Luan an tran van thang

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC TR†N V‹N THNG ÈI NGˆU LI–N HÑP CHO B€I TON TÈI ×U A MƯC TI–U V€ ÙNG DệNG Chuyản ngnh: ToĂn ng dửng M số: 62 46 01 12 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC H€ NËI-N‹M 2014 VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC TR†N V‹N THNG ÈI NGˆU LI–N HĐP CHO B€I TON TÈI ×U A MƯC TI–U V€ NG DệNG Chuyản ngnh: ToĂn ng dửng M số: 62 46 01 12 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC NG×ÍI HìẻNG DN KHOA HC TS Phan Thiản ThÔch GS Ho ng Tưy H€ NËI-N‹M 2014 LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi CĂc kát quÊ ny ữủc thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Phan Thiản ThÔch v GS Hong Tửy CĂc kát quÊ luên Ăn viát chung vợi cĂc thƯy hữợng dăn Ãu  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa cĂc thƯy ữa vo luên Ăn CĂc số liằu, kát quÊ nảu luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt cự cổng trẳnh no khĂc TĂc giÊ TrƯn Vôn Thưng i LI CM èN Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh, chu Ăo, Ưy trĂch nhiằm cừa TS Phan Thiản ThÔch v GS Hong Tửy TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Phan Thiản ThÔch và cổng lao ThƯy  tên tẳnh hữợng dăn suốt thới gian tĂc giÊ lm viằc vợi ThƯy TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Hong Tửy, ngữới  tiáp tửc tên tẳnh cổng viằc hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ sau thƯy Phan Thiản ThÔch b ốm nng TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn PGS TS Trữỡng Xu¥n ùc H , GS TSKH Vơ Ngåc Ph¡t, GS TSKH Lả Dụng Mữu, PGS TS Bũi Thá TƠm, GS TSKH Nguyạn ổng Yản, nhỳng ngữới  luổn tên tẳnh giúp ï t¡c gi£ suèt qu¡ tr¼nh håc Cao håc v lm nghiản cựu sinh TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc, Trung tƠm o tÔo Sau Ôi hồc v têp th cĂn bở cổng nhƠn viản cừa Viằn ToĂn hồc  tÔo mồi i·u ki»n thuªn lđi cho t¡c gi£ thíi gian håc Cao håc v  l m nghi¶n cùu sinh T¡c gi£ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban hiằu trững trữớng Ôi hồc iằn lỹc, Ban lÂnh Ôo S GiĂo dửc v o tÔo Bưc Giang, trữớng THPT Bố HÔ, Yản Thá, Bưc Giang, cĂc thƯy cổ v ỗng nghiằp trữớng THPT Bố HÔ v Khoa Khoa hồc cỡ bÊn trữớng Ôi hồc iằn lỹc Xin cĂm ỡn gia ẳnh, cĂc bÔn nghiản cựu sinh v bÔn b và sỹ khuyán khẵch, giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu ii TM TT Luên Ăn ny trẳnh by mởt số kát quÊ và ối ngău liản hủp cho cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu v Ăp dửng cĂc kát quÊ ối ngău ny  nghiản cựu mởt số bi toĂn kinh tá Luên Ăn bao gỗm chữỡng Trong Chữỡng 1, chúng tổi nghiản cựu cĂc iÃu kiằn c trững cho lợp hm thọa mÂn tẵnh phÊn xÔ v õng kẵn qua php bián ời tỹa liản hủp, ữa khĂi niằm tỹa dữợi vi phƠn v chựng minh mởt số