Luận án tiến sĩ đường cong brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI & TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP TRẦN ĐỨC ANH TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Đường cong Brody giới hạn toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa chiều thấp LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI & TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP TRẦN ĐỨC ANH TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Đường cong Brody giới hạn toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa chiều thấp Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Đỗ Đức Thái GS TSKH Pascal J Thomas Hà Nội – Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án trung thực Các kết hai chương & cơng bố tạp chí Tốn học ngồi nước, kết chương chưa cơng bố tạp chí Các kết viết chung với GS Nikolai Nikolov GS Pascal J Thomas đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Trần Đức Anh Mục lục Lời cam đoan Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Tổng quan Chương Về không tồn đường cong E−Brody giới hạn 1.1 Dẫn nhập 1.2 Sự không tồn đường cong Brody giới hạn Chương Bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa khơng có điều kiện đạo hàm 2.1 Tóm tắt nội dung 2.2 Các động nghiên cứu phát biểu 2.2.1 Các định nghĩa 2.2.2 Các động nghiên cứu 2.3 Những thu gọn toán 2.4 Các điều kiện cần 2.5 Một công thức cho ánh xạ nâng 2.5.1 Dạng Jordan sửa đổi 2.5.2 Sai phân chia 2.5.3 Một ánh xạ nâng phân hình 2.5.4 Các tính toán 2.6 Trường hợp n ≤ 2.6.1 Trường hợp n = 2.6.2 Trường hợp n = 2.7 Phản ví dụ cho cơng thức nâng n ≥ Chương Bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa có điều kiện đạo hàm bậc 3.1 Phát biểu toán 3.2 Những thu gọn toán 13 25 25 26 31 31 32 32 33 35 35 39 39 41 41 42 44 45 48 51 53 53 54 3.3 3.4 3.5 3.6 Tích hộp Những phân tích toán Các trường hợp B0 Ánh xạ tuyến tính liên kết LB0 ,B1 , điều kiện lược đồ chứng minh 3.7 Trường hợp thứ B0 3.7.1 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.7.2 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.8 Trường hợp thứ hai B0 3.8.1 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.8.2 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.8.3 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.9 Trường hợp thứ ba B0 3.9.1 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.9.2 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = 3.9.3 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = Đánh giá bàn luận kết Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Các báo công bố