Báo cáo bài tập lớn môn học phương pháp tính

lOMoARcPSD|17838488 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ LỚP: L07 – NHĨM: 17 – HK211 GVHD: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG SINH VIÊN THỰC HIỆN STT MSSV Họ Tên 2012813 Đinh Thái Nhật Duy 2013184 Đoàn Minh Hiển 2013322 Nguyễn Thái Huy 2013868 Lý Gia Nghĩa 1814485 Nguyễn Đức Trọng TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2021 Điểm BTL lOMoARcPSD|17838488 BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC NHÓM STT MSSV 2012813 Họ tên Nhiệm vụ phân công Đinh Thái Nhật Duy Giải + thuyết trình 2013184 Đoàn Minh Hiển Bài + code + slides + thuyết trình 2013322 Nguyễn Thái Huy Bài + code + code + slides + tổng hợp + thuyết trình 2013868 Lý Gia Nghĩa 1814485 Nguyễn Đức Trọng – Lý thuyết + slides Điểm BTL Ký tên lOMoARcPSD|17838488 MỤC LỤC PROBLEM 1.1 Lý thuyết 1.1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.2 Phương trình vi phân 1.2 Nội dung kết có 1.2.1 Nội dung 1.2.2 Kết 1.3 Bài toán mở rộng 12 1.3.1 Nội dung 12 1.3.2 Kết 13 1.4 Kết luận 15 PROBLEM 16 2.1 Lý thuyết 16 2.2 Nội dung kết có 19 2.2.1 Nội dung 19 2.2.2 Kết 20 2.3 Bài toán mở rộng 23 2.3.1 Nội dung 23 2.3.2 Kết 23 2.4 Kết luận 24 PROBLEM 25 3.1 Lý thuyết 25 3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân 25 3.1.2 Spline bậc ba tự nhiên 25 3.2 Nội dung kết có 27 3.2.1 Nội dung 27 3.2.2 Kết 28 3.3 Bài toán mở rộng 37 3.3.1 Nội dung 37 3.3.2 Kết 37 3.4 Kết luận 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 lOMoARcPSD|17838488 PROBLEM 1.1 Lý thuyết Cho f ( x ) hàm số liên tục đoạn  a, b  thỏa mãn f ( a ) f ( b )  Khi đó, tồn giá trị p nằm a b cho f ( p ) = Giả sử giá trị p nhất, ta gọi  a, b  khoảng cách ly nghiệm phương trình f ( x ) = Gọi x * nghiệm gần nghiệm p  a, b  ta có cơng thức đánh giá sai số tổng quátEquation Chapter Section x*−p  f ´ ( x *) , m = f ´( x )  x a , b  m (1.1) 1.1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.1.1 Phương pháp chia đôi Nội dung: Kiểm tra giá trị hàm điểm khoảng c = a+b Nếu f ( c ) f ( a )  chắn nghiệm phương trình nằm  a, c  có độ dài nửa đoạn  a, b  ban đầu Ngược lại, f ( c ) f ( b )  ta có điều tương tự đoạn  c, b  Lặp lại bước giúp định vị ngày xác vị trí nghiệm phương trình Đây gọi phương pháp chia đôi (the bisection method) Công thức đánh giá sai số: Giả sử sau n lần chia đôi, ta tìm đoạn  an , bn  có độ dài nghiệm gần điểm khoảng xn = b−a Chọn 2n an + bn gần với giá trị nghiệm xác nhất, ta có cơng thức đánh giá sai số: xn − p  b−a 2n+1 (1.2) lOMoARcPSD|17838488 1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến Ở phương pháp Newton (Newton’s method hay Newton-Raphson method), từ điểm có hồnh độ xn−1 đồ thị đường cong y = f ( x ) , ta kẻ tiếp tuyến với đường cong Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành xn Ta dễ dàng viết phương trình tiếp tuyến: y = f ´( xn−1 )( x − xn−1 ) + f ( xn−1 ) Cho y = 0, x = xn ta thu công thức xác định xn , cơng thức lặp phương pháp Newton: xn = xn −1 − f ( xn −1 ) f ´( xn −1 ) , n = 1, 2, 3, (1.3) Đây công thức tiếng sử dụng rộng rãi việc giải vấn đề tìm nghiệm Tuy nhiên, có điểm yếu, phải biết giá trị đạo hàm f lần xấp xỉ Đơi khi, việc tìm f ´( x ) khó khăn khơng thuận tiện cần nhiều kỹ thuật tính tốn Với trường hợp này, ta tính gần đạo hàm cơng thức f ´( xn )  f ( xn ) − f ( xn −1 ) xn − xn −1 , đó, phương trình (1.3) viết lại thành công thức lặp sau: xn = xn −1 − f ( xn −1 )( xn −1 − xn − ) f ( xn −1 ) − f ( xn − ) , n = 2, 3, 4, (1.4) Kỹ thuật gọi phương pháp cát tuyến (the secant method) (xem Hình 1.1) Xuất phát từ hai giá trị gần ban đầu p0 , p1 , giá trị p2 giao điểm trục x với đường thẳng qua hai điểm ( p0 , f ( p0 ) ) ( p1 , f ( p1 ) ) Giá trị p3 giao điểm trục x với đường thẳng qua hai điểm ( p1 , f ( p1 ) ) ( p2 , f ( p2 ) ) , tương tự với giá trị xấp xỉ Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 Hình 1.1 Minh họa phương pháp cát tuyến Khi muốn đánh giá sai số nghiệm gần tìm được, ta dùng công thức ước lượng sai số tổng quát (1.1) 1.1.2 Phương trình vi phân Cho tốn Cauchy:  y ´( x ) = f ( x, y ( x ) ) , x  x ,    y(x ) = y 0   (1.5) với y = y ( x ) hàm cần tìm, khả vi đoạn  a, b  , y0 giá trị ban đầu cho trước y ( x ) x = x0 , f ( x, y ) hàm hai biến liên tục với đạo hàm riêng Để tìm nghiệm gần toán (1.5), ta chia đoạn  a, b  thành n đoạn nhỏ với bước chia h = b−a Khi đó, điểm chia x0 = a, xk = x0 + kh, n k = 0,1,2, , n, xn = b 1.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến Giả sử y ( x ) nghiệm toán (1.5), có đạo hàm cấp hai liên tục  a, b  Ta xây dựng công thức Euler (Euler’s method) sau: y ( xk +1 )  yk +1 = yk + hf ( xk , yk ) , k = 0,1, 2, , n − Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) (1.6) lOMoARcPSD|17838488 Nếu thay f ( xk , yk ) công thức (1.6) f ( xk , yk ) + f ( xk +1 , yk +1 ) ta công thức Euler cải tiến (modified Euler’s method): y ( xk +1 )  yk +1 = yk + h f ( xk , yk ) + f ( xk +1 , yk +1 ) , k = 0,1, 2, , n − Để đơn giản, ta thay yk +1 vế phải yk −1 + hf ( xk −1 , yk −1 ) , đó: y ( xk +1 )  yk +1 = yk + h f ( xk , yk ) + f ( xk +1 , yk + hf ( xk , yk ) ) , k = 0,1, 2, , n − Viết lại công thức Euler cải tiến:  k  K = hf ( x , y ) k k    k  K = hf ( x + h, y + K k ) k k    k k   y ( x )  y = y + K1 + K  k +1 k +1 k  (1.7) 1.1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn n   y = y ( x + h)  y + A K k  k +1 k k j j   j =1   K k = hf ( x , y )  k k   K k = hf ( x +  h, y +  K k ) k k 21   k  K = hf ( x +  h, y +  K k +  K k )  k k 31 32   M   k  K = hf ( x +  h, y +  K k +  K k + +  K k ) k n k n1 n2 n ,n −1 n −1  n (1.8) Ta cần xác định hệ số A1 , A2 ,K, An ;  ,3 ,K, n ;  21 , 31 ,K,  n,n−1 Khai triển Taylor nghiệm y ( x ) xk đến bậc m thay x = xk +1 , ta được: h2 y ( xk +1 ) = y ( xk + h )  y ( xk ) + y ´( xk ) h + y ˝ ( xk ) 2! h3 h4 hm m + y ( ) ( xk ) + y ( ) ( xk ) + K + y ( ) ( xk ) 3! 