Lu�n án TS BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG GIẢI MÃ MỀM CHO MÃ KHỐI DỰA TRÊN KHÔNG GIAN MÃ ĐỐI NGẪU LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ HÀ NỘI – NĂM 20[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG GIẢI MÃ MỀM CHO MÃ KHỐI DỰA TRÊN KHÔNG GIAN MÃ ĐỐI NGẪU LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ HÀ NỘI – NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG GIẢI MÃ MỀM CHO MÃ KHỐI DỰA TRÊN KHÔNG GIAN MÃ ĐỐI NGẪU Chuyên nghành: Kỹ thuật Điện tử Mã số: 9.52.02.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS VŨ THANH HẢI PGS TS PHẠM KHẮC HOAN HÀ NỘI – NĂM 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày Luận án cơng trình nghiên cứu tơi dƣới hƣớng dẫn cán hƣớng dẫn Các số liệu, kết trình bày Luận án hồn tồn trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình trƣớc Các kết sử dụng tham khảo đƣợc trích dẫn đầy đủ theo quy định Hà Nội, ngày 18 tháng 01 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Nhung ii LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án này, tác giả nhận đƣợc nhiều giúp đỡ đóng góp quý báu từ ngƣời Thầy tận tâm Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy giáo hƣớng dẫn PGS TS Vũ Thanh Hải, PGS TS Phạm Khắc Hoan tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh Thế Cƣờng TS Phạm Xuân Nghĩa có đóng góp, tƣ vấn quan trọng cho Luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Bộ mơn Thơng tin, Khoa Vô tuyến Điện tử, Học viện Kỹ thuật Quân tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Tác giả xin cảm ơn Trƣờng Đại học Kinh tế Kỹ thuật Công nghiệp, đơn vị chủ quản, tạo điều kiện cho phép tác giả tham gia nghiên cứu năm làm nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả vƣợt qua khó khăn để đạt đƣợc kết nghiên cứu nhƣ ngày hôm Tác giả iii MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC HÌNH VẼ DANH MỤC BẢNG BIỂU DANH MỤC KÝ HIỆU TOÁN HỌC MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH 1.1 Mã khối nhị phân tuyến tính 1.1.1 Mơ hình hệ thống thông tin 1.1.2 Ma trận sinh 10 1.1.3 Ma trận kiểm tra 12 1.2 Giải mã mã khối 13 1.2.1 Các phƣơng pháp giải mã mã khối 13 1.2.2 Chất lƣợng giải mã 16 1.3 Các thuật toán giải mã mềm mã khối 20 1.3.1 Thuật toán lan truyền niềm tin 20 1.3.2 Thuật tốn tổng tích 23 1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu 28 CHƢƠNG GIẢI MÃ MỀM MÃ KHỐI SỬ DỤNG MÃ ĐỐI NGẪU 34 2.1 Mã đối ngẫu 34 2.1.1 Giới thiệu mã đối ngẫu 34 2.1.2 Vai trò mã đối ngẫu việc mang tin giải mã 35 iv 2.2 Đề xuất thuật toán giải mã mềm cho mã khối áp dụng tính chất mang tin mã đối ngẫu 38 2.2.1 Thuật toán giải mã mềm mã Hamming dựa mã đối ngẫu 38 2.2.2 Thuật toán giải mã Hamming sử dụng từ mã đối ngẫu toàn “0” 41 2.2.3 Kết mô thảo luận chất lƣợng thuật toán giải mã mềm BPA – DCS BPA – DCZ 45 2.3 Giải mã mềm sử dụng mã đối ngẫu 52 2.3.1 Đề xuất thuật toán giải mã cho mã khối mật độ cao sử dụng mã đối ngẫu 53 2.3.2 Đánh giá chất lƣợng thuât toán giải mã dựa mã đối ngẫu 56 2.4 Kết luận chƣơng 60 CHƢƠNG GIẢI MÃ MỀM MÃ TÍCH 61 3.1 Mã tích đặc điểm 61 3.1.1 Các tham số mã tích 61 3.1.2 Giải mã mã tích 64 3.2 Đề xuất thuật tốn giải mã đối ngẫu mã