.Vợ dụ 2.4Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng3sẾ2ab + cả2+ 3sẾ2bc + aả2+sẾ2ca + bả3>3.

a + b + c = a +b + c2 +b + c2 >33sa(b + c)24 ,suy ra3sẾ2ab + cả2> 3aa + b + c.Chứng minh tương tự, ta cũng cụ3sẾ2bc + aả3> 3ba + b + c vỏ3sẾ2ca + bả2> 3ca + b + c.Cộng ba bất đẳng thức trởn theo vế ta cụ đpcm Vợ dụ 2.5

Trang 19

Lời giải Vớαi lỏ cõc số hữu tỉ dương vỏ Pn

i=1αi= 1 nởn tồn tại cõcsố nguyởn dương N, k1, k2, ··· , kn sao cho αi= ki

N ạp dụng bất đẳngthức AM-GM cho N số, ta cụnXi=1αi·ai=a1+ a1+ · · · + a1| {z }k1số+ · · · + an+ an+ · · · + an| {z }knsốN >ak1N1 · · · aknNn = aα11 · · · aαnn Bất đẳng thức được chứng minh Vợ dụ 2.6

Cho cõc số thực dươnga1, a2, ··· , an Chứng minh rằng(1 + a1)(1 + a2) ···(1 + an)>â1 +pn

a1.a2· · · an

đn

.

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1np(1 + a1)(1 + a2) ···(1 + an)+ nr a1a2· · · an(1 + a1)(1 + a2) ···(1 + an)61 (1).ạp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cụV T(1)6 1n1Xi=111 + ai+1n1Xi=1ai1 + ai = 1.

Bỏi toõn được chứng minh

Vợ dụ 2.7Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằngab + c+bc + a+ca + b>32 (Bất đẳng thức Nesbit).

Trang 20

20 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNHay(a + b + c)Ế1a + b+1b + c+1c + aả>92 (1).Ta cụ1a + b+1b + c+1c + a> 9a + b + b + c + c + a=92 (a + b + c)Nởn (1) đỷng Vợ dụ 2.8

Cho cõc số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1 Chứng minhrằng1a2+ b2+ c2+ 1ab+ 1bc+ 1ca>30.Lời giải Ta cụ:ab + bc + ca6(a + b + c)23 =131ab+ 1bc+ 1ca> 9ab + bc + ca1a2+ b2+ c2+1ab + bc + ca+1ab + bc + ca> 9(a + b + c)2 = 9.Do đụV T> 1a2+ b2+ c2+ 9ab + bc + ca= 1a2+ b2+ c2+1ab + bc + ca+1ab + bc + ca+7ab + bc + ca>9 + 713= 30.

Ta cụ điều phải chứng minh

Vợ dụ 2.9

Cho cõc số thực dương x, y, z thỏa mọn :x y + yz + zx = 3.Chứngminh rằng:

1

x yz+ 4

Trang 21

Lời giải Ta cụ:

3

pxyz (x + y)(y + z)(z + x)6 x ( y + z) + y(z + x) + z (x + y)

3 = 2.Suy ra4(x + y)(y + z)(z + x)> x yz2Do đụV T>x yz1 +x yz2 > 12x yz+x yz2 + 12x yz>1 +12 =32.

Vợ dụ 2.10

Trang 22

Vợ dụ 2.11

(IMO 2001) Cho cõc số thực dương a, b, c Chứng minh rằnga2pa2+ 8bc+b2pb2+ 8ca+c2pc2+ 8ab>1.

Lời giải GọiP lỏ vế trõi của bất đẳng thức cần chứng minh Khừngmất tợnh tổng quõt, ta giả sửa + b + c = 1.ạp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cụ :apa2+ 8bc+apa2+ 8bc+aâa2+ 8bcđ>3a ⇔p 2aa2+ 8bc+aâa2+ 8bcđ>3a.Tương tự :2bpb2+ 8ca+ bâb2+ 8cađ>3b; p 2cc2+ 8ab+ câ c2+ 8abđ>3c

Trang 23

Vợ dụ 2.12

(IMO 2005) Cho cõc số thực dương x, y, zthỏa x yz>1 Chứngminh rằngx5− x2x5+ y2+ z2+y5− y2y5+ z2+ x2+z5− z2z5+ x2+ y2 >0.