4! m! Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 Trong trường hợp m = n = , ta có cơng thức Runge-Kutta bậc bốn (FourthOrder Runge-Kutta method – RK4):   y = y ( x + h )  y + ( K k + 2K k + 2K k + K k ) k k  k +1   k  K1 = hf ( xk , yk )    h K1k   k   K = hf  xk + , yk +   2     k    k  K = hf  x + h , y + K    k k      k  K = hf ( xk + h, yk + K 3k ) (1.9) 1.2 Nội dung kết có 1.2.1 Nội dung A bungee jumper jumps from a mountain with the downward vertical velocity v described by the mathematical model: c dv = g − d v (see the picture), where m is the m dt mass of jumper and cd is called drag coefficient a) Suppose that the jumper is initial at rest, find analytically the expression of v b) Let g = 9.8 (m/s ), m = 68.1 (kg), cd = 0.25 (kg/m) and the jumper is initial at rest, establish the table to compute the velocity of the jumper for the first 10 seconds with step size h = (s) by using modified Euler’s and Runge-Kutta method Compare the results to the exact values found in a) c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity v = 46 (m/s) after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5% (Guess the isolated interval containing root) Tạm dịch: Một vận động viên bungee nhảy từ núi với vận tốc v thẳng đứng hướng xuống (xem hình), mơ tả mơ hình tốn học c dv = g − d v2 dt m Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) (1.10), đó, lOMoARcPSD|17838488 m khối lượng vận động viên, cd hệ số cản a) Giả sử ban đầu vận động viên trạng thái nghỉ, tìm biểu thức mơ tả v b) Biết g = 9.8 m/s2, m = 68.1 (kg), cd = 0.25 (kg/m) vận động viên bắt đầu nhảy từ trạng thái nghỉ Lập bảng để tính vận tốc vận động viên 10 giây kể từ lúc rời núi với bước chia h = (s) phương pháp Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta So sánh kết với giá trị xác tìm từ câu a) c) Sử dụng kết câu a) phương pháp chia đơi, phương pháp cát tuyến để tìm hệ số cản vận động viên có khối lượng 95 (kg), vận tốc v = 46 (m/s) sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu rơi đến sai số tương đối nhỏ 5% (dự đoán khoảng cách ly nghiệm) 1.2.2 Kết a) Nhân hai vế phương trình (1.10) với m , ta cd m dv gm = −v cd dt cd Đặt a = gm , phương trình trở thành cd m dv = a2 − v2 cd dt  c dv = d dt a −v m Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488   c dv =  d dt a −v m  v c artanh   = d t + C a  a m  Do lúc đầu, vận động viên trạng thái nghỉ nên v ( ) = , suy C =    c  v = a  a d t   m  v=  gm    cd  gcd  t m  (1.11) b) Giá trị vận tốc xác vexact tính biểu thức (1.11), với g = 9.8, cd = 0.25, m = 68.1 , kết