Luận văn thạc sỹ một số bất đẳng thức đối với hàm lượng giác, hàm hyperbolic và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN CÔNG HUY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN CÔNG HUY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn “Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng” thân thực theo logic riêng hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2021 Học viên thực Nguyễn Công Huy i Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số lượng giác-Hàm hyperbolic 1.2 Định nghĩa hàm lượng giác, hàm hyperbolic 1.3 Các trung bình hai biến 1.4 Khai triển hàm lượng giác hàm hyperbolic thành chuỗi tổng quát 13 14 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG 2.1 Một số bất đẳng thức hàm lượng giác 2.2 Áp dụng 2.3 Một số bất đẳng thức hàm hyperbolic 2.4 Áp dụng 2.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic 2.6 Áp dụng 16 16 28 34 44 49 56 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC HÀM HYPERBOLIC MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG 3.1 Một số bất đẳng thức 3.2 Áp dụng Kết luận Tài liệu tham khảo 60 60 67 71 72 VÀ MỞ ĐẦU Vào kỉ 16, nhà toán học Châu Âu bắt đầu tạo bước tiến mà không cần biết đến nơi khác giới, tới mức ngày Một bước tiến phát triển lượng giác Do nhu cầu cấp thiết định hướng vẽ đồ xác cho khu vực rộng lớn, lượng giác phát triển thành ngành lớn toán học Cùng với xuất hình học vào kỉ 19, hình học hyperbolic Những lý thuyết hàm lượng giác hàm Hyperbolic có vị trí quan trọng tốn học giải tích hàm, tốn ứng dụng, hình học, tính tích phân, giải phương trình vi phân tuyến tính, Do đó, khơng phải ngẫu nhiên mà bất đẳng thức lượng giác nhà toán học giới quan tâm cơng bố nhiều cơng trình tạp chí tốn học Journal of Mathematical Inequalities; Mathematical Inequalities and Applications, Cụ thể, toán học đại phải kể đến giáo sư người Trung quốc Ling Zhu, nghiên cứu làm nên tên tuổi ông việc nghiên cứu bất đẳng thức Jordan, Redheffer, Wilker Shafer-Fink số bất đẳng thức hàm lượng giác hàm hyperbolic khác ([8],[10]) Và với giáo sư Liu Jianjun người Trung Quốc, nghiên cứu lĩnh vực Tốn ứng dụng, có đóng góp việc nghiên cứu bất đẳng thức lượng giác có trọng ([5]) Ngồi ra, cịn có nhiều nhà Toán học khác Riku Klén, M.Visuri, M Vuorinen, Xiaohui Zhang ([6],[7]), Những toán bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic dạng tốn thường gặp ,những dạng tốn khó học sinh trung học phổ thông, thường dạy số trường chuyên Do việc giảm tải chương trình phổ thơng nên tài liệu bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic viết Để có nhìn tổng quan chi tiết tổng kết kết đạt bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic ứng dụng giải tốn có liên quan đến vấn đề này, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" Luận văn "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu định nghĩa, tính chất quan trọng hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở rộng chúng Đồng thời, nhắc lại định nghĩa trung bình số học, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình identric Chương Bất đẳng thức hàm lượng giác; hàm hyperbolic áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết bất thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic quan trong; bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic; với tập áp dụng Chương Bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic mở rộng áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết bất thức hàm lượng giác; hàm hyperbolic mở rộng áp dụng Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Đinh Thanh Đức - giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy giảng dạy lớp Phương pháp tốn sơ cấp, trường Đại học Quy Nhơn toàn thể quý thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù chúng tơi cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2021 Học viên thực Nguyễn Công Huy Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để chuẩn bị cho chương tiếp theo, ta cần nắm lại kiến thức định nghĩa, tính chất quan trọng hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở rộng chúng Ngoài ra,chúng ta cịn phải biết cơng thức mở rộng chuỗi hàm lượng giác hàm hyperbolic để nhằm mục đích đánh giá bất đẳng thức chương Đồng thời, chúng tơi trình định nghĩa trung bình số học, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình đồng ([1],[3],[4],[6],[12],[13]) 1.1 Hàm số lượng giác-Hàm hyperbolic Định nghĩa 1.1.1 Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sin x sin :R → R x 7→ y = sin x gọi hàm số sin Kí hiệu y = sin x Hàm số y = sin x có tính chất sau - Có tập giá trị: [−1; 1] - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu  kì 2π  π - Đồng biến khoảng − + k2π; π + k2π nghịch biến  khoảng  π 3π + k2π; + k2π , k ∈ Z 2 Định nghĩa 1.1.2 Quy tắc đặt tương số thực x với số thực cos x cos :R → R x 7→ y = cos x gọi hàm số cosin Kí hiệu y = cos x Hàm số y = cos x có tính chất sau: - Có tập giá trị: [−1; 1] - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π - Đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) nghịch biến khoảng(k2π; π + k2π) , k ∈ Z - (cos x)0 = − sin x Định nghĩa 1.1.3 Hàm số tang xác định công thức y= sin x cos x (cos x 6= 0) Kí hiệu y = tan x  Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \  π + kπ, k ∈ Z Hàm số y = tan x có tính chất sau: - Có tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π π −π + kπ; + kπ), k ∈ Z - Đồng biến khoảng ( 2 - (tan x)0 = = + tan2 x cos x Định nghĩa 1.1.4 Hàm số cotang xác định công thức cos x (sin x 6= 0) y= sin x Kí hiệu y = cot x Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} Hàm số y = cot x có tính chất sau - Có tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì π - Nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z - (cot x)0 = − = −(1 + cot2 x) sin x Định lý 1.1.5 [1]Giả sử hàm số y = f (x) xác định, đồng biện nghịch biến liên tục khoảng X Khi khoảng Y giá trị tương đương hàm số đó, tồn hàm ngược x = g(y) hàm đồng biến nghịch biến, liên tục khoảng Theo Định lý 1.1.5, ta định nghĩa hàm lượng giác ngược hàm lượng giác y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x