Luận văn thạc sỹ cách tiếp cận mới hệ thức euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM QUANG THƯ CÁCH TIẾP CẬN MỚI HỆ THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2022 i Danh mục hình 1.1 X tam giác 1.2 a) X cạnh tam giác; b) X tam giác 1.3 X ngồi đường trịn (ABC) 1.4 Hệ thức Euler thứ hai 1.5 Olympic Toán 30-4, 2011 1.6 Ba đường thẳng Euler đồng quy 10 1.7 Bổ đề Poncelet 15 1.8 Mở rộng Bổ đề Poncelet 16 1.9 Trường hợp n = 17 1.10 Trường hợp d ≤ r : a)a2min b) a2max 19 1.11 Chứng minh điều kiện đủ 20 1.12 Trường hợp d > r: a2min a2max 20 1.13 a = 2R 21 1.14 Khi R1 ≤ d − r, tồn tiếp tuyến chung 21 1.15 ∆A1 B1 C1 ∆A2 B2 C2 23 1.16 Dựng tam giác biết R, r, h 24 1.17 R + r − d ≤ ℓ ≤ R + r + d 25 2.18 Vận tốc góc 28 2.19 Tam giác đường tròn 30 2.20 A1 tiến đến trùng với A4 30 2.21 Chứng minh đẳng thức (2.15) 33 ii 2.22 Tam giác Euler nhận O1 O2 làm trục đối xứng 34 2.23 Hình cánh diều 35 2.24 Định lý Fuss 36 2.25 Ngũ giác Euler 38 2.26 Lục giác Euler 39 2.27 O1 ∈ (O2 , r) 41 2.28 Tứ giác Euler hình thang n P ~ 2.29 Tổng véc tơ S = ~rk 42 2.30 Hướng hai véc tơ trùng 44 2.31 Tổng thứ hai I2 = 46 2.32 Tính góc β, γ, ǫ 50 2.33 Biết R, a, b tính r, d 52 2.34 Tứ giác Euler hình thang 53 k=1 43 iii Mục lục Chương Hệ thức Euler tam giác Euler 1.1 Hai hệ thức Euler tam giác 1.2 Tam giác Euler tồn Chương Đa giác hai đường tròn 2.1 Vận tốc gia tốc góc chuyển động trịn 3 14 27 27 2.1.1 Vận tốc góc 27 2.1.2 Gia tốc góc 28 2.2 Tam giác hai đường tròn 29 2.3 Đa giác đường tròn Các bất biến trượt 31 2.4 Ứng dụng 46 Tài liệu tham khảo 55 iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học khoa học hướng dẫn PGS TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phịng Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy, người ln dành thời gian, tận tình giải đáp, góp ý tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo-QHQT, q thầy giáo giáo Khoa Tốn - Tin trường đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập Trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới BGH Hội đồng giáo viên trường THCS An Đồng, An Dương, Hải Phịng gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 07 năm 2021 Người viết luận văn Phạm Quang Thư v MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Ký hiệu (ABC) R r d (O, R) (I, r) (Ia , ) (Ib , rb ) (Ic , rc ) SG k ℓ ω → − β → − a b k = Ak B k ϕk = A\ k O1 O2 ϕ′ k = (ϕk )′t = ωk αk = ϕk+1 − ϕk ρ = Rr δ = Rd Nội dung ký hiệu Trang Đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Bán kính đường trịn ngoại tiếp Bán kính đường trịn nội tiếp Khoảng cách OI tâm Đường tròn ngoại tiếp tâm O 14 Đường tròn nội tiếp tâm I 14 b Đường trịn bàng tiếp góc A 14 b Đường trịn bàng tiếp góc B 14 b Đường trịn bàng tiếp góc C 14 Diện tích ta giác pedal 15 Số phần tử n−giác 19 Độ dài phân giác góc A 28 Vận tốc góc tức thời 30 Gia tốc góc Gia tốc dài Độ dài đoạn thẳng tiếp tuyến Góc O1 Ak đường O1 O2 Vận tốc góc bán kính Rk Góc tia O1 Ak O1 Ak+1 Tỉ số r R Tỉ số d R 31 32 33 33 33 34 36 36 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Hệ thức Euler d2 = R2 − 2Rr hệ thức hình học tiếng, khai thác thường xuyên ứng dụng vào giải toán hay Tham kho bi bỏo [5] ca éỷổốờ ẹợũớốữồớờợ tơi nghiên cứu trình bày cách tiếp cận hệ thức dựa khái niệm "các bất biến trượt" Đây cách tiếp cận hồn tồn mới, mở rộng hệ thức cho trường hợp tứ giác, ngũ giác, lục giác nhiều Đề tài mang tên "Cách tiếp cận hệ thức Euler ứng dụng" Mục đích đề tài là: - Từ khái niệm "trượt đa giác đường trịn" dẫn tới "các bất biến trượt" tìm mối liên hệ đại lượng R, r khoảng cách d tâm đường tròn, xuất hệ thức Euler tam giác không theo cách truyền thống - Mở rộng hệ thức Euler cho tứ giác, ngũ giác, lục giác "nguyên tắc suy diễn (⋆)" Đó cách tiếp cận hệ thức Euler hồn tồn - Bồi dưỡng lực sáng tạo, tìm tịi dạy học chuyên đề khó trường THCS THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi mơn Hình học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Sau trình bày hệ thức Euler thứ thứ hai, luận văn sâu trình bày tốn tìm điều kiện để tồn tam giác Euler Trong chương chúng tơi trình bày tốn mở rộng hệ thức Euler thứ hai tứ giác, ngũ giác lục giác Với cách làm thu hệ thức Euler tương ứng cho tứ giác (chính hệ thức Fuss), cho ngũ giác cho lục giác Tài liệu tham khảo hai báo [4], [5] Phần việc tổng hợp, xếp nội dung theo chủ ý chi tiết hóa phép chứng minh Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Hệ thức Euler tam giác Euler Trình bày hệ thức Euler thứ (còn gọi hệ thức Euler tam giác pedal) Từ chứng minh hệ thức Euler thứ hai, hệ thức quan trọng giữ vai trò trọng tâm nội dung luận văn Đối với tam giác Euler tồn chứng minh dựa vào Định lý Poncelet Ở chương trình bày chi tiết điều kiện để tồn Nội dung bao gồm mục sau: 1.1 Hai hệ thức Euler tam giác 1.2 Tam giác Euler tồn Chương Đa giác hai đường tròn Khái niệm vận tốc góc gia tốc góc chuyển động trịn có Vật lý Sự