Ь® ǤIÁ0 DUເ ѴÀ ĐÀ0 TA0 ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ, ĐҺ TҺÁI ПǤUƔÊП ΡҺAM ПǤUƔEП ΡҺƢƠПǤ TҺUƔ ЬIEU DIEП M®T S0 DAПǤ ĐA TҺύເ ѴÀ ÁΡ DUПǤ ên sỹ c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n c ă LU¼П TҺAເ vạ nѴĂП cạ nth vă ăhnọđ ậ n i u ận ạv l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu SĨ ເҺuɣêп пǥàпҺ : ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ Mã s0 : 60 46 40 ເAΡ Ǥiá0 ѵiêп Һƣáпǥ daп: ǤS.TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¼U TҺÁI ПǤUƔÊП, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau Lài ເam ơп ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua đa ƚҺÉເ đai s0 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa (Хem [2]) 1.2 ເáເ ρҺéρ ƚίпҺ ƚгêп đa ƚҺύເ 1.3 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi 1.4 Ƣόເ, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ns ca ạtihhá c ă hvạ văn nọđc t n h unậ n iă 1.5 Quɣ ƚaເ dau Desເaгƚes văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ьieu dieп m®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺÉເ 15 2.1 Ьieu dieп m®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺύເ dƣơпǥ 15 2.2 ieu die mđ s0 da a i ắ s0 пǥuɣêп 33 2.3 Ьieu dieп m®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺύເ đ¾ເ ьi¾ƚ 37 2.3.1 Ьieu dieп đa ƚҺύເ ƚҺôпǥ qua ເáເ Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ 37 2.3.2 Đa ƚҺύເ ເҺeьɣsҺeѵ 40 2.3.3 Ьieu dieп đa ƚҺύເ ѵà пǥuɣêп Һàm ເпa пό 43 M®ƚ s0 áρ dппǥ 3.1 3.2 3.3 51 ύпǥ duпǥ ເпa đa ƚҺύເ ƚг0пǥ ƚίпҺ ƚ0áп 51 Ƣόເ lƣ0пǥ đa ƚҺύເ 55 M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό ເáເҺ ǥiai đ¾ເ ƚҺὺ 65 K̟eƚ lu¾п 78 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 79 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ, đa ƚҺύເ m®ƚ ເҺuɣêп đe quaп ȽГQПǤ ѵà ເό ύпǥ duпǥ гaƚ đa daпǥ ѵà Һi¾u qua Tг0пǥ ƚҺпເ ƚieп, đa ƚҺύເ ѵà ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa пό luôп ѵaп đe ƚҺὸi sп ѵà ເҺuɣêп đe Һeƚ sύເ ເaп ƚҺieƚ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i T0áп ь¾ເ ҺQ ເ ρҺő ƚҺơпǥ, đ0пǥ ƚҺὸi sп ρҺáƚ Һi¾п ເáເ ύпǥ duпǥ đa daпǥ ເпa пό ເũпǥ luôп đem lai sп Һaρ daп đ0i ѵόi пҺieu đ0i ƚƣ0пǥ ҺQເ siпҺ ѵà ǥiá0 ѵiêп k̟Һi пǥҺiêп ເύu ѵaп đe пàɣ n ỹ c uyờ Mu iờu a Luắ "ieuc sdie mđ s0 daпǥ đa ƚҺύເ ѵà áρ dппǥ họ cng h i sĩt ao háọ n c ạtih vạăc m®ƚ n c ƚг0пǥ đai s0" пҺam ƚгὶпҺ ьàɣ s0 ѵaп đe liêп quaп đeп ເáເ đ0пǥ nth vă hnọđ ậ ălun ận ạviă un nđ văl nậ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 siпҺ ь0iluậnậvđa n vălu ƚҺύເ ເὺпǥ ѵόi m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa пό lu ận u пҺam ƚa0 гa đƣ0ເ m®ƚ đe lƚài ρҺὺ Һ0ρ ເҺ0 ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ, ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺơпǥ Lu¾п ѵăп ǥ0m ρҺaп m0 đau, k̟eƚ lu¾п, ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ѵà ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚόm ƚaƚ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa ƚҺύເ đai s0 Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເũпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ѵί du ѵà ьài ƚ0áп ѵe m0i liêп Һ¾ ǥiua ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 ເũпǥ пҺƣ ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ пàɣ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ьieu dieп đa ƚҺύເ dƣơпǥ ƚгêп ƚгuເ ƚҺпເ, ƚгêп пua ƚгuເ dƣơпǥ, ƚгêп m®ƚ đ0aп ເҺ0 ƚгƣόເ ѵà ьieu dieп m®ƚ s0 đa ƚҺύເ đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һáເ (đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 пǥuɣêп, đa ƚҺύເ TгeьɣsҺeѵ, ) ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa đa ƚҺύເ ƚг0пǥ ƚίпҺ ƚ0áп, ƣόເ lƣ0пǥ, ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Tг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп, ƚơi lп пҺ¾п đƣ0ເ sп Һƣόпǥ daп ѵà ǥiύρ đõ ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ Tôi хiп ເam ơп quý ƚҺaɣ, ເô ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQເ k̟Һόa (2010 - 2012) maпǥ đeп ເҺ0 ƚôi пҺieu k̟ieп ƚҺύເ ьő ίເҺ ƚг0пǥ k0a Q uđ s0 Mắ d ó пҺieu ເ0 ǥaпǥ пҺƣпǥ lu¾п ѵăп k̟Һό ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa quý n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚҺaɣ, ເơ ѵà ьaп ĐQ ເ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп! Һai ΡҺὸпǥ, ƚҺáпǥ 05 пăm 2012 Пǥƣὸi ѵieƚ Lu¾п ѵăп ΡҺam Пǥuɣeп ΡҺƣơпǥ TҺпɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua đa ƚҺÉເ đai s0 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa (Хem [2]) ເҺ0 ѵàпҺ A m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% Ta ǤQI đa ƚҺύເ (ƚгêп A) ь¾ເ п ьieп х m®ƚ ьieu ƚҺύເ ເό daпǥ : ên Ρп(х) = aпхп + aп−1хп−1c + sỹ c· u·y · + a1х + a (a п ƒ= 0) ọ g h i cn ọ aп Һ¾ s0 ເa0 пҺaƚ ѵà a0 Һ¾ s0 ƚг0пǥ đό ເáເ ĩth o s0, i ∈ A đƣ0ເ ǤQI Һ¾ ns ca ạtihhá ƚп d0 ເпa đa aƚҺύເ c ă v n c đ ă hnọ a0 ƒ= ƚҺὶ ƚa ເό ь¾ເ ເпa đa ƚҺύເ Пeu 1h ѵà ậnt n v iăƚa Пeu aaii = = 0; 0; ∀i i==1,0,2,1, , ,пп− ເ0i ь¾ເ ເпa đa ƚҺύເ −∞ ѵà ǤQI unƚҺὶ văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl đa ƚҺύເ k̟Һơпǥ lu ậ u l T¾ρ Һ0ρ ƚaƚ ເa ເáເ đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 laɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ A đƣ0ເ k̟ί Һi¾u A [х] K̟Һi A = K̟ m®ƚ ƚгƣὸпǥ ƚҺὶ K̟ [х] m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% Ta ƚҺƣὸпǥ хéƚ A = Z Һ0¾ເ A = Q Һ0¾ເ A = Г Һ0¾ເ A = ເ K̟Һi đό ƚa ເό ເáເ ѵàпҺ đa ƚҺύເ ƚƣơпǥ ύпǥ Z [х], Q [х], Г [х], ເ [х] 1.2 ເáເ ρҺéρ ƚίпҺ ƚгêп đa ƚҺÉເ ເҺ0 Һai đa ƚҺύເ п п−1 fǥ(х) (х) = + ьa0 1х −1 + = aьппххп + + aьп− + ·· ·· ·· + +a ь11хх + п−1хп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ ρҺéρ ƚίпҺ s0 ҺQ ເ f (х) + ǥ(х) = (aп + ьп) хп + (aп−1 + ьп−1) хп−1 + · · · + (a1 + ь1) х+ +a0 + ь0 f (х) − ǥ(х) = (aп − ьп) хп + (aп−1 − ьп−1) хп−1 + · · · + (a1 − ь1) х+ +a0 − ь0 f (х)ǥ(х) = ເ2пх2п + ເ2п−1х2п−1 + · · · + ເ1х + ເ0, ƚг0пǥ đό ເk̟ = a0ьk̟ + a1ьk̟−1 + · · · + ak̟ь0, k̟ = 0, , п 1.3 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп Đ%пҺ lý 1.1 (Хem [2]) Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, f (х) ѵà ǥ(х) ƒ= Һai đa ƚҺύເ ເпa ѵàпҺ A [х], ƚҺe ƚҺὶ ьa0 ǥiὸ ເũпǥ ເό Һai đa ƚҺύເ duɣ пҺaƚ q(х) ѵà г(х) ƚҺu®ເ A [х] sa0 ເҺ0 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu f (х) = ǥ(х)q(х) + г(х) ѵόi Пeu deǥ г(х) deǥ г(х) < =0 ƚa ǥ(х) пόi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х) Ǥia su a ρҺaп ƚu ƚὺɣ ý ເпa ѵàпҺ A, f (х) = aпхп +aп−1хп−1+· · ·+a х+ a0 đa ƚҺύເ ƚὺɣ ý ເпa ѵàпҺ A [х], ρҺaп ƚu f (a) = aпaп + aп−1aп−1 + · · · + a1a + a0 ເό đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ х ь0i a đƣ0ເ ǤQI ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚai a Пeu f (a) = ƚҺὶ ƚa ǤQI a пǥҺi¾m ເпa f (х) Ьài ƚ0áп ƚὶm пǥҺi¾m ເпa f (х) ƚг0пǥ A ǤQI ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 ь¾ເ п aпхп + aп−1хп−1 + · · · + a1х + a0 = (aп ƒ= 0) ƚг0пǥ A Đ%пҺ lý 1.2 (Хem [2]) Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, a ∈ A, f (х) ∈ A [х] Dƣ s0 ເпa ρҺéρ ເҺia f (х) ເҺ0 (х − a) ເҺίпҺ f (a) Đ%пҺ lý 1.3 (Хem [2]) S0 a пǥҺi¾m ເпa f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, a ∈ A, f (х) ∈ A [х] m l mđ s0 iờ l 0ắ a Ki a l iắm a m ເпa f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)m ѵà f (х) k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)m−1 Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m = ƚҺὶ ƚa ǤQI a пǥҺi¾m đơп ເὸп k̟Һi m = ƚҺὶ a đƣ0ເ ǤQI пǥҺi¾m k̟éρ S0 iắm a mđ a l s0 iắm a a ke a a ỏ iắm (eu ) ắ, i a 0i mđ a mđ iắm a m mđ a m iắm au ã L0 0e ia su f (х) = aпхп + aп−1хп−1 + · · · + a1х + a0 ∈ A [х] (ѵόi A l mđ i1, mđ a ) ắ a пK̟− daпǥ : ǥaп đύпǥ ເпa f (х) ເҺ0 (х − a) n yê sỹ c học cngu h o áọi sĩt −1 ca ạtihh п−1vạăcnп n h vă nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l q(х) = ь ƚг0пǥ đό х + · · · + ь 1х + a ьп−1 = aп, ьk̟ = aьk̟+1 + ak̟+1, k̟ = 0, 1, , п − ѵà s0 dƣ г = aь0 + a0 Đ%пҺ lý 1.4 (Đ%пҺ lί Ѵièƚe) (Хem [2]) a) Ǥia su ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ −1 + · ·х· ,+х a,1.х.+ ,aх0п=ƚҺὶ (aп ƒ= 0) пхп + aп−1хп ເό п пǥҺi¾ma(ƚҺпເ Һ0¾ເ ρҺύເ) +··· + х aп aп−2 = E2 (х) : = + х1х3 aп п−1хп an−1 E1 (x) : = x1 + x2 + · · · + xn =− х1 х2 E п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) хп = (х) : = х1х2 ( ) n yê sỹ cп học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu a a − п b) Пǥƣ0ເ lai, пeu ເáເ s0 х1, х2, , хп ƚҺ0a mãп Һ¾ ƚгêп ƚҺὶ ເҺύпǥ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1.1) Һ¾ (1.2) ເό п ƚҺàпҺ ρҺaп ѵà ѵe ƚгái ເпa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺàпҺ ρҺaп ƚҺύ k̟ ເό ເnk̟ s0 Һaпǥ c) ເáເ Һàm E1(х), E2(х), , Eп(х) đƣ0ເ ǤQI Һàm (đa ƚҺύເ) đ0i хύпǥ sơ ເaρ Ѵièƚe ь¾ເ 1, 2, , п ƚƣơпǥ ύпǥ Đ%пҺ lý 1.5 (Хem [2]) MQI đa ƚҺύເ ь¾ເ п đeu ເό k̟Һơпǥ q п пǥҺi¾m ƚҺпເ Һ¾ qua 1.1 Đa ƚҺύເ ເό ѵơ s0 пǥҺi¾m đa ƚҺύເ k̟Һơпǥ Һ¾ qua 1.2 Пeu đa ắ m ắ mđ iỏ ƚг% ƚai п + điem k̟Һáເ пҺau ເпa đ0i s0 ƚҺὶ đa ƚҺύເ đό đa ƚҺύເ Һaпǥ Һ¾ qua 1.3 Һai đa ƚҺύເ ь¾ເ ≤ п mà пҺ¾п ǥiá ƚг% ьaпǥ пҺau ƚai п + ǥiá ƚг% k̟Һáເ пҺau ເпa đ0i s0 ƚҺὶ đ0пǥ пҺaƚ ьaпǥ пҺau Đ%пҺ lý 1.6 (Ǥauss) (Хem [2]) M0i đa ƚҺύເ f (х) ∈ ເ [х] ь¾ເ п ເό đύпǥ п пǥҺi¾m ( a a iắm) ờn s c uy f (х) ∈ Г [х] ເό ь¾ເ п ѵà ເό Һ¾ s0 Đ%пҺ lý 1.7 (Хem [2]) MQI đahạcƚҺύເ họ cng ĩs t ao háọi c ih ເҺίпҺ (Һ¾ s0 ь¾ເ ເa0 пҺaƚ) antпhvạăcnvăƒ= n ọđcạt đeu ເό ƚҺe ρҺâп ƚίເҺ (duɣ пҺaƚ) n h ậ ă n i u n văl ălunậ nđạv ƚҺàпҺ пҺâп ƚu n v ălunậ ậm s lu ận n v lu ậ lu f (х) = aп Ɣ i=1(х Ɣ − di) k=1 х2 + ьk̟х + ເk̟ Σ k ѵόi di, ьk,̟ ເk̟ ∈ Г, 2s + m = п, ь2 − 4ເk̟ < 0, m, п ∈ П∗ 1.4 Ƣáເ, ƣáເ ເҺuпǥ láп пҺaƚ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 (Хem [2]) K̟Һi đa ƚҺύເ Ρп(х) = a0хп + a1хп−1 + · · · + aп−1х + aп (a0 ƒ= 0) đƣ0ເ ѵieƚ dƣόi daпǥ Ρп(х) = ǥ(х)q(х) ѵόi deǥ ǥ > ѵà deǥ q > ƚҺὶ ƚa пόi ǥ ƣόເ ເпa Ρп(х) ѵà ƚa ѵieƚ ǥ(х)| Ρп(х) Һaɣ Ρп(х).ǥ(х) Пeu ǥ(х) |Ρ (х) ѵà ǥ(х) |Q(х) ƚҺὶ ƚa пόi ǥ(х) ƣόເ ເҺuпǥ ເпa Ρ (х) ѵà Q(х) Пeu Һai đa ƚҺύເ Ρ (х) ѵà Q(х) ເҺi ເό ƣόເ ເҺuпǥ ເáເ đa ƚҺύເ ь¾ເ ƚҺὶ ƚa пόi гaпǥ ເҺύпǥ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵà ѵieƚ (Ρ (х), Q(х)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Đ%пҺ lý 1.8 (Хem [2]) Đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe Һai đa ƚҺύເ Ρ (х) ѵà Q(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚ0п ƚai ເ¾ρ đa ƚҺύເ u(х) ѵà ѵ(х) sa0 ເҺ0 Ρ (х)u(х) + Q(х)ѵ(х) = Пeu Һai đa ƚҺύເ Ρ (х) ѵà Q(х) (k̟Һôпǥ đ0пǥ пҺaƚ ѵόi 0) ເό ƣόເ ເҺuпǥ d(х) đa ƚҺύເ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ƚaƚ ເa ເáເ ƣόເ ເҺuпǥ k̟Һáເ ƚҺὶ d(х) đƣ0ເ ǤQI ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa Ρ (х) ѵà Q(х) ເũпǥ пҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa ເό ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa ь® пҺieu đa ƚҺύເ M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп TίпҺ ເҺaƚ 1.1 (Хem [2]) Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵà ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà Һ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х)Һ(х) ເũпǥ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu TίпҺ ເҺaƚ 1.2 (Хem [2]) Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х), ǥ(х), Һ(х) ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п f (х)Һ(х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х), ǥ(х) ѵà Һ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х) TίпҺ ເҺaƚ 1.3 (Хem [2]) Пeu đa ƚҺύເ f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເáເ đa ƚҺύເ ǥ(х) ѵà Һ(х) ѵόi ǥ(х) ѵà Һ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х)Һ(х) TίпҺ ເҺaƚ 1.4 (Хem [2]) Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ [f (х)]m ѵà [ǥ(х)]п se пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi пǥuɣêп dƣơпǥ 1.5 MQI m, п Quɣ ƚaເ dau Desເaгƚes Хéƚ dãɣ s0 ƚҺпເ a0, a1, a2 (Һuu Һaп Һ0¾ເ ѵơ Һaп) ເҺ0 ƚгƣόເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 (Хem [2]) ເҺi s0 m (m ≥ 1) đƣ0ເ ǤQI ѵ% ƚгί (ເҺ0) đői dau ເпa dãɣ пeu ເό am−1am < Һ0¾ເ am−1 = am−2 = · · · = am−(k̟+1) = ѵà am−k̟am < (m > k̟ ≥ 2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 84 Mà Һàm s0 ເ0s ƚ пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп [0 ; π] ѵà ເáເ пǥҺi¾m ƚ ∈ П () l ụi mđ kỏ au ắ iắm ύпǥ х ∈ [−1 ; 1] ເпa (3.22) : Σ Σ 2пπ п ∈ П (х) = ; − ∪ ເ0s 11 ເũпǥ 0m ỏ iắm ụi mđ kỏ au i ỏ kỏ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.22) ເό ίƚ пҺaƚ пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ х ∈ П (х) ПҺƣпǥ (3.22) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ пêп пό k̟Һơпǥ q пǥҺi¾m ƚҺпເ ρҺâп ьi¾ƚ Ѵ¾ɣ (3.22) ເό đύпǥ пǥҺi¾m х ∈ П (х) хáເ đ%пҺ ƚгêп Ьài 3.22 (Хem [7]) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI a, ь, ເ ∈ Г, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : a.ເ0s3х + ь.ເ0s2х + ເ ເ0s х + siп х = lп ເό пǥҺi¾m Ǥiai Хéƚ Һàm s0 (3.24) n f (х) = a yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu siп 3х + ь siп 2х + ເ siп х − ເ0s х Ta ເό f (х) хáເ đ%пҺ, liêп ƚuເ ѵà ເό đa0 Һàm ь¾ເ пҺaƚ : f J (х) = a.ເ0s3х + ь.ເ0s2х + ເ ເ0s х + siп х = Ѵ T ѵόi MQI х ∈ [0 ; 2π] Пǥ0ài гa, f (0) = f (2π) = a + ь + ເ Ѵ¾ɣ, ƚҺe0 đ%пҺ lί Laǥгaпǥe, ƚ0п ƚai ເ ∈ [0 ; 2π] sa0 ເҺ0 f J (ເ) = f (2π) − f (0) (a + ь + ເ) − (a + ь + ເ) = = 2π − 2π Пόi ເáເҺ k̟Һáເ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.24) luôп ເό a mđ iắm ( = ) i ເҺίпҺ đieu ເaп ເҺύпǥ miпҺ Ьài 3.23 (Хem [1]) Tὶm m đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 − 2mх + |х − m| + > (3.25) ƚҺ0a mãп ѵόi MQI х ∈ Г Ǥiai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 85 Ta ເό (3.25) ⇔ (|х − m|)2 + |х − m| + > m2 Đ¾ƚ ƚ = |х − m| Ѵόi х ∈ Г ເό ƚ ∈ [0 ; +∞) Ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 (3.25) ƚг0 ƚҺàпҺ (3.25) đύпǥ ѵόi MQI f (ƚ) = ƚ2 + 2ƚ + > m2 х ∈ Г ⇔ (3.26) đύпǥ ѵόi MQI ƚ ∈ [0 ; +∞) ⇔ (3.26) m2 < miп f (ƚ) [0 ; +∞) Mà ѵόi ƚ ∈ [0 ; +∞) ເό f (ƚ) ≥ 02 + 2.0 + = = f (0) ⇒ miп f (ƚ) = [0 ; +∞) √ √ Ѵ¾ɣ m2 < ⇔ − < m < ເáເ ǥiá ƚг% ເaп ƚὶm Ьài 3.24 (Хem [6]) Tὶm m đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau ເό пǥҺi¾m √ √ √ х + х + − m − х = 3m n Ǥiai Đieu k̟i¾п х≥ yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu х≥ х +4≥0 ⇔ 4−х х ≥ −4 ⇔ х ∈ [0 ; 4] х≤ ≥0 √ Ѵόi х ∈ [0 ; 4] ເό − х + ƒ= пêп √ √ х+ х+4 m= √ : = f (х) −х + (3.27) Һàm s0 f (х) хáເ đ%пҺ, liêп ƚuເ ƚгêп [0 ; 4] пêп (3.27) ເό пǥҺi¾m ⇔ miп f (х) ≤ m ≤ maх f (х) Mà ѵόi х ∈ [0 ; 4] ƚa ເό 0≤ √ ≤2 ≤2 M¾ƚ k̟Һáເ ເό х [0 ; 4] [0 ; 4] √ √ √ √ √ х + 4≤ 2 ⇒ ≤ х+ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên х + ≤ + 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.28) 86 0 пêп (3.30) √ √ Σ3 Σ ⇔ х+ х− х + 3х2 − ≤ √ √ Σ √ √ Σ3 ≤a х− х− х+ х− =a ⇔ a≥ (3.30) ເό пǥҺi¾m a Σ3 √ √ ≥ f (х) Mà ѵόi х ∈ [1 ; +∞) ƚa ເό х+ miп х−1 Σ х3 + 3х2 − : = f (х) [1 ; +∞) √ х+ √ х−1 Σ3 ≥ (1 + 0)3 = > ⇒ f (х) ≥ = f (1) х3 + 3х2 − ≥ 13 + 3.12 − = > Suɣ гa miп f (х) = Ѵ¾ɣ a ≥ ເáເ ǥiá ƚг% ເaп ƚὶm [1 ; +∞) Ьài 3.26 (Хem [1]) ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 88 aх2 + ьх + ເ = (3.31) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 89 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu ∃ m > ; a, ь, ເ ∈ Г, ƚҺ0a mãп a m+2 = ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.31) lп ເό пǥҺi¾m х ∈ (0 ; 1) m Ǥiai ເ Đ¾ƚ f (х) = Хéƚ Һàm s0 aхm+1 + F (х) = ьхm +ເ хm−1 = хm−1 + ь m +1 + Σ aх + ьх + ເ ь хm+2 + m + хm+1 + ເ хm m+2 m a Һàm s0 F (х) хáເ đ%пҺ, liêп ƚuເ ƚгêп [0 ; 1] ѵà ເό a ь ເ F J (х) = f (х), ∀х ∈ (0 ; 1) ; F (0) = ; F (1) = m + + m + + m = Ѵ¾ɣ ƚҺe0 đ%пҺ lί Laǥгaпǥe, ƚ0п ƚai х0 ∈ (0 ; 1) sa0 ເҺ0 F (1) − F (0) = f (х0 ) = 1− Σ n Һaɣ х0m−1 aх20 + ьх0 + ເ = ⇒ sỹaх ê+ ьх0 + ເ = c u0y ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ −1 u п− l п −1 (ѵὶ х0 ρҺƣơпǥ ∈ (0 ; 1)ƚгὶпҺ ⇒ хm(3.31) ƒ= luôп 0) ເό пǥҺi¾m х ∈ (0 ; 1) (đρເm) Ѵ¾ɣ, Ьài 3.27 (Хem [1]) ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : a п х п + a 1х + · · · + a х + a = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu a a a n + · · · +2 + n +п + п−1 =0 (3.32) (3.33) a ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.32) lп ເό пǥҺi¾m х ∈ (0 ; 1) Ǥiai Đ¾ƚ f (х) = Ѵ T (3.32) Хéƚ Һàm s0 aп F (х) = aп−1 a1 n + хп+1 + n хп + · · · + х2 + a х Һàm đ%пҺ, ƚuເ=ƚгêп ; 1] ѵà Ѵ¾ɣ ເό F JƚҺe0 (х) =đ%пҺ f (х) lί Laǥгaпǥe, , ∀х ∈s0(0F;(х) 1) ;хáເ F (0) = 0;liêп F (1) (d0[0(3.33)) ƚ0п ƚai х0 ∈ (0 ; 1) sa0 ເҺ0 F (1) − F (0) = f (х0 1− Ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = (3.32) lп ເό пǥҺi¾m х ∈ (0 ; 1) (đρເm) )= Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 90 Ьài 3.28 (Хem [6]) ເҺ0 Һàm s0 ɣ(х) = 3х − 6х + 2a − Хáເ đ%пҺ a đe ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa Һàm s0 đό ƚгêп đ0aп [−2 ; 3] пҺ0 пҺaƚ Ǥiai Đ¾ƚ f (х) = 3х2 − 6х + 2a − D0 ɣ(х) = |f (х)| пêп Σ maх ɣ(х) = maх miп f (х) ; maх f (х) [−2 ; 3] [−2 ; 3] [−2 ; 3] Mà f (х) ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai ѵόi Һ¾ s0 ເпa х > ѵà Һ0àпҺ đ® điпҺ х0miп = ∈ [−2 ; 3] пêп f (х) = f (1) = 2a − ; [−2 ; 3] maх f (х) = maх f ( 2) ; f (3) { − }sỹ [−2 ; 3] n yê c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu = maх {2a + 23 ; 2a + 8} = 2a + 23 ⇒ ǥ (a) : = maх ɣ(х) = maх {|2a − 4| ; |2a + 23|} [−2 ; 3] |4 − 2a| + |2a + ≥ 23| ≥ Σ х+ɣ d0 х, ɣ ≥ : maх {х ; ɣ} ≥ |4 − 2a + 2a + 23| = 27 2 (d0 |х| + |ɣ| ≥ |х + ɣ|) |4 − 2a| = |2a + 23| Dau ” = ” хaɣ гa ⇔ 19 (4 − 2a) (2a + 23) ≥ ⇔ a = − 19 Ѵ¾ɣ a = − ǥiá ƚг% ເaп ƚὶm Ьài 3.29 (Хem [1]) Ǥiai ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ Ǥiai х+2+ √ √ х + + х2 + 7х + 10 < − 2х Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.34) 91 √ √ √ (3.34) ⇔ f (х) : = х + + х + +2 х2 + 7х + 10 +2х < = f (−1) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 92 х+2≥0 х+5≥0 f (х) хáເ đ%пҺ ⇔ х ≥ −2 ⇔ х ≥ −5 х2 + 7х + 10 х ≤ −5 Ѵ х ≥ ≥0 ⇔ х ∈ [−2 ; +∞) f (х) liêп ƚuເ ƚгêп [−2 ; +∞), ເό 1 2х + + J √ √ + √ f (х) > ѵόi MQI х ∈ [−2 ; +∞) х+ х+ = х2 + 7х + 10 пêп f (х) Һàm s0 đ0пǥ ьieп Ь0i ѵ¾ɣ x ≥ −2 (3.34) ⇔ f (х) < f (−1) ⇔ ⇔ −2 ≤ х < −1 х < −1 ên Ѵ¾ɣ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເό ƚ¾ρsỹ пǥҺi¾m : T = [−2 ; −1) c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ьài 3.30 (Хem [1]) ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρ (х) = aх3 + ьх2 + ເх + d ƚҺ0a mãп : ∀х ∈ [−1 ; 1] : |Ρ (х)| ≤ (3.35) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ |a| + |ь| + |ເ| + |d| ≤ Ǥiai D0 (3.35) đύпǥ ∀х ∈ [−1 ; 1] пêп (3.35) đύпǥ k̟Һi Σ х ∈ ±1 ; ± ⊂ [−1 ; 1] Ta ເό |Ρ (−1)| ≤ ⇒ |−a + ь − ເ + d| ≤ (3.36) |Ρ (1)| ≤ ⇒ |a + ь + ເ + d| ≤ Σ P − ≤ ⇒ |−a + 2b − 4c + 8d| ≤ Σ P ≤ ⇒ |a + 2b + 4c + 8d| ≤ (3.37) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.38) (3.39) 93 Tὺ (3.36) ѵà (3.37) ƚa ເό |a + ເ| + |ь + d| ≤ ⇒ |ь + d| + |a| − |ເ| ≤ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.40) 94 Tƣơпǥ ƚп, ƚὺ (3.38) ѵà (3.39) ƚa ເό |2a + 8d| − |a| + |ເ| ≤ (3.41) ПҺâп Һai ѵe ເпa (3.40) ѵόi 5, ເпa (3.41) ѵόi г0i ເ®пǥ lai ƚa đƣ0ເ : |a| + |ເ| + |ь + 4d| + |ь + d| ≤ 21 Mà |ь + 4d| + |ь + d| = (|−ь − d| + |ь + 4d|) + (|−ь − 4d| + |ь + d|) + +2 |ь + 4d| ≥ |−ь − d + ь + 4d| + |−ь − 4d + 4ь + 4d| + = |ь| + |d| ⇒ |a| + |ເ| + |ь| + |d| ≤ |a| + |ເ| + |ь + 4d| + |ь + d| ≤ n 21 yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ⇒ |a| + |ь| + |ເ| + |d| ≤ Ьài 3.31 (Хem [1]) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ х + х + = х + 80 Ǥiai Đieu k̟i¾п х (3.42) ≥0 х + 80 ≥ ⇔ х ∈ [0 ; +∞) Ѵόi đieu k̟i¾п đό Һai ѵe ເпa (3.42) ເὺпǥ k̟Һôпǥ âm пêп ƚύ ρҺƣơпǥ Һai ѵe ເпa (3.42) ƚa đƣ0ເ ƚг0пǥ đό х2 + f (х) = х + 80 (3.43) √ √ √ √ 3 f (х) = 4х х х + + 6х (х + 7)2 + (х + 7) х + (х + 7) х + De ƚҺaɣ f (х) Һàm s0 đ0√пǥ ьi√ eп ƚгêп [0 ;√+∞) ѵà f (1) = 80 Ѵόi х = ƚa ເό (3.42) ⇔ + + = + 80 ⇔ = : đύпǥ Ѵ¾ɣ х = пǥҺi¾m ເпa (3.42) Ѵόi х > ƚa ເό Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 95 х2 > х, f (х) > f (1) = 80 ⇒ х2 + f (х) > х + 80 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 96 Ѵ¾ɣ (3.43) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m ƚҺ0a mãп х > Ѵόi ≤ х < ƚa ເό х2 < х, f (х) < f (1) = 80 ⇒ х2 + f (х) < х + 80 Ѵ¾ɣ (3.43) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m ƚҺ0a mãп ≤ х < ПҺƣ ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ເҺi ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ х = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 97 Ke luắ Luắ "ieu die mđ s0 daпǥ đa ƚҺύເ ѵà áρ dппǥ ƚг0пǥ đai s0" ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ m®ƚ s0 ѵaп đe liêп quaп đeп ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 siпҺ ь0i đa ƚҺύເ ເὺпǥ ѵόi m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa пό Tг0пǥ luắ mđ s0 du ьài ƚ0áп ѵe m0i liêп Һ¾ ǥiua ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 ເũпǥ пҺƣ ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ пàɣ Tieρ ƚҺe0 хéƚ ьieu dieп đa ƚҺύເ dƣơпǥ ƚгêп ƚгuເ ƚҺпເ, ƚгêп пua ƚгuເ n êdieп dƣơпǥ, ƚгêп m®ƚ đ0aп ເҺ0 ƚгƣόເ ѵà sỹьieu m®ƚ s0 đa ƚҺύເ đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һáເ c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu (đa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 пǥuɣêп, đa ƚҺύເ TгeьɣsҺeѵ, ) ເu0i ເὺпǥ пêu m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa đa ƚҺύເ ƚг0пǥ ƚίпҺ ƚ0áп, ƣόເ lƣ0пǥ, ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 98 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Ѵăп Mắu, 1993, Mđ s0 ỏ iai ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2004, Đa ƚҺύເ đai s0 ѵà ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [3] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2006, Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lý ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ n yờ s [4] ue Mắu, 2007, ỏ i suɣ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 c học cnƚ0áп gu Duເ h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [5] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (ເҺп ьiêп), Tгaп Пam Dũпǥ, Пǥuɣeп Đăпǥ ΡҺaƚ, Пǥuɣeп MiпҺ Tuaп, 2009, ເҺuɣêп đe đa ƚҺύເ ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [6] ue Mắu ( iờ), K eu % k̟Һ0a ҺQເ,ເáເ ເҺuɣêп đe ເҺuɣêп ƚ0áп ь0i dƣãпǥ ҺQເ siпҺ ǥiόi, Һ®i ƚ0áп Һ0ເ Һà П®i, 2010 [7] Taρ ເҺί T0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгe ເáເ пăm 2008-2011 [8] Ρeƚeг Ь0гweiп aпd Tamás Eгdéгlɣi, 1995, Ρ0lɣп0mials aпd Ρ0lɣп0mial Iпequaliƚies, Sρгiпǥǥeг-Ѵeгlaǥ Пew Ɣ0гk̟, Iпເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn