Luận án tiến sĩ ứng dụng vật liệu áp điện trong đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - LƯU QUỲNH HƯỜNG ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội –2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - LƯU QUỲNH HƯỜNG ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH Chun ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Trần Thanh Hải Hà Nội – 2021 i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Trần Thanh Hải tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành luận án Trong q trình thực luận án, tác giả nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi lãnh đạo tập thể cán bộ, nhà khoa học Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành giúp đỡ Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Thủy lợi, lãnh đạo Khoa Kỹ thuật tài nguyên nước, Bộ môn Kỹ thuật hạ tầng tạo điều kiện, ln quan tâm động viên suốt q trình tác giả học tập hoàn thiện luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên ủng hộ tác giả thời gian thực luận án Tác giả luận án Lưu Quỳnh Hường ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Lưu Quỳnh Hường iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ viii DANH MỤC BẢNG xi MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Sơ lược vật liệu áp điện ứng dụng 1.2 Ứng dụng vật liệu áp điện đời sống kỹ thuật 1.3 Tổng quan nghiên cứu vật liệu kết cấu áp điện 1.4 Ứng dụng vật liệu áp điện chẩn đốn kỹ thuật cơng trình 10 1.5 Tổng quan dao động chẩn đoán đoán vết nứt dầm FGM 15 1.6 Đặt vấn đề nghiên cứu 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG 18 CHƯƠNG 2.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM NGUYÊN VẸN CÓ MIẾNG ÁP ĐIỆN 19 2.1 Mơ hình dao động dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện 19 2.2 Mơ hình độ cứng động phần tử dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện 24 2.3 Tần số dao động riêng dầm FGM nguyên vẹn với miếng áp điện - Kết số… 26 KẾT LUẬN CHƯƠNG 45 CHƯƠNG 3.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN 46 3.1 Dao động dầm FGM bị nứt có lớp áp điện 46 3.1.1 Mơ hình vết nứt dầm FGM có lớp áp điện 46 3.1.2 Nghiệm tổng quát cho dao động tự dầm FGM bị nứt có lớp áp điện… 48 3.2 Dao động dầm đồng bị nứt có lớp áp điện 50 3.2.1 Cơ sở lý thuyết dao động dầm áp điện có vết nứt 50 iv 3.2.2 Kết phân tích số 58 3.3 Phân tích dao động dầm FGM bị nứt có lớp áp điện 62 3.3.1 Thuật tốn chương trình tính toán 62 3.3.2 Kết số 63 CHƯƠNG 4.CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM FGM CÓ LỚP ÁP ĐIỆN 79 4.1 Bài toán chẩn đoán vết nứt dầm đàn hồi tần số riêng 79 4.2 Cơ sở liệu chẩn đoán vết nứt dầm FGM-áp điện 82 4.2.1 Cơ sở liệu cho việc chẩn đoán vết nứt đường đồng mức tần số 82 4.2.2 Cơ sở liệu chẩn đốn vết nứt đường đồng mức điện tích cảm biến dao động 88 4.3 Kết thử nghiệm số 92 KẾT LUẬN CHƯƠNG 100 KẾT LUẬN CHUNG 101 DANH SÁCH CÁC CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN .102 TÀI LIỆU THAM KHẢO .103 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 𝑝 𝛽33 Hằng số điện môi lớp áp điện (m/F)  a , b Độ lớn vết nứt dầm đồng bị nứt có lớp áp điện 1,  Độ lớn vết nứt dầm FGM bị nứt có lớp áp điện ∈ Điện trường lớp áp điện (C/m2) 𝜀𝑥 , 𝛾𝑥𝑧 , Là thành phần biến dạng  Góc xoay mặt cắt ngang (độ) 𝜅 Hệ số hiệu chỉnh hình học 𝜆 Tham số tần số riêng 𝛱𝑏 , 𝛱𝑝 Tương ứng lượng biến dạng dầm lớp áp điện ρ Mật độ khối (kg/m3) 𝜎𝑥 , 𝜏 Là thành phần ứng suất  Tần số dao động (rad/s) Ab  bxhb Diện tích mặt cắt ngang dầm (m2) Ap  bxhp Diện tích mặt cắt ngang lớp áp điện (m2) a Độ sâu vết nứt (m) b, hb Tương ứng chiều rộng, chiều cao tiết diện dầm (m) 𝑝 𝐶11 Mô đun đàn hồi lớp áp điện (GPa) CC Dầm