Trang 24

Vợ dụ 2.13

Trang 25

Vợ dụ 2.14

(IMO 2012) Cho cõc số thực dương a2, a3, ··· , an thỏa mọna2a3· · · an= 1 Chứng minh rằng

(1 + a2)2(1 + a3)3· · · (1 + an)n> nn.

(1 + ak)k=Ế1k − 1+1k − 1+ · · · +1k − 1+ akảk> kkak(k − 1)k−1.Suy ra(1 + a2)2 (1 + a3)3· · · (1 + an)n>2211.3322.4433· · · nn(n − 1)na1a2· · · an= nn.Ta thấy khừng cụ đẳng thức xảy ra Vậy bỏi toõn được chứng minh.

Vợ dụ 2.15

(Moldova TST 2014) Cho cõc số thực dương a, b, c thỏa mọnabc = 1 Chứng minh rằnga3+ b3+ c3+ aba2+ b2+bcb2+ c2+cac2+ a2>92.

2âa3+ b3+ c3đ + 2aba2+ b2+2bcb2+ c2+2cac2+ a2>9 (1).Ta cụx3+ y3>x2y + y2xvới mọi x, y > 0nởn

a3+ b3+ c3> câa2+ b2đ2 +bâ c2+ a2đ2 +aâb2+ c2đ2Suy raV T (1)>ẳcâa2+ b2đ2 + 2aba2+ b2!+ẳbâ c2+ a2đ2 + 2bcb2+ c2!+ẳaâb2+ c2đ2 + 2cac2+ a2!+3abc>9.

Trang 26

Vợ dụ 2.16

Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằnga3a2+ b2+b3b2+ c2+c3c2+ a2 >a + b + c2 .Lời giải Ta cụa3a2+ b2 =aâa2+ b2đ − ab2a2+ b2 = a −ab2a2+ b2 >a −b2.Tương tựb3b2+ c2>b −c2 vỏc3c2+ a2 >c −a2.Cộng cõc bất đẳng thức trởn theo vế ta cụ đpcm Vợ dụ 2.17

Cho cõc số thực a, b, cthỏaabc < 0vỏa + b + c = 0 Chứng minhrằng:Ế1a+1b+1cả(1 − ab − bc − ca) + 12abc − 8ab + bc + ca>16.

Lời giải Gọi P lỏ vế trõi của bất đẳng thức.Đặtm = −(ab + bc + ca), n = −abc

Trang 27

2.1 Bất đẳng thức AM-GM 27Suy ram3+ m2+ 12n2+ 8n>16mnDo đụ:P = m(1 + m)n +12n + 8m >16

Đẳng thức xảy ra khi vỏ chỉ khim = 2, n = 1, tức lỏa, b, clỏ ba nghiệmcủa phương trớnhx3− 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x2+ x − 1) = 0 ⇔ x = 1, x =−1 Ẹp52 .2.1Bỏi tập

Bỏi tập 2.1 Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằng

1 (1 + a)(1 + b)(1 + c)>Ể1 +p3 abcỄ3 Họy tổng quõt hụa lởn n biếnvỏ chứng minh.2 Ể1 +abỄẾ1 +bcảỂ1 + caỄ>2Ế1 +a + b + cp3abcả.

Lời giải. 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

3s1.1.1(1 + a)(1 + b)(1 + c)+3sabc(1 + a)(1 + b)(1 + c)61.Đặt :T = 3s1.1.1(1 + a)(1 + b)(1 + c)+3sabc(1 + a)(1 + b)(1 + c)T613·11 + a+11 + b+11 + cÌ+13· a1 + a+b1 + b+c1 + cÌT613·a + 11 + a+b + 11 + b+c + 11 + cÌ=13.3 = 1Dấu đẳng thức xảy ra khia = b = c>0.