tiền ấn phẩm tác giả 55 57 58 59 61 66 71 74 77 80 82 83 86 96 103 115 117 121 123 Lời cảm ơn Đầu tiên, chân thành cảm ơn hai thầy đồng hướng dẫn GS Đỗ Đức Thái GS Pascal J Thomas đồng ý hướng dẫn thực luận án, điều kiện kinh phí khó khăn thủ tục hành phức tạp (do kết hợp hai thủ tục hành Việt Nam Pháp) Nghiên cứu điều kiện vậy, vất vả cho hai thầy lẫn học trò Các ý tưởng kết luận án hình thành thời gian ngắn Pháp, bao gồm 1,5 + + tháng Pháp (tức gồm lần sang Pháp theo kinh phí Pháp tài trợ, chủ yếu nguồn tài trợ GS Pascal J Thomas tìm kiếm lo lắng thủ tục hành chính) Chính vậy, đạt kết q trình tơi cảm thấy biết ơn thầy tạo điều kiện làm việc thời gian Tơi chân thành cảm ơn GS Gerd Dethloff GS Hà Huy Khối đồng ý phản biện luận án Tơi xin chân thành cảm ơn GS Nguyễn Quang Diệu, PGS Nguyễn Việt Dũng, PGS Trần Văn Tấn, PGS Sĩ Đức Quang, TS Ninh Văn Thu, TS Phạm Đức Thoan đồng ý tham gia hội đồng bảo vệ cấp môn; GS Lê Mậu Hải, PGS Hà Huy Vui, PGS Phạm Hoàng Hiệp, PGS Jasmin Raissy đồng ý tham dự hội đồng bảo vệ cấp trường cho luận án Cuối cùng, kết công việc đời khơng có giúp đỡ chia sẻ công việc giảng dạy đồng nghiệp khoa Tốn, chu đáo gia đình, ủng hộ tinh thần từ bạn bè Danh mục ký hiệu • Ωn : Quả cầu phổ đơn vị, tập hợp gồm tất ma trận vng cấp n có bán kính phổ bé hn ã Cm,n hoc Cmìn : Tp cỏc ma trn c m ì n vi h s phc ã Cho ma trận A = (aij ) Khi aij gọi hệ số A hệ số đầu vào A Đầy đủ là: aij hệ số (đầu vào) vị trí (i, j) A • Gn : đa đĩa đối xứng hóa chiều n • σi : Đa thức đối xứng sơ cấp thứ i Khi viết σi (M ) với M ∈ Cn,n ta hiểu theo hai cách: σi (M ) đa thức đối xứng sơ cấp thứ i giá trị riêng M Cách thứ hai là: σi (M ) hệ số bậc n − i đa thức đặc trưng M (sai khác dấu) • Tr : Vết ma trận vuông, vết tự đồng cấu tuyến tính 64 Bảng 3.1 – tiếp tục từ trang trước σ1 (M ) B0 M m42 B0 B0 B1 M b11 -1 m43 m44 B0 B0 M Từ bảng này, ta thấy có hai trường hợp hạng LB0 ,B1 sau • rank(LB0 ,B1 ) = b12 = b41 = b42 = • rank(LB0 ,B1 ) = b12 b41 b42 khác Tiếp theo, chúng tơi liệt kê vài thơng tin hữu ích mà dùng sau này, ví dụ giao hốn tử với B0 Nhắc lại ta thay B1 B1 − [B0 , M ] (xem Mệnh đề 3.2)  0 B0 =  0 Bảng 3.2: Các thơng tin hữu ích B0 đạo hàm thứ ϕ ζ =  0 0 0  d1 = d2 = d3 = 1, d4 = 0 1 0  0 −m12 −m13 m31 m32 m33 − m22 m34 − m23   [B0 , M ] = B0 M − M B0 =  m41 m42 m43 − m32 m44 − m33  0 −m42 −m43  65  ∗ 0 Bởi dịng trên, ta giả sử B1 =  0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗  0  0 ∗ ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ϕ3 (0) = ϕ4 (0) = ϕ′1 (0) = σ1 (B1 ) ϕ′2 (0) = B0 B1 ϕ′3 (0) = B0 B0 B1 ϕ′4 (0) = B0 B0 B0 