BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC VINH L� THANH QU�N �ÀNH LÞ �I�M B�T �ËNG CHO MËT SÈ LÎP �NH X� TR�N KHÆNG GIAN b M�TRIC V� ÙNG DÖNG LU�N �N TI�N S� TO�N HÅC NGH� AN 2018 BË GI�O DÖC V� ��O T�O T[.]
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC VINH L THANH QU N ÀNH LÞ IM BT ËNG CHO MËT Sẩ LẻP NH X TRN KHặNG GIAN b-MTRIC V NG DÖNG LUN N TIN S TON HÅC NGH AN - 2018 BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC VINH L THANH QU N ÀNH LÞ IM BT ËNG CHO MậT Sẩ LẻP NH X TRN KHặNG GIAN b-MTRIC V NG DệNG Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC NG×ÍI HìẻNG DN KHOA HC PGS TS TRN VN N TS NGUYN VN DÔNG NGH AN - 2018 i LI CAM OAN Luên Ăn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS TrƯn Vôn n v TS Nguyạn Vôn Dụng Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh cừa riảng tổi CĂc kát quÊ ữủc viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc trẳnh by luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Lả Thanh QuƠn ii LI CM èN Luên Ăn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS TrƯn Vôn n v TS Nguyạn Vôn Dụng TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi hai thƯy  hữợng dăn tên tẳnh v chu Ăo cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Bở mổn GiÊi tẵch, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc chực nông khĂc cừa trữớng Ôi hồc Vinh  tÔo iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ hon thnh nhiằm vử nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ Bở mổn GiÊi tẵch, Khoa Sữ phÔm ToĂn hồc trữớng Ôi hồc ỗng ThĂp vẳ nhỳng giúp ù vi»c trao êi t i li»u v th£o luªn c¡c b i b¡o li¶n quan T¡c gi£ xin b y tä sü cÊm ỡn sƠu sưc án GS Stojan Radenovẵc nhõm nghiản cựu cừa mẳnh vẳ nhỳng giúp ù viằc trao êi t i li»u v th£o luªn c¡c b i b¡o liản quan TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc ỗng nghiằp trữớng Trung hồc cỡ s Thanh Sỡn, UBND huyằn Nhữ XuƠn, tnh Thanh Hõa  ừng hở v tÔo iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ hon thnh nhi»m vư nghi¶n cùu Ci cịng, t¡c gi£ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi gia ẳnh v nhỳng ngữới bÔn thƠn thiát luổn chia s, ởng viản v ừng hở tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Lả Thanh QuƠn MệC LệC Mửc lưc Mð ¦u iºm tròng cho mởt lợp Ănh xÔ trản khổng gian bmảtric sưp thù tü bë phªn v ùng dưng 13 1.1 iºm trũng cho lợp cĂc Ănh xÔ thọa mÂn iÃu kiằn T -co suy rởng trản khổng gian b-mảtric Ưy õ sp thù tü bë phªn 13 1.2 iºm trịng cho lỵp c¡c Ănh xÔ (, L)-T -hƯu co suy rởng trản khổng gian b-mảtric Ưy ừ sưp thự tỹ bở phên 34 1.3 ìng dửng vo mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn 52 im bĐt ởng cho mởt lợp Ănh xÔ trản khổng gian b-mảtric nõn Ưy ừ trản Ôi số Banach v ựng dửng 59 2.1 Khổng gian b-mảtric nõn trản Ôi sè Banach 59 2.2 im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ -co yáu suy rởng trản khổng gian b-mảtric nõn Ưy ừ trản Ôi số Banach 64 2.3 iºm b§t ëng bë ỉi cho mët sè Ănh xÔ khổng gian b-mảtric nõn Ưy ừ trản Ôi số Banach 74 2.4 ìng dửng vo mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn 77 iºm b§t ëng cho mët lợp Ănh xÔ khổng gian bmảtric vợi giĂ tr C - Ôi số v ựng dửng 85 3.1 Khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi sè 85 3.2 