tích 70 3.2.1 Xây dựng sở lý thuyết cho thuật tốn giải mã tích 71 3.2.2 Thuật tốn giải mã mềm mã tích sử dụng mã đối ngẫu 73 3.3 Đánh giá chất lƣợng thuật toán giải mã đối ngẫu mã tích đề xuất cải tiến 76 3.3.1 Đánh giá chất lƣợng thuật toán giải mã đối ngẫu mã tích 76 3.3.2 Đề xuất thuật tốn giải mã đối ngẫu mã tích cải tiến 82 3.3.3 Độ phức tạp 86 3.4 Kết luận chƣơng 88 KẾT LUẬN 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt Nghĩa tiếng Anh Nghĩa tiếng Việt AWGN Tạp âm Gauss trắng cộng tính Additive White Gaussian Noise BCH Bose, Chaudhuri and Mã BCH Hocquenghem BER Bit Error Rate Tỉ lệ lỗi bit BMA Berlekamp- Massey Thuật toán Berlekamp- Massey Algorithm BPA Belief Propagation Algorithm Thuật toán lan truyền niềm tin BPA-DCS Belief Propagation Algorithm Thuật toán lan truyền niềm tin based on Dual Codes dựa mã đối ngẫu BPA – using Dual Code' Thuật toán lan truyền niềm tin codeword of Zeros sử dụng từ mã toàn “0” BPSK Binary Phase Shift Keying Khóa dịch pha nhị phân DCA Dual Codes decoding Thuật toán giải mã đối ngẫu BPA-DCZ Algorithm DCAPC DVB-S2 Dual Codes decoding Thuật toán giải mã đối ngẫu cho Algorithm for Product Codes mã tích Digital Video Broadcasting – Truyền hình số – Vệ tinh – Thế Satellite – Second Generation hệ thứ hai vi FEC Forward Error Correction Sửa lỗi hƣớng GF Galois Field Trƣờng Galoa GMD Generalized Minimum Khoảng cách tối thiểu tổng quát Distance HDD Hard Decision Decoding Giải mã định cứng HDPC High-Density Parity Check Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ cao Code LDPC Low - Density Parity Check Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp Code LLR Log Likelihood Ratio Tỉ lệ hợp lẽ theo hàm log MAP Maximum A posteriori Cực đại hóa xác suất hậu Probability nghiệm MAP Decoder Using the Giải mã MAP sử dụng mã đối Dual Code ngẫu MPA Message Passing Algorithm Thuật toán truyền tin MSA Min - Sum Algorithm Thuật toán tổng – cực tiểu MLD Maximum Likelihood Bộ giải mã hợp lẽ cực đại MDUDC Decoder SDD Soft Decision Decoding Giải mã định mềm SIHO Soft Input Hard Output Đầu vào mềm đầu cứng vii SISO Soft Input Soft Output Đầu vào mềm đầu mềm SNR Signal to Noise Ratio Tỉ số cơng suất tín hiệu tạp âm SOVA Soft Output Viterbi Thuật toán Viterbi đầu mềm Algorithm SPA Sum - Product Algorithm Thuật tốn tổng- tích VA Viterbi Algorithm Thuật tốn Viterbi viii DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1 Hệ thống thông tin số Hình Nguyên lý giải mã lặp 14 Hình Cây giải mã độ sâu b ng 15 Hình Cây giải mã độ sâu b ng 15 Hình Chất lƣợng giải mã mềm Hamming (7,4) so với giải mã cứng khơng mã hóa kênh AWGN, điều chế BPSK [57] 18 Hình Chất lƣợng giải mã mềm Hamming (15,11) so với giải mã cứng không mã hóa kênh AWGN, điều chế BPSK [57] 19 Hình Quá trình truyền tin từ nút bit đến nút kiểm tra ngƣợc lại 21 Hình Lƣu đồ thuật tốn tổng tích SPA 23 Hình Lƣu đồ thuật tốn MSA 27 Hình Ma trận kiểm tra đồ thị Tanner tƣơng ứng mã Hamming (7,4) 38 Hình 2 Chất lƣợng giải mã BPA mã Hamming (7,4) 41 Hình Chất lƣợng giải mã BPA mã Hamming (31,26) 42 Hình Mơ hình hệ thống sử dụng mã Hamming 45 Hình So sánh chất lƣợng mã Hamming (7,4) thuật tốn 46 Hình So sánh chất lƣợng mã