Bài tập lớn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bằng cách đưa vào mặt phẳng hệ trục tọa độ, vectơ, điểm mặt phẳng xác định tọa độ xác định Khi chuyển nhiều tốn hình học sang toán đại số ngược lại, từ kết đại số suy số tính chất mối quan hệ hình hình học Nội dung - Phương trình tổng qt đường thẳng - Phương trình tham số đường thẳng - Khoảng cách góc - Đường trịn - Đường elip - Đường hyperbol - Đường parabol - Ba đường conic CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM I Nhận biết Kiến thức thông tin Trong phần này, học sinh đòi hỏi cần gọi định nghĩa, công thức, khái niệm thuật ngữ, kí hiệu chương mà chưa cần phải hiểu Cụ thể sau - Phương trình tổng quát đường thẳng, học sinh cần gọi yếu tố sau: định nghĩa vectơ pháp tuyến đường thẳng, phương trình tổng quát đường thẳng, phương trình đường thẳng theo đoạn chắn vị trí tương đối hai đường thẳng - Phương trình tham số đường thẳng, học sinh cần gọi yếu tố sau: định nghĩa vectơ phương đường thẳng, phương trình tham số tắc đường thẳng Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] - Khoảng cách góc, học sinh cần gọi được: cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, định nghĩa góc hai đường thẳng - Đường tròn, học sinh cần gọi được: phương trình đường trịn, nhận dạng phương trình đường trịn khái niệm tiếp tuyến đường trịn Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] - Đường elip, học sinh cần gọi được: định ngĩa đường elip, nêu dạng phương trình tắc elip, yếu tố elip - Đường hyperbol, học sinh cần gọi được: định nghĩa đường hyperbol, nêu dạng phương trình tắc hình dạng hyperbol - Đường parabol: định nghĩa đường parabol nêu dạng phương trình tắc parabol Trong phần này, kiến thức học sinh khả lập lại để sử dụng Sau học xong “Phương pháp tọa độ mặt phẳng” học sinh phải có khả để: - Phát biểu định nghĩa vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng - Nêu phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng - Định nghĩa góc hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Phát biểu định nghĩa đường elip, hyperbol parabol, nêu phương trình tắc chúng yếu tố liên quan Một số ví dụ kiểm tra kiến thức Ví dụ Đường thẳng x  y   có vectơ pháp tuyến vectơ sau ? A n  (2, 1) C n  (1, 1) B n  (2,1) D n  ( 1,2) Đáp án: B Phân tích: Ví dụ giúp học sinh nhận biết vectơ pháp tuyến đường thẳng thông qua phương trình tổng qt Để làm ví dụ học sinh phải định nghĩa vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng, học sinh cần nhớ lại cách xác định vectơ pháp tuyến từ phương trình tổng quát đường thẳng thực chưa cần phải hiểu rõ vấn đề Ví dụ Phương trình x  y2 a b2  phương trình tắc đường ? A Elip với trục lớn 2a , trục bé 2b B Hyperbol với trục lớn 2a , trục bé 2b C Parabol với trục lớn 2a , trục bé 2b Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] D Hyperbol với trục thực 2a , trục ảo 2b Đáp án: D Phân tích: Ví dụ địi hỏi học sinh nhận biết phương trình tắc nên cần học sinh nhớ lại phương trình tắc đường elip, hyperbol, parabol yếu tố liên quan mà không cần học sinh phải hiểu rõ ràng Thơng qua ví dụ giúp học sinh phần nắm phương trình tắc đường Kĩ thuật kĩ Mục tiêu phần bao gồm việc sử dụng thuật toán kĩ năng, thao tác khả thực trực tiếp phép tính, đơn giản hóa lời giải tương tự ví dụ học sinh gặp lớp có khác chi tiết Đối với phương pháp tọa độ mặt phẳng, học sinh phải biết vận dụng kĩ thuật công thức, quy tắc học để giải vấn đề Cụ thể, học xong phần học sinh phải có khả để: - Viết phương trình tham số tổng quát đường thẳng dựa vào yếu tố biết - Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng góc hai đường thẳng - Viết phương trình đường trịn phương trình tiếp tuyến - Viết phương trinh tắc elip, hyperbol parabol biết yếu tố cho trước xác định yếu tố ( E) , ( H ) ( P) biết phương trình tắc chúng Một số ví dụ kiểm tra kĩ Ví dụ Phương trình phương trình tham số đường thẳng x  y   ? x  t A  y   t x  B  Đáp án: A y  t x   t C  y   t x  t D  y   t Phân tích: Ví dụ nói lên mối liên hệ phương trình tổng quát phương trình tham số đường thẳng Để thự ví dụ học sinh cần nhớ lại cách xác định phương trình tham số đường thẳng kết hợp với vài kĩ thuật nhỏ Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] 2 Ví dụ Cho elip ( E) : 9x  16 y  144  Mệnh đề sau sai ? A Các tiêu điểm ( E) F1 (  7, 0) , F1 ( , 0) B Độ dài trục 2a  , 2b  C Tâm sai ( E) e  D Độ dài trục ( E) 2a  , 2b  Đáp án: D Phân tích: Để giải ví dụ học sinh phải nhận biết phương trình tắc elip từ sử dụng cơng thức học để giải II Thông hiểu Cuối phần học sinh có thể: - Viết phương trình để biểu thị đồ thị cho mặt phẳng tọa độ - Xác định điều kiện tương