sau Định nghĩa 1.1.6 [4]   π π Hàm số y = sin x hàm đồng biến, liên tục − ; Khi tồn 2 hàm ngược y = arcsin x xác định sau π y = arcsin x ⇔ x = sin y, |x| ≤ 1, |y| ≤ , Rx arcsin x = √ dt, |x| ≤ 1 − t2 Định nghĩa 1.1.7 [4] Hàm số y = cosx hàm nghịch biến, liên tục [0; π] Khi tồn hàm ngược y = arccos x xác định sau π y = arccos x ⇔ x = cos y, |x| ≤ 1, |y| ≤ , R1 arccos x = √ dt, |x| ≤ 1 − t2 x 47 Định lý 2.4.4 [8] Cho p > Khi (1) Nếu < p ≤ 6/5, αAp (x, y) + (1 − α)Gp (x, y) < I P (x, y) < βAp (x, y) + (1 − β)Gp (x, y), (2.39) α ≤ 2/3 β ≥ (2/e)p (2) Nếu p ≥ 2, αAp (x, y) + (1 − α)Gp (x, y) < I p (x, y) < βAp (x, y) + (1 − β)Gp (x, y), (2.40) α ≤ (2/e)p β ≥ 2/3 Chứng minh Ta có I p (x, y) − Gp (x, y) e(t coth t−1)p − = ≡ J(t), t > Ap (x, y) − Gp (x, y) (cosh t)p −
q1 (t) − q1 0+ Đặt J(t) = , với q1 (t) = e(t coth t−1)p , r1 (t) = (cosh t)p + r1 (t) − r1 (0 ) Khi sinh 2t − 2t q10 (t) (t coth t−1)p e ≡ k(t) = r10 (t) (cosh t)p−1 (sinh t)3 Ta có k (t) e(t coth t−1)p p(sinh 2t − 2t)2 + 2(cosh 2t − 1)2 4(cosh t)p−1 (sinh t)5 −2(p − 1)(sinh 2t − 2t)(sinh t)2 t − sinh 2t(sinh 2t − 2t) + 4(cosh t)p−1 (sinh t)5 p(sinh 2t − 2t)2 + 2(cosh 2t − 1)2 = 4(cosh t)p−1 (sinh t)5 (cosh 2t − 1) sinh 2t −(p − 1)(sinh 2t − 2t) cosh 2t + + p−1 4(cosh t) (sinh t)5 −3 sinh 2t(sinh 2t − 2t) + 4(cosh t)p−1 (sinh t)5 = 48 = u(t) , 4(cosh t)p−1 (sinh t)5 (cosh 2t + 1) u(t) = p(sinh 2t − 2t)2 (cosh 2t + 1) + 2(cosh 2t − 1)2 (cosh 2t + 1)− 2(p−1)(sinh 2t−2t)(cosh 2t−1) sinh 2t−3 sinh 2t(sinh 2t−2t)(cosh 2t+1) Đặt w = 2t, (w > 0) v(w) = u(t) = p(sinh w − w)2 (cosh w + 1) + 2(cosh w − 1)2 (cosh w + 1) − 2(p − 1)(sinh w − w)(cosh w − 1) sinh w − sinh w(sinh w − w)(cosh w + 1) = (2 − p)w sinh 2w + pw2 cosh w + (p − 3)(cosh 2w − 1) + (4 − 3p)w sinh w + pw2   ∞ ∞ ∞ 2k 2k+1 2k X X X (2w) 2−p (2w) (w) w + pw2 + (p − 3)  − 1 = (2k + 1)! (2k)! (2k)! k=0 k=0 k=0 ∞ X (w)2k+1 + (4 − 3p)w + pw2 (2k + 1)! k=0 = ∞ X a2k w2k , k=3   (k − 3)22k + 8k − a2k =  = k    ! k − 22k + 8k − 4k p (2k)!  2k  − + 8k − 4k  (k − 3)22k + 8k    − p  k (2k)! 2k 2 − + 8k − 4k Do I(x) ≡ (x − 3)22x + 8x /
 x  − 22x + 8x − 4x2  tăng chặt từ [3, +∞) vào [6/5, 2), ta có hai trường hợp sau: (i) Nếu < p 6/5, ta có a2k > (đẳng thức xảy k = ) v(w) ≡ u(t) > Vì q10 (t)/r10 (t) = k(t) tăng (0, +∞) Điều dễ đến J(t) tăng (0, +∞) Bổ đề 2.3.1 Đồng thời, ta 49 có limt→0+ J(t) = 2/3 limt→+∞ J(t) = (2/e)p Vì ý (1) Định lý 2.4.4 hoàn thành (ii) Nếu p > 2, ta thực tương tự để thu ý (2) Định lý 2.4.4 Ý (2) định lý 3.2.4 kết Trif Khi cho p = β = 2/3 vào bất đẳng thức bên phải (3.10), ta có kết Sándor Trif I (x, y) < A2 (x, y) + G2 (x, y) 3 Khi lấy p = bất đẳng thức kép (3.9),ta lại có hệ sau Hệ 2.4.5 [8] Cho x y số thực dương với x 6= y Khi αA(x, y) + (1 − α)G(x, y) < I(x, y) < βA(x, y) + (1 − β)G(x, y), α ≤ 2/3 β ≥ 2/e Khi cho α = 2/3 bất đẳng thức bên trái hệ (2.4.5),ta lại có kết Sándor A(x, y) + G(x, y) < I(x, y) 3 Trong mục 2.3 mục 2.4, Từ việc đưa bất đẳng thức kiểu Cusa cho hàm hyperbolic, áp dụng cụ thể tạo bất đẳng thức liên quan đến trung bình 2.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic Trong phần này, liên quan đến bất đẳng thức Jordan cổ điển: π x ≤ sin x ≤ x, < x < π (2.41) bất đẳng thức tiếng Baricz + cos x sin x + cos x ≤ ≤ x (2.42) 50 Nhận xét 2.5.1 [7] (1) Cho g1 (x) = + cos x x sin x + , g2 (x) = + cos x Ta có g1 (x) − g2 (x) > on (0, π/2)
