giải tích VMS

www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 1 BÀI TÂP VỀ HÀM SỐ VỚI BA VẤN ĐỀ LIÊN T ỤC, KHẢ VI, KHẢ TÍCH Bài 1. Tìm tất cả các hàm số ( ) u x thỏa mãn ( ) ( ) 1 2 0 u x x u t dt = + ∫ . Giải Vì ( ) 1 2 0 u t dt ∫ là một hằng số nên ( ) u x x C = + (C là hằng số). Do đó ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 1 2 8 2 4 t C t C dt C Ct C C C   + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =     ∫ . V ậ y ( ) 1 4 u x x = + là hà m s ố c ầ n tì m. Bài 2. Cho hà m s ố : f → ℝ ℝ thỏ a mã n đ i ề u ki ệ n: ( ) ( ) 19 19 f x f x + ≤ + và ( ) ( ) 94 94 f x f x + ≥ + với mọi x. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 1 1 f x f x + = + với mọi x ∈ ℝ . Giải Lấy một số thực x bất kỳ. Áp dụng điều kiện ban đề cho với 19 x − và 94 x − ta thu đượ c: ( ) ( ) 19 19 f x f x − ≥ − và ( ) ( ) 94 94 f x f x − ≤ − . Bây giờ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp với mọi n ∈ ℕ ( ) ( ) 19 19 f x n f x n + ≤ + , ( ) ( ) 94 94 f x n f x n + ≥ + ( ) ( ) 19 19 f x n f x n − ≥ − , ( ) ( ) 94 94 f x n f x n − ≤ − . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5.19 94 5.19 94 5.19 94 1 f x f x f x f x f x + = + − ≤ + − ≤ + − = + ( ) ( ) ( ) 1 18.94 89.19 18.94 89.19 f x f x f x + = + − ≥ + − ≥ ( ) ( ) 18.94 89.19 1 f x f x ≥ + − = + . Vậy ( ) ( ) 1 +1 f x f x + = ∀∈ ℝ . Bà i 3. Cho : f → ℝ ℝ là hàm khả vi cấp hai với đạo hàm cấp 2 dương. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) f x f x f x ′ + ≥ với mọi số thực x. Giải + Nếu ( ) 0 f x ′ = thì ( ) ( ) ( ) f x f x f x ′ + = với mọi x : hiển nhiên. + Nếu ( ) 0 f x ′ < thì áp dụng định lý Lagrange trên đoạn ( ) ; x f x x ′ +     ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f c f x ′ ′ ′ − + = − , ( ) ( ) ; c x f x x ′ ∈ + . www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 2 ( ) 0 f x f ′′ ′ > ⇒ là hàm tăng ( ) ( ) 0 f c f x ′ ′ ⇒ < < . Vì vậy ( ) ( ) ( ) 0 f x f x f x ′ − + < . + N ếu ( ) 0 f x ′ > thì chứng minh tương tự như trường hợp ( ) 0 f x ′ < ta cũng thu được ( ) ( ) ( ) 0 f x f x f x ′ − + < . Bài 4 Cho 2 x ≥ , chứng minh ( ) 1 cos cos 1 1 x x x x π π + − > + . Giải Xé t hà m s ố : [ ) : 2;f ∞ → ℝ , ( ) cos f t t t π = . Á p dụ ng đị nh lý Lagrange trên đoạ n [ ] ; 1 x x + đối với hàm ( ) f t tồn tại [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; 1 : 1 1 f x f x u x x f u f x f x x x + − ′ ∈ + = = + − + − Cần chứng minh ( ) [ ) cos sin 1 u 2;f u u u u π π π ′ = + > ∀ ∈ +∞ . ( ) [ ) 2 3 cos 0 u 2; f u f u u π π ′′ ′ = − < ∀ ∈ +∞ ⇒ nghị ch bi ế n trên [ ) 2; +∞ ( ) ( ) lim 1 u f u f u →∞ ′ ′ > = . V ậy ( ) 1 cos cos 1 1 x x x x π π + − > + [ ) 2;x ∀ ∈ +∞ . Bài 5 Tồn tại hay không hàm khả vi liên tục f thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 , f f sin xf x x x x ′ < ≥ ∀ ∈ ℝ ? Giải Không tồn tại. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 sin 2 1 cos x x x f x f f t dt f t f t dt tdt x ′ ′ − = = ≥ = −     ∫ ∫ ∫ Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 cos 4 f f π π ≥ + − ≥ . Bài 6 Gi ả s ử hàm ( ) { } ( ) : ; \ 0 0;f a a − → +∞ tho ả mãn ( ) ( ) 0 1 lim 2 x f x f x →   + =     . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 0 lim 1 x f x → = . Giải www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 3 Với ( ) 0 f x > , áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được: ( ) ( ) 1 2 f x f x + ≥ . ( ) ( ) 0 1 lim 2 0, 0 x f x f x ε δ →   + = ⇒ ∀ > ∃ >     sao cho ( ) ( ) 1 0 2f x f x ε ≤ + − < v ớ i 0 x δ < < . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 0 1 1f x f x f x f x ε ε   ≤ + − < ⇔ ≤ − + − <     (1) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1f x f x ε   ⇔ ≤ − − <     (2). Bình ph ươ ng hai v ế c ủ a (1), ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1f x f x f x f x ε     − + − + − − <         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1f x f x f x f x ε     ⇔ − + − − − − <         (3) Thay (2) vào (3) ta suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 f x f x ε ε   − + − < +     . ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 lim 1 x f x f x ε ε → ⇒ − < + ⇒ = . Bài 7 Tính ( ) [ ] ( ) lim x P x P x →∞     , ở đây ( ) P x là đa thức với hệ số dương. Giải Vì P là đa thức với hệ số dương , với x > 1 ta có: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 1 P x P x P x P x P x P x   −   ≤ ≤ − . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim lim 1 1 x x P x P x P x P x →∞ →∞ − = = − nên ( ) [ ] ( ) lim 1 x P x P x →∞     = . Bài 8 Hãy ch ỉ ra m ộ t ví d ụ ch ứ ng t ỏ r ằ ng: ( ) ( ) ( ) 0 lim 2 0 x f x f x → + = (*) không suy ra đượ c f có gi ớ i h ạ n t ạ i 0. Tập ( ) { } ; \ a a a ε ε − + , ở đây 0 ε > được gọi là lân cận khuyết của điểm a ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u t ồ n t ạ i hàm ϕ sao cho www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 4 bất đẳng thức ( ) ( ) f x x ϕ ≥ được thoả mãn trong lân cận khuyết của 0 và ( ) 0 lim 0 x x ϕ → = thì từ (*) suy ra được: ( ) 0 lim 0 x f x → = . Giải Ví d ụ Xét : f → ℝ ℝ xác đị nh b ở i ( ) ( ) 1 0 n f x  −  =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x f x f x f x f x f x f x x ϕ ϕ ≤ = + − ≤ + − Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim lim 2 0 x x x f x f x x ϕ ϕ →∞ → = + − = nên ( ) 0 lim 0 x f x → = . Bài 9 a) Cho ví d ụ v ề hàm f tho ả mãn đ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) 0 lim 2 0 x f x f x → = nh ư ng ( ) 0 lim x f x → không t ồ n t ạ i. b) Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u trong m ộ t lân c ậ n khuy ế t c ủ a 0, các b ấ t đẳ ng th ứ c ( ) 1 , 1 2 f x x α α ≥ < < và ( ) ( ) 2 f x f x x ≥ được thoả mãn thì ( ) 0 lim 0 x f x → = . Giải a) Xét : f → ℝ ℝ xác định bởi ( ) ( ) 1 0 n f x  −  =    b) ( ) ( ) 2 2 x x x f x f x x α α ≤ ≤ ≤ . Do 1 1 2 α < < nên ( ) 0 lim 0 x f x → = . Bài 10 Cho tr ướ c s ố th ự c α , gi ả s ử ( ) ( ) lim x f ax g a x α →∞ = v ớ i m ỗ i s ố d ươ ng a. Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i c sao cho ( ) g a ca α = . Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 1 1 x t g a f ax f t g g a g a a a x t α α α α α →∞ →∞ = = = ⇒ = . Ch ọ n ( ) 1 c g = ta được ( ) g a ca α = . Bài 11 Giả sử [ ] ( ) 0;2 f C∈ và ( ) ( ) 0 2 f f = . Chứng minh rằng tồn tại 1 2 , x x trong [ ] 0;2 sao cho 2 1 1 x x − = và ( ) ( ) 2 1 f x f x = . nếu 1 , n = 0,1,2,3, 2 n x = nếu ngược lại nếu ngược lại nếu 1 , n = 0,1,2,3, 2 n x = www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 5 Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 1 g x f x f x = + − , [ ] 0;2 x ∈ Vì [ ] ( ) 0;2 f C∈ nên [ ] ( ) 0;2 g C∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 2 2 1 1 g f f f f f f g = − = − = − − = − Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 0. g g g = − ≤     Vì th ế t ồ n t ạ i [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0;1 : 0 1 x g x f x f x ∈ = ⇔ + = . V ậ y có th ể l ấ y 2 0 1 0 1 , x x x x = + = . Bài 12 Cho [ ] ( ) 0;2 f C∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i 1 2 , x x trong [ ] 0;2 sao cho 2 1 1 x x − = và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 0 2 f x f x f f− = − . Giải Xét hàm s ố : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 g x f x f x f f= + − − − , [ ] 0;2 x∈ Vì [ ] ( ) 0;2 f C∈ nên [ ] ( ) 0;2 g C∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 2 0 1 0 2 2 2 g f f f f f f f= − − − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 0 1 0 2 2 2 g f f f f f f f   = − − − = − − +     Suy ra: ( ) ( ) 0 1 g g = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 2 0 2 f f f   − − + ≤     . Vì thế tồn tại [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0;1 : 0 1 2 0 2 x g x f x f x f f∈ = ⇔ + − = − . Vậy có thể lấy 2 0 1 0 1 , x x x x = + = . Bài 13 Với n ∈ ℕ , gọi [ ] ( ) 0; f C n ∈ sao cho ( ) ( ) 0 f f n = . Chứng minh rằng tồn t ại 1 2 ; x x trong khoảng [ ] 0; n thoả mãn 2 1 1 x x − = và ( ) ( ) 2 1 f x f x = . Giải Xét ( ) ( ) ( ) [ ] 1 , x 0; 1 g x f x f x n = + − ∈ − ( ) ( ) ( ) 0 1 1 g g g n + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 1 0 0 f f f f f n f n f n f = − + − + + − − = − = + Nếu ( ) 0 g k = , { } 0,1,2, , 1 k n ∈ − thì ta có ngay điều phải chứng minh. www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 6 + Nếu { } 0,1,2, , 1 k n ∃ ∈ − : ( ) 0 g k ≠ . Không mất tính tổng quát giả sử ( ) 0 g k > thì lúc đó luôn tìm được { } , h 0,1,2, , 1 h k n ≠ ∈ − sao cho ( ) 0 g h < . Khi đó tồn tại [ ] 0 0; 1 x n ∈ − sao cho ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 g x f x f x = ⇔ + = . Vậy có thể lấy 2 0 1 0 1 , x x x x = + = . Bài 14 Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u 1 2 sin sin2 sin sin n a x a x a nx x + + + ≤ v ớ i