ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI –[.]
1 of 68 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI – 2015 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, truyền đạt kiến thức cho tác giả, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học cao học Tác giả xin tỏ lòng biết chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, giáo viên, học sinh trường Trung học phổ thông Trung Văn, Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học làm luận văn tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, khích lệ, giúp đỡ để tác giả tập trung học tập Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 11 năm 2015 Tác giả Lê Thị Hà i Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ ĐHSP Đại học sư phạm Nxb Nhà xuất THPT Trung học phổ thông tr Trang ii Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục chữ viết tắt ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận dạy học giải tập tốn 1.1.1 Mục đích, vai trị ý nghĩa tập toán trường phổ thơng 1.1.2 Vị trí chức tập toán 1.1.3 Dạy học phương pháp giải toán 1.2 Lý luận lực giải toán học sinh 12 1.2.1 Nguồn gốc lực 12 1.2.2 Khái niệm lực, lực Toán học 13 1.2.3 Năng lực giải toán 15 1.2.4 Bồi dưỡng lực giải tốn 17 1.3 Tình hình dạy học số phức vấn đề bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác tổ hợp trường phổ thông 20 iii Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 1.3.1 Các nội dung Số phức chương trình Giải tích lớp 12 THPT 21 1.3.2 Thực trạng dạy học nội dung số phức trường THPT 24 1.3.3 Sự cần thiết việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp trường THPT 25 1.4 Kết luận Chương 26 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 27 2.1 Định hướng sư phạm 27 2.2 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác tổ hợp 27 2.2.1 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác 27 2.2.2 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để tính tổng số Cnk 41 2.3 Xây dựng hệ thống tập vận dụng số phức vào giải số dạng toán lượng giác tổ hợp 46 2.3.1 Định hướng xây dựng hệ thống tập 46 2.3.2 Hệ thống tập 48 2.4 Đề xuất hướng sử dụng chuyên đề 67 2.5 Kết luận chương 68 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 69 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69 3.2 Phương pháp thực nghiệm 69 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 70 3.3.1 Nội dung thực nghiệm 70 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 70 3.3.3 Nội dung giảng dạy chuyên đề đề kiểm tra 72 iv Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 79 3.4.1 Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm 79 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra 81 3.5 Kết luận chương 83 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 PHỤ LỤC 86 v Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 vi Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c of 68 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hiện nay, nội dung Số phức đưa vào chương trình Tốn THPT lớp 12 nhằm hồn thiện việc xây dựng hệ thống số chương trình tốn phổ thơng để phù hợp với thơng lệ quốc tế Tuy nhiên, chương cuối chương trình Giải tích 12 việc giảng dạy theo lối cũ, chủ yếu khái niệm dạng toán liên quan đến nội số phức, chưa quan tâm nhiều đến việc liên hệ với nội dung khác chương trình, nên học sinh có lẽ phần lớn giáo viên không hiểu lại đưa nội dung số phức vào chương trình tốn phổ thơng Sự tồn số phức đời sống khó hình dung so với loại số khác số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực Có lẽ nội dung số phức câu hỏi thường gặp đề thi tốt nghiệp đề thi vào đại học khơng trọng giảng dạy lớp Chúng ta biết số phức đời từ nhu cầu giải phương trình đại số bậc cao sau phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập tốn học gọi Giải tích phức, nhờ đóng góp nhà tốn học kiệt xuất Euler, Gauss, Cauchy, ngày Giải tích phức trở thành ngành có nhiều ứng dụng, toán học nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Tất nhiên với trình độ học sinh phổ thơng, có lẽ kể giáo viên tốn phổ thơng, khó trình bày nghĩa tầm quan trọng số phức Tuy nhiên, với trình độ đó, ta làm cho họ thấy ý nghĩa ứng dụng số phức công cụ hữu hiệu để giải sáng tác tốn phổ thơng, từ tốn đến tốn khó Từ góp phần giúp việc giảng dạy học tập nội dung số phức trường phổ thông hiệu Điều thể tư tưởng dạy học tích hợp, xu hướng tiên tiến dạy học Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 10 of 68 Xuất phát từ lí trên, chúng tơi chọn đề tài “Bồi dưỡng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thơng” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp Từ rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số vấn đề giải toán: lực lực giải toán - Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức cơng cụ để giải tốn lượng giác tổ hợp THPT - Nghiên cứu ứng dụng số phức việc giải dạng toán lượng giác tổ hợp (còn gọi “phương pháp số phức lượng giác tổ hợp”) - Xây dựng hệ thống tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng lực giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh phương pháp số phức góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT -Trên sở thực tế giảng dạy thực nghiệm, rút kết luận sư phạm khuyến nghị việc giảng dạy nội dung số phức chương trình Tốn THPT quan hệ với nội dung khác, nói riêng với lượng giác tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Trên sở lý luận lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng số phức giải toán lượng giác tổ hợp Từ phân loại phát triển hệ thống tập nhằm rèn luyện bồi dưỡng lực giải toán, phát triển tư sáng tạo, gợi động hứng thú học tập cho học sinh Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu việc phát triển lực ứng dụng số phức lượng giác tổ hợp Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 83 of 68 - Các kiến thức số phức để giải toán dạng chuyển đổi Về kỹ - Học sinh biết chuyển đổi toán yêu cầu toán tốn tính tổng Cnk từ dạng thơng thường sang dạng toán với số phức - Học sinh sử dụng thành tạo công thức biến đổi số phức, lượng giác, đại số Về thái độ - Tự giác, tích cực học tập, hứng thú tham gia hoạt động khám phá kiến thức giải tập - Biết vận dụng kiến thức trường hợp cụ thể - Tư vấn đề toán học cách logic hệ thống II Chuẩn bị giáo viên học sinh - GV: Giáo án, đồ dùng dạy học - HS: Ôn tập lý thuyết số phức, công thức nhị thức Newton, lượng giác III Tiến trình giảng Kiểm tra cũ Bài Toàn nội dung mục 2.2.2 từ trang 44 đến trang 50 mục 2.2.2.2 từ trang 64 đến trang 72 3.3.3.2.Nội dung đề kiểm tra Đề kiểm tra kiểm tra sau giảng dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng nội dung, nhằm đánh giá khả áp dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp lớp thực nghiệm Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) Câu 1: Giải phương trình: 32cos6 x cos x Câu 2: Chứng minh