(Luận Văn Thạc Sĩ) Về Phương Trình Laplace.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ P[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐINH NHO HÀO Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu Chương 1 Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace 1.2 Xuất xứ phương trình Laplace 1.2.1 Ba định luật Keple 1.2.2 1.2.3 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Một số mơ hình vật lý khác phương trình Laplace 11 Chương Các tính chất phương trình Laplace 2.1 Tính bất biến tốn tử Laplace 2.2 2.3 2.4 14 14 2.1.1 Toán tử Laplace 14 2.1.2 Tính bất biến tốn tử Laplace 16 Điều kiện Cauchy-Riemann Hàm điều hịa số tính chất chúng 20 21 2.3.1 Hàm điều hòa 21 2.3.2 Biểu diễn Green hàm điều hòa 22 2.3.3 Tính chất hàm điều hịa 24 Điều kiện cần đủ để toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm 29 2.4.1 2.4.2 Các toán biên Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 29 30 2.4.3 Sự tồn nghiệm tốn Dirichlet 2.4.4 phương trình Laplace hình cầu 32 Các định lý hội tụ 34 ii 2.4.5 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet miền 2.4.6 bị chặn - Phương pháp Perron Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace 35 36 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời mở đầu Phương trình Laplace nhà tốn học người Pháp Pierre-Simon Laplace (23 tháng 1749 – tháng 1827) đưa có ứng dụng nhiều thực tế Ngồi ra, Laplace cịn nhà thiên văn học có cơng xây dựng tảng ngành thiên văn học cách tóm tắt mở rộng cơng trình nghiên cứu người trước sách tập với tựa đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825) Cuốn sách chuyển đổi nghiên cứu học cổ điển mang tính hình học Isaac Newton thành nghiên cứu dựa vi tích phân, biết đến học (vật lý) Ông người đưa phương trình Laplace Biến đổi Laplace xuất tất ngành toán lý — ngành mà ông người sáng lập Toán tử Laplace, sử dụng nhiều toán học ứng dụng, đặt theo tên ông Trong luận văn này, chúng tơi trình bày xuất xứ số tính chất phương trình Laplace Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Chương giới thiệu phương trình Laplace số mơ hình vật lý phương trình Laplace Chương 2: Nghiệm phương trình Laplace Chương đưa số tính chất phương trình Laplace điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích nghiệm, điều kiện cần đủ để nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Đức Tùng Chương Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Phương trình Laplace phương trình đạo hàm riêng đặt theo tên nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827) Ông người đưa phương trình Laplace Chương giới thiệu xuất xứ ý nghĩa vật lý phương trình Laplace 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian n chiều, cho u hàm thực khả vi lần Phương trình Laplace phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + = ∂ xn2 ∂ x12 ∂ x22 (1.1) Khi vế phải không nhất: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = f (x1 , x2 , , xn ) f ∈ Rn + + + 2 ∂ xn ∂ x1 ∂ x2 (1.2) phương trình gọi phương trình Poisson Ta thường gặp phương trình Laplace khơng gian chiều hệ tọa độ khác sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + = (i) Trong hệ tọa độ Descartes: + ∂x ∂ y2 ∂ z2   1∂ ∂ 2u ∂ 2u ∂u (ii) Trong hệ tọa độ trụ: + = r + r ∂r ∂r r ∂r ∂z ∂ (iii) Trong hệ tọa độ cầu: ρ ∂ρ ∂ u = ρ sin2 θ ∂ ϕ     ∂ u u ∂ ∂ + 2 sinθ + ρ2 ∂ρ ρ sin θ ∂ θ ∂θ Nghiệm phương trình Laplace hàm điều hịa 1.2 Xuất xứ phương trình Laplace 1.2.1 Ba định luật Keple Như biết, Tycho Brahe (1546-1601) nhà thiên văn học người Đan Mạch , người quan sát bầu trời khơng qua kính viễn vọng vịng khoảng 20 năm ơng để lại liêu quan trọng Từ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple nghiên cứu đưa ba quy luật sau: (i) Mọi hành tinh chuyển động theo quy đạo hình eliptic Mặt Trời tiêu điểm (ii) Đoạn thẳng nối mặt trời với hành tinh quét diện tích khoảng thời gian (iii) Tỉ số lập phương trục lớn bình phương chu kì quay giống với hành tinh.( tỉ số số) Các quy luật đẹp phức tạp Sau , Newton tìm biểu thức đơn giản cho quy luật Đó định luật vận vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn hai vật tỉ lệ thuận với khối lượng chúng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng Thay xét lực hút vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét lực hấp dẫn khảo sát phương trình sau M u = γp (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 (1.3) với γ số, (xo ; yo ; zo ) tọa độ vật hút, M khối lượng Các lực hút thành phần Fx , Fy , Fz tác dụng  vào vật có khối lượng đơn ∂u   F =  x  ∂x   ∂u vị đặt điểm (x, y, z) xác định sau : Fy =  ∂y    ∂u  Fz = ∂z Trường hấp dẫn u xác định véc tơ ~F = (Fx ; Fy ; Fz ) Trong trường hợp lực hấp dẫn hệ chất điểm (tâm khối lượng Mi đặt điểm có tọa độ (xi ; yi ; zi )) lực hút tính theo cơng thức: u = γ∑ p i M (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (1.4) Laplace đề xuất để nghiên cứu lực hấp dẫn ta không sử dụng hàm u mà từ phương trình vi phân mà hàm thỏa mãn 1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Trước tiên ta khảo sát thành phần cơng thức (1.4) Ta tính đạo hàm Ta kí hiệu khoảng cách hai điểm (x; y; z) (xi ; yi ; zi ) p r = (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 lấy đạo hàm riêng theo biến x hàm r ta được: ∂r x − xi x − xi =p = ∂x r (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (1.5) ∂ r y − yi ∂ r z − zi = , = ∂y r ∂z r Từ ta đạo hàm sau: Tương tự ta được:  ∂r ∂ ui x − xi  ∂   = −γ Mi 2x = −γ Mi   r r  ∂x y − yi ∂ ui = −γ Mi  ∂ y r    ∂ u z − zi   = −γ Mi ∂z r (1.6) Lấy đạo hàm lần ta nhận được: ∂ ui ∂ x2 = −γ Mi r3 − (x − xi ) ∂∂rx r6 Tương  tự ta được:   3(y − y ) u ∂  i i   = γ Mi − + ∂y r r5   3(z − zi )2 ∂ ui    = γ Mi − + ∂z r r5 Từ ta phương trình: ! = γ Mi   3(x − xi )2 − 3+ r r5 ∂ ui ∂ ui ∂ ui + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (1.7) Với u = ∑ ui ta đẳng thức sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (1.8) Đẳng thức gọi phương trình Laplace Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh lực, mà cho ta công thức trường u cách thay phép tốn vào phương trình vi phân Ta coi phương trình vi phân mô tả tương tác trường u Laplace cho ý tưởng dùng phương trình vi phân để mơ tả trường u, phương trình tác động khắp nơi ngồi điểm mà tập trung khối lượng hấp dẫn (tại điểm x = xi , y = yi , z = zi ta không tính đạo hàm theo cơng thức trên)   Z  Z ∂u Z  ∂u ∂Γ ∂u ∂Γ Γ −u dS + dS Γ −u Γ dS = ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ Bρ ∂Ω ∂ Bρ (2.7) ρ → ta lưu ý rằng: