Lenseignement du calcul dans les écoles primaires de la grèce comparaison de quelques recherches sur les opérations fondamentales de iarithmétique

, 5'0-, _ U ;> l' - »->; •,1 , • - L ,) - ~- - /- 1'~) -v UNIVERSITÉ DE GENÈVE • '!NST ITUT DES, SCIENCES DE L'ÉDUCATION ,S kI - te' seignement du calcul dans lèS ,étloles primaires e la Grèce de quelques recherches sur_.Ies opộrations fondamentales de l'arithmộtique -,~_ỗQmparaison ã THẩSE prộsentộe J'Institut des Sciences de J'Education de l'Université de Genève pour obtenir Je grade de Docteur ès sciences de J'éducation par Constantin KITSOS,~ 'Licencié ès sciences de J'éducation, • mme - de Grèce THÈSE No - GENÈVE ' ''~iJ\W;iOHÃ.ri,._.,hL('.nIJrrj ỗr _ Genốve 1960 E~ Doctorat ốs Sciences de l'Education Mention « Pédagogie» L'Institut des Sciences de l'Education, sur le préavis de Monsieur le Professeur Samuel ROLLER, autorise l'impression de la présente thèse, sans exprimer d'opinion sur les propositions qui y sont énoncées Genève, le mars 1960 Le codirecteur de l'Institut des Sciences de l'Education Samuel ROLLER • ! ; • Thèse N° A mes enfants et leur maman A Monsieur le Professeur Samuel Roller, Codirecteur de l'Institut des Sciences de l'Education, nous exprimons tout d'abord notre profonde reconnaissance pour avoir bien voulu présenter notre thèse cet Institut de l'Université de Genève Son enseignement relatif la Pédagogie exp érimentale, ses directives compétentes , la peine qu'il a prise de suivre le présent travail au fur et mesure de sa rédaction sont autan t de motifs qui suscitent notre respectueuse gratitude Qu'il veuille trouver ici l' expression la plus sincère de notr e admiration pour son dévouement inlassable aux sciences de l'éducation Nous désirons également exprimer notre reconnaissance Monsieur le Professeur Laurent Pauli, pour toute l' aide qu'il nous a apportée par ses précieux conseils relatifs l'application de la Psychologie génétique de M Jean Piaget la M éthodologie scolaire et pour la f aveur qu'il nous a témoignée en nous permettant de mettre profit les résultats de ses recherches psych opédagogiques sur les Ma thématiques Notre gratitude s'adresse aussi Mo nsieur le Prof esseur Robert Dottrens pour les conseils judicieux qu'il nous a prodigués au cours de ce travail 1 Il reste encore l'a uteur Je de vo ir agréable de remercier tou s ceu x Qui l'ont aidé général primai re de J'Epire (Gréce) et les Inspecteurs primaires de la circonscription dans ses rec he rches ; les instituteurs et Institutrices des éco les primaires de la ville de meilleu r accueil dan s leurs classes; et les jeunes Instit uteurs ses anciens étudi ants , Qui xpériences réaliser ce travail : J' In specteur de Ja nni na Qui l'ont fav orisé Jannina Qui lui on t réservé le ont participé ac tivement ses Introduction L'homme s'est trouvé dès l'origine en présence de grandeurs concrètes de diverses natures En utilisant des objets pour ses besoins vitaux, il a constaté qu'il pouvait les séparer, les isoler, les diviser et les comparer Etant obligé, par ailleurs, de par sa nature, de vivre en société et ayant besoin de choses dont il était dépourvu, il pratiqua le système de l'échange avec les autres hommes de son milieu social (troc) et en vint effectuer des actions de vente et d'achat caractère commercial Cetté action de l'homme sur les grandeurs concrètes mesurables ou calculables lui a donné « ce pouvoir mystérieux d'opérations mathématiques qui semblent être nées d'actions portant sur l'expérience la plus proche mais qui, en se coordonnant les unes aux autres, s'éloignent de la réalité empirique d'un mouvement sans cesse accéléré, jusqu'à pouvoir la dominer, la devancer et même se désintéresser superbement des confirmations qu'elle leur offre sur les terrains limités de l'actuel et du fini » L'homme a ainsi créé les sciences des nombres L'arithmétique, l'une des sciences des nombres, a été depuis longtemps le moyen adopté par les hommes pour communiquer entre eux sur le plan économique et cette arithmétique devint en même temps la base de toute formation mathématique ultérieure Son enseignement l'école a une valeur éducative et vitale pour l'enfant Il contribue la culture du raisonnement, l'acquisition d 'une méthode d'apprentissage, la culture de qualités morales et la mtrise d'une technique efficace dans le secteur de la vie pratique Cette valeur, éducative et vitale, du calcul a stimulé l'intérêt des pédagogues et, depuis longtemps, ils ont étudié le problème méthodologique de l'enseignement de l'arithmétique, afin que les élèves puissent tirer le meilleur profit possible de cette discipline L'évolution historique des notions arithmétiques nous montre l'effort de l'homme élaborant une science la fois rigoureusement déductive et s'adaptant l'expérience, science qui possède une valeur considérable pour le monde moderne D 'autre part, les mathématiques ont une réelle valeur éducative pour l'enfant On peut alors se demander si l'école primaire, par ses méthodes didactiques, a obtenu dans ce domaine des J Piaget: « Introduction I'Epist émologie génétique », tome l, p 270 a) L'arithmétique, b) l'analyse numérique, c) l' analyse algébrique, d) l'analyse combinatoire , e) l'analyse infini tởsimate (Encyclopộdie franỗ aise, tome 23, pp 391-399)• 1 • Vo ir : a) E Natalis: « De l'empirisme au raisonnement logique " , Liège, 1953 b) « L'initiation mathématique J'école pr imaire », B.I.E e) H Aebli : cc La didactique psychologique », 1951, Delachaux et Niestlé d) L Pauli: « Recherches et expériences sur l'enseignement des mathématiques" (polycopié), e) «Didactique de l'initiation mathématique l'école primaire », B.I.E.• 1956 résultats suffisants L'école élémentaire a-t-elle, \d'une part, contribué établir une base solide pour l'évolution future de la science mathématique et, d'autre part, a-t-elle procuré aux enfants les bienfaits d'ordre éducatif que peut leur apporter l'enseignement du calcul? Les propos ci-dessous de R.-E Lighton nous obligent nous pencher sérieusement sur l'œuvre de l'école primaire en ce qui concerne la discipline mathématique R.-E Lighton, en introduisant le livre de Behr « Arithmetic is fun» l , nous dit: « Les écoles techniques et les universités se lamentent sur l'incompétence de leurs étudiants en arithmộtique, les ộcoles secondaires sont constamment dộỗues des produits de l'école primaire, les écoles primaires déplorent le manque de préparation suffisante et adéquate des instituteurs » A son avis, les résultats ne correspondent pas aux efforts des mtres et des élèves On pourrait formuler les mêmes conclusions en Grèce et, sans doute, dans presque tous les pays Le problème se pose donc dès le niveau de l'école primaire, où l'enseignement des mathématiques consiste surtout, pour le moment du moins, dans l'enseignement des opérations fondamentales considérées comme la base des études mathématiques ultérieures La science pédagogique a désormais pour objet de rechercher les difficultés des élèves dans l'apprentissage des opérations arithmétiques Essayer de comprendre des difficultés provoquées par les tables de calcul et par les opérations sur les nombres et les problèmes concrets de la vie; découvrir une solution au problème créé par ces difficultés en considérant certains facteurs du rendement scolaire (plans d'études, manuels, mtres d'école, parents); éclairer enfin cette situation par les données de la psychologie génétique, tel est l'objet de notre travail Nous souhaitons qu'il soit une contribution positive de la solution scientifique du problème de l'enseignement mathématique L'approche d'une telle solution peut être atteinte grâce aux méthodes de la pédagogie expérimentale, cette dernière étant, d'après M S Roller, une étude scientifique de l'action pédagogique pour en accroitre le rendement La pédagogie expérimentale pose ses problèmes et formule ses conclusions en termes la fois scientifiques et pédagogiques La pédagogie expérimentale se doit ainsi d'interroger les spécialistes des disciplines connexes t Dans notre étude, nous aurons recours, d'une part, aux techniques de la pédagogie expérimentale et, d'autre part, aux données des spécialistes de la psychologie de l'enfant Ainsi, au moyen de tests et de questionnaires, nous avons cherché établir le rendement de l'enseignement des quatre opérations fondamentales dans