chuyển động tam giác (đa giác) trượt đường trịn chuyển động tròn Vật lý Sau định nghĩa đa giác Euler, khái niệm "trượt đa giác", "bất biến trượt", luận văn trình bày ý tưởng xây dựng hệ thức Euler tứ giác (kết tìm trùng với hệ thức Fuss), ngũ giác lục giác Kết n−giác, n ≥ tìm theo cách hệ thức tìm phức tạp Chương bao gồm mục sau: 2.1 Vận tốc gia tốc góc chuyển động trịn 2.2 Tam giác đường tròn 2.3 Đa giác đường tròn Các bất biến trượt 2.4 Ứng dụng Chương Hệ thức Euler tam giác Euler 1.1 Hai hệ thức Euler tam giác Giả sử X điểm tùy ý mặt phẳng, Xa , Xb , Xc hình chiếu X cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tam giác Xa Xb Xc gọi tam giác Pedal Ta trình bày hệ thức Euler: Hệ thức Euler thứ hệ thức Euler thứ hai Trước phát biểu chứng minh hệ thức Euler thứ ta xét bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1 Cho X điểm tùy ý mặt phẳng tam giác ABC Gọi A′ , B ′ , C ′ giao điểm đường thẳng AX, BX, CX với đường trịn (ABC) Khi tam giác A′ B ′ C ′ đồng dạng với tam giác pedal Xa Xb Xc Hình 1.1: X tam giác Chứng minh Chia làm trường hợp: X nằm trong, nằm nằm ngồi đường trịn (ABC) + Trường hợp X nằm đường tròn (ABC) Khi X nằm tam giác, hình 1.1 Ta có điểm X, Xb , A, Xc nằm đường \ \ trịn nên XX b Xc = XAXc (góc nội tiếp chắn cung) Tương tự, ′ ′ ′ ′ ′ \ \ \ \ \′ X\ a Xb X = Xa CX Nhưng A B B = A AB BB C = BCC (do ′ B ′ C ′ = X\ góc nội tiếp chắn cung) Bởi vậy, A\ a Xb Xc Tương ′ ′ ′ ′ A′ C ′ = X\ tự có B\ b Xa Xc ta suy ∆A B C ∼ ∆Xa Xb Xc theo trường hợp có cặp góc Lý luận cho trường hợp X nằm cạnh tam giác nằm tam giác, đường trịn (ABC), hình 1.2 a), b) Hình 1.2: a) X cạnh tam giác; b) X tam giác + Giả sử X nằm ngồi đường trịn (ABC), hình 1.3 \ Ta có điểm X, Xa , C, Xb nằm đường tròn nên XX b Xa = \a Mặt khác, X, Xc , Xb , A nằm đường tròn nên XCX ′ ′ ′ ′ ′ ′ \ = XX \ \ \ \ \ XAB b Xc Nhưng XAB = A CB , từ đó, A B C = A CC = ′ CB − C ′ CB = XX \ \ \ \ \ A b Xc − XXb Xa = Xa Xb Xc Xét thêm đẳng thức góc: π \ \ \ = XX (1.1) c Xb + Xb Xa Xc + Xc Xa C \ \ Từ tứ giác nội tiếp XXa CXb ta có: XX a Xb = XCXb Mặt khác, \ XXa BXc tứ giác nội tiếp nên X\ c Xa B = Xc XB từ tam giác 25 biểu diễn theo R, r, α ℓ hàm biến α: 8Rrs cos α2 8Rr cos α2 a = s ℓ= 2s − a 2R sin α(2s − 2R sin α)   4r cos α2 r   + 2R sin α = 2r tan α2 + 2R sin α sin α tan α2 2Rr sin α2 r = + sin α2 r + 2R sin2 α2 Hình 1.17: R + r − d ≤ ℓ ≤ R + r + d Lấy vi phân theo α, ta có: cos α2 R cos α2 (r − 2R sin2 α2 ) ℓ′ (α) =− + r sin2 α2 (r + 2R sin2 α2 )2 cos α2 (r2 + 2Rr sin2 α2 + 8R2 sin4 α2 ) =− < (với < α < 1800 ) α 2 α (2 sin (r + 2R sin ) ) Do đó, ℓ(α) đơn điệu giảm đoạn [αmin , αmax ] từ ℓmax = R + r + d đến ℓmin = R + r − d Nhận xét Trong trường hợp tổng quát, thước compa dựng tam giác cho trước R, r ℓ Thật vậy, t = sin α2 26 ta có phương trình: 2Rℓt3 − 4Rrt2 + rℓt − r2 = Lấy R = 3, r = ℓ = (một tam giác tồn theo mệnh đề 1.6), ta có 30t3 − 12t2 + 5t − = Có thể dễ dàng kiểm tra phương trình khơng có nghiệm hữu tỷ Điều chứng tỏ việc dựng thước compa trường hợp 27 Chương Đa giác hai đường tròn Để mở rộng hệ thức Euler (1.5) ta tam giác với cách tiếp cận khác Hy vọng với cách tiếp cận ta thu hệ thức Euler tứ giác, ngũ giác, Nội dung chương tham khảo chủ yếu [5] chúng tơi có bổ sung chi tiết phép chứng minh cố gắng giải thích nhằm làm rõ đường lối mở rộng 2.1 Vận tốc gia tốc góc chuyển động trịn 2.1.1 Vận tốc góc Xét chất điểm chuyển động theo quỹ đạo trịn Trong trường hợp vị trí chất điểm hoàn toàn xác định tọa độ góc ϕ Giả sử thời điểm ban đầu vị trí chất điểm xác định góc ϕ sau khoảng thời gian ∆t vị trí chất điểm xác định góc ϕ + ∆ϕ, từ người ta định nghĩa vận tốc góc tức thời ∆ϕ dϕ = ∆t→0 ∆t dt ω = lim (2.1) Đơn vị đo rad/s Vận tốc góc ω véc tơ, phương chiều xác định ω ~ = (~r × ~v ) , r2 (2.2) − đó, (~r × ~v ) tích véc tơ (tích có hướng) véc tơ ~r → v Từ (2.1) ta thấy ω ~ xác định theo quy tắc vặn nút chai: quay vặn nút chai cho cán quay từ ~r đến ~v chiều tiến mũi vặn nút chai cho ta chiều ω ~ Trên hình 2.1 ta thấy ω ~ có phương vng góc với mặt phẳng quỹ đạo chất điểm có chiều hướng lên 28 Hình 2.18: Vận tốc góc Khi quỹ đạo trịn, véc tơ vận tốc dài ~v ln vng góc với ~r, tức ~r ⊥ ~v , nên quy tắc nhân véc tơ cho ta ~r × ~v = r.v Do đó, từ (2.2) ta có: v (2.3) ω = ⇐⇒ v = ω.r r Từ (2.3) từ hình 2.1 ta có mối quan hệ vectơ ω ~ ~r: ~v = ω ~ × ~r 2.1.2 (2.4) Gia tốc góc Cũng tương tự, chuyển động trịn người ta định nghĩa gia tốc ~ đại lượng đặc trưng cho thay đổi vận tốc góc ω góc β ~ theo thời gian t (đơn vị đo rad/s2 ): d~ω β~ = dt (2.5) ~ gia tốc dài ~a = d~v chuyển Ta tìm quan hệ gia tốc góc β dt động trịn Từ (2.5) (2.2) ta có:     d~ r d ~ r × ~ v d~ v d~ ω = × ~v + ~r × = (~r × ~v ) = β~ = dt dt r2 r dt r dt dt 1 = (~v × ~v + ~r × ~a) = (~r × ~a) (vì ~v × ~v = ~0) r r 29 Thay ~a = ~at + ~an (~at ~an véc tơ gia tốc tiếp tuyến véc tơ gia tốc pháp tuyến) vào biểu thức ta có: 1 β~ = (~r × (~at + ~an )) = (~r × ~at + ~r × ~an ) r r = (~r × ~at ) (vì ~r × ~an = ~0) r (2.6) ~ ω Vì ~at ~v phương nên so sánh (2.6) với (2.2) ta suy β ~ ~ ω phương Khi chất điểm quay nhanh dần β ~ chiều, cịn chất điểm quay chậm dần chúng ngược chiều Về độ lớn, ~ = (~r × ~at ) ta suy ngay: β = at Trong chuyển ~r ⊥ ~at nên từ β r2 r động trịn at gia tốc dài chuyển động nên gia tốc dài gia tốc góc ta có mối quan hệ độ lớn: at = β.r Tóm lại chuyển động trịn chất điểm ta có hệ thức sau đại lượng: ω = ω0 + βt 2.2 Tam giác hai đường tròn Ta bắt đầu phép dựng sau: Giả sử có đường trịn thứ (O1 , R) đường tròn thứ hai (O2 , r) nằm đường tròn thứ Lấy tùy ý A1 ∈ (O1 , R), kẻ bán kính O1 A1 Từ A1 kẻ tiếp tuyến đến (O2 , r) cắt (O1 , R) A2 Tương tự từ A2 , A3 ta A3 , A4 , hình 2.2a Đương nhiên ta muốn A4 ≡ A1 để ∆A1 A2 A3 nhận (O1 , R) làm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời (O2 , r) làm đường trịn nội tiếp, hình 2.2 Nếu cố định R, d A1 điểm A4 trùng với A1 r đạt giá trị Giả sử vị trí ban đầu bán kính R1 = O1 A1 tạo với đường nối tâm góc ϕ1 có vận tốc góc ϕ′1 , hình 2.2b) Ta tìm vận tốc góc bán kính R4 ứng với điểm A4 Nếu vận tốc góc bán kính điểm A1 A4 trùng Xét chuyển động điểm A1 Giả sử vận tốc góc đường thẳng L1 L2 chứa cạnh a1 = A1 A2 , ωL Khi đó, ωL = ωa1 = ϕ′a1 Ta thấy vận tốc điểm B1 (tiếp điểm) khơng → − vận tốc tức thời đường thẳng L1 L2 Vận tốc chuyển dời V điểm A1 vng góc với đoạn B1 A1 = b1 có độ lớn |V~1 | = V1 = → − ωL B1 A1 = ϕ′a1 b1 Gọi V A1 vận tốc tuyệt đối điểm A1 có hướng → − trùng với hướng tiếp tuyến đường trịn lớn có độ lớn | V A | = |V~3 | = V3 = ω1 R = ϕ′1 R (Ở đây, ω1 = ϕ′1 vận tốc góc bán kính O1 A1 ) 30 Hình 2.19: Tam giác đường tròn → − Vận tốc tương đối V điểm A1 có hướng với hướng L1 L2 , cịn độ lớn ta khơng cần quan tâm Theo định lý cộng hai véc tơ ta có → − → − → − V = V + V , hình 2.3 Từ lượng giác ta có hệ thức Hình 2.20: A1 tiến đến trùng với A4 → − → − α1 V1 = V3 sin ∠( V , V ) = V3 sin (Ở α1 góc bán kính O1 A1 O1 A2 ) Thế giá trị V1 , V3 α1 α1 vào hệ thức thu được: ϕ′a1 b1 = ϕ′1 R sin Nhưng R sin = 2 31 a1 , ϕ′a1 b1 = ϕ′1 a1 (2.7) Xét tương tự chuyển động A2 điểm cạnh a1 , thu ϕ′a1 b2 = ϕ′2 a1 b2 = B1 A2 (2.8) Hoàn toàn vậy, ta nhận hệ thức vận tốc góc cạnh a2 , a3 bán kính O1 A3 , O1 A4 Cạnh a2 tính a2 = A2 A3 = A2 B2 + B2 A3 Nhưng A2 B2 = A2 B1 = b2 nên a2 = b2 + b3 , (b3 = B2 A3 ) Tương tự, a3 = A3 A4 = b3 + b4 , b4 = B3 A4 Đối với cạnh A2 A3 ta nhận đẳng thức a2 ′ a2 ′ ϕa2 b3 = ϕ3 ϕ′a2 b2 = ϕ′2 (2.9) (2.10) Đối với cạnh A3 A4 ta nhận đẳng thức a3 ′ a3 ′ ϕa3 b4 = ϕ4 ϕ′a3 b3 = ϕ′3 (2.11) (2.12) Các đẳng thức (2.7)-(2.12) viết thành 2ϕ′a2 2ϕ′a3 2ϕ′a1 ϕ′1 ϕ′2 ϕ′3 ϕ′4 = = = = = = a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 (2.13) ϕ′ ϕ′1 = suy ra: đường gấp khúc khép kín b1 = b4 b1 b4 vậy, vận tốc góc ϕ′1 ϕ′4 Từ ta kết luận rằng: Khi chuyển động dọc theo đường tròn ngoại tiếp đường gấp khúc khép kín (cụ thể tam giác) giữ ngun tính đóng kín Từ đẳng thức 2.3 Đa giác đường tròn Các bất biến trượt Với đa giác ta làm tam giác chứng minh n-giác đồng thời nội tiếp ngoại tiếp 32 trượt đỉnh dọc theo đường trịn ngoại tiếp đỉnh cịn lại trượt đường trịn đó, cạnh trượt đường tròn nội tiếp đa giác Tương tự tam giác Euler, ta có khái niệm đa giác Euler: Định nghĩa 2.1 [5] Đa giác A1 A2 An nhận đường tròn (O, R), (I, r) cho trước làm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp gọi đa giác Euler Trong [5], khái niệm chuyển động trượt đa giác hiểu sau: Định nghĩa 2.2 [5] Nếu đa giác chuyển động hai đường trịn cho ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đường tròn ta nói chuyển động chuyển động trượt hai đường tròn, đỉnh cạnh trượt dọc theo đường tròn tương ứng Ta coi đa giác đường gấp khúc khép kín A1 A2 An+1 với vận tốc góc ϕ′1 = ϕ′n+1 bán kính O1 A1 O1 An+1 Chú ý đẳng thức (2.13) viết tổng quát 2ϕ′ak ϕ′k = = c (k = 1, 2, , n) ak bk (2.14) Từ ta phát biểu thành mệnh đề 2ϕ′ak ϕ′k Mệnh đề 2.1 Hai tỷ số và không phụ thuộc ak bk vào số k Các kết dựa "nguyên tắc suy diễn (⋆)" sau: Khi trượt đa giác đại lượng R, r d khơng thay đổi nên ta tìm hệ thức liên quan đại lượng mà cần xét đa giác số cạnh với mà có dạng thích hợp Chữ "thích hợp nhất" hiểu tính tốn đa giác đơn giản nhất: chẳng hạn tam giác cân, hình thang cân, đa giác có tính chất nhận đường nối tâm O1 O2 làm trục đối xứng, Mục đích tìm hệ thức đại lượng R, r d trường hợp cụ thể cách áp dụng "nguyên tắc suy diễn (⋆)" nói −−−→ −−−→ r = ρ; Bổ đề 2.3.1 Ký hiệu ϕk = ∠(O1 Ak , O1 A0 ), k = 1, 2, , n; R d = δ Ta có đẳng thức sau: R ϕk+1 + ϕk ϕk+1 − ϕk = ρ + δ cos , k = 1, 2, , n (2.15) cos 2 33 Chứng minh Quan sát hình vẽ 2.4: Hình 2.21: Chứng minh đẳng thức (2.15) Ta biểu diễn yếu tố đa giác liên quan đến cạnh a1 = A1 A2 , gồm bán kính O1 A1 , O1 A2 , bán kính r = O2 B1 xuất phát từ tiếp điểm cạnh a1 với đường tròn nội tiếp Theo giả thiết ϕ1 = −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ∠(O1 A1 , O1 A0 ), ϕ2 = ∠(O1 A2 , O1 A0 ), (O1 A0 đường thẳng qua −−−→ −−−→ tâm) Khi α1 = ∠(O1 A1 , O1 A2 ) = A\ O1 A1 = ϕ2 − ϕ1 Đường cao O1 C1 tam giác A2 O1 A1 phân giác góc đỉnh O1 , α1 ϕ2 − ϕ1 A\ = O1 A1 = 2 ϕ2 + ϕ1 α1 \ \ C\ + ϕ1 = O1 A0 = C1 O1 A1 + A1 O1 A0 = 2 ϕ2 + ϕ1 Ta có O1 C1 = O1 K + KC1 = d cos + r (K hình chiếu ϕ2 − ϕ1 α1 = R cos Như O2 O1 C1 ) Mặt khác, O1 C1 = O1 A2 cos 2 nhận ϕ2 − ϕ1 ϕ2 + ϕ1 R cos = r + d cos (2.16) 2 r d Chia hai vế cho R, đặt ρ = , δ = ta có R R ϕ2 + ϕ1 ϕ2 − ϕ1 = ρ + δ cos (2.17) cos 2 Áp dụng yếu tố ak , k = 2, 3, , n ta điều phải chứng minh 34 Chú ý Công thức với đường gấp khúc khép kín khơng Nếu khép kín An+1 ≡ A1 ϕn+1 = ϕ1 + 3600 Bây ta tính ρ δ đa giác cụ thể: Tam giác Euler, tứ giác Euler, • Tính ρ δ tam giác: Vận dụng nguyên tắc suy diễn (⋆), ta coi dạng "thích hợp nhất" tam giác cân: Trên hình vẽ 2.5, tam giác A1 A2 A3 nhận O1 O2 làm trục đối r O2 B ρ α1 = xứng Với ký hiệu hình 2.5, ta có cos = = O2 A1 R−d 1−δ Ngồi ra, Hình 2.22: Tam giác Euler nhận O1 O2 làm trục đối xứng \ cos α1 = cos A\ O1 A1 = − cos C2 O1 A2 O1 C r−d =− =− = −(ρ − δ) O A2 R ρ2 α1 − nên −(ρ − δ) = − Vì cos α1 = cos (1 − δ)2 Từ ta nhận phương trình bậc hai ρ: 2ρ2 + ρ(1 − δ)2 − (1 − δ)2 (1 + δ) = Nghiệm dương phương trình R − d2 ⇐⇒ R2 − d2 = 2rR ρ = (1 − δ ) ⇐⇒ r = 2 R Công thức (2.18) hệ thức Euler tam giác • Tính ρ δ tứ giác Euler: (2.18) 35 Hình 2.23: Hình cánh diều Áp dụng "nguyên tắc thích hợp (⋆)" ta chọn tứ giác thích hợp hình 2.6: tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đồng thời nhận đường nối tâm làm trục đối xứng (hình cánh diều) Trong trường hợp ta có r O2 B ρ α1 = = = , O2 A1 R−d 1−δ r O2 B ρ α2 = = = cos O2 A3 R+d 1+δ α1 α2 Ngoài ra, α1 + α2 = 1800 ⇐⇒ + = 900 Bởi vậy, 2 ρ2 ρ2 α2 α1 + cos = ⇐⇒ + = cos 2 (1 − δ)2 (1 + δ)2 cos (1 − δ )2 1 − δ2 R − d2 Từ đó, ρ = ⇐⇒ ρ = √ √ ⇐⇒ r = √ √ + δ2 + δ2 R + d2 Ta 2r2 (R2 + d2 ) = (R2 − d2 )2 (2.19) Công thức (2.19) hệ thức Euler tứ giác Euler Có thể phát biểu thành Mệnh đề 2.2: Mệnh đề 2.2 Trong tứ giác Euler (cũng tứ giác song tâm) với r, R d bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp khoảng cách tâm, ta có 2r2 (R2 + d2 ) = (R2 − d2 )2 36 Bằng cách biến đổi đơn giản ta nhận hệ thức, mà hệ thức Fuss tứ giác: 1 = + r2 (R − d)2 (R + d)2 (2.20) Hình 2.24: Định lý Fuss Chứng minh trực tiếp hệ thức Fuss sau: Gọi tiếp điểm (I) AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Các đường thẳng BI, CI cắt (O) E F Áp dụng đẳng thức góc định hướng (DE, DF ) = (DE, DC) + (DC, DF ) = (BE, BC) + (DC, DF ) (BA, BC) + (DC, DA) π = = (mod π) 2 Do E, O, F thẳng hàng điểm O trung điểm EF Theo công thức đường trung tuyến tam giác IEF ta có: d2 = IO2 = IE IF IE IF EF + − = + − R2 2 2 37 Từ suy (R + d)2 + (R − d)2 2(R2 + d2 ) + = = (R − d)2 (R + d)2 (R2 − d2 )2 (R2 − d2 )2 IE + IF IE IF = = + (do cơng thức phương tích) (PI/(O))2 (PI/(O))2 (PI/(O))2 IF 1 IE + = + (vẫn cơng thức phương tích) = (IE.IB)2 (IE.IB)2 IB ID2 IM D IP B , sin = ) = !2 + !2 ( sin = IB ID IM IP sin B2 sin D2 D B B B sin2 cos2 + sin2 sin2 + = 2 = = r2 r2 r2 r2 • Tính ρ δ ngũ giác Euler: Áp dụng "nguyên tắc suy diễn (⋆)", ta chọn ngũ giác thích hợp ngũ giác nhận đường thẳng tâm O1 O2 làm trục đối xứng hình 2.8 Để giải tốn ta sử dụng đẳng thức đầu công thức (2.15), tức với k = 1, Trong trường hợp ϕ1 = 0, ϕ2 = α1 Đẳng ρ α1 = , đẳng thức với k = thức với k = viết thành cos 1−ρ viết thành ϕ3 − α ϕ3 + α cos = ρ + δ cos , hay δ (1 − δ) cos  α1 ϕ3 α1 ϕ3 cos + (1 + δ) sin sin =ρ 2 2 (2.21) α3  r−d O1 B α3 cos ϕ3 = cos 180 − =− =− = δ − ρ = − cos 2 O1 A3 R Bước biến đổi tiếp theo: Thay vào (2.21) giá trị hàm lượng giác: r r + cos ϕ3 1+δ−ρ ϕ3 cos = = , 2 r r − cos ϕ3 1−δ+ρ ϕ3 = = , sin 2 v u u ρ2 s p u − α1 − cos2 α1 t (1 − δ)2 − ρ2 (1 − δ)2 sin = = = , 2 1−ρ 38 Hình 2.25: Ngũ giác Euler ta nhận r r 1+δ−ρ 1+δ 1−δ−ρ ρ + (1 − δ + ρ) = ρ 1−δ (2.22) Chuyển biến r, R d, (2.22) trở thành r  r R−d−r r R+d−r R+d R−d+r r + = R 2R R−d R 2R R √ √ √ R+d (R − d − r) R − d − r = r 2R ⇐⇒ r R + d − r −   R−d q √ √ R+d ⇐⇒ R + d − r r − (R − r)2 − d2 = 2R R−d Bình phương vế ta 2  q R+d (R − r)2 − d2 = 8R (R + d − r) r − R−d (2.23) Ta gọi (2.23) hệ thức Euler ngũ giác Euler phát biểu thành: Mệnh đề 2.3 Trong ngũ giác Euler với r, R d bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp khoảng cách tâm, ta có 2  q R+d (R − r)2 − d2 = 8R (R + d − r) r − R−d 39 Nếu khử biến đổi phương trình bậc ρ: 8δ ρ3 + 4(1 − δ )ρ2 − 2ρ(1 − δ )2 + (1 − δ )3 = − δ2 ta nhận phương trình bậc y Đặt y = 2ρ y + y − y − δ = • Tính ρ δ lục giác Euler: Xét lục giác Euler với O1 O2 trục đối xứng hình 2.9 Sử dụng đẳng thức (2.15) với k = 1, 2, Hình 2.26: Lục giác Euler Vì ϕ1 = (do đó) ϕ2 = α1 nên đẳng thức thứ nhất, thứ hai, thứ ba viết thành ρ α1 = 1−ρ α1 ϕ3 α1 α3 + (1 + δ) sin sin =ρ (1 − δ) cos cos 2 2 ϕ1 − ϕ3 ϕ4 + ϕ3 cos = ρ + δ cos 2 ϕ3 ρ Vì ϕ4 = 1800 nên đẳng thức cuối trở thành sin = Bằng 1+δ cos