thể cột Bảng 1.1 Với phương pháp Euler cải tiến, từ công thức (1.7): Khi t = :   0.25  02  = 9.8 K10 =   9.8 − 68.1    0.25 2  ( + 9.8 )   9.4474303 K 20 =   9.8 − 68.1   9.8 + 9.4474303  9.6237151 vm.Euler  + vm.Euler − vexact  0.0604286 Khi t = :   0.25  9.62371512   9.4600004 K11 =   9.8 − 68.1    0.25 2  ( 9.6237151 + 9.4600004 )   8.4630389 K 21 =   9.8 − 68.1   9.4600004 + 8.4630389  18.5852348, vm.Euler  9.6237151 + vm.Euler − vexact  0.1257200 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 iii) g(xk ) = yk , k=0,1, …, n Cách xây dựng spline bậc 3: Đặt hk = xk+1 - xk gk (x) đa thức bậc nên viết dạng : gk (x) = ak+bk (x-xk )+ck (x-xk ) 2+dk (x-xk ) Các hệ số ak , bk , dk xác định theo cơng thức : Hệ số ck tính theo cơng thức: Phương trình (4) hệ pt tuyến tính gồm n-1 pt dùng để xác định hệ số ck Phương trình (4) có số ẩn = n+1 > số phương trình = n-1 (thiếu phương trình) nên chưa giải được, để giải ta cần bổ sung thêm số điều kiện Spline tự nhiên spline với điều kiện: g ”(a) = g”(b) = Giải thuật xác định spline tự nhiên: Điều kiện g”(a)=g”(b) = suy co = cn = B1 Tính hk=xk+1- xk , k = 0, n-1 ak= yk , k = 0, n B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co , c1 , …, cn )T 26 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 B3 Tính hệ số bk , dk 3.2 Nội dung kết có 3.2.1 Nội dung In biology, the predator-prey model is used to observe the species interaction One model is proposed by Lotka-Volterra as: dx = ax − bxy dt dy = −cy + dxy, dt where x, y are the number of preys and predators, respectively, a = the prey growth rate, c = the predator death rate, b and d = the rates characterizing the effect of the predator prey interactions on the prey death and the predator growth, respectively t is time measured in month a) Given the following data a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8, d = 0.3 with initial conditions of x = and y = Find the number of prey and predators after 10 months with modified Euler’s method with step size h = 0.625 b) With the found data, construct the natural cubic spline for x and y Plot in one figure the graphs of x ( t ) , y ( t ) 27 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 Tạm dịch: Trong sinh học, mơ hình kẻ săn mồi – mồi dùng để quan sát tương tác lồi Mơ hình đề xuất Lotka-Volterra dx = ax − bxy dt dy = −cy + dxy, dt (3.1) x, y số lượng mồi động vật săn mồi, a tốc độ tăng trưởng số lượng loài bị săn, c tốc độ chết loài săn, b d theo thứ tự tỷ lệ đặc trưng cho ảnh hưởng tương tác kẻ săn mồi – mồi lên chết mồi tăng trưởng loài săn mồi, t thời gian tính tháng a) Cho a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8, d = 0.3 với điều kiện ban đầu x = y = Tìm số lượng loài bị săn loài săn sau 10 tháng phương pháp Euler cải tiến với bước chia h = 0.625 b) Với liệu tìm