tẵnh chĐt cừa tỹa dữợi vi phƠn Trong Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by lỵ thuyát ối ngău liản hủp cho cĂc bi toĂn tối ữu vổ hữợng v tối ữu a mửc tiảu Trong Chữỡng 3, chúng tổi ựng dửng sỡ ỗ ối ngău liản hủp  nghiản cựu mởt số bi toĂn kinh tá nhữ sau: bi toĂn vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc, bi toĂn vợi nhiÃu rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc v bi toĂn tối ữu khổng lỗi vợi cĂc rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc iii ABSTRACT This thesis is devoted to the study of conjugate duality in scalar and multiobjective optimization problems The obtained results are applied to study some optimization problems in economy The thesis consists of three chapters In Chapter necessary and sufficient conditions are established for the reflexivity and closedness of the quasi-conjugate transformation Also the concept of quasi-subgradient is introduced and some basic properties of quasi-subgradient are proved In Chapter the conjugate duality for scalar and multiobjective optimization problems is studied In Chapter we apply the conjugate duality scheme to production planning and optimization problems with one or multiple resource allocation constraints iv Möc löc Möc löc Mët sè kỵ hiằu M Ưu Php bián ời tỹa liản hủp 10 1.1 Mởt số kián thực chuân bà 10 1.2 Php bián ời tỹa liản hủp 16 1.3 Tỹa dữợi vi phƠn 29 ối ngău liản hủp cho cĂc bi toĂn tối ữu 35 2.1 ối ngău liản hủp cho bi toĂn tối ữu vổ hữợng 36 2.2 ối ngău liản hủp cho bi toĂn tối ữu a mửc tiảu 43 Ùng dưng 3.1 57 B i to¡n vỵi mët r ng buởc phƠn bố nguỗn lỹc 58 3.2 Bi toĂn vợi rng buởc phƠn bố nhiÃu nguỗn lỹc 63 3.3 Tối ữu vợi cĂc rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc 67 3.4 Quy hoÔch hai cĐp v tối ữu ỡn iằu 73 Kát luên 77 Danh mửc cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn 78 Ti liằu tham khÊo 79 Mởt số kỵ hiằu R têp cĂc số thüc R+ tªp sè thüc khỉng N tªp c¡c sè tỹ nhiản Rn khổng gian Euclide nchiÃu Rn+ têp cĂc vctỡ khổng Ơm nchiÃu Rn++ têp cĂc vctỡ dữỡng nchiÃu aT x tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ Rn kxk chuân cừa x Rn {xn } dÂy số thüc hay d¢y v²ctì N (x, X) nân v²ctì ph¡p tuyán cừa têp X tÔi im x f (x) gradient cừa f tÔi x f (x) dữợi vi phƠn \ f (x) tỹa dữợi vi phƠn intX phƯn cõa tªp X cl(X) bao âng cõa tªp X conv(X) bao lỗi cừa têp X co(X) M bao nõn lỗi cõa tªp X XE tªp nghi»m húu hi»u cõa b i toĂn tối ữu vctỡ tờng trỹc tiáp argmax{f (x) : x X} têp cĂc im cỹc Ôi cừa hm f (x) trản têp X f\ hm tỹa liản hủp cừa f F :XY Ănh xÔ a tr tứ X vo Y M Ưu Theo G Dantzig, lỵ thuyát ối ngău ữủc phọng oĂn bi J V Neumann lỵ thuyát trỏ chỡi sau G Dantzig trẳnh by cĂc vĐn à và quy hoÔch tuyán tẵnh ([18]) Nôm 1951, mởt chựng