Luận án tiến sĩ phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VÕ XUÂN MAI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Lí luận Phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 9.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS ĐÀO TAM TS NGUYỄN PHƯƠNG CHI HÀ NỘI LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn GS.TS Đào Tam TS Nguyễn Phương Chi giúp đỡ tận tình nhiều nhà khoa học Tất số liệu kết nghiên cứu nêu luận án trung thực, chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Võ Xuân Mai LỜI CẢM ƠN Qua thời gian nổ lực, kiên nhẫn phấn đấu học tập nghiên cứu, nghiên cứu sinh hoàn thành Luận án hướng dẫn tận tình giúp đỡ quý báu tập thể Thầy Cô, gia đình, bạn bè đồng nghiệp Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc đến GS.TS Đào Tam – người Thầy mẫu mực đáng kính, cảm thông, động viên hướng dẫn trình nghiên cứu, đặt cho tơi bước chân đường nghiên cứu khoa học từ sinh viên năm thứ ba trưởng thành ngày hôm Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Phương Chi nhiệt tình hướng dẫn cho tơi có Luận án hồn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình GS.TS Bùi Văn Nghị tận tình giúp đỡ tơi khơng q trình nghiên cứu chun mơn mà cịn sống nghiên cứu sinh xa nhà Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể q Thầy Cơ Khoa Tốn – Tin phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành Luận án Tơi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tập thể Thầy Cô đồng nghiệp Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp quan tâm ủng hộ Cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều chị Nguyễn Thị Trúc Minh đồng hành, giúp đỡ chia sẻ ngày vui buồn thời gian làm nghiên cứu sinh Cuối cùng, xin gửi lời u thương đến gia đình tơi, nơi ln hậu phương vững để yên tâm nghiên cứu, động lực to lớn cho nổ lực cố gắng để thành này! Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả luận án Võ Xuân Mai SƠ ĐỒ CẤU TRÚC LUẬN ÁN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN ĐƯA RA BẢO VỆ CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề trực giác, trực giác toán học 1.1.2 Lịch sử nghiên cứu vấn đề tổ chức hoạt động nhận thức 12 1.1.3 Các kết tiếp thu từ việc nghiên cứu tổng quan vấn đề 12 1.2 Năng lực trực giác toán học học sinh học tập Toán trường trung học phổ thông 13 1.2.1 Trực giác, trực giác toán học 13 1.2.2 Tư trực giác dạy học Toán 17 1.2.3 Năng lực trực giác toán học học sinh 20 1.2.4 Vai trị trực giác tốn học dạy học Toán 26 1.2.5 Một số đặc trưng lực trực giác toán học học sinh q trình học tập Tốn trường trung học phổ thông 29 1.2.6 Các thành tố lực trực giác toán học học sinh dạy học Toán trường trung học phổ thông 35 1.3 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh dạy học Toán 46 1.3.1 Hoạt động nhận thức toán học 46 1.3.2 Đặc trưng hoạt động nhận thức toán học 46 1.3.3 Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học Toán 47 1.4 Cơ hội dạy học Toán theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh trường trung học phổ thông 50 1.4.1 Những lí thuyết đạo việc dạy học Tốn theo hướng phát triển lực trực giác toán học học sinh trường trung học phổ thông 50 1.4.2 Một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh trường trung học phổ thông 52 1.4.3 Cơ hội dạy học Toán theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh trường trung học phổ thông 55 Kết luận chương 59 Chương 2: THỰC TRẠNG DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 60 2.1 Mục đích đối tượng khảo sát 60 2.1.1 Mục đích khảo sát 60 2.1.2 Đối tượng khảo sát 60 2.2 Nội dung khảo sát tổ chức khảo sát 61 2.2.1 Nội dung khảo sát 61 2.2.2 Tổ chức khảo sát 61 2.3 Phân tích kết khảo sát 62 2.3.1 Kết khảo sát 62 2.3.2 Một số kết rút qua trình khảo sát 71 Kết luận chương 74 Chương 3: TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 75 3.1 Một số định hướng tổ chức hoạt động nhận thức theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh dạy học Toán trường trung học phổ thông 75 3.1.1 Định hướng nội dung dạy học 75 3.1.2 Định hướng phương pháp dạy học 75 3.1.3 Định hướng người dạy 75 3.1.4 Định hướng người học 76 3.2 Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh dạy học Tốn trường trung học phổ thơng 77 3.2.1 Cơ sở khoa học đề xuất cách thức tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh 77 3.2.2 Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức theo hướng phát triển lực trực giác toán học cho học sinh dạy học Tốn trường trung học phổ thơng 78 3.3 Một số cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển lực thành tố lực trực giác toán học cho học sinh dạy học Tốn trường trung học phổ thơng 86 3.3.1 Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển lực liên tưởng hình dung vấn đề cho học sinh dạy học Toán trường trung học phổ thông 86 3.3.2 Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển lực phán đoán đưa định cho học sinh dạy học Tốn trường trung học phổ thơng 106 3.3.3 Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển lực khái quát hóa nhanh chóng cho học sinh dạy học Tốn trường trung học phổ thông 112 3.3.4 Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển lực rút gọn trình lập luận cho học sinh dạy học Toán trường trung học phổ thông 120 Kết luận chương 130 Chương 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 131 4.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 131 4.1.1 Mục đích thực nghiệm 131 4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 131 4.2 Thời gian đối tượng thực nghiệm 132 4.2.1 Thời gian thực nghiệm 132 4.2.2 Đối tượng thực nghiệm 132 4.3 Tiến trình thực nghiệm 132 4.4.1 Thực nghiệm vòng 133 4.4.2 Thực nghiệm vòng 140 4.5 Đánh giá kết thực nghiệm 148 4.5.1 Đánh giá định lượng 148 4.5.2 Đánh giá định tính 149 Kết luận chương 151 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 152 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN 154 TÀI LIỆU THAM KHẢO 156 PHỤ LỤC DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Chữ viết tắt BĐT ĐTB GQVĐ GV HĐ HĐNT HS KQH ND NL NLTH NXB PPDH SGK TDTG TG TGTH THPT tr Chữ viết đầy đủ Bất đẳng thức Điểm trung bình Giải vấn đề Giáo viên Hoạt động Hoạt động nhận thức Học sinh Khái quát hóa Nội dung Năng lực Năng lực toán học Nhà xuất Phương pháp dạy học Sách giáo khoa Tư trực giác Trực giác Trực giác tốn học Trung học phổ thơng Trang DANH MỤC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH TRONG LUẬN ÁN Thuật ngữ tiếng Anh Affirmatory