Luận án Tiến sĩ Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI NGUY™N ANH €I TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C V€ ÙNG DÖNG LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC H  Nëi - 2020 BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC BCH KHOA H€ NËI NGUY™N ANH €I TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C V€ ÙNG DƯNG Ng nh: To¡n håc M¢ ng nh: 9460101 LUŠN N TIN S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUY™N XU…N THƒO H  Nëi - 2020 MÖC LÖC MÖC LÖC LÍI CAM OAN LÍI CƒM ÌN DANH MÖC CC KÞ HI›U V€ CHÚ VI˜T TT MÐ †U Ch÷ìng BI˜N ÊI FOURIER THÍI GIAN RÍI R„C 1.1 Tẵn hiằu thới gian rới rÔc v hằ thống 1.1.1 Tẵn hiằu thới gian rới rÔc 1.1.2 CĂc hằ thống tuyán tẵnh bĐt bián 1.2 Bián ời Fourier thới gian rới rÔc 1.2.1 ành ngh¾a 1.2.2 T½nh chĐt cừa bián ời 1.2.3 nh lỵ Wiener - Levy Ch÷ìng TCH CHŠP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI R„C 2.1 Bi¸n êi Fourier cosine v  Fourier sine thíi gian rới rÔc 2.1.1 Chuân cừa dÂy thới gian rới rÔc 2.1.2 ành ngh¾a 2.1.3 Tẵnh chĐt 2.2 Tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc 2.2.1 Tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc 2.2.2 Tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc vợi hm trồng 2.3 Tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc 2.3.1 Tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc 2.3.2 Tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc vợi hm trồng 2.4 Tẵch chêp Fourier cosine thới gian rới rÔc Ch÷ìng PH’P BI˜N ÊI KIšU TCH CHŠP SUY RËNG THÍI 1 18 18 18 19 22 22 23 26 27 28 28 28 30 33 33 41 46 47 52 60 GIAN RÍI R„C V€ PH×ÌNG TRœNH TOEPLIZT-HANKEL RI RC 3.1 Php bián ời kiu tẵch chêp suy rởng Fourier sine, Fourier cosine thới gian rới rÔc 3.1.1 Php bián ời kiu tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc 3.1.2 Php bián ời kiu tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc 3.1.3 Ph²p bi¸n êi kiu tẵch chêp Fourier cosine thới gian rới rÔc 3.2 Phữỡng trẳnh Toeplitz-Hankel rới rÔc 3.2.1 Phữỡng trẳnh Toeplitz-Hankel rới rÔc vợi nhƠn c biằt 3.2.2 Phữỡng trẳnh Toeplitz-Hankel vợi vá phÊi c biằt 3.2.3 Hằ phữỡng trẳnh Toeplitz-Hankel rới rÔc K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ DANH MƯC CỈNG TRœNH ‚ CỈNG BÈ CÕA LUŠN N T€I LI›U THAM KHƒO 67 67 68 70 72 74 74 83 86 95 97 98 LÍI CAM OAN Luªn ¡n ny ữủc viát dỹa trản nhỳng nghiản cựu cừa tĂc giÊ tÔi Trữớng Ôi hồc BĂch khoa H Nởi, dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy PGS.TS Nguyạn XuƠn ThÊo CĂc kát quÊ luên Ăn ny l mợi v chữa tứng cổng bố bĐt ký cổng trẳnh khoa hồc n o cõa t¡c gi£ kh¡c H  nëi, th¡ng 11 n«m 2020 GiĂo viản hữợng dăn TĂc giÊ PGS.TS Nguyạn XuƠn ThÊo Nguyạn Anh i LI CM èN Luên Ăn ny ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc BĂch khoa H Nởi, dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc tên tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn XuƠn ThÊo ThƯy  dnh nhiÃu cổng sực, dăn dưt tổi vo ữớng nghiản cựu khoa hồc, ởng viản khẵch lằ tổi vữủt lản nhỳng khõ khôn hồc têp v cuởc sống Tứ tên Ăy lỏng, em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt tợi ThƯy v s cố gưng phĐn Đu hỡn nỳa  xựng Ăng vợi