minh Ưy ừ và ối ngău cho bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh  ữủc cổng bè l¦n ¦u bði A W Tucker v  nhâm cõa ([6]) Tứ õ lỵ thuyát ối ngău  tr trnh mởt chữỡng quan trồng cừa lỵ thuyát tối ữu, cÊ và phữỡng diằn lỵ thuyát lăn tẵnh toĂn v ùng dưng thüc t¸ v  thu hót nhi·u nh  to¡n hồc quan tƠm nghiản cựu, õ Ăng ỵ l  c¡c cỉng tr¼nh cõa A W Tucker ([6], [9]), R T Rockafellar ([15]), Y Sawaragi ([17], [20]) v  ð Vi»t Nam l  c¡c cỉng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ Hong Tửy ([3]), PhÔm Hỳu SĂch ([16]), inh Thá Lửc ([10]), Phan Thiản ThÔch ([21]-[27]), Vụ Ngồc PhĂt ([14]), Nguyạn nh ([5]), Ban Ưu lỵ thuyát ối ngău ữủc xƠy dỹng cho cĂc bi toĂn tối ữu tuyán tẵnh bði A W Tucker v  nhâm cõa æng, sau â cĂc nh toĂn hồc  m rởng cho trữớng hủp phi tuyán, tối ữu a mửc tiảu v cÊ tối ữu a tr Lỵ thuyát ối ngău ữủc ữa thỹc sỹ cõ ỵ nghắa v cõ nhiÃu ựng dửng nõ Êm bÊo ữủc ối ngău mÔnh Tuy nhiản, trữớng hủp tờng quĂt viằc cõ ữủc ối ngău mÔnh l rĐt khõ khôn Cho án cĂc nh toĂn hồc mợi ch ữa ữủc ối ngău mÔnh cho mởt số lợp cĂc bi toĂn thọa mÂn mởt số iÃu kiằn no õ  cõ nhiÃu kát quÊ quan trồng và ối ngău cho cĂc bi toĂn tối ữu, cĂc kát quÊ ny chừ yáu cõ ữủc dỹa trản lỵ thuyát ối õ q(x) l h m lãm li¶n tưc tr¶n Rn+ cho q(x) > x > Náu q(x) l hm biu diạn lủi ẵch cừa cổng ty tÔi phữỡng Ăn sÊn xuĐt x ∈ Rn+ th¼ (3.26) - (3.30) trð th nh b i toĂn tẳm phữỡng Ăn sÊn xuĐt cho lủi ẵch cừa cổng ty l lợn nhĐt Kỵ hiằu XE l têp gỗm cĂc phữỡng Ăn sÊn xuĐt, lúc ny bi toĂn (3.26)-(3.30) ữủc viát lÔi nhữ sau: (3.31) max{q(x)| x XE } Theo nh lỵ 3.2.3 v nh lỵ 3.2.4, XE cụng chẵnh l têp nghiằm hỳu hiằu Pareto cừa bi toĂn tối ữu a mửc tiảu (3.21) Do õ, (3.31) l bi toĂn tối ữu trản têp nghiằm húu hi»u Pareto cõa b i to¡n tèi ÷u a mưc tiảu ối vợi bi toĂn dÔng ny  cõ nhiÃu ph÷ìng ph¡p gi£i ÷đc ÷a (xem [11],[13], [22], [27]) Sau Ơy, chúng tổi s sỷ dửng phữỡng phĂp ữủc ữa cĂc bi bĂo [22], [27]  bián ời (3.31) và bi toĂn cỹc Ôi hm tỹa lỗi trản mởt têp lỗi compưc khổng gian k chiÃu Do â, b i to¡n sau bi¸n êi câ thº ữủc giÊi bơng phữỡng phĂp xĐp x ngoi nhữ [27] Bơng cĂch ời thang ỡn v náu cƯn thiát, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th giÊ thiát rơng minj=1, ,n aij > vợi mồi i = 1, , m iÃu ny dăn ¸n (3.32) xj > ∀x ∈ X j=1, ,n °t ( M = η = (η1 , η2 , , ηk ) ∈ Rn+ | max x∈X ( h(η) = max q(x)| k Y k Y ) frηr (x) ≤ , r=1 ) frηr (x) 3, x X r=1 (quy ữợc max = 0) 68 Rn+ Chú ỵ rơng vợi mội Rk+ hm k k k n Y X X X ηr ln( fr (x)) = ηr ln(fr (x)) = ηr αj ln(xj ) r=1 r=1 r=1 j=1 l lóm iÃu ny vợi giÊ thiát g lóm dăn án giĂ tr cừa h() ữủc xĂc nh bi viằc giÊi bi toĂn cỹc Ôi hm lóm trản têp lỗi compưc (bi toĂn ny tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu lỗi) Bờ à 3.3.1 M l têp