Ctst toan 10 chuyende

ax+b,y+c,z=d, ax+b,y+cz=d, ax+b y+cz=d, dì) W8 NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM TRAN NAM DUNG (Téng Chủ biên) TRẦN ĐỨC HUYÊN (Chủ biên) NGUYỄN THÀNH ANH - ĐẶNG VĂN ĐOẠT CHUYÊN ĐỀ HỌC TẬP TOÁN NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM HƯỚNG DÂN SỬ DỤNG SÁCH z x Mỗi học sách Chuyên đề học tập Toán 10 thường có phần sau: Gợi mở, kết nối người học vào chủ đề học Hoạt động khởi động Gợi ý để người học tìm kiến thức Hoạt động khám phá Nội dung kiến thức cần lĩnh hội Kiến thức trọng tâm + t3 Các tập theo yêu cầu cần đạt Thực hành : Ứng dụng kiến thức để giải vấn đề Vận dụng Hãy bảo quân, giữ gìn sách giáo khoa đề đành tặng em học sinh lớp saul Loi noi dau Xe ye A Các bạn học sinh, quý thầy, cô giáo thân mến! Sách Chuyên đề học tập Toán 10 thuộc sách Chân trời sáng tạo biên soạn theo Chương trình giáo dục thong năm 2018 Bộ Giáo duc va Dao tao Sách bao gồm ba chuyên đề: Chuyên đề Hệ phương trình bậc ba ẩn ứng dụng Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học nhị thức Newfton Chuyên đề Ba đường conic ứng dụng Các chuyên đề nhằm mục đích: — Cung cap thêm sơ kiên thức kĩ tốn học nhằm đáp ứng yêu cầu phân hoa, †ạo hội cho học sinh vận đụng Toán học để giải vân đề liên mơn thực tiễn, góp phần hình thành sở khoa học cho giáo đục STEM ~ Giúp học sinh hiểu vai trò ứng đụng Toán học thực tiễn; làm sở cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học thông; tạo hội cho học sinh nhận biết nang khiéu, sở thích mình, từ tạo đam mê học Tốn Mỗi chun đề có nêu kiên thức học yêu cầu cần đạt chuyên đề Các học xây dung theo tinh thần định hướng phát triển lực thường thông theo bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận đụng Chúng hi vọng sách Chuyên đề học tập Toán 10 hỗ trợ q thầy q trình đạy học, đồng thời giúp bạn học sinh hứng thú học tập mơn Tốn Rất mong nhận góp ý quý thầy, cô giáo bạn học sinh đề sách ngày hoàn thiện CÁC TÁC GIẢ Trang Chuyên để HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨNVÀỨNGDỤG Bài tập cuối chuyên đề k wi =5 oe ‘ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ NHỊ THỨC NEWTON Bai, Phuong pháp quy nạptoánhọc Bài Nhị thức Newton b s +6 ne 27 s 34 Bài tập cuối chuyên đ2_c 40 Chuyén dé BA DUONG CONICVA ONG DUNG Ba LEN a2 A a1 Se, a2 42 www 50 Bàt3, Eanbol ,.a R11.xa P Bai 4, Tinh chat chung ctia ba dirong conic, Bang giai thich thudtng® Fee eg NUR EL a oe 22 60 ‘ ana ean ei ws 67 nS Chuyén dé HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN VÀ ỨNG DỤNG lớp dưới, học cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn Trong chuyên đề này, tìm hiểu hệ phương trình bậc ba ẩn cách giải hệ phương trình phương pháp Gauss Chúng ta học cách vận dụng hệ phương trình bậc ba ẩn để giải số vấn đề thực tiễn sống Sau chuyên đề này, bạn có th ~ Nhận biết hệ phương trình bậc ba ẩn, nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn ~ Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss ~Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay ~ Vận dụng hệ phương trình bậc ba ẩn để giải số vấn đề khoa học thực tiễn sống Bài Hệ phương trình bậc ba ẩn Từ khố: Hệ phương trình bậc ba ẩn; Nghiệm; Phương pháp Gauss @®) Chủng ta biết cách mô tả môi liên hệ hai ẩn sô x, y phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện a,x + b,y= e (để + bệ >0) va a,x+ b,y =e, (& +b; >0) bang cach sử dụng hệ phương trình bậc hai ân: {= oy = Ox by—c, Trong bai học này, ta học cách giai quyét tinh huéng can mô tả môi liên hệ ba ân sô x, y„ z phải thoả mãn đồng thời ba điều kiện: ax + by + c SP duấ cò hàn nu, Vũd x + D,ÿ + c,> = d, Định nghĩa hệ phương trình bậc ba ẩn e Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm-128 học sinh tham gia lao động trồng Mỗi học sinh lớp 10A trồng bạch đàn bàng Mỗi học sinh lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi học sinh lớp 10C trồng bạch đàn Ca lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Gọi x, y, z sô học sinh lớp 10A, 10B, 10C a) Lập hệ thức thể liên hệ gitta x, y vas b) Trong bang liệu sau, chợn số liệu phủ hợp với sô học sinh lớp 10A, 10B, 10C giải thích lựa chọn bạn 4® 43 44 40 43 45 42 43 43 , ta nhận ba hệ thức thể liên hệ x, y z Mỗi hệ thức gọi phương trình bậc ba ân (với ẩn x, y, z) Ba phương trình tạo thành hệ phương trình bậc nhât ba an Tổng qt ta có: ® Phương trình bậc ba ẩn hệ thức có đạng: ax + by + œz= d, x, y, z gọi ba ẩn a, b, c, dla sô thực cho trước gọi hệ số, thoả mãn a, b, e không đồng thời Mỗi ba số (xạ; v„; z„) thoả mãn phương trình gọi nghiém cua phuong trình bậc nhât ba ẩn ® Hệ ba phương trình bậc ba ẩn hệ có đạng: ax+biy+z= dị ax+b,y+c;z= d, a,x+b,y+¢e,5= d +, y, z ba ẩn, a,b,c, dla cac số thực cho trước gọi hệ 56.6 day cac s6 a, b,, c, (i= 1, 2, 3) khong dong thoi bang Mỗi ba sô (x,; y„: z) thoả mãn đồng thời ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình Giải hệ ba phương trình bậc nhật ba ân tìm tất nghiệm Chú ý: Hệ ba phương trình bậc nhật ba ân gọi tắt hệ pluương trình bậc ba an Ví dụ Hệ phương trình đưới hệ phương trình bậc nhât ba ân? Mỗi ba số (1; 2; 2), (C1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ân khơng? 2x-3y+4z=4 ()$-x+2y+z=8 (2) 3x+Ay—-z=2; 3x-2y? +42 =6 44x=5y+2z=-3 x+3y-s=-l Gidi Hệ phương trình (1) hệ phương trình bậc nhat ba ân Hệ phương trình (2) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn, phương trình thứ nhât hệ có chứa yŸ + Thay x= 1, y=2, z=2 vào trái phương trình hệ (1) so sánh với phải, †a được: Phương trình thứ nhất: — + 8= (thoả mãn); Phương trình thứ hai: —1 + + =5 # (không thoả mãn) Vậy (1; 2; 2) không nghiệm hệ phương trình (1) Thay x=-l,y=2,z= vào trái phương trình hệ (1) so sánh với phải, ta được: Phương trình thứ nhất: -2 — + 12 = (hoả mãn); Phuong trinh tht hai: Phương trình thứ ba: 1+ 4+ 3=8 (Œhoả mãn); -3 + § —- 3= (thoả mãn) Vậy (T1; 2; 3) nghiệm hệ phương trình (1) Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ân? Mỗi ba số (1; 5; 2), (1;1; 1) C1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ân khơng? 