cổng lao cừa ThƯy TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Viằn To¡n ùng dưng v  Tin håc cơng nh÷ Pháng  o tÔo - Trữớng Ôi hồc BĂch khoa H Nởi,  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS.TSKH Vụ Kim TuĐn, Trữớng Ôi hồc West Georgia, USA v TS Nguyạn Thanh Hỗng, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Ngữới thƯy v ngữới anh  luổn ởng viản tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu, v cõ nhỳng ỵ kián õng gõp sƠu sưc và nëi dung t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n Xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thnh viản nhõm Seminar GiÊi tẵch - Trữớng H BĂch khoa H Nởi, Seminar GiÊi tẵch - Trữớng H KHTN - H QG H Nởi và nhỳng trao ời hỳu ẵch giúp cho Luên Ăn ữủc hon thiằn hỡn Nhỳng ỵ kián cừa cĂc giĂo sữ v cĂc ỗng nghiằp tham dỹ cĂc semina ny  giúp tổi trững thnh hỡn nghiản cựu khoa hồc c biằt, nhỳng ởng viản, nhên xt quỵ bĂu v ỵ kián õng gõp sƠu sưc cừa GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu, PGS.TS Nguyạn Thừy Thanh, PGS.TS H Tián NgoÔn, PGS.TS Nguyạn Minh TuĐn, TS Nguyạn Vôn Ngồc, PGS TS Trnh TuƠn, PGS.TS Nguyạn Minh Khoa, TS PhÔm Vôn Hoơng, TS Nguyạn HÊi Sỡn, TS Nguyạn Quang Chung, TS TrƯn Hỗng ThĂi, l nhỳng kinh nghiằm quỵ bĂu º luªn ¡n ho n thi»n mët c¡ch thuªn lđi Mët lƯn nỳa, em xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án nhỳng ngữới thƯy m em luổn tổn kẵnh, án nhỳng ngữới anh, ngữới ch v nhỳng ỗng nghi»p Xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cỉ Bë mỉn To¡n, Khoa khoa håc cì bÊn, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm K thuêt Hững Yản, nỡi tĂc giÊ ang cổng tĂc,  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hon th nh luªn ¡n Ci cịng, t¡c gi£ xin gûi líi cÊm ỡn tứ tên Ăy lỏng án gia ẳnh bÔn b v ỗng nghiằp, nỡi luổn dnh cho tĂc giÊ tẳnh yảu thữỡng vổ hÔn Trong quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên Ăn, tĐt cÊ cĂc ThƯy, bÔn b, ỗng nghiằp, c biằt l cĂc thnh viản gia ẳnh,  luổn sĂt cĂnh, ởng viản v ừng hở tĂc giÊ õ l nguỗn ởng lỹc to lợn giúp tĂc giÊ hon thnh luên Ăn cừa mẳnh T¡c gi£ DANH MƯC CC KÞ HI›U V€ CHÚ VIT TT l têp tĐt cÊ cĂc số thỹc C l têp tĐt cÊ cĂc số phực Z l têp tĐt cÊ cĂc số nguyản R+ = {x R, x > 0}, l têp tĐt cÊ cĂc số thỹc d÷ìng |z| l  modun cõa z C0 (R+ ) l  khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n R+ v  triằt tiảu tÔi vổ vợi chuân sup F l bián ời tẵch phƠn Fourier (xem trang 9) Fc l bián ời tẵch phƠn Fourier cosine (xem trang 9) Fs l bián ời tẵch phƠn Fourier sine (xem trang 10) Lp (R+ ), ≤ p < ∞, l  khæng gian c¡c h m sè f x¡c ành tr¶n R+ , thäa m¢n ! ∞ ˆ R ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z ||f ||Lp (R+ ) = p |f (x)|p dx < ∞ ˆ Lp (R+ , ρ), ≤ p < ∞, thäa m¢n l  khỉng gian c¡c h m sè f x¡c ành tr¶n R+, Z∞ ||f ||Lp (R+ ,ρ) = ! p1 |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, ˆ ˆ ð ¥y ρ(x) l  mët h m trång d÷ìng T l  to¡n tû tẵch chêp thới gian rới rÔc (xem trang 19) (à Ã) (xem trang 10) l tẵch chêp ối vợi ph²p bi¸n êi Fourier F ˆ (· ∗ ·) Fc (xem trang 11) l tẵch chêp ối vợi php bián êi Fourier cosine ˆ (· ∗ ·) Fs (xem trang 12) l tẵch chêp ối vợi php bián ời Fourier sine (xem trang 