Một số dạng toán về hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0)

PHỊNG GD& ĐT BÌNH XUN TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG – MƠN TỐN Tên chun đề: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a≠ ¿ Tên tác giả: Vũ Thị Hảo Đơn vị công tác: THCS Hương Sơn BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG MƠN TỐN Lời giới thiệu: Qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào các trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức bản không thể thiếu đó là chương hàm số bậc cho dưới dạng tìm tham số hàm theo điều kiện Phần lớn các em lúng túng làm bài, bởi vì các em chưa hiểu được chất Xuất phát từ tình hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp, rút được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp và được thực hiện các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 Đứng trước tốn ngồi việc xác định u cầu để việc trả lời câu hỏi làm để đạt u cầu hay nói cách khác định hướng cách giải quan trọng Chính lí tơi chọn đề tài: “Hàm số bậc nhất” nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học bước giúp học sinh tháo gỡ, giải tốt khó khăn, vướng mắc trình tìm phương pháp giải Từ đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường đồng thời nâng cao chất lượng thi vào 10 học sinh cuối cấp Tên chuyên đề:“Một số dạng toán hàm số bậc y = ax + b (a≠ ¿” Tác giả chuyên đề: - Họ tên: Vũ Thị Hảo - Địa tác giả chuyên đề: Trường THCS Hương Sơn - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0364759924 Email: vuhao4079@gmail.com Chủ đầu tư tạo chuyên đề: Vũ Thị Hảo Trường THCS Hương Sơn – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 3 Lĩnh vực áp dụng chuyên đề: Một số dạng toán hàm số bậc Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu: Tháng 11/2021 Mô tả chất chuyên đề: 7.1 Về nội dung chuyên đề: 7.1.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Bài tập toán chiếm phần quan trọng nội dung chương trình mơn tốn trường phổ thơng Thời lượng dành cho luyện tập giải toán chiếm khoảng 50% Bài tập toán đa dạng phong phú Hàm số bậc phần kiến thức thiếu chương trình tốn lớp 9.Nhiều dạng tốn hay như: Sự biến thiên hàm, đồ thị hàm số, tìm tham số hàm theo điều kiện, viết phương trình đường thẳng …mà cách giải phải phân dạng nắm rõ chất để giải Do học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng vào dạng nào, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ lý thuyết hàm số bậc từ phân dạng tập để học sinh nắm áp dụng giải cách tốt 7.1.2 Cơ sở lí thuyết Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nợi dung hàm số nói chung hàm bậc góp phần đáng kể khơng thể thiếu giải tập hàm số Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững khái niệm hàm số bậc nhất, tính biến thiên hàm, đồ thị hàm số, vị trí tương đối đường thẳng, hệ số góc góc tạo đường thẳng với trục Ox và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Cái khó ở là các em chưa phân dạng tập, khơng nắm bắt rõ chất, cịn làm cách máy móc Chính vì vậy mợt số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập hàm số Vì vậy ta phải làm cho học sinh nhận thấy được rõ chất dạng để từ em hiểu có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập 4 7.1.3.Các giải pháp cụ thể: Xây dựng phương pháp giải tập hàm số bậc y = a x + b (a≠ 0): Trong phần này sẽ trình bày hai nội dung chính: A/ LÝ THUYẾT VỀ HÀM BẬC NHẤT: 1) Định nghĩa : Hàm số bậc cho công thức số cho trước , a, b 2) Tính chất : Hàm số bậc xác định  x  R có tính chất sau : a) Đồng biến R, a > b) Nghịch biến R, a < 3) Đồ thị - Đồ thị hàm số đường thẳng qua gốc tọa độ O - Đồ thị hàm số đường thẳng + Cắt trục tung điểm có tung độ b + Song song với đường thẳng y = ax b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax b = Chú ý : Đồ thị hàm số gọi đường thẳng ; b gọi tung