4x-2y+z=5 Œ) x+2z=5 44xz-5y+2z=-—7 @) =x+3y+2:=3: j2x-xv+z=“l 3x—2y=-—7 Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Ở lớp dưới, biết cách giải hệ hai phương trình bậc hai ấn Đơi với hệ phương trình bậc ba an, tìm cách giải thé nao? Cho hệ phương trình: 2x-y+z=l (1) Bx — 3y¬z=2 (2) 2z=3, âu Zz =] 2y+z=-—l 2y-z=-4 a) Hệ phương trình (1) có đặc biệt? Giải hệ phương trình b) Biến đổi hệ phương phương trình (2) trình (2) dạng hệ phương trình (1) Giải hệ Hệ phương trình có dạng hệ phương trình (1) gọi hệ phương trình bậc ba an dang tam gidc Mọi hệ ba phương trình bậc nhat ba ân biến đôi hệ phương trình bậc ba an dang tam giác Ví dụ2 Biến đồi hệ phương trình sau hệ phương trình bậc ba ân dạng tam giác giải hệ vừa tìm 3x-y+ z=3 (@ x-y+z=2 (2) y+2z=l @®) Giải Nhân hai phương trình (2) với —3, cộng với phương trình nhận với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) (3), ta hệ: 3x-y+ z=3 () 2y-2z=-3 (2.1) yt+2s=1 (3) Nhân hai phương trình (3) voi —2, cong với phương trình nhận với phương trình (2.1), giữ nguyên phương trình (1) (2.1), ta hệ: 3x-y+ z=3 qd) 2y-2z=-3 (2.1) @.) Từ phương trình (3.1), ta có z = = Thay z= é vào phương trình (2.1), ta y= “ae Thay y= “a va z= § vào phương trình (1), ta x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm G- $2] Đề giải hệ phương trình bậc ba ẩn, ta sử dụng phép biến đổi tương đương dé đưa hệ phương trình bậc nhât ba an dang tam giác, từ tìm nghiệm hệ Cách giải gọi giả? hệ phương trình bậc âm h Pa n Băng phươhÄlD Gà buàa Nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x-2y+3:=9 (1) 2x+3y-z=4 (2) x+ấy-4z=2 (3) Giải Nhân hai phương trình (3) với ~2, cộng với phương trình nhận với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) (2), ta hệ: x-2y+3z=9 (1) 2x+3y-z=4 (2) =7y+7z=0 (3.1) a Bạn có biết? Hệ thống định vị LORAN Người ta ứng dụng tinh chất đường hypebol đề định vị tàu thuyền ven biển thông qua hệ thông LORAN Cách vận hành LORAN sau: Khi hai trạm phát#, va F, phat tin hiệu thời điểm đến tau, thi hiệu số hai thời điểm tàu nhận tín hiệu từ hai trạm nhân với tốc độ sóng vơ tun cho hiệu sơ khoảng cách từ vị trí tàu đến F va F, Do do, tàu hypebol có tiêu điểm ise va F, Bằng cách đưa vào trạm phát sóng thứ ba, Z.„ có thề hình thành nhánh hypebol khác với tiêu điểm By va Này Khi vị trí tàu giao điểm hai nhánh hypebol Tiêu Nguyên tắc dựa hypebol giao sử đụng hệ thông định vị tầm xa, gọi LORAN (LOng RAnge Navigation) Các trạm radar đóng vai trị tiêu điểm hypebol, tât nhiên, máy tính sử dụng cho nhiều thao tác cần thiết dé xác định vị trí tàu (Nguôn: htps://en.wikipedia.org/wiki/LORAN) 56 Bai Parabol Tit khoa: Parabol; Trục đối xứng; Đỉnh; Bán kính qua tiêu; Tâm sai ® Mặt cắt gương phân chiếu đèn pha parabol (P) với tim bóng đèn đặt tiêu điểm Z Làm để tìm khoảng cách từ # đến điểm gương biết phương trình tắc (P)2 Tính đối xứng đường parabol Ôn tập parabol Ta biết parabol (P) với phương trình tắc y?