Hamming (15,11) thuật toán 47 Hình So sánh chất lƣợng mã Hamming (31,26) thuật toán 47 Hình So sánh chất lƣợng mã Hamming (63,57) thuật toán 48 Hình So sánh BER mã Hamming (7,4) thuật toán 49 Hình 10 So sánh BER mã Hamming (15,11) thuật toán 50 87 Bảng Độ phức tạp thuật toán DCAPC thuật toán cải tiến Thuật tốn Số phép tính nhân Số phép tính cộng DCAPC DCAPC cải tiến Bảng 3.4 số lƣợng phép tính cần để giải mã mã tích với mã thành phần mã Hamming hai lần lặp sử dụng thuật toán DCAPC DCAPC cải tiến Nhƣ vậy, thuật tốn DCAPC cải tiến có độ phức tạp tăng khơng đáng kể so với thuật tốn DCAPC Nên coi, DCAPC cải tiến DCAPC có độ phức tạp tƣơng đƣơng Để khẳng định chất lƣợng thuật toán mới, cần đánh giá độ phức tạp với thuật tốn Hagenauer trình bày Việc đánh giá mang tính chất tƣơng đối giúp có nhìn trực quan thuật toán đƣợc đề xuất Luận án Bảng So sánh độ phức tạp DCAPC MDUDC Thuật tốn Tính theo độ phức tạp Viterbi DCAPC VA MDUDC VA Theo [5], [66] dễ dàng thấy thuật tốn MAP có độ phức tạp xấp xỉ lần thuật tốn SOVA, thuật tốn VA có độ phức tạp khoảng lần SOVA Mặt khác, theo [36], phức tạp quy tắc giải mã đối ngẫu với mã tuyến tính cho mã đối ngẫu so sánh đƣợc với độ phức tạp mã Viterbi Nghĩa là, DCA có độ phức tạp với giải mã Viterbi hay DCA có độ phức tạp xấp xỉ MAP Trong [30], 88 Hagenauer thực MDUDC với lần lặp để đạt kết giải mã Bảng 3.5 so sánh độ phức tạp thuật toán MDUDC DCAPC sử dụng cho mã tích gấp Bảng 3.5 cho thấy, MDUDC có độ phức tạp lần so với DCAPC Cả hai thuật tốn vét cạn thơng tin giải mã mã đối ngẫu với mã gốc Tuy nhiên thuật tốn MDUDC khó để triển khai thực tế phải trình bày, sử dụng hàm phi tuyến cơng thức tính tốn gồm phép cộng phép nhân lẫn lộn [30], [55] Nghĩa là, thuật toán MDUDC phức tạp dừng lại mức nghiên cứu lý thuyết khó áp dụng vào thực tế có vi xử lý có khả tính tốn mạnh Đây điểm mạnh thuật toán giải mã đƣợc đề xuất DCAPC DCAPC cải tiến Với thuật tốn ta hồn tồn tính đƣợc độ phức tạp giải mã, kết tính tốn mở tính khả thi thực hóa thuật tốn b ng thiết bị phần cứng 3.4 Kết luận chương Chƣơng phân tích đánh giá số thuật tốn giải mã cho mã tích Có thể nói, phƣơng pháp giải mã phải chấp nhận đánh đổi chất lƣợng, độ phức tạp thuật toán tốc độ mã hóa Tại đề xuất thuật tốn DCAPC có độ phức tạp thấp hiệu cho mã tích b ng ý tƣởng vét cạn thơng tin giải mã mã đối ngẫu với mã hàng cột mã tích Chất lƣợng độ phức tạp thuật toán đƣợc đánh giá so sánh với số thuật toán nhƣ DCA, lặp cận tối ƣu, hay so sánh với chất lƣợng mã có tốc độ tƣơng đƣơng mã tích nhƣ BCH, RS cho thấy tính vƣợt trội thuật tốn Khi so với thuật toán [30], DCAPC cho độ lợi giải mã Tuy nhiên, thuật tốn giải mã tích DCAPC đƣa đƣợc sở lý thuyết tảng cho việc nghiên cứu, đề xuất thuật tốn giải mã cải tiến có độ phức tạp thấp hơn, có tốc độ mã hóa cao cho chất lƣợng giải mã tốt Điều đƣợc khẳng định thuật toán DCAPC cải 89 tiến đƣợc trình bày Luận án Thuật tốn cải tiến cho DCAPC với độ phức tạp tăng không đáng kể, mà tốc độ mã hóa lại tăng nên cho chất lƣợng giải mã tốt thuật toán DCAPC lên tới 1,15 dB xác suất lỗi bit Thuật toán cải tiến cho mã tích với mã hàng cột mã Hamming, đạt độ lợi giải mã từ 0,3 dB đến dB so với thuật toán giải