ứng mối quan hệ đường thẳng với đường tròn, đường thẳng với đường thẳng, - Giải toán mặt phẳng phương pháp tọa độ - Xác định hiểu yêu cầu toán, lập luận suy diễn từ kiện cho - Phân biệt loại phương trình đường thẳng, đường trịn, Một số ví dụ kiểm tra Ví dụ Elip hình vẽ sau có phương trình ? y O 2 C x  y  36 16 2 D x  y  A x  y  B x  y  Đáp án: B x 2 2 Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Phân tích: Học sinh cần hiểu ý nghĩa số hình vẽ, số a , b phương trình tắc elip đưa đáp án xác 2 Ví dụ Đường trịn (C ) : 2x  y  x  y   có tâm I bán kính R ? A I ( 1,1) R 1 1 C I (  , ) R  4 B I ( , 1 ) R  10 4 D I (1, 1) R  10 10 Đáp án: B 2 Phân tích: Học sinh cần phải hiểu với phương trình đường tròn cho x  y  2ax  2by  c  tâm đường trịn gì, bán kính tính Ví dụ Với giá trị m đường thẳng x  y  m  tiếp xúc với đường tròn x  y2 1 ? A m 5 C m  B m  D m  m 5 Đáp án: D Phân tích: Để giải tốn này, học sinh cần nắm điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, từ giải m III Vận dụng Cuối phần học sinh có thể: - Vận dụng phương trình đường thẳng để giải tam giác, xác định yếu tố liên quan đến tam giác, chẳng hạn: phương trình đường trịn nội ngoại tiếp… - Chọn phương pháp thích hợp để giải tốn - Viết loại phương trình đường thẳng, phương trình đường cơnic yếu tố xác định chúng xác định thơng qua đối tượng khác Một số ví dụ tƣơng ứng với mức độ vận dụng Ví dụ Cho điểm A(1, 3) , B(2, 0) , C(0, 0) Phương trình sau phương trình đường trịn nội tiếp ABC 2 11 2 A x  y  x  y  B x  y  x  y  30 30 Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] 2 2 C x  y  4x  3y   D x  y  2x  y  Phân tích: Để xác định phương trình đường trịn ta phải biết tâm bán kính Tuy nhiên, yếu tố khơng cho sẵn mà phải tìm thơng qua ràng buộc, nên tình Đáp án đúng: A Đáp án gây nhiễu C: phương trình đường trịn qua B D: phương trình đường trịn qua C B: phương trình đường trịn có tâm với phương trình đường trịn A Ví dụ Cho đường thẳng  : x  y  , M (2,1) Viết phương trình tổng quát đường thẳng  đối xứng với  qua M Phân tích: Phương trình  có dạng ax  by  c  Các yếu tố a , b , c không cho sẵn mà phải tìm thơng qua mối liên hệ với đối tượng khác, nên tình - Vì  phương với  nên a 1 b 1 - Khoảng cách d ( M , )  d ( M , ) hay | 1||  c | Suy c  c 2 Vì   khác  nên c 2  - Vậy  : x  y   Bài làm theo hướng tìm vectơ pháp tuyến  điểm thuộc  Ví dụ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ qua A(2,1) ? Phân tích: Bằng phương pháp dạy, học sinh khơng thể viết phương trình đường trịn - Ta cần tìm tọa độ tâm bán kính - Theo giả thiết ta suy ra: bán kính a tọa độ tâm ( a , a) - A thuộc đường tròn (x  a )  ( y  a ) 2 2  a suy a 1 a  - Kết luận: (x  1)  ( y  1) 1, (x  5)  ( y  5)  25 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] IV Những khả bậc cao Đây phạm trù rộng, bao gồm phạm trù phân tích, tổng hợp đánh giá Cụ thể khả bậc cao học sinh: - Từ tính chất học, em rút cho tính chất hay quan hệ khác - Sự khôn khéo, thông minh, sáng tạo giải tốn - Khả phân tích toán tổng hợp kết thu để kết luận toán - Phát sai làm lập luận - Trừu tượng hóa, ký hiệu hóa, tổng qt hóa tốn Sau học xong “Phương pháp tọa độ mặt phẳng”, học sinh - Dựa vào phương pháp tọa độ chút khôn khéo, sáng tạo học sinh đưa kết luận cho tốn mà khơng cần phải thực q nhiều phép tính - Dựa vào tọa độ hay phương trình học sinh tưởng tượng vị trí tương đối điểm hay đường mặt phẳng tọa độ - Khả tư mà người ta gọi “cách nhìn” tốn học thơng qua tọa độ Một số ví dụ kiểm tra khả bậc cao học sinh Ví dụ Tùy theo m , xét vị trí tương đối đường trịn ( C) đường thẳng  sau 2 (C) : x  y  x  y    : x  y  m  0 Phân tích: Đường trịn có tâm I (2, 1) , bán kính R  Để giải toán học sinh cần biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Cụ thể, học sinh cần tính d ( I , ) , sau biện luận theo trường hợp d ( I ,  )  : Đường thẳng tiếp xúc đường tròn d ( I ,  )  : Đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung d ( I ,  )  : Đường thẳng cắt đường trịn Từ để giá trị m tương ứng với trường hợp Kết luận Đường thẳng tiếp xúc đường tròn m  10  m 2 10  Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung m  10  m 2 10  Đường thẳng cắt đường tròn 2 10   m  10  Ví dụ Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng x  y   , x   biết đường tròn qua điểm A(0,2) nằm góc nhọn tạo hai đường thẳng Phân tích: Để giải tốn này, học sinh cần chia nhỏ toán phần Đầu tiên viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng trên, xét xem đường phân giác đường phân giác góc nhọn dựa vào tích vơ hướng hai vector pháp Đường trịn có tâm nằm đường phân giác qua điểm A(0,2) , từ giải phương trình đường tròn