intuitions Algorithmic knowledge Analytical thinking Anticipatory intuitions Association Competence/Competency Conclusive intuitions Conjectual intuitions Conjecture Content-oriented intuitions Creative thinking Empirical intuitions Formal knowledge Generalization Imagination Immature intuition Intuition Intuitionism Intuitionism in Mathematics Intuitionistic mathematics Intuitive component Intuitive knowledge Intuitive thinking Judgment and decision making Knowledge component Learning by intuiting Mathematical Intuition Mathematical intuitive competence Mature intuition Objective intuitions Operational intuitions Organic intuitions Primary intuitions Problem solving Secondary intuitions Subjective intuitions Tiếng Việt Trực giác khẳng định Kiến thức thuật tốn Tư phân tích Trực giác lường trước Liên tưởng Năng lực Trực giác kết luận Trực giác suy đoán Dự đoán, đoán Trực giác định hướng nội dung Tư sáng tạo Trực giác kinh nghiệm Kiến thức hình thức Khái qt hóa Trí tưởng tượng Trực giác chưa chín muồi Trực giác Thuyết trực giác Thuyết trực giác Toán học Toán học trực giác Thành phần trực giác Kiến thức trực giác Tư trực giác Phán đoán đưa định Thành phần kiến thức Học tập trực giác Trực giác toán học Năng lực trực giác toán học Trực giác chín muồi Trực giác khách quan Trực giác hoạt động Trực giác tổ chức Trực giác sơ cấp Giải vấn đề Trực giác nhị cấp Trực giác chủ quan PL17 tính chất sau: Tương tự đường trung trực đoạn thẳng, điểm thuộc mặt phẳng trung trực có tính Tính chất Có mặt phẳng qua điểm chất cách đầu mút cho trước vng góc với đường thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Mọi điểm thuộc mặt phẳng trung trực có đặc biệt? Tính chất Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Gợi động hoạt động xác định kiến thức cần trang bị Các em biết xác định thiết diện cắt hình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước, chẳng hạn qua điểm song song với đường thẳng cho trước Bài toán dựng thiết diện cần tìm cần dựng dựng đường thẳng để xác định mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước từ suy thiết diện cần tìm đơn giản Tuy nhiên mặt phẳng cho trước qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước xác định dễ dàng khơng? Xét tốn: Bài tập: Xác định thiết diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ mặt phẳng trung trực (α) đường chéo AC’ Hoạt động hình dung tình chất hình mặt phẳng trung trực - Gọi HS vẽ hình lập phương - Mặt phẳng trung trực vng góc với đoạn - Mặt phẳng trung trực đường chéo thẳng trung điểm đoạn thẳng Mặt có tính chất đặc biệt? phẳng trung trực tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng - HS tìm mặt phẳng hình vng góc AC’  phát biểu (có thể sai) - (α) có quan hệ song song với mặt phẳng - Phát (α) song song với (A’BD) không? PL18 - GV xác nhận kiến thức: hai mp (BDA’) (B’D’C) (hai mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) song song với vng góc AC’, (BDA’) (B’D’C) chia AC’ làm ba đoạn trọng tâm G G’ hai tam giác BDA’ B’D’C (kết tập 37 [HH11, tr.68]) - Hãy hình dung xem mặt phẳng (α) qua điểm đặc biệt nào? M B C D A N S O R A' P B' Q C' D' Hình () qua trung điểm O AC’ song song (BDA’), (B’D’C) nên () qua trung điểm cạnh BC CD, A’B’ A’D’, BB’ DD’ - HS phát biểu theo ý kiến mình: Chứng minh điểm M,N,P,Q,R,S thuộc () tức cách A C’ Hoạt động phát vấn đề HĐ ngôn ngữ (diễn đạt dựng hình) - u cầu HS mơ tả cách dựng mặt phẳng - Trong (A’BCD’) vẽ đường thẳng qua O trung trực đường chéo AC’ song song với A’B cắt BC A’D’ M, Q tiếp tục dựng giao tuyến () với hình lập phương từ suy thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng trung trực đường chéo AC’ hình lục giác - Gọi HS vẽ hình MNPQRS (Hình 2) - Qua nhận xét ta suy mặt phẳng trung trực - HS vẽ hình có tính chất trên, mặt phẳng có tính chất có phải mp trung trực? Hoạt động chứng minh sử dụng suy diễn - Cần phải chứng minh hình MNPQRS vừa - HS chứng minh dựng mp trung trực Gọi HS nêu ý tưởng Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm chứng minh? cạnh BC, CD, DD’, A’D’, A’B’ - GV xác nhận: cần chứng minh AC’ vng BB’ Ta có tứ giác AMC’Q hình thoi nên góc (BDA’) (hoặc AC’ vng góc (B’D’C)) M Q thuộc mặt phẳng trung trực AC’, chứng minh thiết diện qua trung tương tự cho điểm lại Vậy thiết diện điểm mặt phẳng trung trực AC’ cần tìm lục giác MNPQRS Hoạt động kết luận vận dụng kiến thức Kết luận: Đối với toán này, em phải - Tưởng tượng phát vấn đề chiến lược hình dung mặt phẳng trung trực có tính chất giải trước giải vấn đề PL19 (như quan hệ với mp biết nào, qua điểm đặc biệt) biết cách dựng hình sau thực thao tác chứng minh Yêu cầu HS có ý thức sử dụng trí tưởng tượng giải Tốn BÀI KHOẢNG CÁCH (HÌNH HỌC 11) I MỤC TIÊU Sau học xong tiết này, người học có khả năng: - Nắm định nghĩa loại khoảng cách không gian: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng/ đường thẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách hai đường thẳng chéo - Nắm tính chất khoảng cách - Xác định mối liên hệ loại khoảng cách để đưa toán phức tạp tốn khoảng cách đơn giản - Biết cách tính khoảng cách toán đơn giản, cách xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau, đồng thời biết cách xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo - Liên hệ với nhiều vấn đề tính khoảng cách thực tế với học - Rèn luyện tính xác vẽ hình, phán đốn; rèn luyện tư duy, trí tưởng tượng khơng gian thói quen tự kiểm tra II HOẠT ĐỘNG TƯƠNG THÍCH VỚI MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG - Hoạt động ngôn ngữ - Hoạt động nhận diện thể khái niệm - Hoạt động tưởng tượng hình không gian - Hoạt động phát vấn đề - Hoạt động chứng minh - Hoạt động quy lạ quen - Hoạt động phán đoán - Hoạt động vận dụng kiến thức III TIẾN HÀNH Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Hoạt động tìm hiểu khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng I Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Nêu cách xác định khoảng cách từ điểm d(O, a) = OH đến đường thẳng mặt phẳng? Yêu cầu HS nêu khái niệm khoảng cách từ PL20 điểm đến đường thẳng Hãy chứng tỏ OH bé nhất? HS phát biểu: Cho điểm O đt a Trong Hoạt động tương tự mp(O,a) gọi H hình chiếu vng góc Nêu khái niệm khoảng cách từ điểm đến O a Khi khoảng cách OH đgl mặt phẳng khoảng cách từ điểm O đến đt a Kí hiệu d(O,a) Hãy chứng tỏ OH bé ? HS: OH  OM, M  a Cho O mp() Gọi H hình chiếu vng góc O ( ) Khi khoảng cách OH đgl khoảng cách từ điểm O đến mp() Kí hiệu d(O, ())  HS: OH  OM, M  a Hoạt động tìm hiểu khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song II Khoảng cách đt mp song song, hai mặt phẳng song song Cho a // () Khoảng cách a () khoảng cách từ điểm bất kí a đến () Kí hiệu d(a, ())  HS: AA = BB So sánh AA với BB ?  