Luận văn thạc sỹ định lý giá trị trung bình cho tích phân một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ ÁI MỸ ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHO TÍCH PHÂN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ ÁI MỸ ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHO TÍCH PHÂN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả TRẦN THỊ ÁI MỸ LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Huỳnh Minh Hiền người tận tình hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Thống kê, Phịng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 22 Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K22 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả TRẦN THỊ ÁI MỸ Mục lục Mở đầu v Định lý giá trị trung bình cho tích phân 1.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục đoạn 1.2 Một số định lý giá trị trung bình vi phân 1.3 Định lý giá trị trung bình cho tích phân 1.3.1 Định lý giá trị trung bình thứ 1.3.2 Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai 13 Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình cho tích phân 19 2.1 Mở rộng định lý giá trị trung bình tích phân thứ 19 2.2 Định lý giá trị trung bình cho tích phân bội 20 2.3 Mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai 23 2.4 Dáng điệu tiệm cận giá trị trung gian 29 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình cho tích phân giải tốn phổ thơng 36 3.1 Tồn giá trị trung gian 36 3.2 Tính giới hạn 39 3.3 Tính tổng chuỗi 46 3.4 Chứng minh bất đẳng thức 48 iii Kết luận 53 iv Mở đầu Tích phân khái niệm toán học với phép toán ngược nó, phép tính vi phân đóng vai trị phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích Giả sử hàm f liên tục [a, b] có nguyên hàm F (x) Khi đó, Z b f (x)dx = F (b) − F (a) a Định lý giá trị trung bình cho tích phần Issac Barrow (1630 - 1677) người nhận phép lấy vi phân phép lấy tích phân hai phép tốn ngược Định lý giá trị trung bình cho tích phân phát biểu sau: Nếu f liên tục [a, b] tồn ξ ∈ (a, b) cho Z b f (x)dx = f (ξ)(b − a) a Trong chương trình tốn học phổ thơng đại học, định lý giá trị trung bình cho vi phân ứng dụng khai thác nhiều Tuy nhiên, định lý giá trị trung bình cho tích phân đề cập, giới thiệu định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai, cần tìm hiểu cách tổng quát mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân Hơn nữa, cần tìm hiểu định lý giá trị trung bình cho tích phân mở rộng khoảng vơ hạn cho tích phân bội, Đặc biệt, nghiên cứu sâu ứng dụng dạng mở rộng định lý Với suy nghĩ đó, mục tiêu luận văn nhằm cung cấp thêm cho cho em học sinh, sinh viên, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn, tài liệu, ngồi kiến thức cịn có thêm kiến thức số toán nâng cao, qua v thấy rõ dạng tốn ứng dụng phong phú định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai số định lý mở rộng khác Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục, định lý giá trị trung bình cho vi phân định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai Chương trình bày số mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, thứ hai, định lý giá trị