les écoles primaires de la ville de Jannina en Grèce: Pour avoir des faits sur l'acquisition des tables d'addition et de multiplication, nous avons utilisé les tests AJ et ML du Laboratoire de Pédagogie expérimentale de Genève (S Roller), Pour déceler les difficultés rencontrées par les élèves en ce qui concerne les quatre opérations de calcul de toutes formes, nous avons employé des tests de la Société A Binet Paris, choisis par G Collin et extraits de sa « Psychologie de l'enfant», tome II (applications), pp 75-76, Libr Delagrave, Paris 1948 Pour mesurer les difficultés rencontrées par les élèves cherchant une solution aux problèmes concrets de la vie, nous avons composé de petits problèmes arithmétiques sur les sept opérations fondamentales (addition, soustraction-reste, soustraction1 A.• L Behr : Arithmetic is fun » Dagreek Book Store Johannesburg 1954 p (texte mentionné dans le livre polycopié de L Pauli : « Recherches et expériences sur l'enseignement mathématique " l Voir « Etudes de Pédagogie expèrimentale » ; « Cahiers de Pédagngie Expérimentale et de PsycholoiPe de l'enfant" DeJachaux et Niestlé, No 1111954, p 89 • différence, soustraction-complément, multiplication, contenance) et nous les avons proposés aux enfants division-partage, division- Pour mieux élucider le problème des difficultés rencontrées par les enfants, nous avons interrogé oralement des groupes de sujets représentatifs de la population scolaire, en enregistrant au magnétophone leur « réflexion parlée» propos des opérations de toutes formes et des problèmes concrets relatifs aux sept opérations fondamentales Pour éclairer notre étude par d'autres facteurs influant sur le rendement scolaire, nous avons analysé les données d'une recherche faite sur le contenu du plan d 'études de notre pays, sur les manuels scolaires d'arithmétique utilisés par les élèves, sur les opinions des mtres d'école enseignant le calcul et, enfin, sur les opinions des parents propos de l'arithmétique Nos tests et questionnaires ont été adressés une population scolaire jugée par nous suffisante, de 800 élèves des 3e , 4e , 5e et 6e classes primaires de différentes écoles de Jannina (écoles modèles, écoles six classes, quatre classes, classe unique) Nous avons aussi interrogé des adultes de 20 ans qui n'avaient qu'une instruction primaire, et des étudiants de notre Académie Pédagogique de Jannina (Ecole Normale) qui faisaient leur dernière année d'étude (futurs instituteurs) Pour avoir une idée plus étendue du rendement scolaire sur les opérations arithmétiques, nous avons cherché obtenir les résultats des recherches analogues faites dans d'autres régions de Grèce et dans d'autres pays (Suisse, Belgique, France, Angleterre, U.S.A.), et nous avons confronté les données de ces recherches avec celles que nous avions obtenues Ainsi, nous nous sommes trouvés en présence de faits recueillis méthodiquement, classés et comparés Mais, nous avons déjà dit que la pédagogie expérimentale doit aussi savoir interroger les spécialistes des disciplines annexes C'est ainsi que nous aussi, nous avons essayé d'approfondir notre étude : par les données de la psychologie génétique de M Jean Piaget sur le mécanisme des opérations logiques; par les résultats de quelques essais d'application la didactique du calcul faits par M H Aebli (Zurich) et M L Pauli (Neuchâtel) ; par les données d'une expérience didactique en calcul, faite par le groupe des psychologues scolaires de Paris; par les conclusions des recherches psychopédagogiques relatives au même sujet , faites en Belgique et en Amérique Nous nous sommes efforcés ainsi d'analyser les causes du rendement scolaire du point de vue psychologique En s'appuyant sur les faits d'une part et sur les données psychologiques d'autre part, nous sommes arrivés formuler quelques propositions concernant l'organisation du travail scolaire de l'écolier aux prises avec les opérations arithmétiques Ces propositions se rapportent au plan d'études, aux manuels scolaires, au matériel didactique, la méthodologie du calcul et la formation des instituteurs Cependant, nous nous rendons compte que, scientifiquement parl ant, nos propositions