rằng: sin 5 16sin5 20sin3 5sin ¡ 75 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 84 of 68 2 n Câu 3: Cho U n cos cos cos 6 2 Tính U 2012 Câu 4: Tính tổng sau: S1 C21 C212 C214 C2120 ; S2 C21 C21 C21 C2121 Đáp án biểu điểm Đáp án Câu Điểm Giải phương trình: 32cos6 x cos x 3.0 Cách 1: (Sử dụng số phức) Đặt z cosx+i sin x z 1 cosx-i sin x Theo công thức Moivre, ta có z cos6x+isin6x, z6 cos6x-isin6x 1 1 Suy cos x z cos x z z z 0.5 Khi phương trình trở thành 1 1 1 z z 1 2 z 2 z 0.25 1 1 z 15 z z z 0.25 1 1 z 15 z z z 0.5 z z2 0.5 Với z 2 ta có z 1 nên z2 cosx+i sin x Với 2 z2 1 z2 z2 1 cos2x+i sin x cos2x=-1 x= 1 1 7i ta có z z k (k ¢ ) 0.5 76 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 85 of 68 nên cosx+i sin x 2 1 7i 1 7i cos2x+i sin x 4 1 cos2x=- x= arccos k 2 (k ¢ ) 4 Vậy nghiệm phương trình x= k , x= arccos k 2 (k ¢ ) 4 0.5 Cách 2: (Không sử dụng số phức) Ta có 32cos6 x cos x 0.25 32cos6 x 2cos2 3x 0.25 4cos3 x cos3x 4cos3 x cos3x 0.5 4cos3 x 4cos3 x 3cos x 4cos3 x 4cos3 x 3cos x 0.25 cos x 8cos x 3 2 0.5 cos2 x 4cos x 1 cosx cos x 0.5 0.25 x k (k ¢ ) x arccos k 2 4 0.5 Vậy nghiệm phương trình x= 1 k , x= arccos k 2 (k ¢ ) 4 Chứng minh rằng: sin 5 16sin5 20sin3 5sin ¡ 3.0 Cách 1: Với ¡ , ta có (cos +isin )5 cos5 5i cos4 sin 10i cos3 sin 10i3 cos2 sin3 5i 4cos.sin4 sin cos5 10cos3 sin 5cos sin4 1.0 0.5 i 5cos4 sin 10cos sin sin 77 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 86 of 68 cos5 10cos3 sin 5cos sin4 i 16sin5 20sin3 5sin 0.5 Theo cơng thức Moivre ta có (cos +isin )5 cos5 i sin 5 0.5 So sánh phần thực (cos +isin )5 hai cách khai triển, ta suy 0.5 sin 5 16sin5 20sin 5sin ¡ Cách 2: (Khơng sử dụng số phức) Ta có sin 5 sin(2 3 ) 0.5 sin 2 cos3 cos 2 sin 3 0.5 sin 2 cos( 2 ) cos 2 sin( 2 ) sin 2 (cos cos 2 sin sin 2 ) cos 2 (sin cos 2 cos sin 2 ) 0.5 2sin 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 sin 2 4sin (1 sin )(1 2sin ) 4sin (1 sin ) (1 2sin )sin 0.5 0.5 0.5 16sin 20sin 5sin 3 2 n Cho U n cos cos cos Tính U 2012 6 2 2 2012 cos cos cos 6 Cách 1:Ta có U 2012 cos 3 2.0 2 2 2012 cos 2 cos 0.25 1 2 2013 1006 cos cos cos 2 3 3 0.25 Xét số phức z cos isin Ta có z z z 2012 cos cos 2 2012 cos 3 2 2012 i sin sin sin 3 0.25 0.25 78 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 87 of 68 Lại có z z z 2012 z 2013 cos z 2013 1 , z 1 0.25 2013 2013 isin cos671 isin671 1 3 1 cos isin z 1 2 3 i Do z 1 z cos isin 3 1 cos sin 2013 0.25 Suy z z z 2012 i Do cos cos 2 2012 cos 0 3 0.25 Vậy U 2012 1006 0.25 Cách 2: (Không sử dụng số phức) 2 2012 cos cos cos 6 Biến đổi U 2012 cos 3 2 2012 cos 2 cos 1 2 2012 1006 cos cos cos 2 3 Tính tổng A cos cos Nhân U 2012 với cos A 2cos U 2012 0.25 2 2013 cos 3 2 0, ta 0.25 2 2012 2cos sin sin sin 3 3 0.25 Biến đổi vế trái, ta có A 2sin sin 2 2012 cos cos cos 3 3 2 3 5 3 2013 2011 sin sin sin sin sin sin 3 3 3 2 sin sin 3 0.5 0.5 0.25 Vậy U 2012 1006 79 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 88 of 68 Tính tổng sau: 2.0 20 S1 C21 C21 C21 C21 ; 21 S2 C21 C21 C21 C21 Cách 1:Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: 2 21 (1 i)21 C21 C21 i C21 i C21 i 0.25 18 20 19 21 (C21 C21 C21 C21 C21 ) (C21 C21 C21 C21 C21 )i 0.5 Mặt khác 21 (1 i) cos i sin 4 21 21 10 10 cos isin 2 i 4 So sánh phần thực, phần ảo hai cách khai triển (1 i)19 trên, 21 ta có 21 20 S1 C21 C21 C21 C21 210 ; 0.75 0.25 0.25 21 S2 C21 C21 C21 C21 210 Cách 2: (Không sử dụng số phức) Sử dụng công thức Cnk Cnnk (0 k n) Ta có 10 S1 C21 C21 C21 C21 C21 C21 C21 C21 C21 C21 C21 0.25 0.25 10 C22 C22 C22 C22 C22 C21 22! 