Khoảng cách hai mp (), () song song khoảng cách từ điểm mp đến mp Kí hiệu d((),()) Hãy giải thích MM bé nhất?  HS: MM  MK, K  () Hoạt động vận dụng tính khoảng cách đường thẳng, mặt phẳng VD1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC HS Cách xác định đường vng góc vẽ từ tam giác vng B, SA  (ABC) Giả sử AB A đến (SBC) = a, AC = a , SA = a Tính khoảng cách từ A đến (SBC) PL21 Yêu cầu HS vẽ hình Xác định đường vng góc vẽ từ A đến (SBC)? VD2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có Vẽ AH  SB  AH  (SBC) AA = a Đáy ABC tam giác vuông A có a BC = 2a, AB = a Tính khoảng cách  d(A, (SBC)) = AA (BCCB) HS vẽ hình Xác định khoảng cách từ A đến mp (BCCB)? Hoạt động tính tốn HS Xác định khoảng cách từ A đến (BCCB)? a Ta có AI  (BCCB)  d(AA, (BCCB)) = AI = a Hoạt động trực giác phát tồn đường thẳng cắt đồng thời vng góc với hai đường thẳng chéo khơng gian Hình dung tồn đường thẳng cắt đồng thời vng góc với hai đường thẳng chéo cho trước qua trường hợp cụ thể: Chỉ đường thẳng cắt vng góc với HS vẽ hình trường hợp: đường thẳng chéo trường hợp sau: + Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có + Hai đường thẳng AA’ BC hình lập AB cắt AA’ BC, đồng thời ABAA’, phương ABCD.A’B’C’D’ ABBC + Hai đường thẳng AB CD tứ diện + Tứ diện ABCD, gọi M, N ABCD trung điểm AB CD ta có MN cắt AB + Hai đường thẳng OA BC tứ diện CD, đồng thời MNAB, MNCD vuông OABC + Tứ diện vuông OABC, gọi H chân đường cao O tam giác OBC Ta có OHOA OHBC GV: Đối với hai đường thẳng chéo có tồn đường thẳng thế? u cầu HS phát biểu dự đốn HS nêu nhận xét cho trường hợp PL22 - Cho hai đường thẳng chéo a b bất kì, tổng quát hai đường thẳng chéo khẳng định tồn đường khơng gian thẳng cắt đồng thời vng góc với a b Hoạt động chứng minh sử dụng suy diễn Cho hai đt chéo a b Gọi (  ) mp Kết hợp vấn đáp HS để chứng minh chứa b song song a, a’ hình chiếu vng toán tồn đường thẳng cắt đồng thời vng góc hai góc a lên (  ) Vì a//( ) nên a//a’ Do b  a’=N Gọi (  ) đường thẳng chéo cho trước Vẽ hình mp chứa a a’,  đt qua N vng góc với ( ) Khi (  )(a,a’) vng góc với a M  (  ) Như  nằm (  ) nên cắt a  M cắt b N, đồng thời  vng góc a’ với a b Vậy  đường vng góc N b  chung a b GV: Yêu cầu HS phát biểu khái niệm đường vng góc chung a) Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng đgl đường vng góc chung a b b) Nếu đường vng góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Hoạt động kết luận, rút mối liên hệ khoảng cách Mối liên hệ khoảng cách: Cho hai đường thẳng chéo d d’, AB độ dài đoạn vng góc chung, (α) mp chứa d’ song song với d, (β) mp chứa d song song với d’, M điểm d Khi ta có AB = d(d, d’) = d(d, ()) = d((α),(β)) = MH = d(M,()) A A d B d' α B d d' β α A B A d d' Mối liên hệ khoảng cách hai HS phát biểu đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng? Phương pháp chung để α B PL23 xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo đưa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, GV trang bị