độ gốc đường thẳng * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bước 1:  Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = -b/a ta điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Ox Bước 2: Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b  4) Góc tạo đồ thị hàm số bậc trục Ox    - Gọi α là góc tạo đường thẳng y=ax+b (a≠0) và trục Ox   Nếu a > HS đồng biến ; góc α nhọn, hệ số góc a lớn α lớn (tan α = a) Nếu a < HS nghịch biến ; góc α tù, hệ số góc a lớn thìα lớn(tan(1800- α ) = -a) 5) Vị trí tương đối hai đường thẳng : Với đường thẳng , ta có: Chú ý: a khác a’ b = b’ đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b B.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính chất hàm số bậc nhất: (Tìm tham số để hàm số hàm bậc nhất, đồng biến, nghịch biến) Để làm dạng toán cần đánh giá hệ số x đủ.Tuy nhiên điều kiện để hàm số hàm bậc nhất, đồng biến, nghịch biến cịn thêm điều kiện khác phụ thuộc vào đề Ví dụ 1: Tìm m để hàm số sau hàm số bậc : a) y = ( 2m + 1)x - 3m + b) y = 4mx + 3x - c) y = ( m - 4m)x + (m - 4)x + d) y = ( x - 1) e) y = \f(m+1,m-1 x + Hướng dẫn giải a) Để hàm số y = ( 2m + 1)x - 3m + hàm số bậc thì: m+ 1≠ ⇒ m ≠ b) Ta có : y = 4mx + 3x - = (4m +3)x - Để hàm số hàm số bậc thì : m≠ −3 c) Hàm số y = ( m - 4m)x + (m - 4)x + hàm số bậc thì : m2−4 m=0 ⇔ m=0 m−4 ≠ { d) Hàm số y = ( x - 1) hàm số bậc thì: ≥ ⇔ 5−m>0 ⇔ m Để hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R Kết hợp với điều kiện (*) ta m < 25 Vậy với hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R Ví dụ 5: Cho hàm số bậc y = (m2 + 3m + 5) x + m – Chứng minh hàm số cho đồng biến với giá trị m Hướng dẫn giải Hàm số bậc cho có hệ số a = m2 + 3m + Ta có: m2 + 3m + = m2 + 2m + - + = (m + )2 + > với m Do hàm số y = (m2 + 3m + 5) x + m – đồng biến với m Ví dụ :Tìm số giá trị ngun tham số m để hàm số y=(m²−4)x+m−3 nghịch biến trên R Hướng dẫn giải Để hàm số cho nghịch biến trên R thì m²−4 a = b) Gọi N giao điểm đồ thị hàm số (1) đt y = -3x + => tọa độ điểm N thỏa mãn đồng thời đt - hoành độ điểm N = -3x + => x = -1 => N(-1 ; 5) - đồ thị hàm số (1) qua N(-1 ; 5), nên ta có : = a.(-1) – => a = - * Tìm hai tham số hàm, viết phương trình đường thẳng Ví dụ Xác định hàm số y = ax + b biết: a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x, cắt trục hoành điểm có hồnh độ b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x - 1, qua điểm A(2;1) c) Đồ thị hàm số qua B(-1; 2) cắt trục tung -2 d) Đồ thị hàm số qua C(3; -2) D(1; 2) Hướng dẫn giải a)Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x nên có a = b≠ Khi đt y= 2x +b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ tức qua điểm (3;0) nên có 2.3 + b= suy b= -6 b)Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=3x – nên có a= b≠−1 Khi đt y=3x +b qua điểm A(2;1) nên có 1= 3.2 +b suy b= -5 c) Đồ thị hàm số cắt trục tung -2 ta có : b= -2 Khi đt y=ax – với a≠ qua B(-1; 2) nên 2= a.(-1) - suy a= -4 d) Đồ thị hàm số qua C(3; -2) D(1; 2) ta có-2 = a.3 + b 2= a.1 +b suy a= -2 ;b = Ví dụ 5 : a,Viết phương trìnhđường thẳng qua M(1; 2) có hệ số góc b, Tính góc tạo đường thẳng vừa tìm phần a với trục Ox Hướng dẫn giải a) Phương trình đường thẳng có dạng y=ax + b có hệ số góc nên a = Khi y=3x + b Do đồ thị hàm số qua M(1; 2) nên có 3.1 +b = suy b = -1 Vậy phương trình đường thẳng y=3x – b) tan ∝=3 ⟹ ∝≈ 710 33' 17 * BÀI TẬP VẬN DỤNG : Bài 1: Cho hàm số y=(m-1).x + m a) Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm A(-1 ; 2) b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hoành độ bằng-3 Bài 2: Cho hai hàm số bậc y=mx + y=( 2m + 1)x - a) Tìm m để hai đường thẳng song song b) Tìm m để hai đường thẳng cắt Bài Cho hàm số y=(m - 1)x + m a) m =? Thì hàm số đồng biến? nghịch biến? b) m =? Thì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 