được, xây dựng spline bậc ba tự nhiên cho x y Vẽ đồ thị x ( t ) , y ( t ) hệ tọa độ 3.2.2 Kết a) Ta có: t0 = 0; x0 = 2; y0 = 1; h = 0.625; a = 1.2; b = 0.6; c = 0.8; d = 0.3; 10 10 n= = = 16 h 0.625 dx = ax − bxy = 1.2 x − 0.6 xy = f ( x; y; t ) dt dy = −cy + dxy = −0.8 y + 0.3xy = g ( x; y; t ) dt Bắt đầu tính tốn K1x = hf ( x0 ; y0 ; t0 ) = h(1.2 x − 0.6 xy ) = 0.625  (1.2  − 0.6   1) = 0.75 K1 y = hg ( x0 ; y0 ; t0 ) = h(−0.8 y + 0.3xy ) = 0.625  (−0.8  + 0.3   1) = −0.125 K x = hf (t0 + h; x0 + K1x ; y0 + K1 y ) = h(1.2( x0 + K1x ) − 0.6( x0 + K1x )( y0 + K1 y )) = 0.625 (1.2  ( + 0.75 ) − 0.6  ( + 0.75 )(1 − 0.125 ) ) = 1.1602 K y = hg (t0 + h; x0 + K1x ; y0 + K1 y ) = h(−0.8( y0 + K1 y ) + 0.3( x0 + K1x )( y0 + K1 y )) = 0.625 ( −0.8  (1 − 0.125 ) + 0.3 ( + 0.75 )(1 − 0.125 ) ) = 0.0137 28 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 K y = hg (t0 + h; x0 + K1x ; y0 + K1 y ) = h(−0.8( y0 + K1 y ) + 0.3( x0 + K1x )( y0 + K1 y )) = 0.625 ( −0.8  (1 − 0.125 ) + 0.3 ( + 0.75 )(1 − 0.125 ) ) = 0.0137 1 x1 = x0 + ( K1x + K x ) = + (0.75 + 1.1602) = 2.955 2 1 y1 = y0 + ( K1 y + K y ) = + (−0.125 + 0.0137) = 0.9443 2 Ta làm tương tự với giá trị x, y lại tổng hợp bảng: k 10 11 12 13 14 15 16 t 0.625 1.25 1.875 2.5 3.125 3.75 4.375 5.625 6.25 6.875 7.5 8.125 8.75 9.375 10 x 2.9551 4.3170 5.6371 5.1999 2.6855 1.4284 1.0230 0.9930 1.1954 1.6465 2.4404 3.6852 5.2690 6.0719 3.8927 1.8974 y 0.9443 1.1060 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 Số lượng loài bị săn 1.8974 loài săn 3.6834 sau 10 tháng b) Ta tính hàm spline x(t) hk = tk +1 − tk ; Bk = f [tk , ; tk +1 ]; uk = 2(hk + hk −1 ); vk ' = 3( Bk − Bk −1 ) k t x h B u v' 0.0000 2.0000 0.6250 1.5282 0.6250 2.9551 0.6250 2.1790 2.5000 1.9526 1.2500 4.3170 0.6250 2.1122 2.5000 –0.2006 1.8750 5.6371 0.6250 –0.6995 2.5000 –8.4350 2.5000 5.1999 0.6250 –4.0230 2.5000 –9.9706 29 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 3.1250 2.6855 0.6250 –2.0114 2.5000 6.0350 3.7500 1.4284 0.6250 –0.6486 2.5000 4.0882 4.3750 1.0230 0.6250 –0.0480 2.5000 1.8019 5.0000 0.9930 0.6250 0.3238 2.5000 1.1155 5.6250 1.1954 0.6250 0.7218 2.5000 1.1938 10 6.2500 1.6465 0.6250 1.2702 2.5000 1.6454 11 6.8750 2.4404 0.6250 1.9917 2.5000 2.1643 12 7.5000 3.6852 0.6250 2.5341 2.5000 1.6272 13 8.1250 5.2690 0.6250 1.2846 2.5000 –3.7483 14 8.7500 6.0719 0.6250 –3.4867 2.5000 –14.3141 15 9.3750 3.8927 0.6250 –3.1925 2.5000 0.8827 16 10.0000 1.8974 Áp dụng công thức slides để lập ma trận vuông cấp 17 Thay số   c         0.6250 2.5000 0.6250   c1   1.9526       2.5000 0.6250 0.6250  c     −0.2006     c3   −8.4350  0.6250 2.5000 0.6250 = A=    O O O M   M      c    0.6250 2.5000 0.6250    k −2   −14.3141 c   0.6250 2.5000 0.6250   k −1   0.8827    c     k         30 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 