x cos x d g1 (x) − g2 (x) = > dx Ta có với x ∈ (0, π/2) sin x ≥ g1 (x) x Do (1+2 cos x)/3+(x sin x)/6 chặn tốt (2.42) (sin x)/x với x ∈ (0, π/2) (2) Ta có + cos x + cos2 (x/2) − x = ≤ cos 3 (2.43) Đẳng thức cos(x/2) = (3 ± 1)/4 Vậy, (2.43) cho tất x ∈ (−2π/3, 2π/3) Cùng với (2.42) có cos2 x + cos x = > cos x 2 Tiếp theo, tìm giới hạn tốt cho sin x/x cách sử dụng hàm hyperbolic Định lý 2.5.2 [7]Với x ∈ (0, π/2), ta có sin x x < < cosh x x sinh x (2.44) Chứng minh Chặn sin x/x f (x) = sin x cosh x − x dương (0, π/2) Vì f 00 (x) = cos x sinh x Ta có f 00 (x) > với x ∈ (0, π/2) f (x) tăng (0, π/2) Vì vậy, f (x) = cos x cosh x + sin x sinh x − > f (0) = 0, 51 hàm f (x) tăng (0, π/2) Suy f (x) > f (0) = với x ∈ x (0, π/2) Chặn sin x/x g(x) = x2 − sin x sinh x sinh x dương (0, π/2) Ta đặt h(x) = tan x − x Vì cos x < < cosh x với x ∈ (0, π/2) Ta có h0 (x) = cosh−2 x − cos−2 x > h(x) > h(0) = với x ∈ (0, π/2) Suy g 000 (x) = 2(cos x cosh x)h(x) dương (0, π/2), cos x cosh x > h(x) > với x ∈ (0, π/2) Do g 00 (x) = 2(1 − cos x cosh x) > g(0) = 0, g (x) = 2x − cos x sinh x − sin x cosh x > g (0) = với x ∈ (0, π/2) Suy g(x) > g(0) = với x ∈ (0, π/2) Định lý 2.5.3 [7]Với x ∈ (0, π/2) ta có x2 sin x x < < x sinh x sinh x (2.45) Chứng minh Chặn sin x/x hiển nhiên Định lý 2.5.2 Chặn sin x/x hàm f (x) = sin x sinh2 x − x3 dương (0, π/2)
3 Giả sử x ∈ (0, π/2) Vì sin x > x − x /6 = 6x − x /6 ta có f (x) >  
6x − x3 sinh2 x /6 − x3 Ta đặt − x2 sinh2 x − x2 g(x) = Suy g(x) > tương đương √ sinh x >√ x − x2 Vì x−1 sinh x > + x2 /6 đủ cho thấy + x2 /6 >
x2 −x4 − 6x2 + 36 > √ √ 6/ − x2 , (2.46) 52
Ta đặt h(x) = −x4 − 6x2 + 36 Suy h0 (x) = −4x x2 + h0 (x) 6= h(x) > min{h(0), h(π/2)} > Do bất đẳng thức (2.46) với x ∈ (0, π/2) Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, ta x ∈ (0, 1), chặn (2.42) tốt chặn Định lý 2.5.2 Định lý 2.5.4 [7] (i) Với x ∈ (−1, 1), + cos x x ≤ sinh x (ii) Với x ∈ (−π/2, π/2), 1 + cos x x ≤ = cos2 cosh x 2 Chứng minh (i) Hiển nhiên f (x) = 3x−2 sinh x−sinh x cos x không âm [0, 1) Bằng cách tính đơn giản, ta có f 00 (x) = 2(cosh x sin x− sinh x) Bất đẳng thức f 00 (x) ≥ tương đương sin x ≥ x Bởi mở rộng sin x x ta đưuọc   (n−1)/2 n+1 k+1 (−1) (n + 1) − 2 − Bn+1 X xn sin x − x = (n + 1)! n≥3,n=1(mod 2) X = cn xn , n≥3,n=1( mod 2) Bj số Bernoulli thứ j Bởi tính chất số Bernoulli c1 = 1/6, c3 = −1/8, hệ số cn , với n ≡ 1, tạo thành chuỗi xen kẽ, |cn xn | → n → ∞ |c2m+1 | > |c2m+3 | với m ≥ Do theo tiêu chuẩn Leibniz sin x − x ≥  x3 x5 x3  − = − 3x2 24 sin x ≥ x x ∈ [0, 1) Suy f (x)là hàm lồi [0, 1) f (x) không giảm [0, 1) với f (0) = Do f (x) không giảm f (x) ≥ f (0) = (ii) Hiển nhiên g(x) = cosh x(1 + cos x) − không âm [0, π/2) 53 Bằng cách mở rộng cos x, ta có cos x − + x2 /2 ≥ cách mở rộng chuỗi