Trang 28

2.

Bỏi tập 2.2 Cho cõc số thực a, b, c thỏa mọn a + b + c = 1 Chứngminh rằng

(1 + a)(1 + b)(1 + c)>64abc.

Bỏi tập 2.3 Cho2nsố thực dươnga1, a2, ··· , an, b1, b2, ··· , bn Chứngminh rằng

n

p

(a1+ b1) (a2+ b2) ···(an+ bn)>pn

a1a2· · · an+pn b1b2· · · bn.

Bỏi tập 2.4 Cho3nsố thực dươnga1, a2, ··· , an;b1, b2, ··· , bn;c1, c2, ··· , cn.Chứng minh rằngẳnYi=1ai+nYi=1bi+nYi=1ci!n6nYi=1âani + bni + cniđ

Bỏi tập 2.5 Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằng(a + b + c)3>a3+ b3+ c3+ 24abc.

Bỏi tập 2.6 Cho n số thực dương a1, a2, ··· , an vỏ số nguyởn dươngk Chứng minh rằng

ak1+ ak2+ · · · + akn

n >Ểa1+ a2+ · · · + an nỄ

k

.

Bỏi tập 2.7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng1a + 3b+1b + 3c+1c + 3a> 1a + 2b + c+1b + 2c + a+1c + 2a + b.

Bỏi tập 2.8 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng1b (a + b)+1c (b + c)+1a (c + a)> 272(a + b + c)2.

Bỏi tập 2.9 Cho a, b, c > 0thỏa mọn điều kiệna3b3+ b3c3+ c3a3= 3.Chứng minh rằng:

Trang 29

Bỏi tập 2.10 Choa, b, c > 0 Chứng minh rằng

a4+ b4+ c4>Ếa + 2b3ả4+Ếb + 2c3ả4+Ếc + 2a3ả4.

Bỏi tập 2.11 Cho cõc số thực dương a, b, c Chứng minh rằngaa +p(a + b)(a + c)+bb +p(b + c)(b + a)+cc +p(c + a)(c + b) 61.

Bỏi tập 2.12 (Baltic Way 2014) Cho cõc số thực dươnga, b, cthỏa1a+1b+1c = 3.Chứng minh rằng1pa3+ b+1pb3+ c+1pc3+ a6p32.HD:P 1pa3+ b6P 1p2pa3b=p12P 4sẾ1aả3·1b 6 14p2PẾ3a+1bả=p32.

Bỏi tập 2.13 (USA 2011) Vớia, b, c lỏ cõc số thực dương thỏaa2+b2+ c2+ (a + b + c)264, chứng minh rằngab + 1(a + b)2+bc + 1(b + c)2+ca + 1(c + a)2 >3.HD: Ta cụab+1>2ab + a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca2 =(a + b)2+ (c + a) (c + b)2 .

Bỏi tập 2.14 Cho cõc số thực dương a, b, c thỏa abc = 1 Chứngminh rằng3sa3+ b32 + 3sb3+ c32 + 3sc3+ a32 + 663 (a + b + c).

HD: Bỏi toõn nỏy cụ thể chứng minh bằng cõch sử dụng đõnh

Trang 30

30 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNChỷ ý rằng: a2+ b2a + b = a + b −2aba + bNhư vậy ta phải chứng minh:

2· aba + b+bcb + c+cac + aÌ+ a + b + c>6ạp dụng bất đẳng thức AM-GM với abc = 1,ta cụ ngay:

2aba + b+a + b2 + 2bcb + c+b + c2 + 2cac + a+c + a2 >6

Vậy ta cụ ớiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khia = b = c = 1.

Bỏi tập 2.15 Cho cõc số thực dươnga, b, cthỏa mọnabc = 1 Chứngminh bất đẳng thức:1pa2+ 2b2+ 15+1pb2+ 2c2+ 15+1pc2+ 2a2+ 156p12.

Bỏi tập 2.16 Cho cõc số thực dương x, y Chứng minh rằng

âpx +pyđẳ1px + 3y+1p y + 3x!62.