trung bình cho tích phân bội, sưu tầm chứng minh định lý giá trị trung bình cho tích phân khoảng vơ hạn dáng điệu tiệm cận giá trị trung gian Chương cuối trình bày số ví dụ nâng cao ứng dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả vi Chương Định lý giá trị trung bình cho tích phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất hàm số liên tục đoạn kết liên quan đến định lý giá trị trung bình cổ điển, từ giới thiệu định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai Các kết chương tham khảo [1], [12] 1.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục đoạn Định lý 1.1 ([12]) Nếu hàm số f : [a, b] → R liên tục f đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [a, b] Chứng minh Đặt M = sup {f (x), x ∈ [a, b]} Vậy với n ≥ 1, n ∈ N, tồn điểm ξn ∈ [a, b] cho |M − f (ξn )| < n (1.1) Vì dãy {ξn }n≥1 ⊂ [a, b] nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy {ξnk }k≥1 hội tụ, đặt lim ξnk =d∈ [a, b] k→∞ Vì f hàm liên tục d nên lim ξnk = f (d) k→∞ Mặt khác, từ (1.1) suy |M − f (ξnk )| < , ∀k ≥ nk M = lim f (ξnk ) = f (d) k→∞ Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại đoạn [a, b] giá trị cực đại M Tương tự, đặt N = inf {f (x), x ∈ [a, b]}, f đạt cực tiểu [a, b] giá trị cực tiểu N Định lý chứng minh Định lý 1.2 (Định lý giá trị trung gian, [1]) Cho hàm số f liên tục [a, b] Khi đó, f nhận giá trị trung gian f (a) f (b) Tức với K ∈ [min{f (a), f (b)}, max{f (a), f (b)}], tồn ξ ∈ [a, b] cho f (ξ) = K Chứng minh Nếu f (a) = f (b) = K ta chọn ξ = a ξ = b Giả sử f (a) < f (b) Với K ∈ (f (a), f (b)), ta xét hàm số g(x) = f (x) − K, x ∈ [a, b] Vì f hàm liên tục [a, b] nên rõ ràng g liên tục [a, b] Lại có, g(a) · g(b) = [f (a) − K] · [f (b) − K] < Điều rằng, tồn ξ ∈ (a, b) cho g(ξ) = hay f (ξ) = K Trường hợp f (a) > f (b) chứng minh tương tự Định lý chứng minh Định lý 1.3 ([1]) Cho hàm số f liên tục [a, b] Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f [a, b] Khi đó, f nhận (ξx − a)n < nên Thật vậy, lim+ ε(ξx ) = x→a (x − a)n ε(ξx )(ξx − a)n lim = x→a+ (x − a)n Mặt khác, theo Định lý giá trị trung bình tích phân (Định lý 1.8) tồn δx ∈ [a, x] cho Z x Z x (x − a)n+1 ε(t)(t − a)n dt = ε(δx ) (t − a)n dt = ε(δx ) , n + a a với lim+ ε(δx ) = nên x→a lim+ x→a (x − a)n+1 x Z ε(t)(t − a)n dt = a lim ε(δx ) = n + x→a+ Do đó, ta suy (chú ý f (n) (a) 6= 0)   n (n + 1)(ξ − a) ξx − a x f (n) (a) · lim+ − = ⇒ lim+ = √ n n x→a x→a x − a (x − a) n+1 Nhận xét 2.2 Ta thấy hàm số ξ(x) = ξx có đạo hàm phải a √ n n+1 Định lý 2.12 ([5]) Cho hàm f, g : [a, b] → R với điều kiện: (i) Hàm f khả vi đến cấp n thỏa mãn f (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) 6= (ii) Hàm g không âm, khả vi đến cấp k thỏa mãn g(a) = g (a) = g 00 (a) = · · · = g (k−1) (a) = 0, g (k) (a) 6= Gọi ξx ∈ [a, x] điểm Định lý giá trị trung bình tích phân thứ Z x Z x f (t)g(t)dt = f (ξx ) g(t)dt a a Khi ξx − a = lim+ x→a x − a r 32 n k+1 n+k+1 Chứng minh Không tính tổng qt, ta giả sử f (a) = 0, khơng ta cần thay f (t) f (t) − f (a) điểm ξx Định lý giá trị trung bình tích phân (Định lý 1.8) thỏa mãn Z x Z [f (t) − f (a)]g(t)dt = [f (ξx ) − f (a)] a x g(t)dt