mã Turbo với giải mã MAP cho mã thành phần Thuật toán DCAPC DCAPC cải tiến phù hợp với mã tích với mã thành phần mã khối có độ dƣ nhỏ 90 KẾT LUẬN Trong thiết kế hệ thống thông tin, đặc biệt hệ thống không dây Wifi, WiMax,…yêu cầu thời gian thực với độ trễ nhỏ, phức tạp giải mã trở ngại việc sử dụng mã mạnh nhƣ mã tích Đóng góp quan trọng Luận án đƣa phƣơng pháp giải mã cho mã tích với đề xuất thuật toán giải mã mới, đồng thời đƣa giải pháp cải tiến thuật toán Thuật toán cho mã tích có sở lý thuyết chắn, sử dụng khơng gian mã đối ngẫu để giải mã có độ phức tạp tính tốn thấp Các kết đạt Luận án: - Đề xuất thuật toán giải mã mềm cải tiến dựa vào tính chất mang tin giải mã mã đối ngẫu, BPA – DCS BPA – DCZ, chất lƣợng giải mã tốt tƣơng ứng đến 0,45 dB 0,65 dB so với BPA, hệ thống phức tạp - Đề xuất thuật toán giải mã đối ngẫu (DCA) cho mã khối mật độ cao, so với thuật toán giải mã cứng, độ lợi mã hóa đạt tới 1,57 dB mã Hamming 1,85 dB mã Golay DCA phải trả giá tăng độ phức tạp thuật toán theo hàm - Thuật toán giải mã Xây dựng đề xuất đƣợc phƣơng pháp giải mã cho mã tích Thuật tốn DCAPC đề xuất u cầu tỉ số tín hiệu tạp khoảng dB để đảm bảo tỉ lệ lỗi bit không vƣợt sử dụng Hamming (63,57) làm mã thành phần Đƣa giải pháp cải tiến cho DCAPC với độ phức tạp tăng thêm không đáng kể chất lƣợng giải mã tăng đến 1,15 dB tỉ lệ lỗi bit (nếu sử dụng mã thành phần mã Hamming (7,4)) Từ việc đánh giá độ phức tạp kết mô chất lƣợng giải mã cho mã tích, thấy r ng, mã tích với mã thành phần mã khối tốc độ cao, sử dụng thuật toán đƣợc đề xuất, ứng viên tốt trở thành giải pháp thay mang tính thực tiễn cao 91 Hướng nghiên cứu tương lai Luận án xây dựng phƣơng pháp giải mã có chất lƣợng kiểm sốt lỗi cao với độ phức tạp chấp nhận đƣợc cho mã tích, đƣa thuật tốn mã đối ngẫu vào giải mã cho mã hàng cột đề xuất cải tiến Để ứng dụng hệ thống truyền dẫn vơ tuyến, mạng cảm biến vơ tuyến,…có thể xem xét tới việc đánh giá khả giải mã giá trị xác xuất lỗi thấp nh m tìm sàn lỗi hay giới hạn kiểm soát lỗi thuật toán Khảo sát thuật toán với mã khối Hamming có chiều dài lớn hay mã BCH tốc độ mã hóa cao nh m khai thác tối đa ƣu điểm mã khối mật độ cao vai trò mã thành phần cho mã tích Mơ đánh giá kênh khác kênh Gauss nhƣ kênh fading hƣớng phát triển Luận án 92 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ Nguyễn Thị Hồng Nhung, Phạm Xuân Nghĩa, Vũ Thị Thắng, Lê Tiến Cƣờng, “Giải mã mềm mã Hamming dựa mã đối ngẫu,” Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Công nghệ Quân s , số 46, trang 27-35, tháng 12- 2016 Nguyễn Thị Hồng Nhung, Phạm Khắc Hoan, Phạm Xuân Nghĩa, “Thuật toán giải mã khối mật độ cao sử dụng mã đối ngẫu,” Kỷ yếu hội thảo quốc gia 2017 điện tử, truyền thông công nghệ thông tin (REV - ECIT 2017), trang 192-194, tháng 12- 2017 Nguyen Thi Hong Nhung, Pham Khac Hoan, Pham Xuan Nghia, Bui Huy Hai, “Dual Codes decoding Algorithm for high density parity check codes,” Asian Academic Research Journal of Multidisciplinary, vol 5, pp 114-124, May 2018 Nguyen Thi Hong Nhung, Pham Khac Hoan, Nguyen Trung Thanh, “The Soft-decision decoding algorithm for Hamming code using zeros codeword of dual code,” 2018 IEEE Seventh