B1 3! ϕ′′1 (0) = σ1 (B2 ) ϕ′′2 (0) = B0 B2 + 2σ2 (B1 ) ϕ′′3 (0) = B0 B0 B2 + B0 B1 B1 ϕ′′4 (0) = B0 B0 B1 B1 =0 Chúng tơi trình bày kết tương ứng với trường hợp hạng LB0 ,B1 hai mục tới 66 3.7.1 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = Trong trường hợp này, b12 = b41 = b42 = 0,  ∗ 0 0 ∗ B1 =  0 ∗ ∗ 0 ∗  0  0 ∗ Từ Bảng 3.1, kiện rank(LB0 ,B1 ) = tương đương với việc B0 B0 M B0 B0 B1 M = b11 2 Nếu ϕ nâng địa phương, B0 B20 B2 = ϕ′′3 (0)−B0 B1 B1 − B0 B13B1 B1 Điều kéo theo ϕ′′′ (0) (3.12) B B0 B1 B2 = ϕ′′′ B0 B1 B1 B1 (0) − = b11 (ϕ′′3 (0) − B0 B1 B1 ) 3 Chúng phát biểu định lý Định lý 3.7 Giả sử rank(LB0 ,B1 ) = Dữ liệu {ϕ, B0 , B1 } nâng địa phương điều kiện sau thỏa mãn (i) ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ϕ3 (0) = ϕ4 (0) = 0, (ii) ϕ′1 (0) = σ1 (B1 ), ϕ′2 (0) = B0 B1 , ϕ′3 (0) = (iii) ϕ′4 (0) = 0, ϕ′′4 (0) = (iv) B0 B0 B1 , B0 B0 B1 B1 = 0, ϕ′′′ B0 B1 B1 B1 (0) − b11 ϕ′′3 (0) = − b11 B0 B1 B1 3 Chứng minh Định lý 3.7 Các điều kiện cần chứng minh trước phát biểu định lý Do ta cịn phải chứng minh chúng điều kiện đủ Để làm điều này, ta tìm Bk với k ≥ mà thỏa mãn phương trình (3.4) Do rank(LB0 ,B1 ) = 3, ta phải thay ánh xạ LB0 ,B1 ,B2 (k+2) có tính chất thích hợp Để làm điều đó, ta phải tính đạo hàm ϕ4 (0) với k ≥ 67 (k+2) ϕ4 (0) = (k + 1)(k + 2) k+2 B0 B0 B1 Bk+1 + B0 B1 B1 Bk 2 (k + 1)(k + 2) B0 B0 B2 Bk + (3.13) + dấu chấm biểu thị hạng tử phụ thuộc vào Bi với i < k Tương tự ta có (k+1) ϕ3 (0) = B0 B0 Bk+1 + (k + 1)B0 B1 Bk + (3.14) dấu chấm biểu thị hạng tử phụ thuộc vào Bi với i < k Ta suy từ (3.12) (k+2) (k+1) ϕ4 (0) ϕ (0) − b11 = (k + 1)(k + 2) k+1   B0 B1 B1 Bk B0 B0 B2 Bk = + − b11 B0 B1 Bk + (3.15) dấu chấm biểu thị hạng tử phụ thuộc vào Bi với i < k Đặt   B0 B0 M B0 B1 B1 M B0 B0 B2 M LB0 ,B1 ,B2 (M ) = σ1 (M ), B0 M, , + − b11 B0 B1 Bk 2 Ta chứng minh rằng, với k ≥ 2, ta phương trình (3.4) cho Bk có dạng  0 0 Bk =  0 ∗ ∗ tìm thấy Bk thỏa mãn 0 ∗  0  0 ∗ với k ≥ Để làm điều này, ta phải tìm B2 cho hạng hạn chế ánh xạ LB0 ,B1 ,B2 lên    0 0        0 0 4,4  C = M ∈C : M =  0 0       m41 m42 m43 m44 68 Do hệ số tọa độ thứ tư LB0 ,B1 ,B2 (M ),   0 0  0 0  , M =  0 0  m41 m42 m43 m44 (2) m41 − (2) b12 , nên hạng hạn chế b12 = Ta liệt kê bốn phương trình liên quan tới B2 (3.16) (3.17) ϕ′′1 (0) =σ1 (B2 ), ϕ′′2 (0) =B0 B2 + 2σ2 (B1 ), B0 B0 B2 + B0 B1 B1 , ϕ′′3 (0) = (4) ϕ4 (0) ϕ′′′ (0) − b11 = 3.4 B0 B1 B1 B2 B0 B0 B2 B2 + − b11 B0 B1 B2 = (3.18) (3.19) (2) Nếu ta cố định giá trị bij với (i, j) 6∈ {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} (2) b12 6= 0, bốn phương trình (3.16)-(3.19) trở thành hệ Cramer bốn (2) (2) (2) (2) phương trình tuyến tính theo b41 , b42 , b43 b44 Do đó, chúng cho ta B2 (2) với b12 6= Với B2 cố định này, phương trình (3.4) tương đương với dãy hệ phương trình mà có vế trái ) ( (k+1) (k+2) ϕ3 (0) ϕ4 (0) (k) (k) (k) − b11 ϕ1 (0), ϕ2 (0), ϕ3 , (k + 1)(k + 2) k+1 k≥2 Các hệ phương trình sau hệ bốn phương trình tuyến tính theo   0 0 0 0 0  Bk =  0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ có hạng 4, chúng giải 69 Tiếp theo, ta chứng minh ma trận Bk mà tìm thấy tạo thành ánh xạ chỉnh hình Φ quanh ζ = Để làm điều này, ta cần phải ước lượng s k Bk k! Đầu tiên ta viết  (k) ϕ1 (0)   (k) ϕ2 (0)     (k)  = LB0 ,B1 ,B2 (Bk )+α(B0 , B1 , , Bk−1 ) với k ≥  ϕ3 (0)   (k+1)  ϕ(k+2) ϕ3 (0)  (0) − b11 (k + 1)(k + 2) k+1  α(B0 , B1 , , Bk−1 ) biểu thức phụ thuộc vào B0 , B1 , Bk−1 Hai là, ta làm rõ α(B0 , B1 , , Bk−1 ) Ví dụ, ký hiệu α3 (B0 , B1 , , Bk−1 ) tọa độ thứ ba α(B0 , B1 , , Bk−1 ) Ta làm rõ hạng tử Ta có B0 B0 Bk (k) α3 (B0 , B1 , , Bk−1 ) =ϕ3 (0) − X B0 B0 Bk k! = B j1 B j2 B j3 − 3! j +j +j =k j1 !j2 ! jm ! 2 ji ≥0 Do Bk ma trận có dòng khác với k ≥ 3, nên hạng tử có dạng Bi Bj Bk với j, k ≥ Do (k) α3 (B0 , B1 , , Bk−1 ) =ϕ3 (0) − B0 B0 Bk B0 B0 Bk Bk−1 B2 Bk−2 + k!B0 B1 + k!B0 (k − 1)! 2! (k − 2)! Bk−2 B2 Bk−3 k! B2 B2 Bk−4 B0 B0 Bk k! + k!B1 + − + B1 B1 (k − 2)! 2! (k − 3)! 2! 2! (k − 4)!   1 =k! U0 U1 Uk−1 + U0 U2 Uk−2 + U1 U1 Uk−2 + U1 U2 Uk−3 + U2 U2 Uk−4 2 = Uj = Vì Bj j! α3 (B0 , B1 , , Bk−1 ) 1 = U0 U1 Uk−1 +U0 U2 Uk−2 + U1 U1 Uk−2 +U1 U2 Uk−3 + U2 U2 Uk−4 k! 2 70 Nhắc lại ta coi Uk ∈ C4 với k ≥ Giải phương trình (3.20) theo Uk , ta nhận   (k) ϕ3 (0) 1 U0 U0 Uk = − U0 U1 Uk−1 + U0 U2 Uk−2 + U1 U1 Uk−2 + U1 U2 Uk−3 + U2 U2 Uk−4 k! 2 Ta lập luận tương tự tọa độ khác LB0 ,B1 ,B2 (Bk ), ta nhận   (k) ϕ1 (0)   k!   (k)   ϕ2 (0)     k! +Λ1 (Uk−1 )+Λ2 (Uk−2 )+ .+Λ6 (Uk−6 ) LB0 ,B1 ,B2 (Uk ) =  (k)   ϕ (0)     k!  (k+2)  (k+1)  ϕ4 (0) ϕ3 (0)  − b11 (k + 2)! (k + 1)! Λi ánh xạ tuyến tính cố định từ C4 vào C4 Do hạng hạn chế LB0 ,B1 ,B2 lên    0 0        0 0 4,4  : M = C = M ∈C   0 0      m41 m42 m43 m44 4, ta coi LB0 ,B1 ,B2 đẳng cấu tuyến tính C4 Suy   (k)    −1  Uk = LB0 ,B1 ,B2    (k+2)  ϕ (0) (k + 2)! ϕ1 (0) k! (k) ϕ2 (0) k! (k) ϕ3 (0) k! − b11         + Λ1 (Uk−1 ) + Λ2 (Uk−2 ) + + Λ6 (Uk−6 )     (k+1)   ϕ (0) (k + 1)! Do ϕ chỉnh hình đĩa đơn vị, s (k) (0) k ϕ ≤ lim sup k! k→∞ Điều có nghĩa tồn số dương C cho (k) ϕ (0) k k! ≤ C 71 với k p Ta cần phải chứng minh lim supk→∞ k kUk k hữu hạn Điều thực quy nạp theo k Ta phải tìm số dương M cho kUk k ≤ M k với k Giả sử ta có số M cho kUl k ≤ M l với l ≤ k − Khi đó, theo quan hệ hồi quy, ta thấy 
 kUk k ≤ D C k+2 + E M k−1 + + M k−6 D E số phụ thuộc vào chuẩn Λi LB0 ,B1 ,B2 Do ta chọn M đủ lớn ta có kUk k ≤ M k , điều chứng minh ma trận Bk thực tạo thành hàm chỉnh hình quanh ζ = 0, hay ánh xạ nâng địa phương ϕ Ta kết thúc chứng minh Định lý 3.7 3.7.2 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = Định lý 3.8 Giả sử rank(LB0 ,B1 ) = Dữ liệu {ϕ, B0 , B1 } nâng địa phương điều kiện sau thỏa mãn (i) ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ϕ3 (0) = ϕ4 (0) = 0, (ii) ϕ′1 (0) = σ1 (B1 ), ϕ′2 (0) = B0 B1 , ϕ′3 (0) = (iii) ϕ′4 (0) = 0, ϕ′′4 (0) = B0 B0 B1 , B0 B0 B1 B1 = Ta nhận xét điều kiện phát biểu thỏa mãn cách hiển nhiên Chúng bao gồm ϕ(0) = 0, ϕ′ (0) = DπB0 (B1 ) điều kiện phụ ϕ′′4 (0) nhờ tính tốn trực tiếp Chứng minh Định lý 3.8 Cơng việc cịn lại chứng điều kiện đủ Chúng ta có ba trường hợp con: b12 b41 b42 khác 0(xem trang 64) Nếu b12 6= 0, ta tìm Bk có dạng   0 0 0 0 0  Bk =  0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ 72 với k ≥ thỏa mãn phương trình ϕ (3.4) Sự hội tụ nghiệm chứng minh giống chứng minh trước Nếu b41 6= 0, ta tìm Bk có dạng   ∗ 0 0 ∗ 0   Bk =  0 ∗ 0  ∗ 0 với k ≥ thỏa mãn phương trình (3.4) Bây ta xét trường hợp mà b42 6= b41 = b12 = Trong tình này, kể có rank(LB0 ,B1 ) = 4, khơng có đảm bảo hạng hạn chế ánh xạ lên    0 0        0 4,4  : M = C = M ∈C   0      m41 m42 m43 m44 4, ta cần phải thay ánh xạ ánh hạn chế lên   0     0 C4 = M ∈ C4,4 : M =   0    m41 m42 m43 xạ LB0 ,B1 ,B2 có          m44 đạt hạng cực đại cho ta tìm nghiệm hội tụ {Bk }k≥1 Để (k+2) (k+1) làm điều đó, ta cần xét ϕ4 (0) thay ϕ4 (0) Ta có (k+4) ϕ4 (0) = (k + 2) B0 B0 B1 Bk+1  + (k + 1)(k + 2) B0 B1 B1 Bk B0 B0 B2 Bk + dấu chấm biểu thị hạng Giả sử  0 0 Bk =  0 ∗ ∗  + (3.20) tử phụ thuộc vào Bi với i < k  0 0  0 ∗ ∗ 73 với k ≥ Khi B0 B0 B1 Bk+1 = b11 B0 B0 Bk+1 với k ≥ Do (k+1) ϕ3 (0) = B0 B0 Bk+1 + (k + 1)B0 B1 Bk + (3.21) dấu chấm biểu thị hạng tử phụ thuộc vào Bi với i < k Suy (k+2) (k+1) ϕ4 (0) ϕ (0) − b11 = (k + 1)(k + 2) k+1   B0 B1 B1 Bk B0 B0 B2 Bk = + − b11 B0 B1 Bk + (3.22) dấu chấm biểu thị hạng tử phụ thuộc vào Bi với i < k Do ánh xạ LB0 ,B1 ,B2 giống ánh xạ chuwgns minh trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = Nhưng khác biệt tình có thêm phương trình theo B2 , tức ta có năm phương trình liên quan tới B2 Đó (3.23) (3.24) ϕ′′1 (0) =σ1 (B2 ), ϕ′′2 (0) =B0 B2 + 2σ2 (B1 ), B0 B0 B2 ϕ′′3 (0) = + B0 B1 B1 , B0 B0 B1 B2 B0 B1 B1 B1 ϕ′′′ (0) = + 3 (4) ′′′ ϕ (0) ϕ4 (0) − b11 = 3.4 B0 B1 B1 B2 B0 B0 B2 B2 = + − b11 B0 B1 B2 (3.25) (3.26) (3.27) (2) Như chứng minh trước, ta cố định giá trị bij với (i, j) 6∈ {(1, 1), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} cho năm phương trình trở thành (2) (2) (2) (2) (2) hệ Cramer năm phương trình tuyến tính theo b11 , b41 , b42 , b43 b44 Sự thoải mái việc chọn đảm bảo hạng hạn chế LB0 ,B1 ,B2 lên    0 0        0 0 4,4  C = M ∈C : M =  0 0       m41 m42 m43 m44 74 Ta kết thúc chứng minh Định lý 3.8 3.8 Trường hợp thứ hai B0 Do  0 B0 =  0 0 0 0  0 , 1 nên số liên kết d1 = d2 = d3 = d4 = Ánh xạ tuyến tính liên kết ta   B0 B0 B1 M LB0 ,B1 (M ) = σ1 (M ), B0 M, B0 B1 M, với M ∈ C4,4 Ta có bảng sau Bảng 3.3: Bảng hệ số cho ánh xạ tuyến tính liên kết σ1 (M ) m11 B0 M B0 B1 M B0 B0 B1 M −b43 m12 m13 b41 m14 −1 m21 m22 m23 −(b33 + b44 ) b43 −b43 b31 + b42 −b41 Tiếp theo trang bên 75 Bảng 3.3 – tiếp tục từ trang trước σ1 (M ) B0 M B0 B1 M m24 b41 m31 b23 B0 B0 B1 M m32 m33 −b21 m34 m41 b13 + b24 m42 b23 −1 m43 m44 −(b11 + b22 ) −b23 b21 −b21 Bảng 3.4: Các thơng tin hữu ích B0 đạo hàm thứ ϕ ζ =      d1 = d2 = 1; d3 = d4 = B0 =   1 76  m21 m22 − m11 m23 m24 − m13  −m21 −m23   Giao hoán tử [B0 , M ] =  m41 m42 − m31 m43 m44 − m33  −m41 −m43   ∗ ∗ Theo dịng trên, ta giả sử B1 =  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗  0 ∗ ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ϕ3 (0) = ϕ4 (0) = ϕ′1 (0) = σ1 (B1 ) ϕ′2 (0) = B0 B1 ϕ′3 (0) = ϕ′4 (0) = ϕ′′3 (0) = B0 B1 B1 ϕ′′4 (0) = B0 B0 B1 B1 ϕ′′1 (0) = σ1 (B2 ) ϕ′′2 (0) = B0 B2 + 2σ2 (B1 ) ϕ′′′ (0) = B0 B1 B2 + 2σ3 (B1 ) ϕ′′′ (0) = B0 B0 B1 B2 B0 B1 B1 B1 + Giống trường hợp thứ B0 , ta xử lý toán theo 77 hạng LB0 ,B1 Trong trường hợp này, hạng LB0 ,B1 nhận giá trị {2, 3, 4} 3.8.1 Trường hợp rank(LB0 ,B1 ) = Quan sát Bảng 3.3, ta suy hạng LB0 ,B1 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn (i) b41 = b23 = 0, (ii) b43 = b21 = 0, (iii) b11 + b22 = b33 + b44 , (iv) b31 + b42 = b13 + b24 = Đặt b11 + b22 = b33 + b44 = α Suy với M = (mij ) ∈ C4,4 , ta có B0 B1 M = −αm21 − αm43 = αB0 M Nếu ϕ nâng địa phương, ta có ϕ′′′ (0) =B0 B1 B2 + 2σ3 (B1 ), ϕ′′2 (0) =B0 B2 + 2σ2 (B1 ) Do (3.28) (3.29) ϕ′′′ (0) − 2σ3 (B1 ) = α [ϕ′′2 (0) − 2σ2 (B1 )] Thêm nữa, b41 = b23 = b43 = b21 = 0, nên ta có B0 B0 B1 M = với M ∈ C4,4 Ta suy ϕ′′′ (0) = B0 B1 B1 B1 Bây ta phát biểu kết Định lý 3.9 Giả sử rank(LB0 ,B1 ) = Dữ liệu {ϕ, B0 , B1 } nâng địa phương điều sau thỏa mãn (i) ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ϕ3 (0) = ϕ4 (0) = 0, (ii) ϕ′1 (0) = σ1 (B1 ), ϕ′2 (0) = B0 B1 , (iii) ϕ′3 (0) = ϕ′4 (0) = 0, 78 (iv) ϕ′′3 (0) = B0 B1 B1 , (v) ϕ′′4 (0) = B0 B0 B1 B1