12) l tẵch chêp vợi hm trồng (y) = sin y ối vợi php bián ời Fourier FDT (xem trang 14) l  bi¸n êi Fourier thíi gian rới rÔc `1 (N0 ) (xem trang 28) l khổng gian cĂc dÂy số phực x := {x(n)}n0 ữủc trang b vợi chuân (à Ã) F ˆ ˆ p kxkp := ∞ X |x(0)| + |x(n)|p p n=1 ! p1 < ∞, ≤ p < ∞, kxk∞ := sup |xn | < ∞ n≥0 (xem trang 28) l  khỉng gian cõa `1(N0) vỵi x(0) = FcDT (xem trang 28) l  bi¸n êi Fourier cosine thới gian rới rÔc FsDT (xem trang 29) l bián ời Fourier sine thới gian rới rÔc (à Ã) (xem trang 33) l tẵch chêp suy rởng ối vợi php bián ời F Fourier sine thới gian rới rÔc (à Ã) (xem trang 41) l tẵch chêp suy rởng vợi hm trồng (y) = sin F ối vợi php bián ời Fourier sine thới gian rới rÔc (à Ã) (xem trang 47) l tẵch chêp suy rởng ối vợi php bián ời F Fourier cosine thới gian rới rÔc (à Ã) (xem trang 52) l tẵch chêp suy rởng vợi hm trồng (y) = sin F ối vợi php bián ời Fourier sine thới gian rới rÔc o (à Ã) (xem trang 60) l tẵch chêp ối vợi php bián ời Fourier cosine F thới gian rới rÔc TsDT (xem trang 68) l toĂn tỷ kiu tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc `o1 (N0 ) ˆ ˆ ˆ sDT ˆ sDT ˆ cDT ˆ cDT ˆ cDT ˆ (xem trang 68) l  to¡n tỷ nghch Êo kiu tẵch chêp suy rởng Fourier sine thới gian rới rÔc TcDT (xem trang 70) l toĂn tỷ nghch Êo kiu tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc TcDT (xem trang 70) l toĂn tỷ kiu tẵch chêp suy rởng Fourier cosine thới gian rới rÔc TsDT (xem trang 72) l toĂn tỷ kiu tẵch chêp Fourier cosine thới gian rới rÔc o T cDT (xem trang 73) l toĂn tỷ nghch Êo kiu tẵch chêp Fourier cosine thới gian rới rÔc o T cDT m°t kh¡c ∞ X x(m) m=1 = 2−m X t=0 ∞ X y(|m − − t|) cos(ωt) x(m) m=1 ∞ X + m−2 X (2.81) y(|m − t − 1|) cos(ωt) t=1 x(m)y(m − 1) m=1 Tø (2.79), (2.80) v  (2.81) ta câ ∞ X m=0 x(m) ∞ X  y(n) cos(m + n − 1)ω + cos(m − n − 1)ω  n=0 = ∞ X x(m) m=0 ∞ X + + m=0 ∞ X ∞ X y(|t − m + 1|) cos(ωt) t=0 x(m) ∞ X y(|t + m − 1|)] cos(ωt) t=0 x(m)y(m − 1) m=1 − y(0) ∞ X x(m) cos(m − 1)ω m=1 58 (2.82) Cuèi còng, tø (2.74), (2.78) v  (2.82) ta câ: sin ω·FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = ∞ X x(m) m=0 ∞ X  y(t + m − 1) t=0  + y(|t − m + 1|) − y(|t + m + 1|) − y(|t − m − 1|) cos(ωt) + − ∞ X x(m)y(m − 1) − y(0) m=1 ∞ X x(m)y(m + 1) + ∞ X x(m)y(0) cos((m + 1)ω)   x(m) cos((m − 1)ω) − cos((m + 1)ω) m=1 ∞ X x(m) m=0 ∞ X m=1 + y(0) = x(m) cos(m − 1)ω m=1 m=1 ∞ X ∞ X  y(t + m − 1) t=0  + y(|t − m + 1|) − y(|t + m + 1|) − y(|t − m − 1|) cos(ωt) + ∞ X   x(m) y(m − 1) − y(m + 1) m=1 Tø ¯ng thùc tr¶n v tứ (2.73) dăn tợi sin à FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {(x ∗ y)(n)}(ω) FcDT nh lỵ ữủc chựng minh xong Hằ quÊ 2.3.2 Trong khổng gian cĂc dÂy tẵn hiằu `1(N0), tẵch chêp suy rởng vợi hm trồng () = sin ối vợi bián ời Fourier cosine thới gian rới rÔc (2.65) khổng giao hoĂn nh lỵ 2.3.5 (nh lỵ kiu Titchmarch) Cho x(n), y(n) l cĂc dÂy  biát thuởc `1 (N0 , en ) Khi â (x F ∗ Chùng minh y)(n) ≡ cDT v  ch¿ x(n) ≡ ho°c y(n) ≡ vỵi måi n ≥ γ Tø gi£ thi¸t (x ∗ y)(n) ≡ 0, n v tứ nh lỵ 2.3.4, ta câ FcDT sin(ω) · FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = [0, ] Tứ tẵnh chĐt cừa bián ời Fourier cosine thới gian rới rÔc, ta cõ m X d ∞ π m y(n)n sin(nω + m )