Luận án tiến sĩ về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐỨC TUẤN VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐỨC TUẤN VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Phan Đức Tuấn ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thành Quang Trước hết tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, người định hướng nghiên cứu, đặt toán hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Hà Huy Khoái, người quan tâm, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Tập thể Thầy Cơ giáo ngành Tốn thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh - Tập thể Thầy Cơ giáo Khoa Tốn - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gịn, nơi tác giả cơng tác, đặc biệt PGS TS Phạm Hoàng Quân, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thành viên gia đình tác giả người bạn thân thiết giúp đỡ động viên suốt trình học tập Phan Đức Tuấn iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Tập xác định cho hàm phân hình p-adic 11 1.1 Một số khái niệm sở 11 1.2 Bổ đề Borel trường hợp p-adic 18 1.3 Tập xác định cho hàm phân hình p-adic 27 Chương Giá trị Picard xác định hàm phân hình p-adic với đạo hàm chúng 2.1 33 Giá trị Picard cho hàm phân hình p-adic với đạo hàm chúng 33 2.2 Sự xác định hàm phân hình p-adic với đạo hàm chúng 37 Chương Đa thức vi phân toán chia sẻ giá trị 58 3.1 Đa thức vi phân chia sẻ giá trị 58 3.2 Đa thức vi phân chia sẻ giá trị khơng tính bội 71 Kết luận kiến nghị 79 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 81 Tài liệu tham khảo 82 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu Ý nghĩa Trang N Tập hợp số tự nhiên 13 C Trường số phức Cp Trường số phức p-adic 12 Pn (Cp ) Không gian xạ ảnh p-adic n chiều 16 f0 Đạo hàm bậc f f (k) Đạo hàm bậc k f f −1 (S) Tập ảnh ngược S qua f Ef (S) Tập ảnh ngược S qua f , tính bội E f (S) Tập ảnh ngược S qua f , khơng tính bội gcd(a, b) Ước chung lớn a b 29 Tf (r) Hàm đặc trưng hàm phân hình f 14 Nf (0, r) Hàm đếm không điểm hàm phân hình f 14 Nf (∞, r) Hàm đếm cực điểm hàm phân hình f 14 mf (∞, r) Hàm xấp xỉ hàm phân hình f 14 δf (a) Số khuyết hàm phân hình f a 16 µaf Bậc hàm phân hình f a 17 M [f1 , , fn ] Đa thức vi phân hàm phân hình 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị xây dựng R Nevanlinna [72] vào năm 1925 Sự đời lý thuyết đánh giá kiện toán học vĩ đại kỷ 20 Bằng cách áp dụng lý thuyết phân bố giá trị, R Nevanlinna [73] chứng minh định lý tiếng sau: Với hai hàm phân hình phức khác số f g , có năm giá trị phân biệt (i = 1, 2, 3, 4, 5) thỏa mãn f −1 (ai ) = g −1 (ai ) ( khơng tính bội) với i = 1, 2, 3, 4, f = g Hơn nữa, f −1 (ai ) = g −1 (ai ) (tính bội) với i = 1, 2, 3, f = ag+b cg+d với a, b, c, d số phức thỏa mãn ad − bc 6= Từ đây, lý thuyết xác định hàm phân hình phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng mở rộng khác Vào năm 1976, F Gross [29] bắt đầu nghiên cứu vấn đề tương tự cho hai hàm phân hình có ảnh ngược tập hợp điểm trùng Ông đưa câu hỏi sau: Tồn hay không tập S ⊂ C ∪ ∞ cho với hàm phân hình khác số f g thỏa mãn f −1 (S) = g −1 (S) (tính bội) f = g ? Tập S có tính chất gọi tập xác định cho hàm phân hình Ví dụ tập xác định đưa F Gross C.C Yang [30] vào năm 1982 Hai ông chứng minh tập S = {z : z + ez = 0} tập xác định cho hàm nguyên Chú ý tập hợp có vơ hạn phần tử Tập xác định cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử đưa H Yi [66] vào năm 1995 với 15 phần tử tập xác định cho hàm phân hình có số phần tử với 11 phần tử xây dựng G Frank M Reinders [24] vào năm 1998 Sau đó, vào năm 2000, H Fujimoto [27] đưa điều kiện đủ cho tập hữu hạn tập xác định Lý thuyết cho hàm phân hình khảo sát trường số p-adic Kết thuộc W W Adam E G Strauss [5] Vào năm 1971, tác giả chứng minh hai hàm phân hình p-adic khác số có ảnh ngược điểm phân biệt trùng Kết mở rộng cho đường cong chỉnh hình p-adic cơng trình P C Hu C C Yang [34], M Ru [59], V H An T D Duc [10] số tác giả khác Các tập xác định cho hàm phân hình p-adic xây dựng P C Hu C C Yang [34], A Escassut A Boutabaa [13] Năm 1999, P C Hu P C Yang [36] đưa tập xác định cho hàm phân hình p-adic với 10 phần tử vào năm 2003, H H Khoai T T H An [40] đưa điều kiện đủ cho tập hữu hạn tập xác định cho hàm phân hình p-adic Một hướng phát triển khác tốn xác định hàm phân hình tìm đặc trưng cho hàm phân hình có ảnh ngược hay nhiều tập hợp điểm với đạo hàm chúng Vào năm 1977, L A Rubel C C Yang [52] chứng minh kết sau: Nếu hàm nguyên khác số f đạo hàm bậc f có ảnh ngược hai giá trị phân biệt a1 a2 (tính bội), nghĩa f −1 (ai ) = (f )−1 (ai ) (tính bội) với i = 1, 2, f = f Vào năm 1997, C C Yang X A Hua [65] nghiên cứu toán xác định cho hàm phân hình đơn thức vi phân dạng f n f , chúng có tập ảnh ngược điểm tính bội họ thu kết sau: Giả sử f g hàm phân hình khác số, n > 11 số nguyên a ∈ C \{0} Nếu (f n f )−1 (a) = (g n g )−1 (a) (tính bội) f = dg với d bậc (n + 1) đơn vị g(z) = c1 ecz f (z) = c2 e−cz với c, c1 c2 số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 Bài toán tổng quát theo hướng nghiên cứu phát biểu dạng: Giả sử f g hàm phân hình khác số P đa thức vi phân cho P [f ] P [g] có tập ảnh ngược hay nhiều điểm phân biệt Với giả thiết P số điểm chung, ta kết luận f = g f g có quan hệ mật thiết Theo hướng nghiên cứu này, kết hàm phân hình phức khảo sát cho đa thức vi phân dạng (f n )(k) , (f n (f − 1))(k) , f n (f − 1)2 f , cơng trình M L Fang [23], W C Lin H X Yi [50] Bài toán cho hàm phân hình đạo hàm chúng trường số p-adic khảo sát tác giả H H Khoai V H An [42]; J Ojeda [54] cho đơn thức vi phân dạng f n f ; K Boussaf, A Escassut J Ojeda [12] cho đa thức vi phân dạng f P (f ), với P đa thức cho hàm phân hình; H H Khoai, V H An N X Lai [44] cho đa thức vi phân dạng (f n )(k) Một đặc điểm đa thức vi phân đề cập chúng lấy tích phân dạng P (f ), với P đa thức trường số phức p-adic Từ đó, nhiều tác giả ứng dụng kết lý thuyết phân bố giá trị lý thuyết đa thức cho hàm phân hình để giải vấn đề đặt Gần đây, dạng đa thức vi phân không thuộc dạng bắt đầu khảo sát Chẳng hạn, vào năm 2011, J Grahl S Nevo [28] khảo sát toán cho hàm phân hình đa thức vi phân dạng P [f ] = f n + af (k) Việc khảo sát dạng đa thức vi phân đòi hỏi tác giả phải đưa kỹ thuật phương pháp chứng minh Điều cho thấy toán cho hàm phân hình đạo hàm chúng đa dạng việc khảo sát chúng đáng quan tâm cần thiết Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Về tập xác định cho hàm phân hình đạo hàm chúng" Mục đích nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu tập xác định hàm phân hình đạo hàm chúng với mục đích sau: (a) Xây dựng tập xác định cho hàm phân hình (b) Khảo sát tốn cho hàm phân hình đạo hàm chúng cách xét đa thức vi phân có ảnh ngược hay nhiều điểm Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Hàm phân hình, đa thức vi phân tập xác định cho hàm phân hình 3.2 Phạm vi nghiên cứu Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu đặc trưng hàm phân hình đạo hàm chúng có ảnh ngược hay nhiều tập hợp điểm trường hợp tính bội khơng tính bội Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng lý thuyết phân bố giá trị trường hợp phức Nevanlinna trường hợp p-adic xây dựng Hà Huy Khoái với lý thuyết phân bố giá trị cho đa thức vi phân bổ đề Borel suy rộng Ý nghĩa khoa học thực tiễn 5.1 Ý nghĩa khoa học Vấn đề tập xác định cho hàm phân hình đạo hàm chúng lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Các kết tập xác định nhất, toán chia sẻ giá trị cho hàm phân hình đạo hàm chúng vừa mang tính thời vừa có mối quan hệ chặt chẽ với lĩnh vực phương trình hàm phương trình vi phân Do đó, việc nghiên cứu đặc trưng tập xác định 75 Do nT (r, f ) + nT (r, g) = T (r, f n ) + T (r, g n ) + O(1) ≤ T (r, F ) + T (r, m (k) l ) + T (r, G) af (f ) − b +T (r, m (k) l ) + O(1) ag (g ) − b = T (r, F ) + T (r, f m (f (k) )l ) + T (r, G) +T (r, g m (g (k) )l ) + O(1) Vì nT (r, f ) + nT (r, g) ≤ T (r, F ) + mT (r, f ) + lT (r, (f (k) )) + T (r, G) +mT (r, g) + lT (r, (g (k) )) + O(1) ≤ (5l + 5m + 7)T (r, f ) + (5l + 5m + 7)T (r, g) +(m + l)T (r, f ) + (m + l)T (r, g) + S(r, f ) + S(r, g) Dẫn đến (n − 6l − 6m − 7)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g) Điều mâu thuẫn với giả thiết n ≥ 6l + 6m + Trường hợp F = G Khi gn fn = af m (f (k) )l − b af m (g (k) )l − b Vì (3.1.1) xảy Trường hợp F G = Khi φf − b fn a(f (k) )l − b = = φg − b gn a(g (k) )l − b (3.2.20) Ta chứng minh (3.2.20) không xảy Từ φf , φg chia sẻ giá trị b (khơng tính bội) f, g hàm nguyên, ta có 1 1 ), ) N (r, ) = N (r, N (r, ) = N (r, f g g m (g (k) )l − ab f m (f (k) )l − ab (3.2.21) 76 Nếu f (k) ≡ ta có f đa thức kết hợp với (3.2.21), ta có g (k) 6≡ Điều dẫn đến f g khác số Từ (3.2.20), ta có (f g)n = −b(ag m (g (k) )l − b) (3.2.22) Từ Bổ đề 3.1.5, ta có 1 ) + N (r, ) + S(r, f g) (f g)n g m (g (k) )l 1 ≤ N (r, ) + N (r, m ) + N (r, (k) ) + S(r, f g) fg g g nT (r, f g) ≤ N (r, ≤ T (r, f g) + T (r, g) + T (r, g (k) ) + S(r, f g), điều suy (n − 1)T (r, f g) ≤ 2T (r, g) + S(r, f g) + S(r, g) (3.2.23) Mặt khác, từ (3.2.22) ta có mT (r, g) = T (r, g m ) + O(1) ≤ T (r, g m (g (k) )l ) + T (r, ) + O(1) (g (k) )l 1 ) + ) + lT (r, g) + S(r, g) ≤ N (r, N (r, (f g)n g m (g (k) )l ≤ T (r, f g) + 2T (r, g) + lT (r, g) + S(r, g), điều dẫn đến (m − l − 2)T (r, g) ≤ T (r, f g) + S(r, g) (3.2.24) Từ (3.2.23) (3.2.24), ta có (n − 1)T (r, f g) + (m − l − 3)T (r, g) ≤ S(r, f g) + S(r, g), điều mâu thuẫn với giả thiết n ≥ 6l + 6m + m ≥ l + Vì f (k) 6≡ tương tự, ta có g (k) 6≡ Từ Bổ đề 3.1.7, ta có 1 T (r, f m (f (k) )l ) ≤ N (r, ) + N (r, ) + T (r, f (k) ) + S(r, f ) b (k) f f m (f )l − a 1 = N (r, ) + N (r, ) + T (r, f (k) ) + S(r, f ) f g ≤ 2T (r, f ) + T (r, g) + S(r, f ) 77 Do mT (r, f ) = T (r, f m ) + O(1) ≤ T (r, f m (f (k) )l ) + T (r, (f (k) )l ) + O(1) ≤ 2T (r, f ) + T (r, g) + T (r, (f (k) )l ) + S(r, f ) ≤ 2T (r, f ) + T (r, g) + lT (r, f ) + S(r, f ) + S(r, g), điều dẫn đến mT (r, f ) ≤ (l + 2)T (r, f ) + T (r, g) + S(r, f ) + S(r, g) Tương tự, ta có mT (r, g) ≤ (l + 2)T (r, g) + T (r, f ) + S(r, f ) + S(r, g) Vì (m − l − 3)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g), điều mâu thuẫn với giả thiết m ≥ l + Định lý 3.2.2 chứng minh 78 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG Trong chương này, giải vấn đề sau Đưa đặc trưng hàm ngun hàm phân hình phức có đa thức vi phân dạng f n + af m (f (k) )l chia sẻ giá trị (Định lý 3.1.10 Định lý 3.1.11) Đưa đặc trưng hàm ngun hàm phân hình phức có đa thức vi phân dạng f n + af m (f (k) )l chia sẻ giá trị, khơng tính bội (Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.2) Các kết Chương chúng tơi cơng bố báo [63] 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong luận án này, nghiên cứu toán tập xác định cho hàm phân hình đạo hàm chúng Các kết luận án là: Đưa tương tự Bổ đề Y T Siu - S K Yeung trường hợp p-adic Xây dựng tập xác định cho hàm phân hình p-adic đưa ví dụ chứng tỏ tồn tập xác định cho hàm phân hình p-adic với 12 phần tử Đưa định lý giá trị Picard cho đa thức vi phân dạng f n + af (k) trường số p-adic Đưa định lý cho hàm ngun hàm phân hình p-adic có đa