ngàm hai đầu CF Dầm đầu ngàm đầu tự Cof Hệ số tương quan Cov Tiêu chuẩn tương quan 𝐷 Độ dịch chuyển (mật độ điện tích) lớp áp điện 𝑫𝑒 (𝜔) Ma trận độ cứng động phần tử dầm FGM Timoshenko vi DSM Phương pháp độ cứng động lực E Mô đun đàn hồi (MPa) e Vị trí vết nứt (m) EMI Phương pháp trở kháng điện FGM Kết cấu làm từ vật liệu có lý tính biến thiên liên tục theo hướng nhiều hướng FRF Hàm đáp ứng tần số G Mô đun trượt (GPa) ℎ13 Hằng số áp điện lớp áp điện (V/m) ℎ0 Khoảng cách từ mặt phẳng dầm đến mặt phẳng trung hòa (m) hp Chiều cao lớp áp điện 𝐼𝑏 , 𝐼𝑝 Tương ứng mơ men qn tính mặt cắt ngang dầm lớp áp điện (m4) I ( ) Dòng điện (A) L Chiều dài dầm (m) M(x) Mô men uốn mặt cắt x MAPD Sai số tuyệt đối MPC Điện tích cảm biến dao động N(x) Lực dọc trục mặt cắt x n Chỉ số phân bố vật liệu {𝑷𝑒 (𝜔)} Vectơ lực nút phần tử dầm PTHH Phần tử hữu hạn PVDF Polime áp điện PZT Gốm áp điện vii Q Điện tích cảm biến dao động lớp áp điện RMSD Tiêu chuẩn trung bình bình phương SS Dầm tựa đơn hai đầu 𝑇𝑏 , 𝑇𝑝 Tương ứng động dầm lớp áp điện 𝑻𝑒 Ma trận định vị phần tử e {𝑼𝑒 (𝜔)} Vectơ chuyển vị nút phần tử dầm 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị dọc trục điểm mặt cắt ngang x (m) 𝑢0 (𝑥, 𝑡) chuyển vị dọc trục điểm mặt phẳng trung hòa (m) V ( ) Điện áp (V) 𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị ngang điểm mặt cắt ngang x (m) 𝑤0 (𝑥, 𝑡) chuyển vị ngang điểm mặt phẳng trung hòa (m) Y( ) Độ dẫn (S/cm) Z( ) Trở kháng (Ω) viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1 Các hiệu ứng áp điện Hình Các ứng dụng vật liệu áp điện đời sống .6 Hình Phần tử dầm FGM có lớp áp điện 19 Hình 2 Các lực chuyển vị nút phần tử dầm 25 Hình Mơ hình dầm FGM có miếng áp điện 26 Hình 2.4 a Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết đầu dầm SS số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 35 Hình 2.4 b Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết dầm SS với số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 36 Hình 2.4 c Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết suốt chiều dài dầm SS số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 37 Hình 2.5 a Sự biến đổi hai tần số chuẩn theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết đầu ngàm dầm CC số gradient vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 38 Hình 2.5 b Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết dầm CC với số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 39 Hình 2.5 c Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày tương đối miếng áp điện liên kết suốt chiều dài dầm CC số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 40 Hình 2.6 a Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày miếng áp điện liên kết với đầu ngàm dầm công xôn CF số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 41 Hình 2.6 b Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày miếng áp điện liên kết đầu tự dầm công-xôn CF số gradient vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 42 Hình 2.6 c Sự biến đổi hai tần số chuẩn hóa theo độ dày miếng áp điện liên kết dầm công-xôn CF số gradient vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10) 43 96 (c) Hình Kết chẩn đoán vết nứt phương pháp đường đồng mức tần số cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) dầm công xôn (c) với vết nứt vị trí e = L/3 có độ sâu 30% (a) 97 (b) (c) Hình Kết chẩn đoán vết nứt phương pháp đường đồng mức điện tích cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) dầm công xôn (c) với vết nứt dầm có độ sâu 30% 98 (a) (b) 99 (c) Hình 10 Kết chẩn đoán vết nứt phương pháp đường đồng mức điện tích cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) dầm