Trang 31

2.1 Bất đẳng thức AM-GM 31Tương tựb2+ 1c2+ca>3b,vỏc2+ 1a2+ab>3c.Kết hợp vớiab+bc +ca>33sab·bc ·ca= 3.ta cụ đpcm

Bỏi tập 2.18 Cho cõc số thực dương a, b thỏa mọn ab>1 Chứngminh rằngẾa + 2b + 2a + 1ả Ếb + 2a + 2b + 1ả>16.Lời giải Ta cụ b + 2a + 2b + 1>52+32anởnẾa + 2b + 2a + 1ả Ếb + 2a + 2b + 1ả>Ế52+32aả Ế52+32bảvỏẾ52+32aả Ế52+32bả=254 +154 (a + b) +94ab>16nởn ta cụ đpcm

Bỏi tập 2.19 Cho cõc số thực dương a, b, cthỏa:pa2+ b2+pb2+ c2+pc2+ a2=7 − abcp2 .Chứng minh rằng:a2b + c+b2c + a+c2a + b>32.

Trang 32

Bỏi tập 2.21 Cho cõc số thực dương a, b, c Tớm giõ trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP =sẾ58+ ab + cả Ế58+ bc + aả+sẾ58+ bc + aả Ế58+ ca + bả+sẾ58+ ca + bả Ế58+ ab + cả.

Bỏi tập 2.22 Cho a,b,c lỏ cõc số thực dương thỏa mọn:

3

p

a3+ b3+p3 b3+ c3+p3 c3+ a3+ abc = 3.Chứng minh rằng giõ trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a3b2+ c2+b3c2+ a2+c3a2+ b2bằng m2p3

2, trong đụ mlỏ nghiệm của phương trớnht

3+ 54t − 162 = 0.

Bỏi tập 2.23 (VN TST 2010) Cho cõc số thực dương a, b, c thỏamọn16 (a + b + c)>1a+1b+1c Chứng minh rằng1âa + b +p2 (a + c)đ3+1Ểb + c +p2(b + a)Ễ3+Ể 1c + a +p2(c + b)Ễ3689.

Bỏi tập 2.24 (USA TST 2010) Cho cõc số thực dương a, b, c thỏamọnabc = 1 Chứng minh rằng1a5(b + 2c)2+ 1b2(c + 2a)2+ 1c5(a + 2b)2 >13.2.2Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz2.2Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thứcĐịnh lợ 2.2. Cho2nsố thựca1, a2, ··· , an, b1, b2, ··· , bn Khi đụ, ta cụâa21+ a22+ · · · + a2nđ âb21+ b22+ · · · + b2nđ>(a1b1+ a2b2+ · · · + anbn)2.

Trang 33

2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 33

Chứng minh Nếu ai = 0 ∀i = 1, n thớ bất đẳng thức hiển nhiởnđỷng.Nếu Pni=1a2i > 0, ta xờt tam thứcf (x) =ẳnXi=1a2i!x2− 2ẳnXi=1ai.bi!x +nXi=1b2iTa cụf (x) =nXi=1(aix − bi)2> ∀x ∈ RDo đụ∆0=ẳnXi=1aibi!2−ẳnXi=1a2i! ẳnXi=1b2i!60Hay bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khiaix − bi= 0 ⇔ ai= k.bi 2.2Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phón thứcĐịnh lợ 2.3. Cho cõcnsố thựca1, a2, ··· anvỏnsố thực dươngb1, b2, ··· , bn.Khi đụ, ta cụa21b1+a22b2+ · · · +a2nbn>(a1+ a2+ · · · + an)2b1+ b2+ · · · + bn.

Đẳng thức xảy ra khi vỏ chỉ khi a1

b1 =a2

b2= · · · = anbn.

Chứng minh ạp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa

Trang 34

34 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN2.2Cõc vợ dụVợ dụ 2.18(BấtđẳngthứcMincopski) Cho cõc 2n số thựca1, a2, ··· , an, b1, b2, ··· , bn Chứng minh rằngqa21+ a22+ · · · + a2n+qb21+ b22+ · · · + b2n>q(a1+ b1)2+ (a2+ b2)2+ · · · + (an+ bn)2.