= 2px (p > 0) có đêu điểm r(#u) có đường chuẩn A:x=—?” Parabol (P) nhận Óx làm rực đối xứng Giao điểm parabol (P) trục đôi xứng gọi đính parabol Hình Chú ý: a) Voi moi diém M(x; y) thuộc parabol (P): y? = 2øx (vớip > 0) ta có x > 0, suy (P) thuộc nửa mặt phẳng toạ độ có x > b) Vì = < nên đường chn parabol khơng có điểm chung với parabol Chứng tỏ nêu điểm My; v„) nằm parabol (P) điểm M,; -y,) nằm parabol (P) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuân gọi tham s6 tiéu cia parabol Chú ý: Khác với elip hypebol, đường parabol có trục đối xứng, đỉnh khơng có tâm đơi xứng Ví dụ Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn trục đồi xứng parabol (P): yˆ= 4x Giải Ta có 2p =4, suy 1a =2 Vậy (P) có tiêu điểm Z(1; 0), đỉnh O(0; 0) đường chuẩn A: x=—1 nhận Óx làm trục đối xứng 57 Đ Tim toa độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn trục đối xứng parabol sau: NPI =2 @) Í B)Œt*x — 9Œ) y= 2x Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm 4Q; 0) đường thẳng #: x + = Viết phương trình đường (7) tập hợp tam J(x; y) đường tròn (C) thay đổi luôn qua4 tiếp xúc voi d Bán kính qua tiêu tâm sai parabol + Cho điểm MŒ; y) parabol (P): 2=2px (Hình 2) Tính khoảng cách từ điểm A⁄ đến tiêu điểm Ƒ (P) Hình2 s Cho diém M trén parabol (P) có tiêu điểm # đường chuân A Ta gọi đoạn FM 1a bán kính qua tiêu điêm M gọi tỉ sô e = ala d(M, A) la tam sai cua parabol (P) Moi parabol có tâm sai e = va parabol chinh tac (P): °= 2px co dai ban kinh qua tiêu điểm A⁄; y) FM =x sâu Ví dụ2 Tinh ban kính qua tiêu điểm A⁄(1; 2) parabol (P): yˆ= 4x Giải Ta có 2p = 4, suy rap =2 Vậy độ đài bán kính qua tiêu điểm A⁄1; 2) là: FM=x4 2214222, Tinh ban kính qua tiêu điểm đưới parabol tương ứng: a) Điểm M,(1; -4) trén (P,): °= 16x; b) Diém M,(3; -3) trén (P,): P= 3x; ©) Điểm A⁄4(4; 1) (P,): y2 = ax 58 Một cơng có đạng đường parabol (P) Biết chiều cao công 7,6 m khoảng cách hai chân cổng m Người ta muôn treo tiêu điểm Ƒ (P) đoạn dây nối từ đỉnh % cổng Tính khoảng cách từ tâm ngơi đến đỉnh cơng os Mặt cắt chảo ăng-ten có dang mét parabol (P) có phương trình tác y2 = 0,25x Biết dau thu tin hiệu chảo ăng-ten đặt tiêu điểm Ƒ (P) Tinh khoảng cách từ điểm A⁄Z(0,25; 0,25) ăng-ten đến F BÀI TẬP Tìm toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn parabol sau: 4) (P): y2= Trị 2= ©)Œ,): y2= 42x Tính bán kính qua tiêu điểm cho parabol sau: a) Điểm Ä⁄,(3; -6) (P,): y$= 12x; _ c) ĐiểmM, (⁄:x2) b) ĐiểmA⁄(6; 1) trên(P,): y?= = ŒP,): yay x Trong mat phang Oxy, cho diém AC ; 0) đường thẳng d: x + T~ Viết phương trình đường (?) 1a tap hop tam M(x; y) đường trịn (C) di động ln ln quaA tiếp xúc với đ Cho parabol (P) Trên (P) lây hai điểm A⁄, N cho doan thang MN qua tiêu điểm Ƒ (P) Chứng minh khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AZV đến đường chuan A ctia (P) bang hy wk : đường trịn đường kính AZN tiêp xúc với A Hãy so sánh bán kính qua tiêu điểm AZ parabol (P) với bán kính đường tròn tam M, tiếp xúc với đường chuẩn (P) Mot chéiA chuyên động theo quỹ đạo có đạng parabol (7) nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm Cho biết khoâng cách ngắn nhát chỗi44 tâm Mặt Trời khoảng 112 km a) Viết phương trình tắc parabol (P) b) Tính khoảng cách chỗiA va tam Mặt Trời chổi nằm đường thẳng qua tiêu điểm vng góc với trục đơi xứng (P) Mặt cắt gương phân chiếu đèn pha có dạng parabol (P) có phương trình tắc y2 = Tính khoảng cách từ điểm Ä⁄Z(1;^/6 ) gương đến tiêu điểm (P) (với đơn vị hệ trục toạ độ xentimét) 59 Bài Tính chất chung ba đường conic Từ I:ố: Đường conic; Tiêu điểm; Đường chuẩn; Tâm sai ® Parabol: eon A lypebol Elip Do LÊ=^ J Tai người ta gọi elip, hypebol, parabol ba duong conic? Giao mặt phẳng với mặt nón trịn xoay 4e Giắn đoạn ống nhựa vào đầu bóng đèn chiếu nhỏ để tạo chùm ánh sáng hình mặt nón trờn xoay (Hình 1a, b) Chiêu đèn lên tường với góc nghiêng khác đề ánh sáng từ đèn hát lên tường tạo thành bóng khác (Hình 1c, d, e) Nhận xét hình ảnh bạn nhìn thây tường Hình 60 Người ta chứng minh tạo đường tròn, elip, hypebol, parabol bang cach „ cho mặt phẳng cắt mặt nón trịn xoay Giao mặt phẳng với mặt nón trịn xoay (mặt phẳng khơng qua đỉnh mặt nón) có thê đường tròn, đường elip, đường hypebol hay đường parabol Ví dụ Trong Hình 2a, giao mặt phẳng mặt nón đường parabol a) b) ©) Hình Đ Giao mặt phẳng mặt nón Hình 2b, e có đạng đường gi? Khi máy tạo nô mạnh, bay lớp gọi bay song song với mặt đât với vận tốc lớn vận tốc âm không khí đao động có hình mặt nón (nón Mach) (Hình 3) tạo tiếng tiếng nô siêu Những người mặt đât nêu nghe thây tiếng nd thời điểm vị trí họ thuộc đường hypebol Hãy giải thích điều tf Nén Mach, Mặt đất Hình Xác định đường conic theo tâm sai, tiêu điểm đường chuẩn y Cho đường conic có tiêu điểm #, đường chuân A điểm A⁄ điểm nằm đường conie oe oe: Tìm mơi liên hệ tỉ so Wat, Ay đường cornc ee ee tên gọi (ay K Œ M _ ) A Hình4 61 Định nghĩa chung đường conic ® Cho điểm # định đường thẳng A cô định không qua F Tap hợp điểm A⁄ cho tỉ số số đương e cho trước gọi đường conic Diém F goi la tiéu điểm, A gợi đường chuẩn e gọi tâm sai đường conic Từ định nglữa trên, kết hợp với tính chât elip, parabol hypebol, ta có: %_ Elip đường conic có tâm sai e < 1; Parabol đường come cỏ tâm sai e = 1; Hypebol đường conic co tam sai e > Vidu2 Xác định tâm sai, toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn tương ứng đường conic sau: a) D> = 14x; x b) —+—=1; Me vs * i, c) —- 12 Giải a) Conic (P): 3? = 14x parabol Ta có có 2ø = 14,p =7 Suy (P) có tiêu điểm FC b) Conic (£): n :0), đường chuẩn A: x= Z7 va tam sai e= ee elip —b? = J5,e=" a2 = ya? c Ta cd: a=10,b=45, merry sàn T2 e Suy (E) có tiêu điểm F,(-¥5;0), dong chudn A, :x=-2¥5 va tam sai e= a h c) ) Conic «Oe OT(H): —-=—=1 Taeé @e2,beoRewdr — la motot hypebol hyp +h = ee leo a e e2ey, Suy Ta (7) có tiêu điểm Z,(4;0), đường chuẩn A, : x =1 tâm sai e= Ví dụ Cho đường thẳng A: x + y— = Gọi tên lập phương trình đường (7) tập hợp cac diém M(x; y) thoả mãn aje=— 62 b)e=2; "¬ › = e trường hợp sau: che=l Gidi TacdMO= Jey? vad(M, A)= — a) () có e= > 1, (7) hypebol: Ta có Äx; y) e (L)© i“ fet se =2