International Conference on Communications and Electronics, July 2018 Phạm Xuân Nghĩa, Nguyễn Thị Hồng Nhung, “Giải mã tích b ng giải mã định mềm dùng mã đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng,” Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Cơng nghệ Quân s , số 57, trang 11-17, tháng 10- 2018 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Bình (2013), Lý thuyết thơng tin, Học viện Cơng nghệ Bƣu Viễn thơng [2] Nguyễn Tùng Hƣng 2005 , “Nghiên cứu mã Turbo v mã SCCC”, Luận án tiến sĩ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội [3] Nguyễn Thúy Vân (2006), “Lý thuyết mã”, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tiếng anh [4] L Ahlin and J Zander (1998), Principles of Radio Communications, Studentlitteratur, second edition edition [5] O Al-Askary (2003), Iterative decoding of product codes, PhD Dissertation, Royal Institute of Technology [6] A Al-Dweik, H Mukhtar, E Alsusa and J Dias 2018 , “Ultra-Light Decoder for Turbo Product Codes,” IEEE Communications Letters, vol 22, pp 446-449 [7] L R Bahl, J Cocke, F Jelinek and J Raviv 1974 , “Optimal decoding of linear codes for minimizing symbol error rate,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 20, pp 284-287 [8] M Baldi, G Cancellieri and F Chiaraluce 2012 , “Interleaved Product LDPC Codes,” IEEE Transactions on Communications, vol 60, pp 895-901 [9] J R Barry, E A Lee and D G Messerschmitt (2003), Digital communication, Springer Science+Business Media, llc, 3rd edition [10] G Battail, M C Decouvelaere and P Godlewski 1979 , “Replication decoding,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 25, pp 332-335 [11] C Berrou, A Glavieux and P Thitimajshima May 1993 , “Near shannon limit errorcorrecting coding and decoding: Turbo-codes,” In 94 Pro ings of ICC’93 - IEEE International Conference on Communications, pp 1064-1070 [12] C Berrou and A Glavieux (Oct 1996 , “Near optimum error correcting coding and decoding: Turbo codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 44, pp 1261-1271 [13] M Blaum and S R Hetzler 2018 , “Extended Product and Integrated Interleaved Codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 64, pp 1497-1513 [14] Budapest June 1991 , “On suvivor error patterns for maximum likelihood soft decoding,” in Proc IEEE Int Symp on Information Theory, pp 192 [15] D Chase 1972 , “A class of algorithms for decoding block codes with channel measurement information,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 18, pp 170-182 [16] G Cohen, M Karpovsky, H Mattson Jr and J Schatz 1985 , “Covering radius- survey and recent results,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 31, pp 328-343 [17] M C Davey and D J C Mackay 1998 , “Low - Density Parity Check Codes over GF q ,” IEEE Comm Letters, vol 2, pp 165-167 [18] I Dimnik and Y Be’ery 2009 , “Improved Random Redundant Iterative HDPC Decoding,” IEEE Trans Inform Theory, vol 57, pp 1-6 [19] P Elias 1954 , “Error-free coding,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 4, pp 29-37 [20] T Ericson (September 1986), A simple ananlysis of the blokh-zyablov decoding algorithm, Proceedings of the