im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ -co suy rởng v cĂc Ănh xÔ -co chuân suy rởng khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số 88 3.3 iºm b§t ëng bë ổi cho mởt số lợp cĂc Ănh xÔ khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số 107 3.4 ×ng dưng v o mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn 112 Kát luên v kián nghà 122 Danh mưc cỉng tr¼nh cõa t¡c giÊ liản quan án luên Ăn 123 Ti li»u tham kh£o 128 MËT Sẩ Kị HIU R têp số thỹc R+ têp số thỹc khổng Ơm N têp số nguyản khổng Ơm B[x, r] hẳnh cƯu tƠm x bĂn kẵnh r > f :XY Ănh xÔ ỡn tr tứ X vo Y intP phƯn cừa têp P lim inf f giợi hÔn dữợi cừa hm số f lim sup f giợi hÔn trản cừa hm số f Mé U Lỵ chồn à ti Nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach l mët nhúng cỉng cư húu ½ch cõa toĂn hồc hiằn Ôi Viằc nghiản cựu nhỳng vĐn à liản quan án kát quÊ ny l mởt nởi dung cốt lói cừa giÊi tẵch phi tuyán VĐn à m rởng Nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach trản cĂc lợp khổng gian mảtric  v ang ữủc nhiÃu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu theo nhỳng hữợng khĂc v Ôt ữủc nhiÃu kát quÊ Ăng k, tiảu biu vợi nhỳng cổng trẳnh nời bêt cừa Boyd v Wong ([10]), Ciric ([13]), Kannan ([28]), Ran v Reurings ([38]), Razani v Parvaneh ([39]), Rhoades ([40]), Rus v Serban ([46]), Shatanawim v Al-Rawashdeh ([47]), Wardowski ([49]) CĂc nh lỵ im bĐt ởng cõ nhiÃu ựng dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹc cừa toĂn hồc v khoa hồc khĂc nhữ giÊi tẵch, phữỡng trẳnh vi-tẵch phƠn, kinh tá v k thuêt, khoa hồc mĂy tẵnh Ba hữợng nghiản cựu sau  v ang nhên ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu tĂc giÊ Nghiản cựu nh lỵ im bĐt ởng cho cĂc Ănh xÔ co v Ănh xÔ co suy rởng trản lợp cĂc khổng gian mảtric Nghiản cựu nh lỵ im bĐt ởng cho cĂc Ănh xÔ co v Ănh xÔ co suy rởng trản cĂc lợp khổng gian khĂc nhau: khổng gian Banach, khỉng gian ·u, khỉng gian m¶tric ri¶ng, khỉng gian b-m¶tric, Nghi¶n cùu c¡c ùng dưng cõa c¡c ành lỵ im bĐt ởng mởt số lắnh vỹc cừa toĂn hồc nhữ: chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc lợp phữỡng trẳnh vi-tẵch phƠn, phữỡng trẳnh hm, Hiằn nay, cÊ ba hữợng nghiản cựu trản văn chựa ỹng nhỳng vĐn à nghiản cựu thới sỹ v hĐp dăn Mởt nhỳng nởi dung ữủc nhiÃu tĂc giÊ Â v ang quan tƠm nghiản cựu l viằc thiát lêp mởt số nh lỵ im bĐt ởng trản cĂc khổng gian b-mảtric Trản cỡ s õ à ti t vĐn à nghiản cựu nhỳng nởi dung sau: - Nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa mởt số lợp cĂc Ănh xÔ trản cĂc khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số - XƠy dỹng mởt số lợp Ănh xÔ co suy rởng trản cĂc khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số - ng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc vo viằc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn Vợi cĂc lỵ nảu trản chúng tổi chồn à ti nghiản cựu cho luên Ăn cừa mẳnh l: " nh lỵ im bĐt ởng cho mởt số lợp Ănh xÔ trản khổng gian b-mảtric v ựng dửng" Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên Ăn l m rởng cĂc kát quÊ và sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cho mởt số lợp Ănh xÔ trản cĂc lợp khổng gian nhữ khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số v ựng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn ối tữủng nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu cừa luên Ăn l cĂc khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số, cĂc Ănh xÔ co suy rëng, iºm b§t ëng, iºm trịng cõa c¡c lợp cĂc Ănh xÔ ny trản khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số, mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn PhÔm vi nghiản cựu Luên Ăn nghiản cựu cĂc nh lỵ im trũng nhau, nh lỵ im bĐt ởng khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số v ựng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc vo nghiản cựu bi toĂn tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn Phữỡng phĂp nghiản cựu Chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp nghiản cựu lỵ thuyát cừa giÊi tẵch hm, lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, phữỡng trẳnh tẵch phƠn v lỵ thuyát im bĐt ởng quĂ trẳnh thỹc hiằn à ti ỵ nghắa khoa hồc v thỹc tiạn Luên Ăn  lm phong phú thảm cĂc kát quÊ và sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng khổng gian b-mảtric sưp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - Ôi số ỗng thới, ựng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc vo viằc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn Luên Ăn cõ th lm ti li»u tham kh£o cho c¡c sinh vi¶n, håc vi¶n cao hồc v nghiản cựu sinh chuyản ngnh ToĂn giÊi tẵch nâi chung v bê sung v o h» thèng t i li»u lỵ thuyát im bĐt ởng trản cĂc khổng gian b-mảtric v ựng dửng nõi riảng Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn 7.1 Tờng quan luên Ăn Nôm 1993, Czerwik ([14])  giợi thiằu khĂi niằm khổng gian b-mảtric nhữ mởt sỹ m rởng cừa khổng gian mảtric v chựng minh mởt số kát quÊ và Ănh xÔ co Banach trản lợp khổng gian ny án nôm 1998, [15] bơng cĂch thay thá hơng số nh nghắa và b-mảtric bi hơng số s > 1, Czerwik  ữa khĂi niằm tờng quĂt hỡn cho b-mảtric chẵnh tĂc giÊ Â giợi thiằu bi bĂo [14] Sau õ,  cõ rĐt nhiÃu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu v ữa nhiÃu kát quÊ cõ ỵ nghắa và im bĐt ởng 36 Sau Ơy l mởt vẵ dử m dng nhên thĐy cĂc Ănh xÔ S v g cõ mởt im trũng l iºm X Tuy nhi¶n, trữớng hủp ny nh lỵ 1.2.3 lÔi khổng Ăp dửng ữủc cho cĂc Ănh xÔ S v g 1.2.4 Vẵ dử Cho X = R+ , xt b-mảtric cho bði d(x, y) =| x − y |2 vỵi måi x, y ∈ X v “ ” l mët quan hằ thự tỹ trản X ữủc xĂc nh nhữ sau x y n¸u v ch¿ n¸u x > y vỵi måi x, y ∈ X Ta x¡c ành cĂc Ănh xÔ g, S : X X cho bði s s x x 3 Sx = ln + p v gx = ln + √ 2i+ vỵi måi x ∈ X , v i > Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: (X, d, , s) l khổng gian b-mảtric Ưy ừ sưp thự tỹ bở phên vợi hằ số s = 2 S(X) g(X) S, g l cĂc Ănh xÔ liản tửc S l Ănh xÔ ỡn iằu g -khổng giÊm èi vỵi “ ” C°p (S, g) l tữỡng thẵch Tỗn tÔi x0 X cho gx0 Sx0 nh lỵ 1.2.3 l khổng Ăp dửng ữủc cho cĂc Ănh xÔ S v g Chựng minh Dạ dng kim tra ữủc cĂc kát luên 1., 2., v l úng Vợi b§t ký x, y ∈ X m gx gy , ngh¾a l gx > gy ta câ s s x y 3 ln + √ > ln + √ 2 37 i·u n y k²o theo s ln + p x 2i+ s > ln + p y 2i+ Do â, Sx > Sy hay l Sx Sy Vêy, S l Ănh xÔ ỡn iằu g -khổng gi£m èi vỵi “ ” Gi£ sû {xn } l mởt dÂy X cho vợi t ∈ X n o â m lim d(Sxn , t) = lim d(gxn , t) = n→∞ n→∞ Khi â, ta câ lim | Sxn − t |2 = lim | gxn − t |2 = n→∞ n→∞ i·u n y k²o theo s s xn xn 3 lim ln + p − t = lim ln + √ − t = n→∞ n→∞ 2i+ Tø â suy