số cách dựng sau: Cách dựng (Hình 2) - Dựng () chứa d’ song song với d HS vẽ hình xác định cách dựng khoảng - Dựng đường thẳng  qua H song song cách hai đường chéo cho d, cắt d’ B - Dựng đường thẳng qua B song song với MH, đường thẳng cắt d A - Chọn M d, dựng MH  () H Như vậy, AB = d(d, d’) = MH = d(d, ()) = d(M,()) Cách dựng (Hình 3) - Dựng () vng góc với d O - Dựng hình chiếu vng góc () d’ () - Dựng hình chiếu vng góc H O () - Từ H, dựng đường thẳng song song với d cắt d’ B - Từ B, dựng đường thẳng song song với OH cắt d A Vậy AB = d(d, d’) = OH HS vẽ hình xác định cách dựng khoảng cách hai đường chéo cho So sánh hai cách dựng Hoạt động vận dụng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo VD3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  AA '  a, AC '  2a Tìm đường vng góc chung đường thẳng AC’ CD’ Tính khoảng cách hai đường thẳng HS trình bày ý tưởng HS vẽ hình hình dung cách dựng đường vng góc chung theo cách dựng biết thực Phát hai đường thẳng AC’ CD’ vng góc Sử dụng cách dựng vào tốn Trình bày cụ thể PL24 GV yêu cầu HS suy nghĩ đưa ý tưởng xác định đoạn vng góc chung Gọi HS trình bày ý tưởng Thảo luận với lớp ý tưởng giải HS, nhận xét kết luận Gọi HS lên bảng chứng minh Bài làm HS Nhận thấy C D '  (A B 'C ' D )  C D '  A C ' C D '  ( A B ' C ' D )  A C ' , gọi I tâm hình vng CC’D’D ta có I  C D ' ( A B 'C ' D ) Kẻ IJ  A C ', J  A C Khi IJ đoạn vng góc chung đường thẳng AC’ CD’ Tính độ dài IJ: AC’D có AC '  2a, AD  C ' D  a nên cos A C ' D = Trong IJC’ ta có IJ  C ' I cos A C ' D = a Bài KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11) I MỤC TIÊU Sau học xong tiết này, người học có khả năng: - Nắm vững khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm định nghĩa - Hiểu ý nghĩa đạo hàm: ý nghĩa hình học thực tiễn đạo hàm - Tính đạo hàm hàm số điểm theo định nghĩa số hàm đơn giản - Nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị có hệ số góc cho trước - Vận dụng đạo hàm để giải số toán tiếp tuyến, vận tốc tức thời chất điểm cho phương trình chuyển động chất điểm II HOẠT ĐỘNG TƯƠNG THÍCH VỚI MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG - Hoạt động ngôn ngữ - Hoạt động nhận diện thể khái niệm, định lí - Hoạt động sử dụng hình ảnh trực quan để phát vấn đề - Hoạt động chứng minh - Hoạt động nắm bắt ý nghĩa tri thức - Hoạt động vận dụng kiến thức vào thực tiễn - Hoạt động phán đoán III TIẾN HÀNH Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh PL25 Hoạt động gợi động cơ, tạo tình nhận thức cho HS tiếp cận khái niệm đạo hàm Đặt vấn đề: toán xuất phát từ Vật lý, Hóa học dẫn đến việc tìm giới hạn có dạng lim x x f (x )  f (x ) , với y  f (x) hàm x  x0 số cho Chẳng hạn, tốn tìm vận tốc tức thời tốn tìm cường độ tức thời dẫn đến khái niệm đạo hàm Hình dung ý tưởng, phán đốn cách giải vấn đề Xét tốn tìm vận tốc tức thời, chất + Tìm vận tốc trung bình chất điểm: Ta điểm M chuyển động thẳng Quãng đường s có quãng đường s chất điểm hàm chuyển động hàm số thời gian số theo thời gian t : s  s(t ) , khoảng t : s  s(t ) thời gian từ t đến t , chất điểm GV yêu cầu HS tìm đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm chuyển động quãng đường s(t )  s(t ) Nếu chất điểm thời điểm t ? chuyển động