AAECC-4, Karlsruhe, Printed in Lecture Notes in Computer Science, nr 307 95 [21] G D Forney 1966 , “Generalized Minimum Distance Decoding,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 12, pp 125-131 [22] G D Forney Mar 1973 , “The viterbi algorithm,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 61, pp 268-278 [23] G D Forney 1988 , “Coset codes II: Binary lattices and related codes,” IEEE Trans Inform Theory, vol 34, pp 1152-1187 [24] G D Forney (1996), Concatenated Codes, The M.I.T press, Cambridge Massachusetts [25] G D Forney (Oct 1996), The forward-backward algorithm, In ThirtyFourth Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing Univ Illinois, pp 432-446 [26] M P C Fossorier, M Mihaljevic and H Imai (1999), “Reduced complexity iterative decoding of low density parity check codes based on belief propagation,” IEEE Trans Commun., vol 47, no 5, pp 673-680 [27] R G Gallager (Jan 1962), “Low density parity check codes,” IRE Trans on Information Theory, IT-8, pp 21-28 [28] R G Gallager (1963), Low Density Parity Check Codes, Cambridge, MA: MIT [29] H Greenberger July and August 1978 , “An iterative algorithm for decoding block codes transmitted over a memoryless channel,” DSN progress report, pp 42-47 [30] J Hagenauer, E Offer and L Papke 1996 , “Iterative decoding of binary block and convolutional codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 429-445 [31] T R Halford, K M Chugg and A J Grant 2006 , “Which Codes Have 4-Cycle-Free Tanner Graphs,” IEEE Trans Inform Theory, no 3, pp 871- 875 96 [32] R W Hamming (1950), Error detecting and error correcting codes, Bell System Tech J., pp 147-160 [33] Y S Han, C R P Hartmann and C C Chen 1991 , “Efcient Maximum-Likelihood Soft-Decision Decoding of Linear Block Codes Using Algorithm A,” Electrical Engineering and Computer Science Technical Reports, pp 134 [34] Y S Han, C R P Hartmann and C C Chen 1993 , “Efficient priority first research maximum-likelihood soft-decision decoding of linear block codes, ” IEEE Trans Inform Theory, vol 39, pp.1514-1523 [35] Y S Han, H T Pai, R Zheng, P K Varshney 2015 , “UpdateEfficient Error-Correcting Product-Matrix Codes”, IEEE Transactions on Communications, vol 63, pp 1925-1938 [36] C R P Hartmann and L D Rudolph Sept 1976 , “An optimum symbol-by-symbol decoding rule for linear codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 22, pp 514-517 [37] F Hemmati 1989 , “Closet coset decoding of u u v codes,” IEEE J Selected Areas Commun, vol 7, pp 982-988 [38] W W Hines and D C Montgomery (1980), Probability and Statistics in Engineering and Management, John Wiley and Sons Inc., edition [39] Y Hu, J P Fonseka, Y Bo, E M Dowling and M Torlak (2017), “Constrained Turbo Product and Block-Convolutional Codes in Wireless Applications,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol 66, pp 449-4495 [40] T D H Huang, C Y Chang, Y X Zheng and Y T Su (2007), “Product Codes and Parallel Concatenated Product Codes,” IEEE Wireless Communications and Networking Conference, pp 94-99 97 [41] Nguyen Tung Hung (Jannuary- June 2013 , “A new decoding algorithm based on equivalent parity check matrix for LDPC