ne sauraient avoir la prétention de résoudre définitivement les problèmes que nous avons soulevés Seule une expérimentation rigoureusement conduite dira ce qu'elles ont de valable et autorisera leur généralisation dans le cadre de la pédagogie pratique CHAPITRE Difficultés rencontrées par les élèves pendant l'apprentissage de la table d'addition DONNÉES DE NOTRE RECHERCHE Le b ut d e la recherche - L 'instrument de mesure - L'application du test - Date de l'épreuve et popul at ions examinées - R ésultat s génér aux (Indice quantitatif) - R ésultats par classe (Indice qu antitatif) - R ésultat s génér aux ca lculés par J'Indice d 'e xac titude - An aly se des fautes commises par les élèves - Cl assificat ion de s difficulté s ren contrées par les élèves - 10 Résultats gén éraux exprimés a u moyen de l'Indice A U DONNÉES DES RECHERCHES FAITES DANS D'AUTRES RÉGIONS DE GRÈCE ET DANS D 'AUTRES PAYS Résultats généraux d 'une recherche faite Larissa (Grèce) - Résultats d 'une recherche faite Athènes Grèce) - R ésultats d 'une recherche faite en Belgique - Résultats des recherches faites Genève m CONFRONTATION DES RÉSULTATS - CONSTATATIONS Points de confrontation - Données expérimentales hors de confrontation - Constatations générales DONNÉES DE NOTRE RECHERCHE Le but de la recherche Pour recueillir des faits sur l'acquisition de la Table d'addition, nous avons utilisé le test AJ du Laboratoire de Pédagogie Expérimentale de Genève (S, Roller) Grâce aux résultats obtenus ce test, nous avons pu établir une liste des difficultés rencontrées par les élèves pour résoudre des additions et soustractions simples de la forme suivante: 1) a + b = où a < 10 et b chez l'enfant" Delachaux et NiestIé NeuchitelPans 1941, pp 7, 83 ' • J Piaget: • Le développement de la notion du temps chez I ~enfant » , P.U.F., 1946, pp S, 37, 87, 211 130 Durant un second stade (7-8 ans), ou bien les âges dépendent de l'ordre des naissances, mais les différences d'âge ne se conservent pas au cours de l'existence, ou bien les différences se conservent, mais elles ne dépendent pas de l'ordre des naissances Au cours du troisième stade (8-9 ans), les durées et les successions sont coordonnées entre elles et leurs apports se conservent grâce cette coordination même L'acquisition de la notion de vitesse Expérience: On présente l'enfant deux droites parallèles sur une feuille de papier Sur la première avance une auto (ou plutôt un camion qui du premier matin au premier soir a parcouru une certaine distance, par exemple cm Pendant ce temps , un bonhomme qui part du même point et la même heure parcourt bicyclette un trajet plus court (on ne prononce naturellement pas ce mot et on se borne marquer les arrêts de l'auto cm et du bonhomme cm.) On pose alors l'enfant les questions suivantes: Question préliminaire: simultanéité de départs, des arrivées et égalité des durées synchrones de marche Question 1: De combien marchera l'auto le deuxième jour, le troisième, si elle part et arrive aux mêmes heures et marche la même vitesse ? Donc, vitesse et temps égaux, trouver l'égalité des distances Question Il: Quels trajets parcourra le bonhomme s'il continue temps égaux marcher sa vitesse propre? (conservation de la différence des vitesses) Question Ill: Le dernier jour, l'auto ne marche que la moitié de la journée Où arrive-t-elle ? Question IV: La même question que précédemment, mais cette fois pour le bonhomme Question V: Etant données une position de l'auto (par exemple le 7e jour) et une position du bonhomme (par exemple le même jour ou celle du 3e jour), combien de jours le bonhomme mettra-t-il pour rattraper l'auto, celle-ci demeurant immobile? Question VI: La distance (absolue) entre les points d'arrivée de l'auto et du bonhomme, la fin de chaque journée, demeure-t-elle la même ou augmente-t-elle régulièrement? L'enfant vers 10-11 ans peut résoudre ces questions par déduction formelle Conclusion: En ce qui concerne le contenu des problèmes concrets de vie, nous constatons que le mtre peut poser aux enfants des problèmes se référant : partir de 10 ans; h) la notion de volume partir de 11-12 ans; c) la notion de temps (ordre des événements, durée, âges) partir