Chuyên đề bất đẳng thức nguyễn tất thu

WWW.TOANMATH.COM Mục lục Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức 1.1.1 Số thực dương, số thực âm 1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức 1.1.3 Các tính chất bất đẳng thức 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức 1.2.1 Dự đoán dấu “=” xảy 1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa 1.2.3 Bài tập 1.3 Hướng dẫn, đáp số 5 11 12 Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Các hệ 2.1.3 Các ví dụ 2.1.4 Bài tập 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức 2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 2.2.3 Các ví dụ 2.2.4 Bài tập 2.3 Bất đẳng thức Schur 13 13 13 16 16 27 32 32 33 34 42 45 3 3 Mục lục 2.3.1 Bất đẳng thức Schur 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt 2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng 2.3.4 Các ví dụ 2.3.5 Bài tập 2.4 Hướng dẫn, đáp số 2.5 Tài liệu tham khảo Nguyễn Tất Thu 45 46 46 46 50 51 51 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức Số thực dương, số thực âm • Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x > • Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x < • Nếu x số thực dương x = 0, ta nói x số thực khơng âm, ký hiệu x > • Nếu x số thực âm x = 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x 1.1 Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa 1.1 Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a − b số dương, tức a − b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a > b ⇔ a − b > Nếu a > b a = b, ta viết a > b Ta có: a > b ⇔ a − b > Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa 1.2 Giả sử A , B hai biểu thức số Khi mệnh đề có dạng: " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu : A < B " A lớn hay B " ký hiệu A > B " A nhỏ hay B " ký hiệu A B gọi bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức • Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.1 Các tính chất bất đẳng thức Tính chất 1.1 (Tính chất bắc cầu)  a > b b > c Tính chất 1.2 a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1: a > b ⇔ a − c > b − c Hệ 2: a + c > b ⇔ a > b − c Tính chất 1.3  a > b c > d ⇒ a+c > b+d  ac > bc c > Tính chất 1.4 a > b ⇔ ac < bc c < Hệ 3: a > b ⇔  −a < − b a b   > c > Hệ 4: a > b ⇔ ac bc   < c < c c Nguyễn Tất Thu a > c 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức ( Tính chất 1.5 a>b>0 c>d>0 ⇒ ac > bd Tính chất 1.6 a > b > ⇔ < 1 < a b Tính chất 1.7 a > b > 0, n ∈ N ∗ ⇒ a n > b n Tính chất 1.8 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ p n a> p n b Hệ 5: • Nếu a b hai số dương : a > b ⇔ a2 > b2 • Nếu a b hai số khơng âm : a > b ⇔ a2 > b2 Tính chất 1.9 Với a, b ∈ R ta có: • | a + b | | a| + | b | • | a − b | | a| + | b | • |a + b| = |a| + | b| ⇔ a.b > • |a − b| = |a| + | b| ⇔ a.b 1.2 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức Dự đoán dấu “=” xảy Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đốn dấu “=” xảy có ý nghĩa quan trọng Trong số trường hợp, việc dự đốn dấu “=” xảy giúp định hướng tìm lời giải Thông thường, với bất đẳng thức đối xứng ba biến đẳng thức xảy ba biến nhau, với bất đẳng