codes,” REV Journall on Electronics and Communications, vol 3, No 1-2, pp 73-76 [42] C Jego and W J Gross 2009 , “Turbo decoding of product codes using adaptive belief propagation,” IEEE Transactions on Communications, vol 57, pp 2864-2867 [43] S Jeong and J Lee LDPC Product Code for 2017 , “Iterative Channel Detection With Bit-Patterned Media Recording,” IEEE Transactions on Magnetics, vol 53, Article Sequence Number: 8205204 [44] P K Jha 2015 , “1-Perfect Codes Over Dual-Cubes vis-à-vis Hamming Codes Over Hypercubes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 61, pp 4259- 4268 [45] J Jiang and K R Narayanan 2005 , “Iterative soft decision decoding of ReedSolomon codes based on adaptive parity check matrices," IEEE Trans Inform Theory, vol 52, no 8, pp 3746-3756 [46] R Johannesson and K Sh Zigangirov 1999 , “Fundamentals of convolutional coding,” IEEE Press series on mobile & digital communication, New York: IEEE Press [47] T Kasami, T Takata, T Fujiwara and S Lin 1993 , “On complexity of Trellis structure of linear block codes,” IEEE Trans Inform Theory, vol 39, pp 1057-1064 [48] J Knudsen, C Riera, L Danielsen, M Parker and E Rosnes (2012), “Random edge-local complementation with applications to iterative decoding of high-density parity-check codes,” IEEE Trans Inform Theory, vol 60, pp 2796-2808 98 [49] A Lafourcade and A Vardy (Mar 1995 , “A symptotically good codes have infinite Trellis complexity,” IEEE Trans Inform Theory, vol 41, pp 555-559 [50] H Y Liang, Y C Jhan, M C Wu and C H Cheng 2016 , “Combining the product code technique and constellation extension scheme to reduce the PAPR of SC-FDMA systems,” 2016 International Conference on Electronics, Information and Communications (ICEIC), pp 1-4 [51] J H Lim, J H Lee, M S Shin, G Han Cho and Y J Song (2015), “Low-Complexity and High Performance SISO Decoding for Block Product Turbo Code (105, 44),” 2015 8th International Conference on Control and Automation (CA), pp 13-16 [52] V Lo and P A Martin 2008 , “Performance of Linear Block Codes Concatenated with Differential PSK,” IEEE Communications Letters, vol 12, pp 782-784 [53] P Y Lu, E H Lu and T C Chen 2014 , “An Efficient Hybrid Decoder for Block Turbo Codes,” IEEE Communications Letters, vol 18, pp 2077-2080 [54] R Lucas (January 1962), On Iterative Symbol-by-Symbol Decision Decoding of Linear Binay Block Codes, PhD thesis, University of Ulm, 1997 Transactions on Information Theory, IT-8: 21-28 [55] F J MacWilliams and N J A Sloane (1981), The Theory of ErrorCorrecting Codes, North-Holland Publishing Company, New York, USA [56] R J McEliece Jul 1996 , “On the BCJR Trellis for linear block codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 1072-1092 [57] T K Moon (2005), Erros correction coding, John Wiley and Sons Inc., publication 99 [58] R H Morelos-Zaragoza (2006), The art of error correcting coding, John Wiley and Sons Inc., edition [59] D Muder 1988 , “Minimal Trellises for block codes,” IEEE Truns Infornz Theo, vol 34, pp 1049-1053 [60] H Mukhtar, A A Dweik and A Shami (2016 , “Turbo Product Codes: Applications, Challenges and Future Directions,” IEEE Communications Surveys & Tutorials, vol 18, pp 3052-3069 [61] B Müller, M Holters and U Zölzer 2012 , “Low complexity soft-input soft-output hamming decoder,” IEEE Trans Inform Theory, no 1, pp 1-5 [62] J Proakis (1995), Digital Communications, McGraw-Hill Series in Electrical and Computer Engineering, McGraw-Hill, second edition edition [63] J Proakis and M Salehi (2002), Communication Systems Engineering, Prentice Hall, second edition edition [64] R M Pyndiah (1998 , “Near-optimum decoding of product codes: Block Turbo codes,” IEEE Transactions on Communications, vol 46, pp 1003-1010 [65] K Ravid and O Amrani 2014 , “MER: Mixed Error Reduction Approach for Soft - Decision Decoding of Product Block Codes,” IEEE Transactions on Communications, vol 62, pp 3062-3069 [66] P Robertson, E Villebrun and P Hoeher (2002), “A comparison of optimal and sub-optimal MAP decoding algorithms operating in the log domain,” Proceedings IEEE International Conference on Communications ICC ' 95 [67] E Ryan (2003), Concatenated codes and iterative decoding, in Wiley Encyclopedia of Telecommunications New York: Wiley [68] B Shin, S Hong, H Park, J S No and D J Shin 2015 , “New decoding scheme for LDPC codes based on simple product code structure,” Journal of Communications and Networks, vol 17, pp 351-361 100 [69] J Son, J J Kong and K Yang 2018 , “Efficient decoding of block turbo codes,” Journal of Communications and Networks, vol 20, pp 345-353 [70] H Tanaka and K Kakigahara 1983 , “Simplified correlation decoding by selecting codework using erasure information,” IEEE Trans Inform Theory, vol IT-29, pp 742-748 [71] T Taneko, T Nishijima, H Inazum and S Hirasawa 1994 , “An efficient maximum likelihood decoding of linear block codes with algebraic decoder,” IEEE Trans Inform Theory, vol 40, pp 320-327 [72] R Tanner (1981), “A recursive approach to low complexity codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 27, pp 533-547 [73] L M G M Tolhuizen 2002 , “More results on the weight enumerator of product codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 48, pp 2573-2576 [74] Y Toriyama and D Marković 2018 , “A 2.267- Gb/s, 93.7- pJ/bit NonBinary LDPC Decoder With Logarithmic Quantization and DualDecoding Algorithm Scheme for Storage Applications,” IEEE Journal of Solid - State Circuits, vol 53, pp 2378-2388 [75] A Vardy (2000), Trellis Structure of Codes, In Vera S Pless, W Cary Huffman, and Richard Brualdi, editors, Handbook of Coding Theory Elsevier Science Publishers, Amsterdam [76] A J Viterbi 1971 , “Convolutional codes and their performance in communication systems,” IEEE Transactions on Communication Technology, COM-19: 751-772 [77] X Wang, J Li, Y Wang, H Yin, T Li and W Cao 2017 , “Design of dual-mode decoder based on LDPC/Turbo code,” IET Communications, vol 11, pp 1325-1329 101 [78] Y Wang, J Lin and Z Wang 2018 , “A New Soft-input Hard-output decoding algorithm for Turbo Product Codes,” 2018 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), pp 1-5 [79] J K Wolf 1978 , “Efficient maximum likelihood decoding of linear block codes using a Trellis,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 24, pp 76-80