de ans; d) la notion de vitesse partir de IO-Il ans a) la notion de poids Le principe de la motivation (recherches en Belgique, en Amérique, Neuchâtel, Zurich) Les problèmes posés aux enfants doivent se rapporter: aux dépenses et aux produits du jardin scolaire, aux affaires de la coopérative scolaire, aux revenus des parents, des frères travaillant, aux dépenses d'une journée, d'une semaine , etc dans la famille, aux frais des parents pour la nourriture et les vêtements de l'enfant, aux dépenses de l'Etat pour chaque élève par année scolaire, l'intérêt économique de tel ou tel travail effectué dans le milieu de l'enfant, dans d'autres milieux lointains Puisque la motivation est parfois difficile trouver, on peut avoir recours au « magasin» de la classe constitué par les enfants Dans ce magasin, on trouve des échantillons de diverses marchandises avec des indications de prix, de poids, de contenances, de longueurs, etc En faisant « jouer » au marchand, on fait aisément surgir une motivation admissible J Piaget: « Les notions de mouvement et de vitesse chez l'enfant », P.U P , 1946 pp 210-212 131 Le principe d'a ction réelle de l'enfant (Psychologie de M J Piaget, travaux M L Pauli M H Aebli) Lors de la solution des problèmes, le mt re doit entrner les élèves a) effectuer des actions réelles, b ) représente r graphiquement les opérations et c) repenser l'opérat ion effec tive (reconstitution intérieure intériorisat ion des opérations) Exemple : « Vous avez un champ carré ABC D de 50 mètres de côté ; un chem in de largeur uniform e le traverse en ligne droite et en biais du côté AC au côté opposé BD ; on ne dit pas quelle distance de A il entre dans le champ, ni quelle distance de B il en sort ; tout ce qu 'on sait, c'est qu 'il intercepte la ligne AC aussi bien que la ligne BD sur mètres Quelle est la surface bonne encore culti ver? » a) L 'élève effectuant l'action réelle peut faire ceci: « Voilà mon champ (une feuille de papier); je plie la feuille de manière amener la ligne cd sur la ligne ab; du coup je supprime la route et mon carré initial devient un rectangle de 50 m de long et de 50-6 m de large La surface cultivable reste donc de 50 x 44 m., soit 2.200 m! », b) L'élève représente graphiquement sur le papier ces actions et c) repense l'opération effective en la reconstituant intérieurement Les ô raisonnements scolaires ằ enseignộs par les maợtres ne sont pas toujours applicables tels quels pour la résolution des problèmes concrets sur -le plan pratique (Expériences de M L Pauli , écoles de Neuchâtel) (Principe de l'apprentissage: l'intégration totale du développement) exemple: Problème : « Une cuisine mesure 315 cm x 400 cm On recouvre le sol de planchettes carrées de dm de côté Combien en faudra-t-il ? » Dans ce problème, la « solution scola ire » ordinaire donne les résultats suivants : 315 x 400 = 126.000 cm" ( = surface du sol) ; 20 cm x 20 cm = 400 cm! (= surface d 'une planchette), solution: 126.000 : 400 = 315 planchettes Ma is cependant, en pratique on s'aperỗoit que 315 planchettes ne sont pas suffisantes En effet, considérons la 1re série aligner le long du côté mesurant 315 cm Si nous effectuons la dimension , nous nous rendons compte immédiatement qu'il n 'y a pas un nombre entier de planchettes En effet, 315 : 20 = 15,75 planchettes En pratique, on s'aperỗoit ainsi qu 'on se trouve dans l'obligation de couper une planchette en 0,75, ce que ne prévoit pas la théorie, mais qui peut être rendu évident par l'action réelle de l'enfant (dessin, pliages) Je ex emple: On donne l'enfant 20 btes d 'allumettes et on lui demande de faire un paquet avec ces btes L 'enfant peut très bien sur le plan théorique résoudre le problème en alignant les btes les unes après les autres Mais sur le plan de l'action pratique, il se rendra compte qu ' il est plus avantageux, après recherche personnelle, de les emballer par (5 fois les = 20) Effectuer toujours, lors de la solution des problèmes, des opérations directes, inverses et associatives (Psychologie de M J Piaget, expériences de MM L Pauli, H Aebli) (Principe : l'apprentissage des organisations) Ex emple: ô Marie reỗo it de sa maman