a Sử dụng khai triển Taylor với phần dư Peano, ta f (n) (a) (t − a)n + o((t − a)n ), n! (k) g (a) g(t) = (t − a)k + o((t − a)k ), k! f (t) = o((t − a)n ) vô bé bậc cao (t − a)n t → a+ o((t − a)k ) vô bé bậc cao (t − a)k t → a+ , tức o((t − a)k ) o((t − a)n ) lim = lim+ = 0, t→a+ (t − a)n t→a (t − a)k hay o((t − a)n ) = ω(t)(t − a)n , o((t − a)k ) = ε(t)(t − a)k với lim+ ω(t) = lim+ ε(t) = t→a t→a Như vậy, ta có f (n) (a) (t − a)n + ω(t)(t − a)n , n! (k) g (a) g(t) = (t − a)k + ε(t)(t − a)k k! f (t) = Từ suy f (n) (a)g (k) (a) f (t)g(t) = (t − a)n+k + γ(t)(t − a)n+k , n!k! lim+ γ(t) = Lấy tích phân, ta t→a Z a x f (n) (a)g (k) (a) f (t)g(t)dt = (x − a)n+k+1 + n!k!(n + k + 1) 33 x Z γ(t)(t − a)n+k dt a Theo Định lý giá trị trung bình tích phân (Định lý 1.8), tồn αx ∈ [a, x] cho Z x n+k γ(t)(t − a) Z dt = γ(αx ) a x (t − a)n+k dt a = γ(αx ) (x − a)n+k+1 = o((x − a)n+k+1 ), n+k+1 với lim+ γ(αx ) = Như x→a x Z a f (n) (a)g (k) (a) (x − a)n+k+1 + o((x − a)n+k+1 ) (2.9) f (t)g(t)dt = n!k!(n + k + 1) Trong khai triển Taylor f (t) ta lấy t = ξx f (n) (a) f (ξx ) = (ξx − a)n + ω(ξx )(ξx − a)n n! (n) f (a) = (ξx − a)n + o((x − a)n ), n! lim+ ω(ξx ) = (x → a+ ) ⇒ (ξx → a+ ), o((x − a)n ) vô x→a bé bậc cao (x − a)n (x → a+ ) Lại lấy tích phân Z x Z x g (k) (a) g(t)dt = (x − a)k+1 + ε(t)(t − a)k dt (k + 1)! a a Theo Định lý giá trị trung bình tích phân (Định lý 1.8), tồn βx ∈ [a, x] cho Z x Z x ε(βx ) (x−a)k+1 = o((x−a)k+1 ), ε(t)(t−a)k dt = ε(βx ) (t−a)k dt = k+1 a a với lim+ ε(βx ) = 0, o((x − a)k+1 ) vô bé bậc cao (x − a)k+1 x→a (x → a+ ) Từ kết trên, ta suy Z x f (n) (a)g (k) (a) f (ξx ) g(t)dt = (ξx − a)n (x − a)k+1 + o((x − a)n+k+1 ) n!(k + 1)! a (2.10) 34 So sánh (2.9) (2.10), ta f (n) (a)g (k) (a) (x − a)n+k+1 + o((x − a)n+k+1 ) n!k!(n + k + 1) f (n) (a)g (k) (a) (ξx − a)n (x − a)k+1 = n!(k + 1)! Suy f (n) (a)g (k) (a) o((x − a)n+k+1 ) + n!k!(n + k + 1) (x − a)n+k+1 f (n) (a)g (k) (a) (ξx − a)n · , = n!(k + 1)! (x − a)n nên f (n) (a)g (k) (a) o((x − a)n+k+1 ) + lim n!k!(n + k + 1) x→a+ (x − a)n+k+1 (ξx − a)n f (n) (a)g (k) (a) · lim+ = x→a (x − a)n n!(k + 1)! Chú ý < ξx − a ≤ x − a, ta suy r ξx − a k+1 n lim+ = x→a x − a n+k+1 Nhận xét 2.3 Ta thấy hàm số ξ(x) = ξx có đạo hàm phải a q k+1 n n+k+1 35 Chương Ứng dụng Định lý giá trị trung bình cho tích phân giải tốn phổ thơng Trong chương này, chúng tơi trình bày số ứng dụng Định lý giá trị trung bình tích phân dạng tốn như: tồn giá trị trung gian, tính giới hạn, tính tổng chuỗi chứng minh bất đẳng thức Các toán chương hệ thống, tổng hợp từ [3, 4, 7, 12, 14] 3.1 Tồn giá trị trung gian Trog mục này, xem xét ứng dụng Định lý giá trị trung bình tích phân cho tốn chứng minh tồn giá trị trung gian Ví dụ 3.1 ([4]) Cho n số nguyên dương Chứng minh tồn c∈ cho h√ i p nπ, (n + 1)π Z √(n+1)π √ nπ (−1)n sin(t )dt = c 36 Lời giải Xét hai hàm số f (x) = với x ∈ h√ , g(x) = 2t sin(t2 ) 2t i p nπ, (n + 1)π Theo Định lý 1.8, ta suy tồn h√ i p c∈ nπ, (n + 1)π thỏa Z √(n+1)π √ Z √(n+1)π sin(t2 )dt = √ nπ nπ Z √(n+1)π = √ 2t sin(t2 )dt 2t f (x)g(x)dx nπ Z √(n+1)π = f (c) √ g(x)dx (3.1) nπ Ta có, f (c) = Z √(n+1)π √ nπ 2c (3.2) √(n+1)π