thức hốn vị ng thc cú hai Ê Ô bin bng nhau, với bất đẳng thức có biến thuộc đoạn α; β đẳng thức xả có biến α β, · · · Nguyễn Tất Thu Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1.1 Cho số thực x, y, z > thỏa x + y + z Chứng minh s s x2 + + x y2 + + y s z2 + > z2 Lời giải Ta dự đoán dấu “=” xảy x = y = z = = nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM x2 Khi x = x2 = cho số ta x2 + 1 = x + + + > x x2 x2 x2 x2 Tương tự 3 4 > z2 + > y z y z y2 + Do s x2 + + x Mặt khác s p y2 + + y x+ s p y+ p x2 + + x s ả 1 18 z2 + > p + p + p > p p p y z x z x+ y+ z z6 s p (x + y + z) nên ta có y2 + + y s z2 + 18 > = (đpcm) z2  Ví dụ 1.2 Cho số thực khơng âm x, y, z đôi khác Chứng minh µ (x y + yz + zx) Nguyễn Tất Thu (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ¶ > 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải tốn bất đẳng thức Lời giải Vì x, y, z > nên ta dự đoán dấu “=” xảy có số Ta giả sử z = { x, y, z}, ta có x y + yz + zx > x y; (y − z) > 1 > 2 y x (z − x) Suy ¸ 1 x y 1 V T > xy +t + 2+ = x y + + = x y (x − y) + −2 y x t−2 y x · Với t = x y + > y x Ta chứng minh + t > ⇔ + t2 − 2t > 4t − ⇔ t2 − 6t + > ⇔ (t − 3)2 > t−2 Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn p chứng minh Đẳng thức xảy z = 3± x y + =3⇔x= y, y > y x  Ví dụ 1.3 Cho a, b, c > thỏa a + 4b + 9c = 6.Chứng minh a3 + b + c > Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho ba số thực dương ta có a3 + x3 + x3 > 3x2 a hay a3 + 2x3 > 3x2 a Tương tự: b3 + 2y3 > 3y2 b, c3 + 2z3 > 3z2 c với x, y, z số thực dương Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta có được: ¡ ¢ ¡ ¢ a3 + b3 + c3 + x3 + y3 + z3 > x2 a + y2 b + z2 c Ta chọn x, y, z cho x2 = Nguyễn Tất Thu y2 z2 = = k2 ⇒ x = k, y = 2k, z = 3k Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Mà a + 4b + 9c = ⇒ k + 8k + 27k = ⇒ k = 1 1 ⇒ x= ,y= ,z= 6 6 Suy a3 + b3 + c3 > Đẳng thức xảy a = , b = , c = 1.2  Kĩ thuật chuẩn hóa • Bất đẳng thức nhất: Bất đẳng thức có dạng f (a , a , · · · , a n ) > (1) với a i ∈ D Được gọi f (ka , ka , · · · , ka n ) = f (a , a , · · · , a n ) với k ∈ D • Nếu (1) bất đẳng thức ta giả sử g (a , a , · · · , a n ) = với g (a , a , · · · , a n ) biểu thức Ví dụ 1.4 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a(b + c) (b + c)2 + a2 + b(c + a) (c + a)2 + b2 + c(a + b) (a + b)2 + c2 6 Lời giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử a + b + c = Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a (3 − a) (3 − a) + a2 + b (3 − b) (3 − b) + b2 + c (3 − c) (3 − c) + c2 6 Hay 2a2 − 6a + + 2b2 − 6b + + 2c2 − 6c + (1) Ta tìm đánh giá 2a2 − 6a + Nguyễn Tất Thu m (a − 1) + (2) 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải tốn bất đẳng thức Ta tìm m cho (2) với a ∈ (0; 3) đẳng thức xảy a = Ta biến đổi (2) sau 2a2 − 6a + − + m (a − 1) > ⇔ + 5m (a − 1) > 2a − 6a + 2a − 6a + · ¸ 2(a − 2) ⇔ (a − 1) + 5m > 2a2 − 6a + (3) 2(a − 2) Ta chọn m cho phương trình +5m = có nghiệm a = 1, 2a − 6a + 2 − + 5m = ⇔ m = 25 Khi ú (3) tng ng vi ả Ă Â a2 + > ⇔ (a − 1) 2a2 − a − > ⇔ (a − 1)2 (2a + 1) > (a − 1) 2a − 6a + µ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Vậy tốn chứng minh  