lỗi, compưc v khĂc rộng Rk+ Chựng minh Vợi bĐt ký Rk+ ta cõ max xX k Y frηr (x) ≤ ⇔ max x∈X r=1 k X r ln(fr (x)) ln(3) r=1 Dạ thĐy = thọa mÂn bĐt ng thực trản Vẳ vªy, M 6= ∅ H m h (η) = max x∈X k X ηr ln(fr (x)) r=1 l  h m cªn trản cừa hồ cĂc hm tuyán tẵnh theo nản theo nh lỵ 1.1.17 v nh lỵ 1.1.18 ta cõ h0 () l lỗi liản tửc trản Rk+ Bi vêy, M l P têp lỗi õng Hỡn nỳa, tứ (3.32) suy ln fr (x) = nj=1 αjr ln(xj ) > ln(2) Do â, η ∈ M ⇔ η ≥ 0, h0 (η) ≤ ln(3) k X ⇒ η ≥ 0, ηr ln(fr (x)) ≤ ln(3) ∀x ∈ X ⇒ η ≥ 0, r=1 k X ηr ln(2) ≤ ln(3) r=1 Vªy, M bà ch°n Bê · 3.3.2 H m h l nỷa liản tửc trản v tỹa lỗi trản Rk+ 69 Chựng minh Ta xƠy dỹng Ănh xÔ a trà C : C(η) = {x ∈ X| − k Y Rn+ ⇒ Rn+ bði frηr (x) ≤ 0} r=1 V¼ fr (x), r = 1, 2, , k li¶n tưc theo x ∈ Rn+ , n¶n ¡p dưng M»nh · 1.1.26 ta chùng minh ữủc rơng C l Ănh xÔ nỷa liản tửc trản trản Rk+ Vẳ X l compưc nản C() l compưc Ãu gƯn vợi mồi Tứ nh lỵ 1.1.28 suy h l hm nỷa li¶n tưc tr¶n ð tr¶n Rk+ Cho η ∈ Rk+ , η ∈ Rk+ v  ξ ∈ (0, 1), â: ( ) ( ) k k X X x ∈ X| ηr ln(fr (x)) ≥ ln(3) ∪ x ∈ X| ηr0 ln(fr (x)) ≥ ln(3) r=1 r=1 ( ⊇ x ∈ X| k X ) (ξηr + (1 − ξ)ηr0 ) ln(fr (x)) ≥ ln(3) r=1 Suy max{h(η), h(η )} ≥ h(ξη + (1 ) ) Vêy, h l tỹa lỗi BƠy gií chóng ta s³ chùng minh r¬ng b i to¡n (3.31) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn cỹc Ôi hm tỹa lỗi trản têp lỗi compưc sau max{h() : M } (3.33) Vẳ h nỷa liản tửc trản v M l compưc, nản giĂ tr cỹc Ôi h cừa hm h trản M l tỗn tÔi nh lỵ 3.3.3 GiĂ trà tèi ÷u cõa c¡c b i to¡n (3.31) v  (3.33) l bơng nhau: q = h Ngoi ra, náu l nghiằm tối ữu cừa (3.33) thẳ im cỹc Ôi x∗ cõa h m Qkr=1 frη (x) tr¶n X l  nghi»m tèi ÷u cõa (3.31) ∗ r 70 Chùng minh Cho x l nghiằm tối ữu cừa (3.31), nghắa l x ∈ XE , q(x∗ ) = q ∗ V¼ x XE , nản tỗn tÔi vctỡ Rk+ cho x∗ l  nghi»m tèi ÷u cõa (3.23) Ta khng nh rơng tỗn tÔi > cho k Y frγµr (x∗ ) = (3.34) r=1 Thỹc vêy, t = k Y fràr (x ) r=1 Theo (3.32) x∗j > 2, j = 1, , n, â ln(ω) > L§y γ= ln(3) , ln(ω) Q ta câ γ ln(ω) = ln(3) hay ln( kr=1 fràr (x )) = ln(3) Vêy (3.34) úng vợi  chồn BƠy giớ, t = Dạ thĐy ! k k Y Y max frr (x) = max frµr (x) = x∈X r=1 x∈X k Y !γ frµr (x∗ ) = 3, r r=1 i·u n y suy η ∈ M Do vªy, q ∗ = q(x∗ ) ( ≤ sup q(x)| k Y ) frηr (x) ≥ 3, x ∈ X r=1 = h(η) h iÃu ny dăn án h > Êo lÔi, giÊ sỷ l nghiằm tối ữu cõa (3.33), ngh¾a l  η ∗ ∈ M v  h(η ∗ ) = h∗ Gi£ sû x∗ l  mët im cỹc Ôi cừa hm Qk r r=1 fr (x) tr¶n X Theo Bê · 3.2.1, x l  nghi»m húu hi»u Pareto cõa (3.21) v  â, x∗ ∈ XE Vẳ M , nản ta câ k Y ∗ frηr (x∗ ) = sup k Y x∈X r=1 r=1 ≤ 71 ∗ frηr (x) N¸u k Y ∗ frηr (x∗ ) < 3, r=1 th¼ ( h(η ∗ ) = sup q(x)| k Y ) ηr∗ fr (x) ≥ 3, x ∈ X r=1 = sup ∅ = < h∗ , i·u n y l vổ lỵ Do õ, k Y frr (x ) = r=1 v  hìn núa, h∗ = h(η ∗ ) ( = sup q(x)| k Y ) ∗ frηr (x) ≥ 3, x ∈ X r=1 ∗ = q(x ) ≤ q∗ H» qu£ l  q ∗ = h∗ v  â, x∗ l  nghi»m tèi ÷u cõa (3.31) Nhữ vêy, bi toĂn tối ữu khổng lỗi phực tÔp (3.31) khổng gian n chiÃu cõ th ữủc bi¸n êi v· b i to¡n ìn gi£n hìn (3.33) khổng gian k chiÃu Trong thỹc tá thẳ k thữớng nhä hìn nhi·u so vỵi n, â chóng ta cõ th giÊi bi toĂn sau bián ời (3.33) bơng phữỡng phĂp xĐp x ngoi (xem [27]) 72 3.4 Quy hoÔch hai cĐp v tối ữu ỡn iằu Trong phƯn n y, chóng tỉi s³ ch¿ r¬ng b i to¡n (3.33) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn cỡ bÊn cừa tối ữu ỡn iằu Phữỡng phĂp m chúng tổi tiáp cên cỡ bÊn dỹa trản quy hoÔch hai cĐp v lỵ thuyát tèi ÷u ìn i»u cõa H Tưy ÷a ð [32], [33] v  [34] Cho x ∈ X l  mët phữỡng Ăn sÊn xuĐt ựng vợi vctỡ phƠn bố nguỗn P lüc α = kr=1 µr αr ∈ ∆ Theo nh lỵ 3.2.3, x = x(à) l im cỹc Ôi Q nhĐt cừa hm lóm cht ln( kr=1 fràr (x)) trản têp a diằn X Mởt hm lủi ẵch v câ thº phư thc v o c£ x v  µ, chng hÔn v(à, x) = q(x) c(à, x), â q(x) l  têng doanh thu düa tr¶n gi¡ b¡n v c(à, x) l tờng chi phẵ hoÔt ởng (bao gỗm chi phẵ sÊn xuĐt v chi phẵ chung) BƠy giớ, xt bi toĂn cỹc Ôi hm v(à, x) trản têp cĂc vctỡ Q (à, x) Rk+ × X cho x ∈ argmaxx0 ∈X kr=1 frµr (x0 ), nghắa l (3.35) v(à, x) max, ∈ Rk+ , x ∈ X Q x ∈ argmaxx∈X kr=1 fràr (x) (3.36) (3.37) Ơy l bi toĂn quy hoÔch hai cĐp  ữủc nghiản cựu [33] Sỷ dửng cĂch tiáp cên nhữ [33], ta t G = {(µ, t)| t ≥ maxx∈X Qk F (µ, t) = max{v(µ, x)| x ∈ X, µr r=1 fr (x)} Q t ≤ kr frµr (x)} (3.38) (3.39) Bê · 3.4.1 Quy hoÔch hai cĐp (3.35)-(3.37) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu sau: max{F (à, t)| (à, t) G} 73 (3.40) Chựng minh Dạ thĐy (3.40) l tữỡng ữỡng vợi max{v(à, x)| max x X k Y frµr (x0 ) ≤t≤ r=1 k Y (3.41) frµr (x), x X} r=1 Thỹc vêy, giÊ sỷ ( à, t) l nghiằm tối ữu cừa (3.40) vợi giĂ tr tối ữu Q v = F ( à, t) Khi â, ta câ (¯ µ, t¯) ∈ G v  â, t¯ ≥ maxx∈X kr=1 frµ¯r (x) Q Tø (3.39) ta giÊ thiát F ( à, t) = v( à, x¯), â x¯ ∈ X, t¯ ≤ kr=1 frµ¯r (¯ x) Do â max x∈X k Y frµ¯r (x) ≤ t¯ ≤ r=1 k Y frµ¯r (¯ x), x¯ X r=1 iÃu ny dăn án v = v( µ, x¯) ≤ v , vỵi v ∗ l  gi¡ tr tối ữu cừa (3.41) Êo lÔi, cho (à , x∗ ) l  líi gi£i cõa b i to¡n (3.41) vợi v(à , x ) = v Khi õ, tỗn tÔi t cho max xX k Y ∗ frµr (x) ≤t≤ k Y ∗ frµr (x∗ ), x∗ ∈ X, r=1 r=1 i·u n y suy (µ∗ , t) G v vẳ vêy, v F (µ∗ , t∗ ) ≤ v¯ Do â, v¯ = v Vẳ rng buởc cừa (3.41) tữỡng ữỡng vợi x argmaxxX Qk àr r=1 fr (x), õ (3.41) tữỡng ữỡng vợi (3.35)-(3.37) Bờ à ữủc chựng minh Ta viát lÔi bi toĂn (3.41) dữợi dÔng max{v(µ, x)| k Y frµr (x) = max r=1 x ∈X k Y frµr (x0 ), x ∈ X} (3.42) r=1 iÃu ny vợi kát quÊ cừa Bờ à 3.4.1 cho ta thĐy rơng bi toĂn (3.40) khổng thüc sü phö thuëc v o gi¡ trà cõa t, tùc l  t ch¿ âng vai trá trung gian Do â, cõ th lĐy t l hơng số t cho bĐt ng Q thực t kr=1 fràr (x) úng vợi ẵt nhĐt mởt vctỡ x X BƠy