thức vi phân dạng f n + af (k) có ảnh ngược điểm có tính bội Đưa đặc trưng hàm nguyên hàm phân hình phức có đa thức vi phân dạng f n + af m (f (k) )l chia sẻ giá trị hai trường hợp tính bội khơng tính bội Kiến nghị Trong thời gian tới tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề sau đây: Đa thức cho hàm phân hình ứng dụng vào tốn cho hàm phân hình đạo hàm chúng chia sẻ hay nhiều giá trị 80 Bài toán cho hàm phân hình đạo hàm chúng có ảnh ngược hay nhiều điểm có bội bị chặn 81 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2004), Siu-Yeung’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Mathematics, 32:2, 227-234 Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2006), A p-adic generalized Borel’s lemma, East - West Journal of Mathematics, Vol 8, No 2, 141-148 Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang (2016), Picard values and uniqueness for p-adic meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 41, No 4, 563-582 Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang (2016), Differential polynomials and value-sharing, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., Vol 45, 23-44 Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang, Value-sharing problem for differential polynomials (Gửi đăng) 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Tạ Thị Hoài An (2001), Về tập xác định đa thức cho hàm phân hình, Luận án tiến sĩ Tốn học, Trường Đại học Sư phạm Vinh [2] Vũ Hoài An (2002), Phân phối giá trị cho hàm ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiều biến, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học [3] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến đường cong chỉnh hình tính Hyperbolic Brody p-adic, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Vinh [4] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan không gian Hyperbolic Brody p-adic, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Vinh Tiếng Anh: [5] W W Adam and E G Straus (1971), Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points, Illinois J Math., 15, 418-424 [6] Ta Thi Hoai An (2002), A new class of unique range sets for meromorphic functions on C, Acta Math Vietnam., Vol 27 (3), 251-256 [7] Ta Thi Hoai An and A Escassut (2008), Meromorphic solutions of equations over non-Archimedean fields, Ramanujan J., 15 (3), 415433 [8] Ta Thi Hoai An, J T Y Wang and P M Wong (2005), Unique range sets and uniqueness polynomials in positive characteristic II, Acta Arith., 116 (2), 115-143 83 [9] Ta Thi Hoai An, J T Y Wang, and P M Wong (2004), Strong uniqueness polynomials: the complex case, Journal of Complex Variables and it’s Application, 49 (1), 25-54 [10] Vu Hoai An and Tran Dinh Duc (2008), Uniqueness theorems and uniqueness polynomials for p-adic holomorphic curves, Acta Math Vietnam., 33 (2), 181-195 [11] W Bergweiler and A Eremenko (1995), On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order, Rev Mat Iberoamericana 11 (2), 355-373 [12] K Boussaf, A Escassut and J Ojeda (2012), P -adic meromorphic functions f P (f ), g P (f ) sharing a small function, Bull Sci Math., 136 (2), 172-200 [13] B Boutabaa and A Escassut (2001), Urs and Ursim for p-adic meromorphic functions inside a disk, Proc Edinburgh Math Soc., 44 (3), 485-504 [14] H H Chen and M L Fang (1995), On the value distribution of f n f , Sci China Ser A, 38, 789-798 [15] Z X Chen and K H Shon (2005), On the entire function sharing one value CM with k − th derivative, J Korean Math Soc., 42 (1), 85-99 [16] W Cherry and C Toropu (2009), Generalized ABC theorem for nonArchimedean entire functions of several variables in arbitrary characteristic, Acta Arith., 136, 