Untitled BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội Năm 2015 VIỆN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HĨA LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2015 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HĨA Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Mở đầu Các kí hiệu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L2 1.1.2 Không gian H m 1.1.3 Không gian H ∞ 1.1.4 Không gian BC m 1.1.5 Không gian C m ([a, b], E) 1.1.6 Không gian S Biến đổi Fourier Nửa nhóm liên tục 1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục 1.2.2 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục 1.2.3 Các tính chất nửa nhóm liên tục 10 1.2.4 Định lý Hille-Yosida 13 Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường không gian Banach Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa 15 18 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng 18 2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya 19 2.2.1 toán Cauchy 19 Định lý Cauchy-Kowalewskaya 20 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng 20 2.2.2 2.3 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Bài 2.3.1 Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng Bài tốn Cauchy 2.3.2 20 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng hệ phương trình cấp theo biến thời gian 21 2.3.3 2.4 2.5 Khái niệm tính đặt chỉnh tốn Cauchy 22 Tính đặt chỉnh tốn Cauchy hệ số phương trình phụ thuộc vào biến thời gian 23 2.4.1 Định lý Petrowsky 23 2.4.2 Định lý Hadamard trường hợp hệ số 25 2.4.3 Một số ví dụ 30 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 31 2.5.1 Phương trình truyền nhiệt Bài tốn Cauchy 31 2.5.2 Các tính chất toán tử Laplace 32 2.5.3 Nửa nhóm phương trình truyền nhiệt 33 2.5.4 Nghiệm toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 36 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Phương trình tiến hóa phương trình đạo hàm riêng chứa biến thới gian t Các kiện ban đầu tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa thường cho mặt phẳng t = t = t0 Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mặt phẳng t = t0 khơng đặc trưng, song phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng mặt phẳng t = t0 thường lại đặc trưng, nên việc nghiên cứu tốn Cauchy cho chúng phức tạp Mục đích luận văn nhằm trình bày tính đặt chỉnh tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Kowalewskaya mở rộng Luận văn gồm hai chương, chương bao gồm số kiến thức chuẩn bị gồm số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục, tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường khơng gian Banach Nội dung luận văn chương 2, trình bày tính đặt chỉnh tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya, luận văn phát biểu Định lý Cauchy-Kowalewskaya tính giải nghiệm tốn lớp hàm giải tích Luận văn phát biểu chứng minh Định lý Petrowsky Hadamard tính đặt chỉnh tốn Cauchy phương trình dạng tiến hóa hệ số phương trình tương ứng hàm số phụ thuộc biến thời gian số Do Định lý CauchyKowalewskaya khơng thể áp dụng cho tốn Cauchy cho phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng, nên cơng cụ nửa nhóm áp dụng để giải tốn Cauchy phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng Luận văn minh họa phương pháp nửa nhóm thơng qua việc giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Nội dung luận dựa tài liệu [2], [3] Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy PGS TS Hà Tiến Ngoạn, nỗ lực thân động viên bạn bè Một lần tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tới thầy Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn tất bạn bè đặc biệt bạn lớp cao học K21 Viện Toán học Cho dù cố gắng, thời gian kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong bảo tận tình thầy bạn Tác giả Nguyễn Hữu Dũng Các kí hiệu • R+ = {t ∈ R : t ≥ 0} • |x| chuẩn x không gian Euclid Rn • ||f ||E chuẩn hàm f không gian Banach E • ∆ tốn tử Laplace Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L2 Giả sử Rn không gian Euclid n chiều với phần tử x = (x1 , , xn ) chuẩn q |x| = x21 + + x2n Ký hiệu L2 = L2 (Rn ) hàm bình phương khả tích Rn nghĩa Z Rn |f (x)|2 dx < +∞ với chuẩn kf kL2 = ( Z Rn |f (x)|2 dx) L2 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (f, g)L2 = f (x)g(x)dx Rn 1.1.2 Không gian H m Không gian H m = H m (Rn ) tập hợp hàm f ∈ L2 thỏa mãn điều kiện Dα f ∈ L2 , ∀ |α| ≤ m Với α = (α1 , , αn ), |α| = α1 + + αn , ∂ , Dα f = D1α1 Dnαn f, với chuẩn ∂xj X kDα f k2 L2 ] kf kH m = [ D = (D1 , , Dn ), Dj = |α|≤m H m không gian Hilbert với tích vơ hướng Z X X α α Dα f.Dα gdx (f, g) = (D f, D g)L2 = Rn |α|≤m |α|≤m 1.1.3 Không gian H ∞ ∞ T ∞ Đặt H = H m Không gian H ∞ khơng gian tơpơ vectơ Trong m=0 H ∞ có nửa chuẩn k = 0, 1, pk (f ) = kf (x)kH k Hàm f ∈ H ∞ với m cho f ∈ H m Ta nói dãy {fk } ⊂ H ∞ hội tụ tới f ∈ H ∞ với m fk −→ f H m 1.1.4 Không gian BC m Ký hiệu BC m = BC m (Rn ) tập hợp hàm có đạo hàm riêng đến cấp m liên tục bị chặn Rn BC m không gian Banach với chuẩn X |Dα f (x)| kf kBC m = sup x∈Rn 1.1.5 |α|≤m Không gian C m ([a, b], E) Giả sử E không gian Banach không gian tôpô vectơ Đặt C m ([a, b], E) tập hợp hàm f : [a, b] −→ E khả vi liên tục đến cấp m E Nếu E khơng gian Banach C m ([a, b], E) không gian Banach với chuẩn m X kf (k) (t)kE kf kC m ([a,b],E) = sup t∈[a,b] k=0 Trường hợp E = H ∞ C m ([a, b], H ∞ ) = {f (t)|f (t) ∈ H ∞ , a ≤ t ≤ b} không gian Frechet với nửa chuẩn: m X max pk (f (h) (t)) (k = 0, 1, 2, ) h=0 1.1.6 a≤t≤b Không gian S Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1 Không gian S = S(Rn ) tập hợp tất hàm f (x) ∈ C ∞ cho với đa số α, β tồn Cα,β > 14 Do Tính chất 1.1, kR(λ) k+1 k≤M +∞ R tk −(Reλ−B)t dt k! e = M (Reλ − B)−k−1 Do (b) chứng minh (Lưu ý: pR(p) = (I + p−1 A)−1 ) (b) ⇒ (a) −1 A) , m số nguyên lớn λ0 Từ (b) chúng m ta biết Jm , m > sup(λ0 , B), tập bị chặn tốn tử tuyến tính E Nếu x ∈ D(A), x − Jm x = m−1 A Jm x = m−1 Jm Ax Do C kAxkE → 0, m → +∞ Do D(A) trù mật E , kJm x − xkE ≤ m có nghĩa Jm x → x, m → +∞, x ∈ E Ta đặt Xét tập Jm = (I − m Tt = exp(−tAJm ) = exp(mt(Jm − J)) = e−mt exp(mtJm ), t ≥ Lại (1.14), ta có: n +∞ P (mt)k kexp(mtJm )k ≤ k! ≤ M exp m(1 − k=0 B −1 m) t o B −1 m Chú ý rằng: m(1 − m ) − m = m−B B Ta nhận được: B −1 m k Tt k ≤ M exp (1 − ) Bt , m > sup(λ0 , B) , t ≥ (1.16) m Rõ ràng tất toán tử Jm , n Tt thay A thay số chúng Hơn nữa, m Tt − n Tt = {exp[−tA(Jm − Jn )] − I} exp(tAJn ) Zt = − exp(−tAJn ) A(Jm − Jn ) exp [ − sA(Jm − Jn )ds =− Zt m Tt n Tt−s (Jm − Jn ) Ads Cho tùy ý x ∈ D(A) Bởi (1.16) ta có: km Tt x − n Tt xkE ≤ M k(Jm − Jn )AxkE xem Jm Ax → Ax Rt e2Bs ds Nếu m, n > 2B , Tt x dãy Cauchy E hội tụ đến giới hạn, mà ta kí hiệu Tt x Sự hội tụ theo t khoảng đóng [0, T ], t < +∞ m 15 Nhiều (1.16), ta thấy rằng, ≤ t ≤ T , Tt có dạng tập bị chặn tốn tử tuyến tính Ta kết luận rằng: m Tt x → Tt x, x ∈ E , liên quan tới t khoảng đóng Cho x ∈ E, t → Tt x hàm số liên tục theo t R+ : Ts Tt = Ts+t T0 = I , cho tính chất m T thay cho T Chú ý rằng, từ (1.16) ta có: m kTt k ≤ M eBt , ∀t ≥ (1.17) Phần chứng minh cịn lại A tốn tử sinh nửa nhóm {Tt } Giả sử A′ tốn tử sinh nửa nhóm liên tục {Tt } Từ (1.17) ta thấy cho Reλ đủ lớn, giải thức R(λ; A′ ) với Z+∞ Z+∞ exp(−λt) exp(−tAJm )dt e−λt Tt dt = lim m→+∞ 0 = lim (λI − AJm )−1 = R(λ; A) m→+∞ giới hạn có theo nghĩa hội tụ điểm E Do (λI − A′ )−1 = (λI − A)−1 , suy A′ = A nên A toán tử sinh {Tt } 1.3 Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường không gian Banach Giả sử E không gian Banach, A tốn tử đóng E với miền xác định D(A) trù mật E Ta xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường khơng gian E Ta có định lý sau: d u(t) = Au(t) + f (t) dt (1.18) u(0) = u0 (1.19) 16 Định lý 1.2 Giả sử A toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật E Giả sử A toán tử sinh nửa nhóm liên tục {Tt } Ta giả sử t → f (t) t → Af (t) liên tục tôpô E với t ∈ [0; T ] vế phải f (t) Khi với giá trị tùy ý ban đầu u0 ∈ D(A) tốn Cauchy (1.18), (1.19) có nghiệm u(t) ∈ C ([0, T ], E) nghiệm cho công thức sau u(t) = Tt u0 + Zt (1.20) Tt−s f (s)ds Chứng minh Để chứng minh (1.20) nghiệm, ta cần chứng minh d ψ(t) = Aψ(t) + f (t) với ψ(t) = dt Ta ý ψ ∈ D(A) Aψ(t) = Rt Zt Tt−s f (s)ds Tt−s Af (s)ds Để chứng minh, thứ nhớ lại định nghĩa phép lấy tích phân ý A tốn tử đóng Vì Aψ(t) liên tục Mặt khác với η > 0, Zt+η Zt Tη − I ψ(t + η) − ψ(t) Tt−s f (s)ds = Tt+η−s f (s)ds + η η η t Cho η → +0, ψ ′ (t) = f (t) + Aψ(t), với vế phải hàm liên tục theo t Vì ψ ′ (t) = f (t) + Aψ(t) Ta chứng minh tính nhất: Với Jλ = (I − Aλ )−1 , λ > Dễ dàng có d uλ (t) uλ (t) = (AJλ )uλ (t) + f (t) xác định cho giá trị dt ban đầu u0 AJλ tốn tử bị chặn Đặt u(t) − uλ (t) = vλ (t) cho nghiệm u(t) (1.20) Khi ta có: d vλ (t) = (AJλ )vλ (t) + (A − AJλ )u(t) dt 17 Vì vλ (t) = Rt (λ) Tt−s (A − AJλ )u(s)d(s) (u ∈ D(A)) Rt (λ) (Chú ý vλ (0) = 0) như: Tt−s (I − Jλ )Au(s)d(s) (λ) Tt−s (I − Jλ )Au(s) bị chặn với λ ∀s ∈ [0; t] Do (λ) cố định s cho λ → +∞ Tt−s (I − Jλ )Au(s) → Từ Định lý Lebesgue’s, ta có vλ (t) → 0, có nghĩa u(t) giới hạn uλ (t) Khi u(t) xác định 18 Chương Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa Trong chương ta ký hiệu (x, t) ∈ Rn+1 = Rn × R, x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , t ∈ R biến thời gian Đặt ν = (ν1 , , νn ) ∈ Nn , ∂ ν ∂ ν ∂ ν ∂ ν n , = đa số |ν| = ν1 + + νn , ∂x ∂x1 ∂x2 ∂xn ξ = (ξ1 , , xn ) ∈ Rn , ξ ν = ξ1ν1 ξ2ν2 ξnνn , iξ = (iξ1 , iξ2 , , iξn ), (iξ)ν = i|ν| ξ ν 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng Xét phương trình dạng tổng quát X |ν|+j≤m ∂ ν ∂ j u = f aν,j (x, t) ∂x ∂t Mặt cong S = {(x, t); ϕ(x, t) = ; ϕ(x,t) (x, t) 6= 0} Định nghĩa 2.1 Mặt cong S gọi mặt đặc trưng với (x, t) ∈ S ta có X aν,j (x, t)(ϕx )ν (ϕt )j = |ν|+j=m (ϕx )ν = (ϕx1 )ν1 (ϕx2 )ν2 (ϕxn )νn 19 S gọi mặt không đặc trưng với (x, t) ∈ S ta có X aν,j (x, t)(ϕx )ν ϕjt 6= |ν|+j=m 2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya 2.2.1 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya Bài tốn Cauchy Định nghĩa 2.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m chứa biến thời gian t sau L[u] ≡ ( X ∂ ∂ ∂ m ) u+ aν,j (x, t)( )ν ( )j u = f (x, t) ∂t ∂x ∂t j