pièces de francs pour acheter un livre d 'histoires fr et un livre de beaux sites Il fr Elle calcule si son argent est suffisant et combien il lui manque ou il lui reste pour rendre sa maman » a) Opération directe: fr x = 20 fr ( = somme reỗue ), fr + Il fr = 17 fr (somme dépen sée), 20 fr - 17 fr = fr (reste) b) Opération inverse: j er H Aebli : • Di dactique psychologique ", Delachaux et N icstlé NeuchAtel Paris, 1951, pp 104-106 E Mi cbaud : • Action et pensée CDfantiDCS " , Ed du Scarabée, Paris, 1953, pp 22.23 132 « Marie reỗoit de sa maman un certain nombre de piốces de fr pour acheter un livre d'histoires fr et un livre de beaux sites Il fr Elle rend sa maman fr Combien de pièces de fr a-t-elle reỗues de sa maman?ằ (3 + + Il = 20, 20 : = pièces de fr.) c) Opération associative (un autre raisonnement arrivant au mờme rộsultat): somme reỗue: x = 20 fr., reste après la 1re dépense: 20 - = 14 fr., reste après la 2e dépense: 14 - 11 = fr L'opération inverse ajoute quelque chose d'important la compréhension de l'opération Par l'opération associative, l'élève comprend les rapports numériques et ainsi les procédés ne deviennent pas des habitudes rigides dont il ne connt plus la signification Il met en œuvre son invention et sa recherche personnelle Poser des problèmes introduisant un choix de la part de l'enfant (Expériences de M L Pauli) Exemple: « La mère de votre camarade P travaille comme vendeuse dans une boulangerie en touchant 108 fr par semaine et en recevant en plus kilos de pain pour sa famille Dans un journal elle lit qu'on demande une vendeuse dans une épicerie en offrant 18 fr par jour Est-ce qu'elle aura un intérêt économique changer de travail ?» De tels problèmes introduisant un choix de la part de l'enfant, constituent un bon exercice de raisonnement mathématique, et suggèrent sa recherche personnelle On peut rédiger de tels problèmes concernant la matière choisir, pour construire une maison, pour colorer un mur ou pour choisir les moyens de cultiver le jardin scolaire ou les champs appartenant la famille, ou pour choisir les marchandises avantageuses vendre, etc Ce sont par ailleurs de vrais problèmes de vie Principe de la recherche et de l'invention Rares sont les problèmes qui font véritablement appel une recherche de la part de l'élève Donnons un exemple On rencontre souvent des problèmes du type suivant: La longueur d'un rectangle mesure 10 cm et sa surface 50 cm", Quel est son périmètre? Ce problème ne comporte aucune recherche Par contre, si l'on remplace le mot « rectangle» par « parallélogramme» et «longueur» par «base», il y a une infinité de réponses: par exemple: l'enfant peut découvrir que le périmètre peut dépasser m ou km ou encore que le plus petit périmètre possible est celui du rectangle de longueur 10 et de largeur Le déroulement du travail appliqué la solution d'un problème (Expérience de M H Aebli) a) On pose le problème aux élèves en suggérant une discussion en commun jusqu'à ce qu'il soit bien clair et vivant dans l'esprit des élèves b) Ceux-ci s'engagent ensuite dans la recherche faite ou en commun (entretien libre) ou par équipes, ou individuellement c) Ils réalisent des actions effectives (actions directes, inverses, associatives) d) Ils représentent graphiquement ces actions e) Ils repensent les opérations effectuées et ils expriment symboliquement ce qu'ils ont fait par des signes en effectuant les opérations arithmétiques Les interventions du mtre se réduisent au minimum: le problème étant bien saisi par l'enfant, et le cadre de la recherche bien établi, l'élève comprend la contribution du mtre comme une simple aide, car son intervention n'est pas comme un véhicule qui transporterait la pensée de l'élève vers un but connu du mtre seul Les résultats, après la période de recherche libre, doivent toujours être rapportés par équipes ou par les travailleurs individuels, et c'est alors que le mtre a l'occasion d'intervenir en corrigeant les données trouvées et en les complétant Les solutions fausses des élèves doivent être étudiées soigneusement dans la classe pour que les élèves comprennent les raisons qui font qu'un certain procédé n 'est pas correct et saisissent exactement les différences et les rapports entre la réaction correcte et l'erreur 1 Voir H Acbli: « Didactique psychologique », Delachaux ct Niestlé, Neuchâtel , Paris, 1951, pp 84-85 133 Conclusion générale Par cette étude, nous avons pu présenter le rendement scolaire des élèves des écoles primaires de Jannina (Grèce) concernant les Tables , les opérations arithmétiques et le raisonnement mathématique utili sé pour la résolution des problèmes concrets de vie Nous avo ns auss i étudié les autres facteurs du rendement scolaire (Plans d'études, manuels scolaires, matériel didactique, mtres , parents) et nous avons essayé d'éclaircir notre étude par des éléments d'ordre psychologique en arrivant enfin formuler des conséquences pédagogiques Les constatations faites dans notre étude ne nous permettent pas d'affirmer que l'école primaire a pu contribuer suffisamment établir une base solide pour l'évolution future de la science mathématique, ni qu'elle ait procuré aux enfants les bienfaits d'ordre éducatif que peut leur apporter l'enseignement du calcul (Voir: a) recherches en Belgique, en Grèce, b) conséquences pédagogiques sur les problèmes concrets de vie (§ 3, 4) Un certain nombre d 'éléments nous paraissent avoir contribué donner notre étude son caractère scientifique Rappelons-les brièvement: le nombre des élèves examinés , la possibilité de comparer les résultats obtenus par les enfants avec ceux obtenus par les adultes ayant une instruction primaire et avec ceux aussi des étudiants-futurs instituteurs, les données relatives notre sujet d'étude, découlant des autres recherches faites dans d'autres régions de la Grèce et dans d 'autres pays, l'utilisation des éléments statistiques et de la méthode clinique dans notre recherche L'analyse des fautes commises par les élèves dans leurs réponses nos tests fut un bon procédé pour déceler les difficultés des élèves au calcul Ce procédé est reconnu comme efficace aussi par d'autres chercheurs M R Dottrens prétend: « C'est par le dépouillement systématique des erreurs commises qu'on peut conntre le degré de fréquence de celles-ci, leur nature, et par voie d'analyse, arriver en déterminer la cause On acquiert de cette manière une connaissance précise des difficultés auxquelles s'achoppe chacun des élèves, ce qui le rend capable d'agir en conséquence » Notre tâche, du point de vue scientifique d 'une part, prend le sens d'un essai de conciliation entre la pédagogie expérimentale et la didactique psychologique et, d'autre part, du point de vue pédagogique, elle peut avoir une valeur pratique en essayant de formuler une méthodologie de l'arithmétique pour l'école primaire Cette dernière se fonderait sur les éléments suivants: l'exercice des enfants sur les opérations logiques précédant les opérations arithmétiques, l'utilisation d'un matériel didactique permettant d'effectuer des opérations arithmétiques, l'enseignement de ces opérations selon un ordre de difficulté croissante, et le traitement thérapeutique des défaillances l'aide d'exercices adaptés aux possibilités de chaque élève Grâce aux conséquences pédagogiques de notre étude, les réformateurs des Plans d 'études, les auteurs des manuels scolaires et les responsables de la formation des instituteurs pourront , peut-être, découvrir certains éléments propres les aider dans leur travail Enfin, ce travail sera, espérons-le, utile aux élèves eux-mêmes car, nous pouvons le dire avec M R Dottrens 2, il s'agira toujours de travaux entrepris dans un esprit de respect l' égard de l'enfant, mais en même temps exécutés avec l'espoir et le désir mt im e de lui permettre de parvenir, demain , sa pleine stature d'homme : ~ Do nren s : « L 'amelioration des programmes sco laires ", Delachaux el Niestl é, Neuch âtel, 19S1, p IS6 Dela" h" :~r ~I \,~~~~r';.;~~c~~~t';~~: ~~ d~~~{trl':iJ.1946 134 " L 'a mélio tio n des programmes scolaires - , 19S1, Bibliographie AEBLI, H , «La didactique psychologique », Delachaux et Niestlé, Paris, Neuchâtel 1951 AUDEMARS, M et LAFENDEL, L., «La maison des petits », Delachaux et Niestlé, Paris, Neuchâtel 1950 (2e éd.) 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