351–384 [17] W Cherry and C C Yang (1999), Uniqueness of Non-Archimedean entire functions sharing sets of values counting multiplicity, Proc Amer Math Soc., Vol 127 (4), 967-971 84 [18] W Cherry and Z Ye (1997), Non-Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, Trans Amer Math Soc., 349 (12), 5043-5071 [19] J Clunie (1967), On a result of Hayman, J London Math Soc., 42, 389-392 [20] W Dăoringer (1982), Exceptional values of differential polynomials, Pacific J Math., 98 (1), 55-62 [21] A Escassut (1995), Analytic elements in p-dic analysis, World Scientic Publishing [22] A Escassut and J Ojeda (2014), The p-adic Hayman conjecture when n = 2, Complex Variables, Vol 59 (10), 1451-1455 [23] M L Fang (2002), Uniqueness and value-sharing of entire functions, Comput Math Appl., 44 (5-6), 823-831 [24] G Frank and M Reinders (1998), A unique range set for meromorphic functions with 11 elements, Complex Variables Theory Appl., Vol 37 (1-4), 185-193 [25] H Fujimoto (1998), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., 152, 131-152 [26] H Fujimoto (1999), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, II, Nagoya Math J., 155, 161-188 [27] H Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets, American Journal of Mathematics, Vol 122 (6), 11751203 [28] J Grahl and S Nevo (2011), Differential polynomials and shared values, Ann Acad Sci Fenn Math., 36, 47-70 85 [29] F Gross (1977), Factorization of meromorphic functions and some open problems, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 599, 5169 [30] F Gross and C C Yang (1982), On preimages range sets for meromorphic functions, Proc Japan Acad., 58 (1), 17-20 [31] G Gundersen (1980), Meromorphic functions that share finite values with their derivative, J Math Anal Appl., 75 (2), 441-446 [32] W K Hayman (1959), Picard values of meromorphic functions and their derivatives, Ann Math., Vol 70 (2), 9-42 [33] W K Hayman ( 1967), Research problems in function theory, The Athlone Press University of London, London [34] P C Hu and C C Yang (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer Academic Publishers [35] P C Hu and C C.Yang (1997), Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, Izv Natts Acad Nauk Armenii Nat., Vol 32 (3), 46-67 [36] P C Hu and C C Yang (1999), A unique range set of p-adic meromorphic function with 10 elements, Acta Mathematica Vietnamica, 24 (1), 95-108 [37] Ha Huy Khoai (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math J., 50 (3), 695-711 [38] Ha Huy Khoai (1993), Height of p-adic holomorphic functions and applications, Surikaisekikenkyusho Kokyuroku, 819, 96-105 [39] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), On uniqueness polynomials and bi-URS for p-adic meromorphic functions, J Number Theory, 871 (2), 211-221 86 [40] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2003), Uniqueness problem with truncated multiplicities for meromorphic functions on a nonArchimedean field, Southeast Asian Bull Math., 27, 477 - 486 [41] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2003), Value distribution for p-adic hypersurfaces, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol (1), 5167 [42] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2011), Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives, Ann Fac Sci Toulouse, Vol 20, No Special, 135-149 [43] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1351, 146-158 [44] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), Value sharing problem and uniqueness for p-adic meromorphic functions, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, 57-70 [45] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), P -adic Nevalinna-Cartan theorem, Inter J Math., (5), 719-731 [46] I Lahiri (2001), Weighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions, Complex Var Theory Appl., Vol 46 (3), 241-253 [47] I Lahiri and S Dewan (2003), Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative, Kodai Math J., 26 (1), 95-100 [48] P Li and C C Yang (1996), On the unique range sets of meromorphic functions, Proc Amer Math Soc., 124 (1), 177-195 [49] W C Lin and H X Yi (2004), Uniqueness theorems for meromorphic functions concerning fixed-points, Complex Variables, Vol 49 (11), 793-806 87 [50] W C Lin and H X Yi (2004), Uniqueness theorems for meromorphic function, Indian J Pure Appl Math., 35 (2), 121-132 [51] E Mues and M Reinders (1995), Meromorphic functions sharing one value and unique range sets, Kodai Math J., 18 (3), 515-522 [52] L A Rubel and C C Yang (1977), Values shared by an entire function and its derivative, Springer-Verlag, Berlin., 599, 101-103 [53] J Ojeda (2008), Hayman’s conjecture in a p-adic field, Taiwanese J Math., Vol 12 (9), 2295-2313 [54] J Ojeda (2010), Applications of the p-adic Nevanlinna theory to problems of uniqueness, Advances in p-adic and non-Archimedean analysis, Contemporary Mathematics, 508, 161-179 [55] J Ojeda (2011), Uniqueness for ultrametric analytic functions, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, Vol 54 (102), 153-165 [56] Nguyen Thanh Quang (1998), Borel’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Mathematics, 26:4, 311-313 [57] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2004), Siu-Yeng’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Mathematics, 32:2, 227-234 [58] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2006), A p-adic generalized Borel’s lemma, East - West J of Mathematics, Vol 8, No 2, 141-148 [59] M Ru (2001), Uniqueness theorems for p-adic holomorphic curves, Illinois J Math., 45 (2), 487-493 [60] Y T Siu and S K Yeung (1997), Defects for ample divisors of Abelian varieties, Schwarz lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degrees, Amer J Math., 119 (5), 1139-1172 88 [61] C Toropu (2014), ABC theorems in the functional case, Dissertation thesis, University New Mexico [62] Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang (2016), Picard values and uniqueness for p-adic meromorphic functions, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 41, No 4, 563-582 [63] Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang (2016), Differential polynomials and value-sharing, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., Vol 45, 23–44 [64] Phan Duc Tuan and Nguyen Thanh Quang, Value-sharing problem for differential polynomials (Submitted) [65] C C Yang and X A Hua (1997), Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions, Ann Acad Sci Fenn Math., 22, 395-406 [66] H X Yi, On a question of Gross (1995), Sci China, Ser A, 38, 8-16 [67] H X Yi (1999), Meromorphic functions that share one or two values II, Kodai Mathematical Journal, 22 (2), 264-272 [68] H X Yi and C C Yang (1995), Uniqueness theorems of meromorphic functions, Science press, Beijing [69] H X Yi (1988), On a Theorem of Tumura and Clunie for a differential polynomial, Bull Lond Math Soc., 20, 593-596 [70] J Zhang and L Yang (2014), Differential polynomials sharing one value, Acta Mathematica Scientia, 34B (6), 1865-1874 Ting c: ă [71] E Mues (1979), Uber ein Problem von Hayman, Math Z No 164, 239-259 89 [72] R Nevanlinna (1925), Zur Theorie der Meromorphen Funktionen, Acta Mathematica, 46, 199 [73] R Nevanlinna (1926), Einige Eindeutigkeitssăatze in der Theorie der Meromorphen Funktionen, Acta Mathematica, 48, 365-391