giớ, ta t F (à) := Qk àr ¯ r=1 fr (x)} ≤ t ∀x Q max{v(µ, x)| kr=1 frµr (x) ≥ t¯, G := {µ ∈ Rk+ | 74 ∈ X}, (3.43) x ∈ X } (3.44) Chúng ta cõ nh lỵ sau nh lỵ 3.4.2 Quy hoÔch hai cĐp (3.35)-(3.37) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ÷u ìn i»u sau: max{F (µ)| µ ∈ G} (3.45) Chùng minh Sü t÷ìng ÷ìng giúa (3.35)-(3.37) v  (3.45) ÷đc suy tứ cĂc lêp luên trản Do õ, º ho n th nh chùng minh ta c¦n ch¿ (3.45) l bi toĂn tối ữu ỡn iằu Q à0 GiÊ sỷ à0 Tứ giÊ thiát (3.32) xj > ∀j, ta câ kr=1 fr r (x) ≥ Qk Qk àr àr f (x) vợi mồi x X cè ành, â, h m r=1 r r=1 fr (x) l ỡn iằu tông theo iÃu ny dăn án F (à) l ỡn iằu tông trản Rk+ Mt kh¡c, tø ≤ µ0 ≤ µ ∈ G suy à0 G v õ, G l têp chuân tưc Rk+ nh lỵ ữủc chựng minh Nhên xt 3.4.3 é Ơy, thĐy rơng (3.45) l bi toĂn tối ữu ỡn iằu cỡ bÊn Náu v(à, x) l hm ỡn iằu tông hoc ch cƯn l  h m d.m (hi»u cõa hai h m ìn i»u t«ng), thẳ bi toĂn (3.44) xĂc nh F (à) tÔi cõ th ữủc giÊi bơng cĂc phữỡng phĂp m H Tửy  ữa cĂc bi bĂo [32] v [34] Bi vêy, bi toĂn (3.45) cõ th ữủc giÊi bơng cĂc phữỡng phĂp  biát cừa tối ữu ìn i»u °c bi»t, Q v(µ, x) = q(x) ta câ F (µ) = max{q(x)| kr=1 frµr (x) ≥ t¯, x ∈ X} V¼ Q ≤ maxx∈X kr=1 fràr (x), nản ta cõ th lĐy t = Trong trữớng hủp ny, bi toĂn (3.45) trũng vợi bi to¡n (3.33), â nâ câ thº ÷đc gi£i bði phữỡng phĂp xĐp x ngoi nhữ  ch Mửc 3.3 Kát luên cừa Chữỡng CĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng ny bao gỗm: - Bi toĂn vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu lỗi nh lỵ 3.1.3 v nh lỵ 3.1.4 75 - Bi toĂn vợi nhiÃu rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu lỗi a mửc tiảu nh lỵ 3.2.3, nh lỵ 3.2.4 v Hằ quÊ 3.2.5 - Bi toĂn tối ữu khổng lỗi vợi rng buởc và phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn cỹc Ôi hm tỹa lỗi trản têp lỗi compưc nh lỵ 3.3.3 hay b i to¡n cì b£n cõa tèi ÷u ìn i»u trong nh lỵ 3.4.2 76 Kát luên cừa luên Ăn Trong luên Ăn ny chúng tổi  thu ữủc nhỳng kát quÊ chẵnh sau Lợp cĂc hm tỹa lóm, nỷa liản tửc trản v ỡn iằu tông trản Rn+ thọa mÂn tẵnh tỹ liản hủp ối vợi php bián ời tỹa liản hủp, ữa khĂi niằm tỹa dữợi vi phƠn v chựng minh mởt số tẵnh chĐt và khĂi niằm mợi ny ữa iÃu kiằn cƯn v ừ tối ữu dữợi dÔng m rởng cừa nguyản lỵ Fermat v xƠy dỹng sỡ ỗ ối ngău mÔnh, ối xựng cho bi toĂn tối ữu vổ hữợng khổng lỗi ữa ối ngău mÔnh v ối xựng cho bi toĂn tối ữu a mửc tiảu khổng lỗi Ngoi ra, chúng tổi cỏn ữa ng thực ối ngău giúp c trững cho cp nghiằm hỳu hiằu yáu Pareto cừa bi toĂn gốc v ối ngău Trản cỡ s cừa cĂc kát quÊ  Ôt ữủc và ối ngău liản hủp, chúng tổi Ăp dửng vo nghiản cựu cĂc bi toĂn sÊn xuĐt kinh tá v thu ữủc cĂc kát quÊ sau: a) Bi toĂn vợi mởt rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu lỗi b) Bi toĂn vợi nhiÃu rng buởc phƠn bố nguỗn lỹc tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tối ữu lỗi a mửc tiảu c) Bi toĂn tối ữu khổng lỗi vợi rng buởc và phƠn bố nguỗn lỹc ữủc quy và bi toĂn cỹc Ôi hm tỹa lỗi trản têp lỗi compưc hay và bi to¡n cì b£n cõa tèi ÷u ìn i»u 77 Danh mửc cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luên ¡n P T Thach and T V Thang, Conjugate duality for vector-maximization problems, J Math Anal Appl., 1(2011)94-102 P T Thach and T V Thang, Problems with resource allocation constraints and optimization over the efficient set, J Glob Optim., 58(2014) 481-495 T V Thang, Conjugate duality in nonconvex optimization problems and optimization over the weakly efficient set (submit in Acta Mathematica Vietnamica) 78 T i li»u tham kh£o Tiáng Viằt [1] Nguyạn Anh o, Bi toĂn sÊn xuĐt Leontief v ối ngău, Luên vôn thÔc sắ, Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi (2012) [2] Phan Thiản ThÔch, CĂc c trững cho tẵnh phi thứa bi TÔp chẵ ng dửng ToĂn hồc, 2(2003) [3] Hong Tửy, Lỵ thuyát tối ữu, Bi giÊng lợp cao hồc Viằn ToĂn hồc toĂn sÊn xuĐt Leontief, (2006) Tiáng Anh [4] A Cambini, L Martein, Generalized Convexity and Optimization: Theory and Applications (Lecture Notes in Economics and Mathe- matical Systems), Springer, (2009) [5] N Dinh, J J Strodiot, V H Nguyen, Duality and optimality conditions for generalized equilibrium problems involving DC functions, J Glob Optim., 48(2010) 183-208 [6] D Gale, H W Kuhn and A W Tucker, Linear programming and the theory of game, Activ Anal Produc Allocation, 13(1951), 317- 335 79 [7] R C Griffin, J M Montgomery, and M E Rister, Selecting functional form in production function analysis, Agricultural Economics, 12(1987) 216-227 Western Journal of [8] X X Huang, X Q Yang, Nonlinear Lagrangian for multiobjective optimization and applications to duality and exact penalization, SIAM J Optimization, 13 (3)(2002), 675692 [9] H W Kuhn and A W Tucker, Nonlinear programming, Proceedings of the second berkeley symposium on mathematical statistics and probability, (1951), 481-492 [10] D T Luc, Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Eco- nomics and Mathematical Systems 319 Springer-Verlag, Berlin (1989) [11] L T Luc and L D Muu, Global Optimization Aproach to Optimiz- ing over the Efficient Set, (Lecture Notes in Econom and Math Systems 452), Springer, Berlin (1997) [12] D G Luenberger, Microeconomic Theory, McGraw-Hill, Inc, New York (1995) [13] L D Muu, A convex-concave programming method for optimizing over the efficient set, Acta Math Vietnam., 25(2000), 67-85 [14] V N Phat and V Jeyakumarb, Stability, stabilization and duality Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 59(2010), 447-460 for linear time-varying systems, [15] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey (1970) 80 Princeton University Press, [16] P H Sach, D S Kim, L A Tuan, G M Lee, Duality results for generalized vector variational inequalities with set-valued maps, Optim Theory Appl., 136 (2008),105-123 [17] Y Sawaragi, H Nakayama and T Tanino, Theory J of Multiobjective Optimization, Academic Press, Orlando, Florida (1985) Linear Programming: An Introduction to Finite Improvement Algorithms: Second Edition, North-Holland, (1984) [18] D Solow, [19] T Tanino, Conjugate duality in vector optimization, J Math Anal Appl., 167(1992), 8497 [20] T Tanino and Y Sawaragi, Conjugate maps and duality in multiobjective optimization, J Optim Theory Appl., 31(1980), 473499 [21] P T Thach, Quasiconjugates of functions, duality relationship between quasiconvex minimization under a reverse convex constraint and quasiconvex maximization under a convex constraint, and applications, J Math Anal Appl., 159 (1991) 299322 [22] P T Thach, Global optimality criterion and duality with zero gap in nonconvex optimization, SIAM J Math Anal., 24(1993), 1537- 1556 [23] P T Thach, A nonconvex duality with zero gap and applications, SIAM J Optimization, 4(1994), 44-64 [24] P.T Thach, DiewertCrouzeix conjugation for general quasiconvex duality and applications, J Optim Theory Appl., 86(1995), 719743 [25] P T Thach, Dual preference in Leontief production problem and its extension, Vietnam J Math., 32(2004), 209-218 81 [26] P T Thach, Symmetric duality for homogeneous multiple-objective problems, J Optim Theory Appl., DOI 10 1007/s10957-011-9822- 6, Published online: 18 November 2011 [27] P T Thach, H Konno and D Yokota, Dual approach to minimization on the set of Pareto-optimal solutions, J Optim Theory Appl., 88(1996), 689-707 [28] P T Thach and T V Thang, Conjugate duality for vectormaximization problems, J Math Anal Appl., 1(2011)94-102 [29] P T Thach and T V Thang, Problems with resource allocation constraints and optimization over the efficient set, J Glob Optim., 58(2014) 481-495 [30] T V Thang, Conjugate duality in nonconvex optimization problems and optimization over the weakly efficient set (submit in Acta Mathematica Vietnamica) [31] H Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer (1998) [32] H Tuy, Monotonnic optimization: Problem and solution approaches, SIAM J Optimization, 11(2000), 464-494 [33] H Tuy, A Migdalas and N T Hoai-Phuong, A novel approach to bilevel nonlinear programming, J Glob Optim., 38(2007), 527-554 [34] H Tuy, M Minoux and N.T Hoai-Phuong, Discrete monotonic mptimization with application to a discrete location problem, SIAM Optimization, 17(2006), 78-97 [35] P L Yu, Multiple-Criteria Decision Making, York (1985) 82 J Plenum Press, New