cosh x ! x g(x) ≥ + (1 + cos x) − 2 x2 x2 cos x + = cos x − + 2 x ≥ cos x − + ≥0 ta có điều cần chứng minh Tiếp theo ta tìm chặn chặn cho hàm x/ sinh x cosh x Định lý 2.5.5 [7]Với x ∈ (−π/2, π/2), ta có x2 sin x 2x2 1− ≤ ≤ − x 3π (2.47) Chứng minh Từ mở rộng chuỗi sin x, ta có sin x x2 ≥1− x Do ta có bất đẳng thức bên trái (2.47) Bằng cách sử dụng − cos x = sin2 (x/2) vào chuỗi bất đẳng thức (2.42) cho ta kết sin x sin2 (x/2) ≤1− x từ ta có sin2 (x/2) ≥ (x/π)2 Suy điều ta cần chứng minh Bổ đề 2.5.6 [7] Với x ∈ (0, 1) (i) sinh x < x + x3 /5, (ii) cosh x < + 5x2 /9, (iii) 1/ cosh x < − x2 /3
Chứng minh (i) Với x ∈ (0, 1) ta có x2 − x2 > tương đương x2 (iii) Bởi cách khai triển chuỗi cosh x nên ta có ! ! ! 2 x x x x2 x4 cosh x − ≥ 1+ 1− =1+ − > 3 6 Định lý 2.5.7 [7]Với x ∈ (0, 1) ta có  1/2  1/4 x < < cosh x sinh x cosh x (2.49) Chứng minh Chặn x/ sinh x suy từ Bổ đề 2.5.6 Định lý 2.5.5 !2  2 2 x x x x + (2.50) 55 Từ Bổ đề 2.5.6 (2.50), ta có !4 !  x 2x x6  4 g(x) > x + −x + = x + 24x + 216x + 144 > 1296 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.8 [7]Với x ∈ (0, π/4) ta có cosh x < p cos x (cos x)2 − (sin x)2 Chứng minh Chặn cosh x f (x) = cos2 x − cosh2 x cos2 x− sin2 x ) dương (0, π/4) Vì f 00 (x) = sin(2x) sinh(2x) > nên ta có f (x) = sin(2x) sinh(2x) − cos(2x) cosh(2x) > f (0) = Do f (x) > f (0) = Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.9 [7]Với x ∈ (0, π/4), ta có 1 < cosh x < cos x (cos x)2/3 Chứng minh Chặn cosh x f (x) = − cos x cosh x dương (0, π/4) Vì f 00 (x) = sin x sinh x > nên f (x) = cosh x sin x − cos x sinh x tăng Do f (x) > f (0) = f (x) > f (0) = Chặn cosh x g(x) = cos2 x cosh3 x − dương (0, π/4) Bởi khai triển chuỗi nên ta có !2 !3  2 x x2  x g(x) > − 1+ −1= x + 2x − 8x − 16x + 16 2 32 56 Ta có h(x) = x8 + 2x6 − 8x4 − 16x2 + 16 giảm nghiêm ngặt (0, π/4) Do h(x) > h(π/4) π4 π6 π8 = 16 − π − + + 32 2048 65536 36 38 162 −1 16 − 32 + + > 16 − 5 2048 65536 120392497 = 40960000 > Vậy ta có điều phải chứng minh 2.6 Áp dụng Ở phần này, đưa số toán để áp dụng kiến thức mục 2.5 sau: Bài toán 2.6.1 Chứng minh rằng:   x+ sin (ln x) > ln x, x  ∀x ∈ 1; e π  (∗) Lời giải  π Khi việc chứng minh (∗) tương đương với Đặt t = ln x, t ∈ 0; chứng minh bất đẳng thức sau   t −t e +e sin t > 2t  ⇔ cosh t sin t > t sin t ⇔ < cosh t t Áp dụng Định lý 2.5.2 ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.6.2 Chứng minh rằng: với x ∈  √ x2  ln x + −1 √ > x2 − 1; e +1 2e ! ta có 57 Lời giải   √ Đặt x = cosh t, t ∈ (0; 1) Suy t = arccosh x = ln x + x2 − Điều ta cần chứng minh tương đương với t p > cosh2 t − Vì cosh2 t − sinh2 t = nên (2.51) tương đương với t > sinh t Theo Định lý 2.5.4 ý (i) ta có t + cos t + cos(1) > > > sinh t 3   π Bài toán 2.6.3 Với x ∈ 0, , chứng minh q sinh 2x sin x < 2x4 (cosh 2x + 1) Lời giải Ta có sinh 2x sinh x = p (cosh 2x + 1) Khi q sinh 2x sin x < 2x4 (cosh 2x + 1) sinh 2x sin x < x2 ⇔p (cosh 2x + 1) ⇔ sinh x sin x < x2 x sin x < ⇔ x sinh x Áp dụng Định lý 2.5.3 ta có điều phải chứng minh   π π Bài toán 2.6.4 Với x ∈ − , , chứng minh rằng: 2  2  