Ví dụ 1.5 Cho số thực a, b, c Chứng minh q ¡ ¢3 6(a + b + c)(a + b + c ) 27abc + 10 a2 + b2 + c2 2 Lời giải Không tính tổng quát, ta giả sử a2 + b2 + c2 = |a| > | b| > | c| Khi , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (a + b + c) abc + 10 ⇔ (a + b + c) − abc 10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có (a + b + c) − abc = a (2 − bc) + (b + c) = Nguyễn Tất Thu q q£ ¤ £ ¤ a2 + (b + c)2 (2 − bc)2 + ¡ ¢ (9 + 2bc) b2 c2 − 4bc + 10 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta chứng minh ¡ ¢ (9 + 2bc) b2 c2 − 4bc + 100 ⇔ 2(bc)3 + (bc)2 − 20bc − 28 ¡ ¢ ⇔ (2bc − 7) (bc)2 + 4(bc) + ⇔ (2bc − 7) (bc + 2)2 (4) Vì = a2 + b2 + c2 3a2 ⇒ a2 > ⇒ b2 + c2 6 Suy 2bc − b2 + c2 − −1 < nên (4) Vậy toán chứng minh  Ví dụ 1.6 Cho số thực dương a, b, c thỏa abc = Chứng minh 1 + + a+b+1 b+ c+1 c+a+1 Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh sau a+b+ p abc + b+c+ p abc + c+a+ p abc 6p abc Hay 1 1 + + x3 + y3 + x yz y3 + z3 + x yz z3 + x3 + x yz x yz p p p Với x = a, y = b, z = c Ta có x3 + y3 > x y (x + y) ⇒ x3 + y3 + x yz > x y (x + y + z) Do 1 z x3 + y3 + x yz x yz x + y + z Tương tự: y3 + z3 + x yz x 1 y 3 x yz x + y + z z + x + x yz x yz x + y + z Cộng ba bất đẳng thức ta có đpcm Nguyễn Tất Thu  2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 37 Ví dụ 2.23 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a p a2 + 8bc + b p b2 + 8ca + c p c2 + 8ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có VT = p p p p p p a a + 8abc + b b3 + 8abc + c c3 + 8abc q ¡ ¢ (a + b + c) a3 + b3 + c3 + 24abc Mặt khác (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b) (b + c) (c + a) > a3 + b3 + c3 + 24abc Suy VT q (a + b + c) (a + b + c)3 = (a + b + c)2 = 1 Bài toán chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c =  Ví dụ 2.24 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh s 2a + a+b s 2b + b+c s 2c c+a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có V T2 = à p r a+c p a + b+a (a + b)(a + c) s p b + c+b (b + c)(b + a) r c (c + a)(c + b) a b c (a + b + c) + + (a + b) (a + c) (b + a) (b + c) (c + a) (c + b) µ = Nguyễn Tất Thu (a + b + c) [ab + bc + ca] (a + b) (b + c) (c + a) ¶ !2 Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 38 Do đó, ta cần chứng minh (a + b + c) (ab + bc + ca) (a + b + c) (ab + bc + ca) ⇔ (a + b) (b + c) (c + a) (a + b) (b + c) (c + a) Đây kết quen thuộc  Ví dụ 2.25 Cho số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 + + > a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Lời giải Gọi P vế trái bất đẳng thức cần chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có a4 b4 c4 + + a3 + 2a2 b2 b3 + 2b2 c2 c3 + 2c2 a2 ¡ ¢2 a + b2 + c2 ¡ ¢ > a + b + c + a2 b + b c + c a2 P= Với a + b + c = ta có ¢¡ ¢ ¡ ¢2 a4 + b + c a2 + b + c > a3 + b + c ¡ ¢ ¡ ¢2 a + b3 + c3 (a + b + c) > a2 + b2 + c2 ¡ ¢ a2 + b2 + c2 > (a + b + c)2 ¡ Nhân ba bất đẳng thức theo vế ta ¡ ¢ ¡ ¢ a4 + b4 + c3 > (a + b + c) a3 + b3 + c3 Hay a4 + b4 + c4 > a3 + b3 + c3 Do ¡ a2 + b + c ¢2 ¡ ¢ = a4 + b4 + c4 + +2 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 > a3 + b + c + a2 b + b c + c a2 ¡ Vậy P > Đẳng thức xảy a = b = c = Nguyễn Tất Thu ¢  2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 39 Ví dụ 2.26 Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: a b c +p +p p 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: b a c ả2 a b c (a + b + c) + + 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab µ +p +p p 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab ả b c a + + =2 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab Ta chứng minh: b c a + + 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab ca ab bc + + > 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab ⇔ Ta có V T(∗) > (∗) (ab + bc + ca)2 bc(4a + bc) + ca(4b + ca) + ab(4c + ab) Do bc(4a + bc) + ca(4b + ca) + ab(4c + ab) = 3(ab + bc + ca)2 Nên ta có: V T(∗) > c= (đpcm) Đẳng thức xảy a = b =  Ví dụ 2.27 Cho số thực dương a, b, c Chng minh rng: a b ả2 ³ c ´2 + + > a+b b+c c+a Nguyễn Tất Thu ¶ Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 40 Lời giải Vì b c a = nên tồn số thực dương x, y, z cho a b c b yz c zx a x y = , = , = a x2 b y2 c z2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x4 ¡ x2 + yz ¢2 + ¡ y4 y2 + zx ¢2 + ¡ z4 ¢2 > z2 + x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ¢2 x2 + y2 + z2 ¡ ¢2 + ¡ ¢2 + ¡ ¢2 > ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 x2 + yz y2 + zx z2 + x y x2 + yz + y2 + zx + z2 + x y x4 y4 z4 ¡ Ta chứng minh ¢2 x + y2 + z ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 > x2 + yz + y2 + zx + z2 + x y ¡ Biến đổi rút gọn ta thu bất đẳng thức ¡ ¢ x4 + y4 + z4 + x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 > 6x yz (x + y + z) (∗) Ta có x4 + y4 + z4 > x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 > x yz (x + y + z) Nên suy (∗) Vậy tốn chứng minh  Ví dụ 2.28 Cho số thực x, y, z > Chứng minh x+ y p x2 + y2 + zx + z y +p y+ z y2 + z2 + x y + xz +p z+x z + x2 + yz + x y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ¸ (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 + + VT 63 x + y2 + zx + yz y2 + z2 + x y + xz z2 + x2 + z y + yx · Nguyễn Tất Thu 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 41 Mặt khác x2 y2 x y (x + y)2 (x + y)2 + = + = 2 x + y + zx + yz x(x + z) + y(y + z) x (x + z) y (y + z) x + z y + z Tương tự y z z x (y + z)2 (z + x)2 + + 2 2 y+ x z+ x y + z + x y + xz z + x + z y + yx z + y x + y Suy V T ⇔ V T 3, từ ta có đpcm  Ví dụ 2.29 (VQB Cẩn Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Chứng minh 26 4a + b 31 c Lời giải Ta có 4a + b > ⇔ −4a − b + 2c ⇔ 3a + 6b + 9c (a + b + c) = 42 c (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 3a + 6b + 9c q¡ ¢¡ ¢ 32 + 62 + 92 a2 + b2 + c2 = 42 Suy (1) Đẳng thức xảy a = 1, b = 2, c = Tương tự 4a + b 31 ⇔ 8a + 2b − 31c ⇔ 57a + 51b + 18c 49 (a + b + c) = 294 c (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 57a + 51b + 18c q¡ ¢¡ ¢ 572 + 512 + 182 a2 + b2 + c2 = 294 Hay (2) chứng minh Đẳng thức xảy a = Nguyễn Tất Thu 19 17 ,b = ,c = 7  Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 42 2.2 Bài tập Bài tập 2.25 Cho số thực dương a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + > b + 2c c + 2a a + 2b Bài tập 2.26 Cho