Biểu diễn một số dạng đa thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: BIỂU DIỄN MỘT SỐ DẠNG ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Các nguyên lý tập có thứ tự (như bổ đề Zorn dạng tương đương nó, ) có nhiều ứng dụng lý thuyết tập hợp, Đại số, Giải tích Ngay vấn đề nghiên cứu khơng liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho trình bày vấn đề trở nên rõ ràng ngắn gọn (ví dụ chứng minh định lí Caristi trình bày luận văn) Trong giải tích ta thường gặp phương trình với tốn tử khơng liên tục khơng compăc việc chứng minh tồn nghiệm chúng nhờ phương pháp tôpô (như phương pháp điểm bất động , phương pháp biến phân, ) gặp khó khăn Để khắc phục ta buộc phải khai thác tính chất khác tốn tính chất đại số tính chất liên quan đến thứ tự, 369 2 Nhóm nhị diện Mệnh đề Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ 3, H nhóm Dn Khi (i) Nếu H = Rk với k|n, ⩽ k ⩽ n Pr(H, Dn ) =  n+k   n n lẻ, n chẵn k ∤ , 2n   n + 2k n chẵn k | n 2n (ii) Nếu H = Tl với ⩽ l ⩽ n − Pr(H, Dn ) =  n+1   n lẻ, 2n   n + n chẵn 2n (iii) Nếu H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ i − Pr(H, Dn ) =  n+i+2     4n         n lẻ, n+i+4 n n chẵn i ∤ , 4n n + 2i + n n chẵn i | 4n Chứng minh (i) Giả sử H = Rk với k|n, ⩽ k ⩽ n Theo Mệnh đề ?? ta có |Rk | = Do Rk = ⟨rk ⟩ =  n n = (n, k) k  n rkl ⩽ l ⩽ − k Khi X |CDn (x)| = |CDn (1)| + x∈Rk Ta xét hai trường hợp n sau X 1⩽l⩽ nk −1 |CDn (rkl )| Trường hợp 1: n lẻ Theo Mệnh đề ?? ta có X kl |CDn (r )| = n k 1⩽l⩽ nk −1 Từ suy X |CDn (x)| = |Dn | + n k x∈Rk  − |R1 |  − |R1 | = 2n + n k  −1 n= n(n + k) k Áp dụng Mệnh đề ?? ta có Pr(Rk , Dn ) = X 1 n+k n+k |CDn (x)| = n n = |Rk ||Dn | k 2n 2n x∈Rk k Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp k n Trường hợp 2a: k ∤ Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có n  X |CDn (rkl )| = k 1⩽l⩽ nk −1 Từ suy X |CDn (x)| = |Dn | + x∈Rk n k − |R1 |  − |R1 | = 2n + n k  −1 n= n(n + k) k Áp dụng Mệnh đề ??, ta có X n+k n+k |CDn (x)| = n n = |Rk ||Dn | k 2n 2n x∈Rk k n Trường hợp 2b: k | Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có n  X X n
⩽ l ⩽ − i X |CDn (x)| = |CDn (1)| + x∈Ui,j  2n 2n = (n, i) i 1⩽l⩽ X |CDn (ril )| + n −1 i 0⩽l⩽ Ta xét hai trường hợp n Trường hợp 1: n lẻ Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có n  n X il |CDn (r )| = n 1⩽l⩽ −1 i X 0⩽l⩽ Từ suy X |CDn (ril+j s)| = n −1 i |CDn (x)| = 2n + n x∈Ui,j Áp dụng Mệnh đề ?? ta có X Pr(Ui,j , Dn) = i − |R1 | = n |Ui,j ||Dn | x∈Ui,j n i n −1 i  −1 , n 2n |Til+j | = i i  −1 + |CDn (x)| = i |CDn (ril+j s)| 2n n(n + i + 2) = i i n(n + i + 2) n+i+2 = 2n i 4n 2n i 57 Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp i n Trường hợp 2a: i ∤ Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có n  n  X |CDn (ril )| = i 1⩽l⩽ ni −1 X |CDn (ril+j s)| = 0⩽l⩽ ni −1 Từ suy X |CDn (x)| = 2n + n n x∈Ui,j Áp dụng Mệnh đề ?? ta có X Pr(Ui,j , Dn) = − |R1 | = n |Ui,j ||Dn | i i −1 , 4n n U n2 ,il+j = i i  −1 + |CDn (x)| = x∈Ui,j 4n n(n + i + 4) = i i n(n + i + 4) n+i+4 = 2n i 4n 2n i n Trường hợp 2b: i Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có X X n |CDn (ril )| = CDn (r ) + |CDn (ril )| 1⩽l⩽ ni −1 1⩽l⩽ ni −1 n l̸= 2i = |Dn | + X n i  − |R1 | = 2n + n n i  −2 = n2 , i 4n n