công xôn (c) với vết nứt vị trí e = L/3 có độ sâu 30% Kết chẩn đoán cho thấy: (a) Việc chẩn đoán tần số riêng cho nghiệm dầm công xôn, mà điều kiện biên hai đầu không đối xứng; trường hợp điều kiện biên đối xứng việc chẩn đoán tần số riêng cho hai nghiệm đối xứng qua điểm dầm (điều rõ trường hợp dầm đồng nhất); lưu ý vết nứt dầm điểm đối xứng với qua dầm nó, tốn có nghiệm (b) Trong việc chẩn đốn điện tích cảm biến dao động ln cho ta nghiệm tất trường hợp điều kiện biên; điều chứng tỏ sử dụng cảm biến vật liệu áp điện giải trọn vẹn vấn đề khơng có nghiệm toán chẩn đoán vết nứt dầm kế FGM lẫn dầm đồng 100 Bảng Kết chẩn đoán vết nứt dầm FGM phương pháp đường đồng mức Trường hợp vết nứt thực Kết chẩn đoán tần số Độ sâu vết nứt Vị trí vết nứt Kết chẩn đốn điện tich Vị trí vết nứt Độ sâu vết nứt 0.3 0.5 0.3 0.3 1/3 0.3 0.3 0.5 0.3 0.3 1/3 0.3 Dầm tự đơn hai đầu 𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30% 𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30% 0.5 1/3 2/3 Dầm ngàm hai đầu 𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30% 𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30% 0.5 1/3 2/3 Dầm công xôn 𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30% 0.5 0.3 0.5 0.3 𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30% 1/3 0.3 1/3 0.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương tác giả trình bày sau : Nội dung phương pháp đường đồng mức, sở khoa học quy trình giải tốn chẩn đoán vết nứt dầm áp điện tần số riêng điện tích cảm biến dao động Xây dựng sở liệu để chẩn đoán vết nứt dầm FGM áp điện tần số riêng điện tích cảm biến dao động bao gồm kết giải phương trình tần số tính tốn điện tích cảm biến dao động từ dạng dao động riêng phụ thuộc vào hai biến vị trí độ sâu vết nứt Kết trình bày dạng đồ thị ba chiều hàm số hai biến nêu làm sở để chẩn đoán vết nứt phương pháp đường đồng mức; Áp dụng phương pháp đường đồng mức để thử nghiệm chẩn đốn vị trí độ sâu vết nứt tần số riêng điện tích cảm biến dao động tính từ tốn thuận Kết chẩn đốn cho thấy, sử dụng tần số riêng tốn chẩn đốn vết nứt dầm có hai biên đối xứng (dầm ngàm hai đầu dầm tựa đơn hai đầu) khơng có nghiệm Trong sử dụng điện tích cảm biến dao động ln cho nghiệm xác với vết nứt cho trước Đây kết công bố tạp chí ISI 101 KẾT LUẬN CHUNG Những kết luận án bao gồm: Đã xây dựng mơ hình dầm FGM gắn với miếng áp điện dầm bậc dựa phương pháp độ cứng động ứng dụng để phân tích tần số dao động riêng dầm FGM có miếng vá áp điện Kết phân tích số cho thấy kích thước vị trí miếng vá áp điện ảnh hưởng mạnh đến tần số riêng, làm tăng giảm tần số riêng tùy thuộc vào chiều dày vị trí gắn miếng vá áp điện Đặc biệt có mặt lớp áp điện làm tăng tương tác thành phần dao động uốn dao động dọc trục dầm FGM Đã xây dựng mơ hình dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chạy dọc theo chiều dài dầm ứng dụng để phân tích ảnh hưởng tham số vết nứt, tham số vật liệu chiều dầy lớp áp điện đến tần số riêng, điện tích áp điện dao động riêng (modal sensor charge - MSC) Kết phân tích số tạo thành sở liệu để chẩn đoán vết nứt tham số dao động, có tham số điện tích cảm biến dao động - dấu hiệu quan trọng để chẩn đoán vết nứt Đã áp dụng phương pháp đường đồng mức để chẩn đoán vết nứt dầm FGM kết thử nghiệm số cho thấy sử dụng tần số riêng để chẩn đoán vết nứt tốn chẩn đốn vết nứt dầm không cho nghiệm điều kiện biên đối xứng (dầm ngàm tựa đơn hai đầu) Nhưng sử dụng tham số điện tích cảm biến dao động thu thập lớp áp điện, ta ln nhận xác nghiệm Đây đóng góp quan trọng việc giải toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM minh chứng cho tiến việc ứng dụng vật