số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: a3 + b + + b3 + c3 + + c + a3 + Bài tập 2.27 Cho số thực dương x, y, z thỏa x + y + z Tìm giá trị nhỏ nhất: s P= 4x2 + + x s 4y2 + + y ( Bài tập 2.28 Cho x, y thỏa s 4z2 + x2 + x y + y2 = 16 y2 + yz + z2 = z2 Chứng minh rằng: x y + yz + zx Bài tập 2.29 Cho a, b > Chứng minh rằng: ³ p p ´³ p p ´ a + b a + b 25 (a + b) Bài tập 2.30 Cho a, b, c số thực dương thỏa: a2 + b2 + c2 > Chứng minh rằng: p a3 b2 + c2 + +p b3 c + a2 + +p c3 a2 + b + > Bài tập 2.31 Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 4a2 + b2 + c2 Nguyễn Tất Thu + a2 + 4b2 + c2 + a2 + b2 + 4c2 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 43 Bài tập 2.32 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + (2a + b)(2a + c) (2b + a)(2b + c) (2c + a)(2c + b) Bài tập 2.33 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + > a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Bài tập 2.34 Cho số thực x, y, z > Chứng minh rằng: x+ y p x2 + y2 + zx + z y +p y+ z y2 + z2 + x y + xz +p z+x z + x2 + yz + x y Bài tập 2.35 Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 4x + x3 + x y2 + 3x yz + y3 + 4y + 4z + 162 + > 2 yz + 3x yz z + zx + 3x yz x + y + z2 + 27 Bài tập 2.36 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 (b + 2c)2 (a + b) + b2 (c + 2a)2 (b + c) + c2 (a + 2b)2 (c + a) > Bài tập 2.37 Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 Chứng minh rằng: p a b c +p +p > (a + b + c) p b+c c+a a+b Bài tập 2.38 Cho a, b, c > thỏa abc = Chứng minh p p b+c c+a a+b p p + p + p > a + b + c + a c b Bài tập 2.39 Cho a, b, c ∈ (1; 2) Chứng minh p p p b a c b a c p p + p p + p p > 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c Nguyễn Tất Thu Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 44 Bài tập 2.40 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 + b b + c c + a + + > b+c c+a a+b Bài tập 2.41 Cho a, b, c > Chứng minh a+b a b+c b c+a c + + > b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b Bài tập 2.42 Cho a, b, c > Chứng minh a3 b3 c3 3(ab + bc + ca) + + > 2 2 a+b+c b − bc + c c − ca + a c − ca + a Bài tập 2.43 Cho a, b, c > Chứng minh bc ca a+b+c ab + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài tập 2.44 Cho a, b, c > Chứng minh a b c + + p p p a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b) Bài tập 2.45 Cho x, y, z > −1 Chứng minh + x2 + y2 + z2 + + + y + z2 + z + x2 + x + y2 Bài tập 2.46 Cho a, b, c > Chứng minh ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ a2 + b2 + c2 + > (ab + bc + ca) Bài tập 2.47 Cho a, b, c > Chứng minh ¡ a3 b3 c3 ¢¡ ¢+¡ ¢¡ ¢+¡ ¢¡ ¢6 a+b+c 2a2 + b2 2a2 + c2 2b2 + c2 2b2 + a2 2c2 + a2 2c2 + b2 Bài tập 2.48 Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh 1 + + > 2−a 2−b 2− c Nguyễn Tất Thu 2.3 Bất đẳng thức Schur 45 Bài tập 2.49 Cho a, b, c > Chứng minh a b c + + 4a + 4b + c 4b + 4c + a 4c + 4a + b Bài tập 2.50 Cho x, y, z > thỏa mãn x yz = Chứng minh 1 + + > 2 1+ x+ x 1+ y+ y + z + z2 Bài tập 2.51 Cho x, y, z > thỏa mãn x yz = Chứng minh y2 z2 x2 + + > x2 + 2x + y2 + 2y + z2 + 2z + Bài tập 2.52 Cho số thực x, y, z 6= x yz = Chứng minh ³ x ´2 µ y ¶2 ³ z ´2 + + > x−1 y−1 z−1 2.3 2.3 Bất đẳng thức Schur Bất đẳng thức Schur Định lí 2.4 Cho số thực khơng âm x, y, z số thực dương r Khi đó, ta có bất đẳng thức sau x r (x − y)(x − z) + yr (y − x)(y − z) + z r (z − x)(z − y) > Đẳng thức xảy a = b = c c = 0, a = b hốn vị Chứng minh Vì bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng ba biến nên ta giả sử x > y > z, z r (z − x)(z − y) > ¡ ¢ x r (x− y)(x− z)+ yr (y− x)(y− z) > (x− y) x r (y − z) − yr (y − z) = (x− y)(y− z)(x r − yr ) > Từ hai bất đẳng thức ta suy đpcm Nguyễn Tất Thu  Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 46 2.3 Các trường hợp đặc biệt • Xét r = ta có dạng sau x3 + y3 + z3 + 3x yz > x y(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc > (a + b + c)3 x yz > (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) x2 + y2 + z2 + 9x yz > 2(x y + yz + zx) x+ y+ z (x + y + z)3 + 9x yz > 4(x + y + z)(x y + yz + zx) • r = ta có dạng sau x4 + y4 + z4 + x yz(x + y + z) > x y(x2 + y2 ) + yz(y2 + z2 ) + zx(z2 + x2 ) 6x yz(x + y + z) > 2(x y + yz + zx) − (x2 + y2 + z2 ) (x2 + y2 + z2 + £ ¤ x y + yz + zx) 2.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng Định lí 2.5 Cho số thực dương a, b, c, x, y, z cho (a, b, c) (x, y, z) đơn điệu Khi đó, ta có bất đẳng thức a(x − y)(x − z) + b(y − z)(y − x) + c(z − x)(z − y) > Việc chứng minh bất đẳng thức tương tự chứng minh bất đẳng thức Schur 2.3 Các ví dụ Ví dụ 2.30 Cho số thực khơng âm a, b, c Chứng minh s (a + b)3 + ab(4a + 4b + c) Nguyễn Tất Thu s (b + c)3 + bc(4b + 4c + a) s p (c + a)3 > 2 ca(4c + 4a + b) 2.3 Bất đẳng thức Schur 47 Lời giải Gọi P vế trái bất đẳng thức cần chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a + b + c = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có s (a + b)3 + 8ab(4a + 4b + c) s ab(4a + 4b + c) (a + b)3 + > (a + b) 8ab(4a + 4b + c) 27 Suy s (a + b)3 ab(4a + 4b + c) + > (a + b) 8ab(4a + 4b + c) 54 Tương tự s s (b + c)3 bc(4b + 4c + a) + > (b + c) 8bc(4b + 4c + a) 54 ca(4c + 4a + b) (c + a)3 + > (c + a) 8ca(4c + 4a + b) 54 Cộng ba bất đẳng thức ta có p P + A > B 2 Với A= [ab(4a + 4b + c) + bc(4b + 4c + a) + ca(4c + 4a + b)] 54 [4ab(a + b) + 4bc(b + c) + 4ca(c + a) + 3abc] 54 1 = (a + b + c)3 = [4(a + b + c)(ab + bc + ca) − 9abc] 54 54 = Suy B = (a + b + c) = p p P > − = ⇒ P > 2 2 2 Bài toán chứng minh Nguyễn Tất Thu  Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 48 Ví dụ 2.31 (APMO 2004) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) > 9(ab + bc + ca) Lời giải Ta có V T = a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + Mặt khác a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + = a2 b2 + + b2 c2 + + c2 a2 + > 2(ab + bc + ca) a2 b c + = a2 b c + + > > p 3abc a2 b c = p abc 9abc > 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) a+b+c Suy V T > 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) + 2.2(ab + bc + ca) + 4(a2 + b2 + c2 ) = 6(ab+ bc+ ca)+3(a2 + b2 + c2 ) > 6(ab+ bc+ ca)+3(ab+ bc+ ca) > 9(ab+ bc+ ca) Bài tốn chứng minh Ví dụ 2.32 (VMO 2014) Cho a, b, c > Chứng minh 3(a2 + b2 + c2 ) > P > (a + b + c)2 , với P = (a + b + c) ¡p Nguyễn Tất Thu p p ¢ ab + bc + ca + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  2.3 Bất đẳng thức Schur 49 Lời giải Ta có 3(a2 + b2 + c2 ) > P ⇔ a + b + c > p p p ab + bc + ca Bất đẳng thức kết quen thuộc p p p Đặt x = a, y = b, z = c Khi đó, bất đẳng thức P > (a + b + c)2 ⇔ X x4 + x yz X x+ X x y(x2 + y2 ) > X x2 y2 (1) Sử dụng bất đẳng thức Schur (với trường hợp r = 2) ta có X x4 + x yz X x> X x y(x2 + y2 ) V T(1) > X x y(x2 + y2 ) > X x y.2x y = X x2 y2 Hay (1) chứng minh  Ví dụ 2.33 Cho a, b, c > Chứng minh a2 + bc b2 + ca c2 + ab 1 + + > + + 2 a (b + c) b (c + a) c (a + b) a b c Lời giải Ta có a2 + bc a2 + bc − a(b + c) (a − b)(a − c) − = = a2 (b + c) a a2 (b + c) a2 (b + c) Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) > Với x = a2 (b + c) , y= b2 (c + a) Giả sử a > b > c, ta có , z= c2 (a + b) (1) 1 ab(b − a) + c(b2 − a2 ) − = >0 a2 (b + c) b2 (c + a) a2 b2 (b + c)(c + a) hay x < y Do đó, (x, y, z) đơn điệu giảm Do đó, theo bất đẳng thức Schur suy rộng, ta có (1)  Nguyễn Tất Thu Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 50 2.3 Bài tập Bài tập 2.53 (Hello IMO 2007- Trần Nam Dũng) Chứng minh với a, b, c > 0,ta có: 2(a2 + b2 + c2 ) + abc + > 5(a + b + c) HD: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có: 12(a2 + b2 + c2 ) + 6abc + 48 − 30(a + b + c) = 12(a2 + b2 + c2 ) + 3(2abc + 1) + 45 − 5.2.3(a + b + c) p > 12(a2 + b2 + c2 ) + a2 b2 c2 + 45 − 5.((a + b + c)2 + 9) 9abc = 7(a2 + b2 + c2 ) + p − 10(ab + bc + ca) abc 27 > 7(a2 + b2 + c2 ) + − 10(ab + bc + ca) a+b+c Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur, > 4(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 = 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) a+b+c Do 27 − 10(ab + bc + ca) a+b+c 2 > 7(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) − 3(a2 + b2 + c2 ) − 10(ab + bc + ca) 7(a2 + b2 + c2 ) + = 4(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) > Bất đẳng thức chứng minh Bài tập 2.54 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + + + > 2(a + b + c) a2 b c HD: 1 Đặt x = , y = , z = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a b c x2 + y2 + z2 + > 2(x y + yz + zx) ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 3) > 2(x + y + z)(x y + yz + zx) Hay x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z) > x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) + Nguyễn Tất Thu (1) 2.4 Hướng dẫn, đáp số 51 Ta có x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z) > x3 + y3 + z3 + = x3 + y3 + z3 + 3x yz + > V P(1) Vậy toán chứng minh Bài tập 2.55 Cho a, b, c > Chứng minh a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + > a + b + c b+c c+a a+b Bài tập 2.56 Cho a, b, c > Chứng minh a3 + b3 + c3 + 3abc > ab p 2(a2 + b2 ) + bc p p 2(b2 + c2 ) + ca 2(c2 + a2 ) Bài tập 2.57 (Iran 1996) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh ¶ 1 (x y + yz + zx) + + > 2 (x + y) (y + z) (z + x) µ 2.4 Hướng dẫn, đáp số 2.5 Tài liệu tham khảo Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP Tuyển tập đề thi HSGQG THPT từ năm 1990-2006, NXBGD Các chuyên đề mạng lời giải bình luận đề thi VMO, VN TST Thầy Trần Nam Dũng chủ biên Nguyễn Tất Thu