Ta Giải ck k 10 11 12 13 14 15 16 ck 0.6964 0.3484 -2.409 -4.209 3.2930 0.6907 0.4861 0.2471 0.3103 0.4224 0.6319 0.5135 -0.083 -6.0179 1.8978 Ta áp dụng công thức: k Ak 2.9551 4.3170 5.6371 5.1999 2.6855 1.4284 1.0230 0.9930 1.1954 Bk 1.3831 1.8163 2.4689 1.1811 -2.9553 -3.5273 -1.0377 -0.302 0.1562 0.5045 Ck 0.6964 0.3484 -2.4090 -4.2090 3.2930 0.6907 0.4861 0.2471 0.3103 31 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) Dk 0.3714 -0.1856 -1.4706 -0.9600 4.0011 -1.3879 -0.1091 -0.1275 0.0337 0.0598 lOMoARcPSD|17838488 10 11 12 13 14 15 16 1.6465 2.4404 3.6852 5.2690 6.0719 3.8927 0.9626 1.6214 2.3374 2.573 -1.3746 -3.9832 0.4224 0.6319 0.5135 -0.0830 -6.0179 1.8978 0.1117 -0.0632 -0.3181 -3.1653 4.2217 -1.0122 Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới: xk (t ) = ak + bk (t − tk ) + ck (t − tk ) + d k (t − tk )3 x0 (t ) = 2.0000 + 1.3831(t − 0.0000) + 0.0000(t − 0.0000) + 0.3714(t − 0.0000)3 t   0.0000;0.6250 x1 (t ) = 2.9551 + 1.8163(t − 0.6250) + 0.9640(t − 0.6250) + −0.1856(t − 0.6250)3 t   0.6250;1.2500 x2 (t ) = 4.3170 + 2.4689(t − 1.2500) + 0.3484(t − 1.2500) + −1.4706(t − 1.2500)3 t  1.2500 ;1.8750 x3 (t ) = 5.6371 + 1.1811(t − 1.8750) + −2.4090(t − 1.8750) + −0.96(t − 1.8750)3 t  1.8750 ; 2.5000 x4 (t ) = 5.1999 + −2.9553(t − 2.5000) + −4.2090(t − 2.5000) + 4.0011(t − 2.5000)3 t   2.5000 ; 3.1250 x5 (t ) = 2.6855 + −3.5273(t − 3.1250) + 3.2930(t − 3.1250) + −1.3879(t − 3.1250)3 t  3.1250 ; 3.7500 x6 (t ) = 1.4284 + −1.0377(t − 3.7500) + 0.6907(t − 3.7500) + −0.1091(t − 3.7500)3 t  3.7500 ; 4.3750 x7 (t ) = 1.0230 + −0.302(t − 4.3750) + 0.4861(t − 4.3750) + −0.1275(t − 4.3750)3 t   4.3750 ; 5.0000 x8 (t ) = 0.9930 + 0.1562(t − 5.0000) + 0.2471(t − 5.0000) + 0.0337(t − 5.0000)3 t  5.0000 ; 5.6250 x9 (t ) = 1.1954 + 0.5045(t − 5.6250) + 0.3103(t − 5.6250) + 0.0598(t − 5.6250)3 t  5.6250 ; 6.2500 x10 (t ) = 1.6465 + 0.9626(t − 6.2500) + 0.4224(t − 6.2500) + 0.1117(t − 6.2500)3 t   6.2500 ; 6.8750 32 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 x11 (t ) = 2.4404 + 1.6214(t − 6.8750) + 0.6319(t − 6.8750) + −0.0632(t − 6.8750)3 t   6.8750 ; 7.5000 x12 (t ) = 3.6852 + 2.3374(t − 7.5000) + 0.5135(t − 7.5000) + −0.3181(t − 7.5000)3 t   7.5000 ; 8.1250 x13 (t ) = 5.2690 + 2.573(t − 8.1250) + −0.0830(t − 8.1250) + −3.1653(t − 8.1250)3 t  8.1250 ; 8.7500 x14 (t ) = 6.0719 + −1.3746(t − 8.7500) + −6.0179(t − 8.7500) + 4.2217(t − 8.7500)3 t  8.7500 ; 9.3750 x15 (t ) = 3.8927 + −3.9832(t − 9.3750) + 1.8978(t − 9.3750) + −1.0122(t − 9.3750)3 t  9.3750 ;10.0000 Ta giải tương tự với hàm y(t): hk = tk +1 − tk ; Bk = f [tk ; tk +1 ]; uk = 2(hk + hk −1 ); vk ' = 3( Bk − Bk −1 ) k 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 t 0.0000 0.6250 1.2500 1.8750 2.5000 3.1250 3.7500 4.3750 5.0000 5.6250 6.2500 6.8750 7.5000 8.1250 8.7500 9.3750 10.0000 y 0.9443 1.106 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 h 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 B -0.0891 0.2587 0.9466 2.1875 1.4744 -1.1778 -1.3179 -1.0533 -0.7328 -0.4546 -0.2091 0.0706 0.5605 1.6565 2.7106 -0.5373 u v' 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 1.0435 2.0635 3.7229 -2.1394 -7.9565 -0.4205 0.7939 0.9614 0.8347 0.7363 0.8390 1.4698 3.2880 3.1622 -9.7435 Áp dụng công thức slides để lập ma trận vuông cấp 17 33 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 Thay số    c        0.6250 2.5000 0.6250   c1   1.0435       2.5000 0.6250 0.6250  c     2.0635     c3   3.7229  0.6250 2.5000 0.6250 = A=     O O O M   M     c    0.6250 2.5000 0.6250    k −2   3.1622  c   0.6250 2.5000 0.6250   k −1   −9.7435    c        k    Ta ck Ta áp dụng công thức: k 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 ck 0.0000 0.3250 0.3688 1.5027 -0.4236 -3.2312 0.6182 0.0851 0.3115 0.2075 0.1941 0.1941 0.3719 0.6699 2.2098 -4.4498 0.0000 34 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 k 10 11 12 13 14 15 16 Ak 1.0000 0.9443 1.1060 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 Bk –0.1568 0.0465 0.4798 1.6496 2.3241 0.0398 –1.5932 –1.1536 –0.9058 –0.5815 –0.3304 –0.0878 0.2660 0.9170 2.7169 1.3168 Ck 0.0000 0.3250 0.3688 1.5027 –0.4236 –3.2312 0.6182 0.0851 0.3115 0.2075 0.1941 0.1941 0.3719 0.6699 2.2098 –4.4498 0.0000 Dk 0.1733 0.0234 0.6047 –1.0274 –1.4974 2.0530 –0.2843 0.1207 –0.0555 –0.0071 0.0000 0.0948 0.1589 0.8213 –3.5518 2.3732 Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới: yk (t ) = ak + bk (t − tk ) + ck (t − tk ) + d k (t − tk )3 y0 (t ) = 1.0000 + −0.1568(t − 0.0000) + 0.0000(t − 0.0000) + 0.1733(t − 0.0000)3 t   0.0000;0.6250 y1 (t ) = 0.9443 + 0.0465(t − 0.6250) + 0.3250(t − 0.6250) + 0.0234(t − 0.6250)3 t   0.6250;1.2500 y2 (t ) = 1.1060 + 0.4798(t − 1.2500) + 0.3688(t − 1.2500) + 0.6047(t − 1.2500)3 t  1.2500;1.8750 y3 (t ) = 1.6976 + 1.6496(t − 1.8750) + 1.5027(t − 1.8750) + −1.0274(t − 1.8750)3 t  1.8750;2.5000 y4 (t ) = 3.0648 + 2.3241(t − 2.5000) + −0.4236(t − 2.5000) + −1.4974(t − 2.5000)3 t   2.5000;3.1250 y5 (t ) = 3.9863 + 0.0398(t − 3.1250) + −3.2312(t − 3.1250) + 2.0530(t − 3.1250)3 t  3.1250;3.7500 y6 (t ) = 3.2502 + −1.5932(t − 3.7500) + 0.6182(t − 3.7500) + −0.2843(t − 3.7500)3 t  3.7500;4.3750 35 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 y7 (t ) = 2.4265 + −1.1536(t − 4.3750) + 0.0851(t − 4.3750) + 0.1207(t − 4.3750)3 t   4.3750;5.0000 y8 (t ) = 1.7682 + −0.9058(t − 5.0000) + 0.3115(t − 5.0000) + −0.0555(t − 5.0000)3 t  5.0000;5.6250 y9 (t ) = 1.3102 + −0.5815(t − 5.6250) + 0.2075(t − 5.6250) + −0.0071(t − 5.6250)3 t  5.6250;6.2500 y10 (t ) = 1.0261 + −0.3304(t − 6.2500) + 0.1941(t − 6.2500) + 0.0000(t − 6.2500)3 t   6.2500;6.8750 y11 (t ) = 0.8954 + −0.0878(t − 6.8750) + 0.1941(t − 6.8750) + 0.0948(t − 6.8750)3 t   6.8750;7.5000 y12 (t ) = 0.9395 + 0.2660(t − 7.5000) + 0.3719(t − 7.5000) + 0.1589(t − 7.5000)3 t   7.5000;8.1250 y13 (t ) = 1.2898 + 0.9170(t − 8.1250) + 0.6699(t − 8.1250) + 0.8213(t − 8.1250)3 t  8.1250;8.7500 y14 (t ) = 2.3251 + 2.7169(t − 8.7500) + 2.2098(t − 8.7500) + −3.5518(t − 8.7500)3 t  8.7500;9.3750 y15 (t ) = 4.0192 + 1.3168(t − 9.3750) + −4.4498(t − 9.3750) + 2.3732(t − 9.3750)3 t  9.3750;10.0000 Từ hàm x y tìm ta vẽ đồ thị x(t) y(t) 36 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 x y 3.3 Bài toán mở rộng 3.3.1 Nội dung Một trại nghiên cứu số lượng cá thể quần thể rắn tiêm loại thuốc xem xét ảnh hưởng tới quần thể Tuy nhiên thời gian đo đạt máy gặp trục trặc lấy lần số liệu đo đạt bảng bên Hãy vẽ đồ thị số lượng loài rán theo thời gian áp dụng hàm spline tự nhiên x (s) y (nghìn con) 3.3.2 Kết Tìm đa thức spline bậc hàm hk = xk +1 − xk ; Bk = f [ xk , xk +1 ] uk = 2(hk + hk −1 ) vk = 6( Bk − Bk −1 ) 37 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 h =  2;5 T B = [1; − ] T u = [14] 0 1   z0     14 5  z  =  54    1    1  z2    0  v =[ 54 ] 0  z0     z  =  27     35   z2    0 Ta thay giá trị tìm vào phương trình g k ( x) = zk z y h z y h z ( xk +1 − x)3 + k +1 ( x − xk )3 + ( k +1 − k k +1 )( x − xk ) + ( k − k k )( xk +1 − x) hk hk 6hk 6hk 6 g ( x) = 96 ( x + 0)3 + ( x + 0) + 2(2 − x) với x  0;2 140 35 g1 ( x) = −3 27 (7 − x)3 + ( x − 2) + (7 − x) với x   2;7  500 20 Ta hình Theo sơ đồ ta thấy số lượng lồi có tăng giảm sau cao mức ban đầu 3.4 Kết luận Việc sử dụng phương pháp Euler cải tiến giúp ta tính xấp xỉ ẩn cần tìm chúng cách xác Hàm Euler cải tiến sai số có q giá trị 38 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 để ta sử dụng Dựa vào số liệu có sẵn ta sửa dụng hàm spline tự nhiên để vẽ đồ thị đường với số liệu có cách xác so với vẻ đường thẳng nối điểm Cụ thể hóa phương trình nối điểm Càng nhìu số liệu việc vẽ hình xác 39 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com) lOMoARcPSD|17838488 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Richard L Burden, J Douglas Faires & Annette M Burden (2016) Numerical Analysis (tenth ed.) Cengage Learning, Boston, Massachusetts, USA [2] Steven C Chapra (2012) Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists (third ed.) McGraw-Hill Education, New York, USA [3] Steven C Chapra & Raymond P Canale (2015) Numerical Methods for Engineers (seven ed.) McGraw-Hill Education, New York, USA [4] Timothy Sauer (2012) Numerical Analysis (second ed.) Pearson Education Inc., Boston, Massachusetts, USA [5] Zhonggang Zeng (2016) Introduction to Scientific Computing with Maple Programming Access at bitly.com.vn/co77p0 40 Downloaded by hây hay (vuchinhhp3@gmail.com)