22! 22! 22! 21! 22 3!19! 5!17! 7!15! 9!13! 10!11! 0.25 0,25 210 Tương tự, ta có S2 C211 C213 C215 C2121 210 1.0 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm 3.4.1.1 Về phía giáo viên Qua học lớp thực nghiệm, đa số giáo viên Toán đưa số ý kiến sau: - Các học lớp học thực nghiệm thu hút em tham gia cách tích cực, sơi hào hứng 80 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 89 of 68 - Việc dạy cho học sinh ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp làm cho em thấy ý nghĩa, vai trị số phức Tốn học - Số phức nội dung khó song việc áp dụng vào giải toán cho ta nhiều kết lý thú đẹp, gây hứng thú cho tìm tịi, làm tiền đề cho sáng tạo, mà điều cần cho người học tốn, làm tốn -Việc đưa nội dung ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp tạo điều kiện cho thầy giáo có hướng suy nghĩ mới, số toán giải số phức dài song ta dùng số phức để nghiên cứu vấn đề khác toán, gây hứng thú cho việc nghiên cứu vấn đề số phức Qua phát huy tích cực lực giải tập tốn khơng học sinh mà thầy cô giáo 3.4.2 Về phía học sinh Để đánh giá kết quả, sau dạy thử nghiệm phát cho em trả lời vào phiếu thăm dị ý kiến (được trình bày phụ lục luận văn) với nội dung thiết thực, cụ thể nhằm thu thông tin phản hồi từ phía học sinh Sau cho em trả lời phiếu thăm dị, chúng tơi nhận kết sau STT Mức độ hiểu Nội dung Bài tốn tính giá trị, rút gọn Khơng có ý Khơng Hiểu kiến hiểu 12 24 17 20 20 18 19 11 24 biểu thức lượng giác Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác Giải phương trình lượng giác cách sử dụng số phức Tính tổng số tổ hợp chập k n 81 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 90 of 68 ( Số ô số ý kiến học sinh) Mức độ thích thú STT Nội dung Khơng Bình thích thường Bài tốn tính giá trị, rút Thích Rất thích 25 12 17 24 17 19 23 16 gọn biểu thức lượng giác Bài tốn tính giá trị, rút gọn biểu thức lượng giác Giải phương trình lượng giác cách sử dụng số phức Tính tổng số tổ hợp chập k n (Số ô số ý kiến học sinh) Như vậy, qua việc tổng hợp ý kiến học sinh phiếu tự đánh giá, kết hợp với trao đổi em, đưa số nhận định sau - Phần lớn em cảm thấy hứng thú tiếp cận dùng số phức đề giải toán lượng giác tổ hợp - Đa số em có khả lĩnh hội nội dung số phức, biết ứng dụng kiến thức giải số dạng tốn lượng giác tổ hợp - Trong số vấn đề hỏi, cho thấy em nhận thức rõ hiệu việc ứng dụng số phức vào giải tốn tốn tính tổng biểu thức lượng giác tổng Cnk mà lâu tốn khó với em - Đối với việc giải phương trình lượng giác, em quen với việc biến đổi, phân tích nên giải số phức em chưa thực thích 82 Th vin lun vn, án, tiu lun, lun án, báo cáo, ln, tài, án, thc tp, tt nghip, thc s, tin s, cao hc Chia s tài liu, lun vn, án tt nghip, h tr download tài liu lun Lun mt bn trình bày cơng trình nghiên cu v nhng tài mang tính c 91 of 68 thú Tuy nhiên, nhiều em thấy khác biệt giải phương trình lượng giác số phức với phương pháp biến đổi, phân tích quen thuộc - Sau đợt thử nghiệm, em thấy thích thú với vấn đề số phức; thấy số phức q xa lạ, q phức tạp Đặc biệt, lực giải lượng giác: rút gọn, chứng minh hệ thức lượng giác,… khả tính tổng Cnk nâng lên rõ rệt 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra Qua trình kiểm tra, đánh giá xử lý kết quả, thu kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng sau: Điểm