khơng vận tốc trung + GV khẳng định: Vậy giới hạn hữu bình chuyển động thời điểm t  t s(t )  s(t ) s(t )  s(t ) gọi là tỉ số: t t t  t0 t  t0 hạn (nếu có) lim vận tốc tức thời chuyển động thời + Xác định đại lượng đặc trưng cho mức độ điểm t Từ toán này, GV dẫn đến khái nhanh chậm chuyển động: Khi t niệm đạo hàm điểm x hàm số y  f (x ) xác định khoảng x  (a ;b) : f '(x )  lim x x (a;b) trung bình thể xác mức độ nhanh chậm chuyển động thời f (x )  f (x ) x  x0 Như toán đề cập trên, vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm hàm số s  s(t ) t , tức v(t )  s '(t ) Tương tự, cường độ trung bình dịng diện thời điểm t đạo hàm hàm số Q  Q(t ) gần t , tức t  t nhỏ vận tốc t , tức điểm t Do giới hạn tỉ số s(t )  s(t ) t tiến tới t đại t  t0 lượng đại lượng cho mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t PL26 I (t )  Q '(t ) HS phát biểu khái niệm Yêu cầu HS phát biểu khái niệm đạo hàm Trực giác phát tri thức mới, nắm ý nghĩa hình học khái niệm đạo hàm GV tạo vấn đề dẫn đến ý + Hoạt động dự đoán giải vấn đề: nghĩa hình học đạo hàm trình HS tiến hành viết phương trình đường thẳng giải vấn đề, HS khám phá mối qua điểm M (1; 2) với hệ số góc liên hệ đạo hàm điểm x k  f '(1)  đồ thị hàm số cho hàm số y  f ( x ) tiếp tuyến đồ thi Khi đó, quan sát trực quan, HS phát đường thẳng vừa vẽ tiếp hàm số Xét tốn sau “Cho đồ thi hàm tuyến đồ thị hàm số điểm M (1; 2) số y  2x Vẽ đường thẳng qua điểm + Hoạt động trực quan: Trong mặt phẳng tọa M (1; 2) với hệ số góc k  f '(1) Nêu nhận xét độ Oxy, cho hàm số với đồ thị đường cong vị trí tương đối đường thẳng đồ (C) điểm M0(x0; f (x0)) thuộc (C) Gọi thị hàm số cho” điểm M (xM ; f (x M )) điểm di chuyển (C) Đường thẳng M0M cát tuyến (C) Hãy nêu nhận xét cát tuyến M0M M di chuyển (C) tới điểm M Điểm chuyển M(x0  x; f (x0  x )) (C) Khi đó, ta di có M 0H  x , MH  y Hệ số góc cát y , với  M 0H x uuuuur góc tạo trục Ox vectơ M0M tuyến M0M tan   Khi M tiến tới M , x  Ta y  lim tan  Khi đó, x 0 x M M có f '(x )  lim M tiến tới M , cát tuyến M0M dần tới vị trí giới hạn đường thẳng M 0T với hệ số góc lim tan   f '(x ) , tiếp tuyến M M M (C) Vì vậy, đạo hàm hàm số MH  PL27 y  f (x ) điểm x hệ số góc tiếp tuyến (C) điểm M0(x0; f (x0)) phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y  f (x ) điểm M0 y  y0  f '(x )(x  x ) Sau dạy học nội dung “ý nghĩa HS: Do f '(x ) đạo hàm hàm số hình học đạo hàm” Xét hai định lí sau: y  f (x ) điểm x hệ số góc tiếp “Cho hàm số y  f (x ) liên tục tuyến đồ thị hàm số điểm a ; b  có đạo hàm (a;b) Nếu M (x ; f (x )) , phương trình tiếp tuyến f (a)  f (b) tồn c (a;b) cho y  f (x ) liên tục f '(c)  0” “Cho hàm số 0 hàm số điểm M 0(x 0; f (x )) y  f '(x )(x  x )  f (x ) - Đối với định lí 1: HS hiểu a ; b  có đạo hàm (a;b) Khi biểu thức tồn c (a;b) cho f '(c)  f '(c)  tiếp tuyến f (b)  f (a) hàm số điểm C(c, f (c)) song song với b a trục hoành ” - Đối với định lí 2: HS cần biết biểu GV yêu cầu HS vẽ hình minh họa để diễn ý nghĩa biểu thức biểu diễn ý nghĩa hình học hai định lí f (b)  f (a) f '(c)  , HS phân tích b a nhanh chóng vấn đề sau: + f '(c) hệ số góc tiếp tuyến GV khẳng định kết làm HS, phát biểu thành lời định lí từ biểu điểm C(c, f (c)) diễn ý nghĩa hình học f (b)  f (a ) Ý nghĩa hình học định lí + hệ số góc b  a diễn đạt sau: “cho cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, tồn đường thẳng A B với A(a; f (a)), B(b, f (b)) điểm cung mà tiếp tuyến với cung điểm song song với đường thẳng nối hai đầu cung” PL28 Hình + Từ f '(c)  f (b)  f (a) rút kết b a luận hệ số góc tiếp tuyến với hệ số góc đường thẳng A B , tức tiếp tuyến điểm C song song với đường thẳng A B Rút kết luận tri thức vận dụng Từ việc HS nắm tính chất định lí cho suy biểu diễn hình học định lí, ngược lại sử dụng đồ thị hàm số thông qua HĐ quan sát nắm bắt tính chất đồ thị Do HS vận dụng kiến thức biết vào tình mới, xét tập sau: Cho đồ thị hàm số y khoảng (a;b) ,  f (x ) biết điểm M 1, M 2, M , đồ thị hàm số có tiếp tuyến hình sau Hãy nhận xét dấu Bài làm HS + Tiếp tuyến điểm M f '(x ), f '(x ), f '(x ) [34, tr.195] đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải, nên hệ số góc tiếp tuyến số âm, suy f '(x )  + Tiếp tuyến điểm M đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc tiếp tuyến 0, suy f '(x )  PL29 + Tiếp tuyến điểm M đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải, nên hệ số góc tiếp tuyến số dương, suy f '(x )  Hoạt động cúng cố, dặn dò GV cho HS hoạt động củng cố ý nghĩa HS thực hành học đạo hàm qua tập trang 192 Làm tập – trang 192 PHỤ LỤC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÒNG BÀI KIỂM TRA MƠN TỐN LỚP 11 Câu hỏi/ Bài tập Khơng cần vẽ hình, em hình dung thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng đa giác nào? (kể nhiều đa giác tốt) Cho tam giác nhọn A B C Về phía ngồi tam giác dựng tam giác vuông cân A BM , BCN , CA P cho AB  AM , NB  NC , AC  AP Chứng minh đoạn thẳng A N , BP , CM Giải toán trên, thay việc dựng tam giác vuông cân tam giác kết tốn khơng đổi Trường:……………………………… Lớp:…………………………………… Họ tên:…………………………… Câu trả lời/ Đáp án HS PL30 Xét hình vng có cạnh Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện chia hình vng thành hai phần, tơ màu phần, phần cịn lại tiếp tục chia đơi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện, tơ màu phần, phần cịn lại tiếp tục chia đơi tơ màu… tiếp tục q trình (HS tự vẽ hình) a) Nhận xét tổng diện tích phần tơ màu q trình diễn đến vô cùng? b) Nhận xét phần tơ màu hình vng bước biểu diễn cấp số nhân nào? Chỉ u1, q ? c) Sử dụng công thức để kiểm tra lại kết câu a? PHỤ LỤC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÒNG BÀI KIỂM TRA MƠN TỐN LỚP 11 Trường:………………………………… Lớp:…………………………………… Họ tên:……………………………… Câu hỏi/ Bài tập Câu trả lời/ Đáp án HS Cho hình lập phương A BCD.A ' B ' C ' D ' Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' B ', A C ' Hình vẽ PL31 A D C B A' D' B' C' Hãy biểu diễn khái niệm “trung điểm I đoạn thẳng AB” nhiều biểu thức khác (biểu diễn nhiều tốt) Sử dụng hình ảnh trực quan để biểu diễn cho 1 cấp số sau: 1, , , , , Vẽ hình biểu diễn , 2n Ta biết rằng, đạo hàm hàm số y  f (x ) f (b)  f (a ) điểm x hệ số góc tiếp tuyến đồ hệ số góc …… b a thị hàm số điểm M 0(x 0; f (x )) Cho định - Rút kết luận biểu thức lí: “Cho hàm số y  f (x ) liên tục có đạo hàm a ; b  (a;b) Khi tồn f (b)  f (a) c  (a;b) cho f '(c)  ” b a Hãy biểu diễn ý nghĩa hình học định lí f '(c)  f (b)  f (a) :………………… b a - Hình vẽ