x ∈ ℝ thì 1 2 2 1 n a a na + + + ≤ . Giải Đặ t ( ) 1 2 sin sin2 sin n f x a x a x a nx = + + + ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 0 lim n x f x f a a na f x → − ′ + + + = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 sin lim lim . lim 1 sin sin x x x f x f x f x x x x x x → → → = = == ≤ . Bài 15 Gi ả s ử ( ) 0 0 f = và f kh ả vi t ạ i đ i ể m 0. Hãy tính ( ) 0 1 lim 2 3 x x x x f x f f f x k →         + + + +                 với k là một số nguyên dương cho tr ước. Giải Ta có: ( ) 0 1 lim 2 3 x x x x f x f f f x k →         + + + +                 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 1 2 3 lim . . . 0 2 3 0 0 0 2 3 x x x x f f f f f f f x f k x x x x k k →         − − −         −       = + + + +   −   − − −     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 2 3 2 3 f f f f f k k ′ ′ ′   ′ ′ + + + + = + + + +     . www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 7 Bài 16 Cho f là hàm kh ả vi tại a và xét hai dãy ( ) n x và ( ) n y cùng hội tụ về a sao cho n n x a y < < với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) lim n n n n n f x f y f a x y →∞ − ′ = − . Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n f x f y f x f y x f a y f a f a x y x y ′ ′ − − − + ′ ≤ − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x f y f a f a af a af a x f a y f a x y f x f a f a x a f y f a f a y a x y x y f x f a f a x a f y f a f a y a x y x y f x f a f a x a f y f a f a y a x a y a f x f a f y f a f a f a n x a y a ′ ′ ′ ′ − − + + − − + = − ′ ′ − − − − − − = − − − ′ ′ − − − − − − ≤ + − − ′ ′ − − − − − − ≤ + − − − − ′ ′ = − + − → → ∞ − − V ậ y ( ) ( ) ( ) lim n n n n n f x f y f a x y →∞ − ′ = − . Bài 17 Cho f kh ả vi trên ( ) 0; +∞ và 0 a > . Chứng minh rằng: a) Nếu ( ) ( ) ( ) lim x af x f x M →+∞ ′ + = thì ( ) lim x M f x a →+∞ = . b) N ế u ( ) ( ) ( ) lim 2 x af x x f x M →+∞ ′ + = thì ( ) lim x M f x a →+∞ = . Giải Áp d ụ ng quy t ắ c Lôpitan, ta có: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ax ax ax ax ax x x x x ax e f x e af x f x e f x f x e ae e →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ′ ′ + = = = ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim . x x M af x f x af x f x a a a →+∞ →+∞ ′ ′ = + = + = www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 8 b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim a x a x a x x x x a x e f x e f x f x e e →+∞ →+∞ →+∞ ′ = = ′ ( ) ( ) 2 lim 2 a x x a x a e f x f x x a e x →+∞   ′ +     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim 2 lim 2 . x x M af x x f x af x x f x a a a →+∞ →+∞ ′ ′ = + = + = Câu 18 Cho f kh ả vi c ấ p 3 trên ( ) 0; +∞ . Liệu từ sự tồn tại của giới hạn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x f x f x f x f x →+∞ ′ ′′ ′′′ + + + có suy ra s ự t ồ n t ạ i c ủ a ( ) lim x f x →+∞ không? Giải Không. Lấy ví dụ: ( ) ( ) cos , x 0;f x x = ∈ +∞ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim cos sin cos sin 0 x x f x f x f x f x x x x x →+∞ →+∞ ′ ′′ ′′′ + + + = − − + = Nh ưng không tồn tại ( ) lim lim cos x x f x x →+∞ →+∞ = . Câu 19 a) Giả sử f xác định và liên tục trên [ ) 0; +∞ , có đạo hàm liên tục trên ( ) 0; +∞ và thoả mãn ( ) 0 1 f = , ( ) x 0 x f x e − ≤ ∀ ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0 0;x ∈ +∞ sao cho ( ) 0 0 x f x e − ′ = . b) Gi ả s ử f kh ả vi liên t ụ c trên ( ) 1; +∞ và tho ả mãn ( ) 1 1 f = , ( ) 1 x 1 f x x ≤ ∀ ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0 1;x ∈ +∞ sao cho ( ) 0 2 0 1 f x x ′ = − . Giải a) Đặ t ( ) ( ) x g x f x e − = − f liên t ụ c trên [ ) 0; +∞ ⇒ g liên t ụ c trên [ ) 0; +∞ ⇒ g liên t ụ c trên t ạ i 0 ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 0 1 0 x g x g f + → ⇒ = = − = . ( ) ( ) 0 lim 0 x x f x e f x − →+∞ ≤ ≤ ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim 0 x x x x x x g x f x e f x e − − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ⇒ = − = − = . www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 9 Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim 0; : 0 x x g x g x x g x + →+∞ → ′ = ⇒ ∃ ∈ +∞ = hay ( ) 0 0 x f x e − ′ = . b) Đặ t ( ) ( ) 1 g x f x x = − f kh ả vi liên t ụ c trên ( ) ( ) ( ) 1 1; lim 1 0 x f x f + → +∞ ⇒ = = ( ) ( ) 1 1 1 lim lim 0 x x g x f x x + + → →   ⇒ = − =     . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 lim 0 lim lim 0 x x x f x f x g x f x x x →+∞ →+∞ →+∞   ≤ ≤ ⇒ = ⇒ = − =     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim 1; : 0 x x g x g x x g x + →+∞ → ′ = ⇒ ∃ ∈ +∞ = hay ( ) 0 2 0 1 f x x ′ = − . Câu 20 Cho [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 0;1 : sin cos 1 M f C f x xdx f x xdx π π   = ∈ = =     ∫ ∫ . Tì m ( ) 2 0 min f M f x dx π ∈ ∫ . Giải Cho ( ) ( ) 0 2 sin cos f x x x π = + . + Rõ rà ng 0 f M ∈ . + Đố i v ớ i hà m b ấ t kỳ f M ∈ , ( ) ( ) 2 0 0 0 f x f x dx π − ≥     ∫ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 8 4 4 2 f x dx f x f x dx f x dx f x dx π π π π π π π ≥ − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ . V ậ y c ự c ti ể u đạ t đượ c khi 0 f f = . Câu 21 Tìm hàm s ố ( ) f x có đạ o hàm liên t ụ c trên ℝ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2011 x f x f t f t dt ′ = + + ∫ (1). Giải Vì hàm s ố ( ) f x có đạ o hàm liên t ụ c trên ℝ nên ( ) 2 f x có đạ o hàm liên t ụ c trên ℝ . L ấ y đạ o hàm 2 v ế c ủ a (1), ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 f x f x f x f x f x f x f x f x ′ ′ ′ ′ = + ⇒ − = ⇒ = ( ) x f x Ce ⇒ = (2). www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 10 Từ (1) suy ra: ( ) ( ) 2 0 2011 0 2011 f f= ⇒ = ± . Cho 0 x = , t ừ ( ) ( ) 2 0 2011 f C⇒ = = ± . V ậy ( ) 2011 x f x e = ± . Câu 22 Tìm tất cả các hàm số liên tục : f → ℝ ℝ thoả mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2011 1 2 2011 f x f x f x f y f y f y + + + = + + + với mọi bộ số thoả mãn: 1 2 2011 1 2 2011 0 x x x y y y + + + = + + + = . Giải Đặ t ( ) ( ) ( ) 0 , g . f b x f x b = = − Do đó: ( ) ( ) 0 0 0 g f b = − = và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2011 1 2 2011 g x g x g x g y g y g y+ + + = + + + v ới mọi bộ số thoả mãn : 1 2 2011 1 2 2011 0 x x x y y y + + + = + + + = . Tr ước hết cho 1 2 2011 1 2 2009 2010 2011 0 , x 0 , x , x y y y x x x x = = = = = = = = = = − ta được: ( ) ( ) xg x g x − = − ∀ ∈ ℝ . Ti ếp theo cho 1 2 2011 1 2 2008 2009 2010 2011 0 , x 0 , x , x , y y y x x x y x x y = = = = = = = = = = = − − ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x,y x, yg x g y g x y g x y g x g y + + − − = ∀ ∈ ⇔ + = + ∀ ∈ ℝ ℝ Đây là phương trình hàm Cauchy, do đó: ( ) g x ax = , ( ) 1 a g = . Vậy ( ) , a, b = const f x ax b = + . Câu 23 Cho f liên tục trên đoạn [ ] ; a b , khả vi trong khoảng ( ) ; a b và ( ) ( ) 0 f a f b = = . Chứng minh rằng tồn tại ( ) ; c a b ∈ sao cho: ( ) ( ) 2011 f c f c ′ = . Giải Xét hàm số: ( ) ( ) ( ) 2010 x a f t dt g x e f x − ∫ = Vì f liên tục trên đoạn [ ] ; a b , khả vi trong khoảng ( ) ; a b nên g liên tục trên đoạn [ ] ; a b , khả vi trong khoảng ( ) ; a b . Hơn nữa ( ) ( ) 0 g a g b = = suy ra tồn t ại ( ) ( ) ; : 0 c a b g c ′ ∈ = . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2011 x a f t dt g x e f x f x − ∫ ′ ′ = − . Suy ra: ( ) ( ) 2011 f c f c ′ = . [...]... SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH Lấy tích phân hai vế: b b f ′( x ) b dx ≥ ∫ −1dx ⇔ arctan f ( x ) a ≥ a − b ⇔ −π ≥ a − b ⇔ b − a ≥ π ∫1 + f 2 ( x) a a Câu 42 1 Cho f là một hàm liên tục trên [ 0;1] Tìm Tìm lim ∫ f ( x n ) dx n →∞ 0 Giải Cho 0 < ε < 1 Khi đó ta có: 1 ∫ f ( x n ) dx = 0 1−ε ∫ f ( x n ) dx + 0 1 ∫ε f ( x ) dx n 1− + Theo định lý giá trị trung bình của tích phân tồn tại c ∈ [ 0;1... QUỐC phần GIẢI TÍCH ⇒ lim x →0 θ ( x) + x 1 = 2 Câu 51 Cho f là một hàm liên tục trên ℝ và a < b , ký hiệu b g ( x ) = ∫ f ( 2011x + t ) dt Tính đạo hàm của g a Giải b b + 2011 x a a + 2011 x Ta có: g ( x ) = ∫ f ( 2011x + t ) dt = ∫ f ( u ) du ⇒ g ′ ( x ) = 2011  f ( b + 2011x ) − f ( a + 2011x )    Câu 52 1b Cho f liên tục trên ℝ Tìm lim ∫ ( f ( x + h ) − f ( x ) ) dx h →0 ha Giải Áp dụng... Giải Giải sử tồn tại hàm f thoả mãn yêu cầu bài toán + Cho x = π 2 , y= 2 , ta được: f (π ) + 2 < 2 3π , ta được: f (π ) − 2 < 2 2 2 Ta lại có: 4 = ( f (π ) + 2 ) + ( − f (π ) + 2 ) ≤ f (π ) + 2 + f (π ) − 2 < 4 Điều + Cho x = − π π ,y= này vô lý Vậy không có hàm số f nào thoả yêu cầu bài toán Câu 28 Tìm tất cả các hàm f(x) xác định và liên tục trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 ∀x ∈ ℝ Giải. .. ( 0 ) ) ) = 0 thì f ( 0 ) = 0 Giải Ta viết lại điều kiện đối với hàm f(x) như sau: f ( a ) − f ( b ) ≤ a − b (*) Dấu “=” xảy ra khi a = b Đặt x = f ( 0 ) , y = f ( x ) Khi đó f ( y ) = 0 Áp dụng bất đẳng thức (*) liên tiếp ta có: VĂN PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 12 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH x = x − 0 ≥ f ( x ) − f ( 0)... m in f ( x ) = −1 x∈[0;1] Chứng minh rằng: max f ′′ ( x ) ≥ 8 x∈[0;1] Giải f liên tục trên [ 0;1] ⇒ ∃a ∈ [ 0;1] : f ( a ) = m in f ( x ) = −1.Suy ra được f ′ ( a ) = 0 , a ∈ ( 0;1) x∈[0;1] VĂN PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 13 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH Khai triển Taylor tại a: f ( x ) = −1 + f ( a + θ ( x − a )) 2 ( x... ℝ Chứng minh rằng hàm f ′ ( x ) + λ f ( x ) không giảm khi và chỉ khi f ′ ( x ) eλ x không giảm Giải Đặt h ( x ) = f ′ ( x ) + λ f ( x ) ; g ( x ) = f ′ ( x ) eλ x VĂN PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 14 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH Suy ra: eλ x h ( x ) = ( e λ x f ( x ) )′ ; Khi đó: e− λ x g ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) = eλ... PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 15 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH Câu 35 Giả sử f ∈ C ( ℝ ) Liệu có tồn tại các hàm số g(x) và h(x) sao cho ∀x ∈ ℝ thì f ( x ) = g ( x ) sin x + h ( x ) cos x hay không? Giải Có Chẳng hạn xét các hàm số sau: g ( x ) = f ( x ) sin x , h ( x ) = f ( x ) cos x Ta có: g ( x ) sin x + h ( x ) cos x =... xf ′ ( x ) + ( x 2 + 1) f ( x ) ≤ 2011 với mọi x Chứng minh rằng: lim f ( x ) = 0 x →∞ Giải Áp dụng quy tắc Lôpitan, ta có: lim f ( x ) = lim x →∞ x →∞ x2 2 e f ( x) e x2 2 = VĂN PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 16 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH  x2 ′  x2 ′ x e f ( x)  e ( f ′ ( x ) + xf ( x ) )    2   = lim e ( f ′ (... 0;1] Giải f có đạo hàm trên một khoảng chứa [ 0,1] ⇒ ∃x0 ∈ [ 0;1] : f ( x ) ≤ f ( x0 ) = max f ( x ) x∈[ 0,1] Ta sẽ chứng minh: x0 ≠ 0, x 0 ≠ 1 Thật vậy! f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) = f ′ ( 0 ) > 0 ⇒ ∃h ∈ ( 0;1) : > 0 ∀x ∈ ( 0; h ] lim x →0 x x + VĂN PHÚ QUỐC, SV ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW.MATHVN.COM 17 = 0 www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH ⇒...www.MATHVN.com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH Câu 24 Cho f liên tục trên [ 0;2012] Chứng minh rằng tồn tại các số x1 , x2 ∈ [ 0;2012] , x1 − x2 = 1006 thoả mãn: f ( x2 ) − f ( x1 ) = Giải Xét hàm số: F ( x ) = ( x + 1006 ) − f ( x ) − f ( 2012 ) − f ( 0 ) 1006 F liên tục trên [ 0;1006] Ta có: 2012 f ( 2012 ) . www. MATHVN. com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW. MATHVN. COM 1 BÀI TÂP VỀ HÀM SỐ. ( ) ( ) ; c x f x x ′ ∈ + . www. MATHVN. com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW. MATHVN. COM 2 ( ) 0 f x f ′′ ′ >. ( ) 0 lim 1 x f x → = . Giải www. MATHVN. com - ÔN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC phần GIẢI TÍCH VĂN PHÚ QUỐC, SV. ĐHSP TOÁN KHOÁ K07, ĐH QUẢNG NAM – WWW. MATHVN. COM 3 Với ( ) 0 f x > ,