ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023-2024 ĐÁP ÁN TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2023 – 2024 Mơn thi: Tốn chun 1 1 x y x y Bài (1 điểm) Biến đổi hpt dạng: x y 20 x y 1 x x 4 x x Suy : 4 y 4 4 y y y 1 1 1 1 Vậy hệ có nghiệm: x, y 1, ; , ; ,1 ; , 2 2 4 Bài (2 điểm ) a) Ta chứng minh được: a b2 c a b c ab bc ca (0.5 điểm) (0.5 điểm) (0.25 điểm) Từ giả thuyết: b) Ta có: a b c 1 1 1 1 (0.75 điểm) a b c 3 a b c a b c ab bc ca abc (0.5 điểm) 1 1 1 abc a b c (0.5 điểm) a b c ab bc ca Bài (1.5 điểm) a) Gọi x số đen hàng Khi tổng số ô đen bảng 4x Do số ô đen cột đôi khác nên số lượng ô đen cột bốn năm số 0,1,2,3,4 Mà tổng số ô đen 4x, chia hết cho Còn tổng 22 chia dư nên tổng phải khơng có số Khi đó: x x (0.5 điểm) b) TH1: Tính theo cột Dễ thấy, cột có đen đen khơng có cặp tốt Trên cột có đen đen có tối đa cặp tốt Vậy tối đa có cặp tốt Cách tơ với trường hợp tối đa sau (0.5 điểm) Ta lại có: TH2: Tính theo hàng Do hàng có đen nên số cặp tốt hàng tối đa Mà có hàng nên tối đa 12 Ta chứng minh tối đa 11 Thật vậy, giả sử có trường hợp tơ 12 cặp tốt hàng có Khi hàng đen ô trắng xen kẽ Do có cột tơ đen Điều dẫn đến cột kề cột này, ô phải tô màu trắng tương tự cột cịn lại có cột gồm ô đen, cột ô trắng (trái giả thuyết) Vậy tối đa số cặp tốt 11 Cách tô với trường hợp tối đa sau (0.5 điểm) Bài (2 điểm) Gọi m n (1) n m a (2) a) Từ (1) suy m, n khác tính chẵn lẻ Nên a số lẻ (0.5 điểm) k b) Chứng minh a 3.2 với k số nguyên dương k Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được: n m n m 1 3.2 k (0.25 điểm) Do n m lẻ nên n m n m 3 TH1: k n m 3.2 Thế (3) vào (1) ta được: m m m n Suy : 3.2k n m k (0.25 điểm) n m n m 4 TH2: k n m Thế (4) vào (1) ta được: m m l (0.25 điểm) c) Chứng minh a số phương Giả sử a số phương, đặt a b , b Nhận xét a=0 vơ lí m n Nếu a=1, vào ta được: m n m n 1 m n Khi : m m l n m Ta xét với a Từ : m n m n m Thay vào (2): m 1 m b m m b m b m m b m m b Mà m2 b m2 2m nên suy vơ lí Vậy a khơng thể số phương (0.75 điểm) Bài (3.5 điểm) LHI 900 nên A, H, I, L thuộc đường tròn a) Do LAI (1 điểm) 90 nên A, H, D, I, L thuộc đường tròn b) Mà LDI HAI (do chắn hai cung nhau) Khi đó: DAI CAI nên BAD CAH Mà BAI (1 điểm) EAK nên tứ giác EFDK hình thang cân c) Do FAD (0.25 điểm) Gọi T, N trung điểm EF DK TJ NG Ta có: TJ NK DK DK Mà TN EF nên NKJT hình chữ nhật, KJ EF (0.5 điểm) d) Ta chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với BC, CA AB S trung điểm BC Khi AS, DI EF đồng quy Gọi P giao điểm EF ID Qua P kẻ đường thẳng song song BC cắt AB, AC U, IFP IEP IVP V Khi đó, tứ giác IPUF IPEV nội tiếp nên IUP Suy tam giác IUV cân, nên P trung điểm UV Mà S trung điểm BC, UV // BC nên A, S, P thẳng hàng Vậy ba đường AS, DI EF đồng quy 900 nên D, I, R thẳng hàng Theo bổ đề ta có DI, EF Trở lại tốn, để ý DER AS đồng quy Do IR, EF AS đồng quy (0.75 điểm)