Lời giải Bớnh phương hai vế vỏ rỷt gọn, ta cụ

qâa21+ a22+ · · · + a2nđ âb21+ b22+ · · · + b2nđ>(a1b1+ a2b2+ · · · + anbn) Đóy chợnh lỏ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức Đẳng

thức xảy ra khiai= kbi

Vợ dụ 2.19

Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằngâa2

+ 1đ âb2

+ 1đ â c2

+ 1đ>(a + b)(b + c)(c + a).

Lời giải ạp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta cụ

âa2

+ 1đ âb2+ 1đ = âa2+ 1đ â1 + b2đ

>(a + b)2.Tương tự, ta cũng cụ

âb2+ 1đ â c2+ 1đ>(b + c)2,â c2+ 1đ âa2+ 1đ>(a + c)2.Nhón ba bất đẳng thức trởn theo vế ta được

âa2

+ 1đ âb2

+ 1đ â c2

+ 1đ>(a + b)(b + c)(c + a).

Trang 35

Vợ dụ 2.20

Cho a, b, c > 0thỏa mọna + b + c = 1 Chứng minh rằngsa2+ 1b2+sb2+ 1c2+sc2+ 1a2>p82

Ếa2+ 1b2ả Ế19+ 9ả>Ếa3+3bả2haysa2+ 1b2>p382Ếa3+3bả.Tương tự, ta cũng cụsb2+ 1c2 >p382Ếb3+3cảvỏsc2+ 1a2>p382Ếc3+3aả.Cừng ba bất đẳng thức theo vế ta cụsa2+ 1b2+sb2+ 1c2+sc2+ 1a2 >p382·a + b + c3 + 3Ế1a+1b+1cảÌ.Lại cụ 1a+1b+1c > 9

a + b + c= 9nởn ta suy ra đượcsa2+ 1b2+sb2+ 1c2+sc2+ 1a2 >p382Ế13+ 27ả=p82.Đẳng thức xảy ra khia = b = c =13. Vợ dụ 2.21

Cho cõc số thực dươnga, b, cthỏa mọna+b+c = 3 Chứng minh

Trang 36

36 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNrằng2âa2+ b2+ c2đ + 3>9Ế 1a2+ 2+1b2+ 2+1c2+ 2ả.

âa2+ b2+ 1đ â1 + 1 + c2đ>(a + b + c)2= 9hay lỏa2+ b2+ 1> c29+ 2.Tương tựb2+ c2+ 1>a29+ 2 vỏ c2+ a2+ 1>b29+ 2.Cộng cõc bất đẳng thức trởn theo vế, ta được

2âa2+ b2+ c2đ + 3>9Ế 1a2+ 2+1b2+ 2+1c2+ 2ả.Đẳng thức xảy ra khia = b = c = 1 Vợ dụ 2.22

Cho cõc số thực dương a, b, c thỏa mọn a + b + c = 1a+1b +1c.Chứng minh rằngpa2+ 1 +pb2+ 1 +pc2+ 16p2 (a + b + c).

Trang 37

Vợ dụ 2.23

Cho a, b, c > 0vỏ a + b + c = 1 Chứng minh rằngapa2+ 8bc + bpb2+ 8ca + cpc2+ 8ab61.

V T =pa.pa3+ 8abc +pb.pb3+ 8abc +pc.pc3+ 8abc6q(a + b + c)âa3+ b3+ c3+ 24abcđ.Mặt khõc(a + b + c)3= a3+ b3+ c3+ 3 (a + b) (b + c) (c + a)>a3+ b3+ c3+ 24abcSuy raV T6q(a + b + c)(a + b + c)3= (a + b + c)2= 1.Bỏi toõn được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1

3.

Vợ dụ 2.24

Cho cõc số thực dươnga, b, c Chứng minh rằngs2aa + b+s2bb + c+s2cc + a63.