liệu áp điện chẩn đoán vết nứt nói riêng chẩn đốn kỹ thuật cơng trình nói chung Những kết cho thấy sử dụng vật liệu áp điện cải thiện đáng kể kết chẩn đoán vết nứt dầm FGM so với kết công bố Tuy nhiên, luận án chưa đưa phương pháp đo đạc tín hiệu điện tích cảm biến dao động phịng thí nghiệm Vì vậy, kết nhận luận án thử nghiệm số chưa kiểm chứng thực nghiệm Đây vấn đề nghiên cứu tác giả thời gian tới 102 DANH SÁCH CÁC CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN N.T Khiem, T.T Hai, N.N Huyen, L.Q Huong, Dynamic Stiffness Approach to Frequency Analysis of FGM beam bonded with a piezoelectric layer Tuyển Tập Hội nghị Khoa học Toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển, Đà Nẵng, 18-19/7/2019, tr 357-361 N.T Khiem, T.T Hai, L.Q Huong, Effect of Piezoelectric Patches on Natural Frequencies of Timoshenko Beam Made of Functionally Graded Material, Mater Res Express, 2020, (5), 055707 (17pp) DOI:10.1088/2053-1591/ab8df5 Duong Thanh Huan, Luu Quynh Huong, Nguyen Tien Khiem (2021) Modal analysis of cracked beam with piezoelectric layer Vietnam Journal of Mechanics First Online Published June 16, 2021 DOI: 10.15625/0866-7136/15648 Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Luu Quynh Huong, Modal Analysis of Functionally Graded Beam with Piezoelectric Layer Mechanics Based Design of Machines and Structures (Published Online First Oct.28, 2021) Lưu Quỳnh Hường, Nguyễn Ngọc Huyên, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm, Bài toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM sử dụng vật liệu áp điện Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, TP Thái Nguyên 24-25/9/2021, tr 516-524 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Cawley, R.D Adams, The location of defects in structures from measurements of natural frequencies, The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1979, 14 (2), 49-57 [2] W Fan W and P.Z Qiao, Vibration-based damage identification methods: a review and comparative study, Struct Health Monitoring, 2011, 10 (1), 83-111 [3] R Hou and Y Xia, Review on the new development of vibration-based damage identification for civil engineering structures: 2010-2019, Journal of Sound and Vibration, 2021, 491 (9), 90pp [4] A.K Pandey, M M Samman, Damage detection from changes in curvature mode shapes, Journal of Sound and Vibration, 1991, 145 (2), 321-332 [5] O.S Salawu, Detection of structural damage through changes in frequency: a review, Engineering Structures, 1997, 19 (9), 718-723 [6] N.T Khiem, T.V Lien, Multi-crack detection for beams by natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2004, 273, 175-184 [7] D Montalvão, N.M.M Maia, A.M.R Ribeiro, A Review of Vibration-Based Structural Health Monitoring with Special Emphasis on Composite Material, Shock and Vibration Digest, 2006, 38 (4), 295-324 [8] A Erturk and D.J Inman, Piezoelectric Energy Harvesting, John Wiley and Sons, 2011, United Kingdom [9] Z Zhang, H Xiang, and Z Shi, Modeling on piezoelectric energy harvesting from pavements under traffic loads, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2016, 27 (4), 567–578 [10] İ Büyükkeskina, S Gỹrel, S A Tekin, M S Genỗ, Electricity Production from Wind Energy by Piezoelectric Material, International Journal of Renewable Energy Development, 2019, (1), 41-46 [11] X.D Xie, Q Wang, N Wu, Energy Harvesting from Transverse Ocean Waves by Piezoelectric Plate, International Journal of Engineering Science, 2014, 81, 41-48 [12] S.S Rao and M Sunar, Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of flexible structures: A Survey, ASME Applied Mech Reviews, 1994, 47 (4), 113-123 [13] E.F Crawley, J De Luis, Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures, AIAA Journal, 1987, 25 (10), 1373-1385 104 [14] E F Crawley, Intelligent Structures for Aerospace: A Technology Overview and Assessment, AIAA Journal, 1994, 32 (8), 1689-1699 [15] C.K Lee, F.C Moon, Modal Sensors/Actuators, Journal of Applied Mechanics, 1990, 57 (2), 434-441 [16] A Preumont, Vibration Control of Active Structures - An Introduction, Kluwer Academic Publishers, 1997, Brussels, Bỉ [17] T Bailey, J.E.J Hubbard, Distributed piezoelectric polymer active vibration control of a cantilever beam, Journal Guidance Control and Dynamics, 1985, 8(5), 605-611 [18] K Bendine, F.B Boukhoulda, M Nouari, Z Satla, Active Vibration Control of Functionally Graded Beams with Piezoelectric Layers based on Higher Order Shear Deformation Theory, Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2016, 15 (4), 611-620 [19] K.W Wang, J.S Lai, W.K Yu, An Energy-Based Parametric Control Approach for Structural Vibration Suppression via Semi-Active Piezoelectric Networks, ASME Journal of Vibration and Acoustics , 1996, 118 (3), 505-509 [20] R.C Batra and X.Q Liang, Shape Control of Vibration Simply Supported Rectangular Plates, AIAA Journal, 1996, 34 (1), 116-122 [21] A Ariaei, S Ziaei-Rad, M Ghayour, Repair of a cracked Timoshenko beam subjected to a moving mass using piezoelectric patches, International Journal of Mechanical Sciences, 2010, 52 (8), 1074-1091 [22] R Kumar, H Pathak, A Singh and M Tiwari, Modeling of crack repair using piezoelectric material: XFEM approach, Engineering Computations, 2020, 38(2), 586-617 [23] T.J.C Liu, Crack repair performance of piezoelectric actuator estimated by slope continuity and fracture mechanics, Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75 (8), 2566-2574 [24] Q Wang, G.Y Zhou, S.T Quek, Repair of delaminated beams subjected to compressive force via piezoelectric layers, Advances in Structural Engineering, 2005, 8, 411-425, [25] Q Wang, N Wu,, A review on structure enhancement and repair using piezoelectric materials and shape memory alloys, Smart Materials and Structures, 2011, 21 (1), 23pp [26] Q Wang, S T Quek and K M Liew, On the repair of a cracked beam with a piezoelectric path, Smart Materials and Structures, 2002, 11 (3), 404-410, 105 [27] Q Wang, S.T Quek, Repair of cracked column under axially compressive load via piezoelectric patch, Computers & Structures, 2005, 83 (15-16), 1355-1363 [28] Q.Wang, S.T Quek, Repair of delaminated beams via piezoelectric patches, Smart Materials and Structures, 2004, 13 (5), 1222-1229 [29] Q Wang, W.H Duan, S.T Quek, Repair of notched beam under dynamic load using piezoelectric patch, International Journal of Mechanical Sciences, 2004 46 (10), 1517-1533 [30] N Wu, Q Wang, Repair of vibrating delaminated beam structures using piezoelectric patches, Smart Materials and Structures, 2010, 19 (3), 8pp [31] N Wu, Q Wang, Repair of a delaminated plate under static loading with piezoelectric patches, Smart Materials and Structures, 2010, 19 (10), 7pp, [32] X.M Wang, C Ehlers and M Neitzel, An Analytical Investigation of Static Models of Piezoelectric Patches Attached to Beams and Plates, Smart Material and Structures , 1997, (2), 204-213 [33] S.M Yang, Y.J Lee, Modal analysis of stepped beams with piezoelectric materials, Journal of Sound and Vibration, 1994, 176 (3), 289-300 [34] U Lee, J Kim, Dynamics of elastic-piezo-electric two-layer beams using spectral element method, International Journal of Solids and Structures, 2008, 37 (32), 4403-4417 [35] P Heyliger, Exact solutions for simply supported laminated piezoelectric plates, ASME Journal Applied Mechanics, 1997, 64, 299-306, [36] J.H Huang, T.L Wu, Analysis of hybrid multilayered piezoelectric plates, International Journal of Engineering Science, 1996, 34 (2), 171-181 [37] Nguyen Dinh Duc, Tran Quoc Quan, Vu Dinh Luat, Nonlinear dynamic analysis and vibration of shear deformable piezoelectric FGM double curved shallow shells under damping-thermo-electro-mechanical loads, Journal of Composite Structures, 2015, 125, 29-40 [38] Nguyen Dinh Duc, Nonlinear thermo-electro-mechanical dynamic response of shear deformable piezoelectric Sigmoid functionally graded sandwich circular cylindrical shells on elastic foundations, Journal of Sandwich Structures and Materials, 2016, 20 (3), 351-378 [39] W.S Hwang, H.C Park, Finite element modeling of piezoelectric sensors and actuators, AIAA Journal, 1993, 31 (5), 930-937 106 [40] K.Y Lam, X.Q Peng, G.R Liu, J.N Reddy, A finite element model for piezoelectric composite laminates, Smart Material and Structures, 1997, 6, 583591 [41] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T, A smoothed four-node piezoelectric element for analysis of two-dimensional smart structures, Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2008, 23 (2), 209-222 [42] U Lee, D Kim, I Park, Dynamic modeling and analysis of the PZT-bonded composite Timoshenko beams: Spectral element method, Journal of Sound and Vibration, 2013, 332 (6), 1585-1609 [43] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phương pháp độ cứng động lực phân tích kết cấu, Nxb Xây dựng, 2018, Hà Nội [44] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static and dynamic analysis of laminated composite plates with integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 2008, 30 (1), 55-66 [45] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Finite element modeling and experimental study on static deflection and vibration of piezoelectric composite plates with integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 2010, 32 (2), 65-96, [46] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static behavior and vibration control of piezoelectric cantilever composite plates and comparison with experiment, Computational Material Science, 2010, 49 (4), 276-280 [47] Tran Huu Quoc, Vu Van Tham, Tran Minh Tu, Optimal placement and active control of composite plates integrated with piezoelectric sensor/actuator pairs, Vietnam Journal of Science and Technology, 2018, 56 (1), 113-126 [48] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang, Nonlinear dynamic and vibration analysis of piezoelectric eccentrically stiffened FGM plates in thermal environment, International Journal of Mechanical of Sciences, 2016, 115, 711722 [49] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Nonlinear thermo-mechanical dynamic analysis and vibration of higher order shear deformable piezoelectric functionally graded material sandwich plates resting on elastic foundations, Journal of Sandwich Structures and Materials, 2016, 20 (2), 191-218 [50] Nguyen-Van H., Le Thong, Mai-Duy N., Tran-Cong T., Nodal integration finite element techniques for analysis of piezoelectric solids, The International Conference on Computational Solid Mechanics (CSM2008), 2008, Ho Chi Minh City -Vietnam 107 [51] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T., Analysis of piezoelectric solids with an efficient node-based smoothing element, The 8th World Congress on Computational Mechanics (WCCM8) and 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS2008), 2008, Venice-Italy [52] H A Winston, F Sun, B S Annigeri, Structural Health Monitoring with Piezoelectric Active Sensors, Transactions of ASME, Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, 123, 353-358 [53] G Park, H Sohn, C.R Farrar and D.I Inman, Overview of piezoelectric Impedance-based Health Monitoring and Path Forward, The Shock and Vibration Digest, 2003, 35 (6), 451-463 [54] S Bhalla, C.K Soh, Progress in Structural Health Monitoring and Nondestructive Evaluation Using Piezo-impedance Transducers, Smart Materials and Structures: New Research, 2006, 6, 177-228 [55] V Giurgiutiu, Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active Sensors, Oxford: Academic Press, 2007 [56] W.H Duan, S.T Quek, Q Wang, Applications of piezoelectric materials in structural health monitoring and repair: Selected research examples, Materials, 2010, (12), 5169-5194 [57] G Huang, F Song and X Wang, Quantitative Modeling of Coupled PiezoElasto-dynamic Behavior of Piezoelectric Actuators bonded to an Elastic Medium for Structural Health Monitoring: A Review, Sensor, 2010, 10 (4), 3681-3702 [58] W.S Na and J Baek, A Review of the Piezoelectric Electromechanical Impedance Based Structural Health Monitoring Technique for Engineering Structures, Sensor, 2018, 18 (5), 18pp [59] Z Shu, Application of Piezoelectric Material in Structural Health Monitoring of Civil Engineering Structure, Chemical Engineering Transaction, 2017, 59, 523-528, [60] S.T Quek, Q Wang, L Zhang, K.H Ong, Practical issues in the detection of damage in beam using wavelet, Smart Material and Structures, 2001, 10n (5), 1009-1017 [61] S Zhao, M.Wu, Q Wang, Crack Identification through scan-tuning of vibration characteristics using piezoelectric material, Smart Materials and Structures, 2017, 26 (2), 12pp 108 [62] S Zhao, M.Wu, Q Wang, Damage Detection of Beams by a Vibration Characteristic Tuning Technique Through an Optimal Design of Piezoelectric Layers, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2016, 16 (10), 15pp [63] S Zhao, N Wu and Y Cheng, High sensitivity damage detection with vibration mode shape tuning through the optimal design of piezoelectric actuators, Proceedings of ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, 2015, Texas [64] L Jiang, J Tang, K Wang, An enhanced frequency-shift-based damage identification method using tunable piezoelectric transducer circuitry, Smart Materials and Structures, 2006, 15 (3), 799-808 [65] D Mateescu, Y Han, A Misra, Dynamics of Structures with Piezoelectric Sensors and Actuators for Structural Health Monitoring, Key Engineering Materials, 2007, 347, 493-498 [66] V Giurgiutiu and C.A Rogers, Recent Advancements in the ElectroMechanical Impedance Method for Structural Health Monitoring and NDE, Proceedings of SPIE Conference on Smart Structures and Material, 1998, San Diego, California, 3329, 536-547 [67] S Ritdumrongkul and Y Fujino, Identification of the location and size of cracks in beam by piezoelectric actuator-sensor, Structural Control and Health Monitoring, 2007, 14 (6), 931-943 [68] Y.Y Lim and C.K Soh, Electro-Mechanical Impedance – Based Incipient Crack Monitoring and Critical Crack Identification of Beam Structures, Research in Nondestructive Evaluation, 2014, 25 (2), 82-98 [69] D Wang, H Song, H Zhu, Electromechanical Impedance Analysis on Piezoelectric Smart Beam with Crack Based on Spectral Element Method, Mathematical Problems in Engineering, 2015, 2015 (4), 1-13 [70] T Wang, B Tan, M Lu, Z Zhang and G Lu, Piezoelectric ElectroMechanical Impedance (EMI) Based Structural Crack Monitoring, Applied Sciences, 2020, 10 (13), 14pp [71] K.K.-H Tseng and A.S.K Naidu, Non-parametric damage detection and characterization using smart piezoelectric material, Smart Materials and Structures, 2002, 11 (3), 317-329, [72] Y Hu and X Zhang, Parametric vibration and stability of a functionally graded plate, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2011, 39 (3), 367377 109 [73] X.F Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, Journal of Sound Vibration, 2008, 318 (4-5), 1210-1229 [74] L.O Larbi, A Kaci, M S A Houari, and A Tounsi, An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2013, 41 (4), 421-433 [75] S.A Sina, H.M Navazi and H Haddadpour, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams, Materials and Design, 2009, v 30 (3), 741-747 [76] H Su and J.R Banerjee, Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beam, Computers & Structures,, 2015, 147, 107-116 [77] X Wang, X Liang, and C Jin, Accurate dynamic analysis of functionally graded beams under a moving point load, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2017, 45 (1), 76-91 [78] A.C Okafor, K Chandrashekhara, Y Jiang, Delamination prediction in composite beams with built-in piezoelectric devices using modal analysis and neural network, Smart Materials and Structures, 1996, (3), 338-347 [79] J Yang, Y Chen, Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge cracks, Composite Structure, 2008, 83 (1), 48-60 [80] S.D Akbas, Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally Graded Beams by Using Finite Element Method, International Journal of Engineering Trends and Technology, 2013, (10), 4590-4597 [81] K Aydin, Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number of surface cracks, European Journal of Mechanics A/Solid, 2013, 42, 112-124 [82] N.T Khiem, N.N Huyen and N.T Long, Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material, Shock & Vibration, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting, Acoustics & Optics, 2017, (15), 133143, [83] T.V Lien, N.T Duc, N.T Khiem, Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multispan continuous beams using the dynamic stiffness method, Latin American Journal of Solids and Structures, 2017, 14 (9), 17521766 110 [84] Z.G Yu, F.L Chu, Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method, Journal of Sound and Vibration, 2009, 325 (1-2), 69-84, [85] A Banerjee, B Panigrahi and G Pohit, Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA, Nondestructive Testing and Evaluation, 2016, 31 (2), 142-164 [86] N.T Khiem, N.N Huyen, A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam, Nondestructive Testing and Evaluation, 2017, 32 (3), 319-341 [87] M.K Khorramabadi, A.R Nezamabadi, Stability of functionally graded beams with piezoelectric layers based on the first order shear deformation theory," International Journal of Electrical and Computer Engineering, 2020, (11), 1641-1644 [88] Y.S Li, W.J Feng, Z.Y Cai, Bending and free vibration of functionally graded piezoelectric beam based on modified strain gradient, Composite Structures, 2014, 115, 41-50, [89] N N Huyen, N T Khiem, Uncoupled Vibrations in Functionally Graded Timoshenko Beams, Journal of Science and Technology, 2016, 54 (6), 785-796 [90] N.T Khiem, T.V Lien, V.T.A Ninh, Natural Frequencies of Multistep Functionally Graded Beam with Cracks, Iranian Journal Science and Technology Trans Mech Eng, 2019, 43 (1), 881-916 [91] A Chakraborty, S Gopalakrishnan, A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams, International Journal of Solids and Structures, 2003, 40 (10), 2421-2448 [92] N T Khiem, T V Lien, A simplified method for natural frequency analysis of multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2001, 245 (4), 737751