Lagrangian of charged particle in electromagnetic field

Lagrangian of charged particle in electromagnetic field

Cái này F lục lại trong Source of thì thấy từng làm rồi. Công nhận hùi đó ngây thơ ghê ^^ Trường ĐH Sư phạm Tp.HCM Khoa Vật Lý – Lớp 3B Họ và Tên: Phạm Tiến Phát BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT - Xét một hạt mang điện q, khối lượng m chuyển động trong trường điện từ đặc trưng bởi thế tĩnh điện (thế vô hướng) φ và thế từ (thế vector) không phụ thuộc vào vận tốc. - Bỏ qua tác dụng của trọng lực và các hiệu ứng tương đối tính. - Biết cảm ứng từ và cường độ điện trường được tính như sau: với là toán tử hình thức Hamilton - Tìm hàm Lagrange của hạt mang điện chuyển động trong trường điện từ BÀI GIẢI - Chọn hệ tọa độ suy rộng là hệ tọa độ Cartes (q 1 , q 2 , q 3 ) ≡ (x, y, z) - Lực điện từ tác dụng lên hạt mang điện là: - Phương trình Lagrange loại 2 theo tọa độ x: - Trong đó, T là động năng của hạt, Q x là ngoại lực suy rộng tác dụng lên hạt theo phương x - Ta có: Vậy, A ur B rotA B A hay A A E grad E t t   = = ∇×     ∂ ∂ = − ϕ − = −∇ϕ −   ∂ ∂   ur ur ur ur ur ur ur ur : i j k x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ur r r r (A; )ϕ ur ( ) F q E v B= + × r ur r ur x d T T Q dt x x ∂ ∂   − =  ÷ ∂ ∂   & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e m x F F F A E v B v rotA q q t A A v A v.A v. .A t t A Q F.i q v.A .i q v. .A .i t q qv.A .i q x   + ∂ = = + × = −∇ϕ − + ×  ÷  ÷ ∂   ∂ ∂ = −∇ϕ − + × ∇× = −∇ϕ − + ∇ − ∇ ∂ ∂   ∂   ⇒ = = − ∇ϕ−∇ − ∇ +     ∂   ∂ = −∇ ϕ − − uur uur r ur ur r ur ur r ur ur ur ur r ur ur ur ur r ur r ur ur ur r r ur ur r ur r r ur ur r ur r ur r & ( ) ( ) x A A A A y z .i x y z t dA dA q qv.A q i q qv.A q x dt x dt   ∂ ∂ ∂ + + +  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ = − ϕ− − = − ϕ − − ∂ ∂ ur ur ur ur r & & ur r ur r r ur ( ) x x dA Q q qv.A q x dt ∂ = − ϕ− − ∂ r ur Lại có: do không phụ thuộc tường minh vào Vậy, - Phương trình Lagrange loại 2 cho ta: So sánh với phương trình Lagrange cho trường thế suy rộng: Ta suy ra hàm Lagrange của hạt là: mà nên: Trọng hệ tọa độ Cartes thì: và thế năng suy rộng là: ( ) U q A.v = ϕ − ur r . ( ) ( ) ( ) { ( ) x 0 0 v.A q d d d d v A d dA q qv.A q q A v q A.i q dt x dt x dt x dt x x dt dt = =   ∂ ∂ ϕ ∂  ∂ ∂ ÷ ϕ − = − = − + = − = −  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ÷   r ur r ur r ur ur r ur r & & & & & 1 2 3 ( ) q A 0; 0 x x ∂ ϕ ∂ = = ∂ ∂ ur & & ; Aϕ ur x & ( ) x dA d q q qv.A dt dt x ∂ − = ϕ − ∂ r ur & ( ) ( ) ( ) ( ) x d T T Q dt x x d T T d q qv.A q qv.A dt x x x dt x d T q qv.A T q qv.A 0 dt x x ∂ ∂   − =  ÷ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ⇔ − = − ϕ − + ϕ−  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ⇔ − ϕ+ − − ϕ+ = ∂ ∂ & r ur r ur & & r ur r ur & d L L 0 dt x x ∂ ∂   − =  ÷ ∂ ∂   & ( ) L T q v.A= − ϕ − r ur 2 1 T mv 2 = r ( ) 2 1 L mv q A.v 2 = − ϕ − r ur r ( ) x y z 2 2 2 v (x;y;z) A (A ;A ;A ) 1 T m x y z 2   =  =   = + +   r & && ur & & & ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 x y z 1 L m x y z q A x A y A z 2   = + + − ϕ− + +   & & & & & & . Cái này F lục lại trong Source of thì thấy từng làm rồi. Công nhận hùi đó ngây thơ ghê ^^ Trường ĐH Sư phạm Tp.HCM Khoa Vật Lý. & ur r ur r r ur ( ) x x dA Q q qv.A q x dt ∂ = − ϕ− − ∂ r ur Lại có: do không phụ thuộc tường minh vào Vậy, - Phương trình Lagrange loại 2 cho ta: So sánh với phương trình Lagrange cho trường