Trang 38

38 Chương 2 CạC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂNDo đụ, ta chỉ cần chứng minh4 (a + b + c)(ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) 692⇔ (a + b + c)(ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) 698.

Đóy lỏ một kết quả quen thuộc

Vợ dụ 2.25

Cho cõc số thực a, b, c > 0 thỏa mọn a + b + c = 3 Chứng minhrằnga2a + 2b2+ b2b + 2c2+ c2c + 2a2 >1.

Lời giải Gọi P lỏ vế trõi của bất đẳng thức cần chứng minh ạpdụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta cụP = a4a3+ 2a2b2+ b4b3+ 2b2c2+ c4c3+ 2c2a2> âa2+ b2+ c2đ2a3+ b3+ c3+ 2âa2b2+ b2c2+ c2a2đ Vớia + b + c = 3 ta cụ

âa4+ b4+ c4đ âa2+ b2+ c2đ>âa3+ b3+ c3đ2âa3+ b3+ c3đ (a + b + c)>âa2+ b2+ c2đ23âa2+ b2+ c2đ>(a + b + c)2.

Nhón ba bất đẳng thức trởn theo vế ta được3âa4+ b4+ c3đ>(a + b + c)âa3+ b3+ c3đHaya4+ b4+ c4>a3+ b3+ c3 Do đụâa2+ b2+ c2đ2= a4+ b4+ c4+ +2âa2b2+ b2c2+ c2a2đ>a3+ b3+ c3+ 2âa2b2+ b2c2+ c2a2đ

Trang 39

Vợ dụ 2.26

Cho a, b, c > 0thỏa a + b + c = 2 Chứng minh rằng:ap4a + 3bc+bp4b + 3ca+cp4c + 3ab61.

Lời giải ạp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta cụ:

Ế ap4a + 3bc+bp4b + 3ca+cp4c + 3abả26(a + b + c)Ế a4a + 3bc+b4b + 3ca+c4c + 3abả= 2Ế a4a + 3bc+b4b + 3ca+c4c + 3abả.Ta chứng minh:a4a + 3bc+b4b + 3ca+c4c + 3ab612⇔ bc4a + 3bc+ca4b + 3ca+ab4c + 3ab >13 (∗)Ta cụV T(∗)> (ab + bc + ca)2

bc(4a + bc) + ca(4b + ca) + ab(4c + ab)Do

bc(4a + bc) + ca(4b + ca) + ab(4c + ab) = 3(ab + bc + ca)2.Nởn ta cụ:V T(∗)>1

3 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi vỏ chỉ khia = b =c =2

3.

Vợ dụ 2.27

Trang 40

Lời giải Vớ b

a.cb.a

c = 1nởn tồn tại cõc số thực dương x, y, zsao choba= yzx2, cb= zxy2, ac =x yz2.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thỏnhx4âx2+ yzđ2+y4â y2+ zxđ2+z4â z2+ x yđ2>34.ạp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta cụx4âx2+ yzđ2+y4â y2+ zxđ2+z4â z2+ x yđ2 > âx2+ y2+ z2đ2âx2+ yzđ2+â y2+ zxđ2+â z2+ x yđ2.Ta chứng minhâx2+ y2+ z2đ2âx2+ yzđ2+â y2+ zxđ2+â z2+ x yđ2 >34Biến đổi vỏ rỷt gọn ta thu được bất đẳng thức

x4+ y4+ z4+ 5âx2y2+ y2z2+ z2x2đ

>6x yz (x + y + z) (∗).Ta cụ

x4+ y4+ z4>x2y2+ y2z2+ z2x2>x yz (x + y + z).

Nởn suy ra(∗)đỷng Vậy bỏi toõn được chứng minh

Vợ dụ 2.28Cho cõc số thực x, y, z > 0 Chứng minh rằngx + ypx2+ y2+ zx + z y+y + zp y2+ z2+ x y + xz+z + xp z2+ x2+ yz + x y 63.

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	367,4 KB