3x? c) m =? Thì đồ thị hàm số qua A(-1; 5) d) m =? Thì đồ thị hàm số cắt tung độ 6? e) m =? Thì đồ thị hàm số cắt hồnh độ -3? f) m =? Thì đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3? g) m =? Thì đồ thị hàm số vng góc với đồ thị y = -mx + 1? h) Vẽ đồ thị tìm câu trên? tìm toạ độ giao điểm (nếu có) Bài 4: Cho hàm số (d) y=ax - Hãy tìm hệ số a trường hợp sau: a) (d) cắt (d') y=2x -1 điểm có hồnh độ b) (d) cắt (d1) y=- 3x + điểm có tung độ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 1: Cho hàm số (d) y=(m - 2)x + a) Tìm m để hàm số đồng biến ∀ x ∈ R b) Tìm giá trị m để hàm số song song với đường (d1) y = \f(5,4 x - Bài 2: Cho hàm số (d) y=ax + Tìm hệ số góc a trường hợp sau: a) (d) song song với đường (d') y = - 4x b) (d) qua B( 2; 7) Bài 3: Cho hàm số (d) y=3x + b Biết (d) qua điểm A (4 ;11) Viết phương trình đường (d) vẽ đồ thị đường (d) 18 Bài 4: Cho ham số y =2x + m Hãy xác định hệ số m trường hợp sau: a) (d) cắt Oy có tung độ - b) (d) qua C(1;5) Bài 5:Vẽ đồ thị hàm số sau: (d) y=- \f(3,2 x + (d') y= \f(2,3 x + Tìm giao hai đt phương pháp đại số Bài 6: Cho hàm số y=( m -1)x + 2m - a) Tìm m để hàm số ln nghịch biến b) Tìm m để hàm số qua điểm A(-1;3) vẽ đồ thị với m vừa tìm Bài 7: Cho hàm số y=(a + 2)x + a - a) Tìm a để hàm số ln đồng biến b) Tìm a để đồ thị cặt trục hồnh Ox điểm có hồnh độ - c) Tìm a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Bài 8: Cho hàm số y=(m - 1)x + m + a) Tìm giá trị m để hàm số song song với đồ thị y=-3x + b) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm B(2; -3) c) Chứng minh đồ thi hàm số ln qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm Bài 9: Cho hàm số y =(1 - 4m)x + m - a) Tìm m để hàm số đồng biến R b) Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ c) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=- x -1 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(4;1) // với đường thẳng y=2x + Bài 11: Cho đường thẳng (d): y=(1 – 2m)x + m -1 a) Với giá trị m đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc nhọn? b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) qua với giá trị m c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn Bài 12: Cho hàm số bậc y=(m2 – m)x + 2m – a) Với giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm A(1; 1) b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng Bài 13: Cho hàm số bậc y=(m – 2)x + m – a) Tìm m để hàm số đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=2x – Vẽ đồ thị hàm số với m tìm tính diện tích tam giác tạo đồ thị hàm số với hai trục tọa độ (đơn vị đo hai trục tọa độ cm) 19 Bài 14: Cho đường thẳng (d) y=(2k - 1)x + k - với k tham số a) Tìm k để đường thẳng (d) qua điểm (1; 6) b) Chứng minh (d) không qua điểm A(-0,5; 1) với giá trị k c) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d) qua điểm cố định Bài 15: Cho đường thẳng (d): y=(m - 1)x + m + a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hoành độ -3 c) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m d) Tìm m biết đường thẳng (d) tạo với trục hồnh góc 450 Bài 16: Cho hàm số y=(m – 1)x + m + a) Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc toạ độ b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 3x + 2y = c) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng y=3x -5; y=-x -3 đồng quy d) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với giá trị m e) Tìm m để đồ thị hàm số cho tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (đơn vị diện tích) Bài 17: Cho hàm số bậc y=f(x) = (m2 + 2m + 3)x + m -1 (d) a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6) b) Chứng minh hàm số đồng biến với giá trị m c) Với giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm A( 1;0) đồng thời song song với đường thẳng 3x – y + 10 = Bài 18 Cho hàm số y=(m-1)x + (m +1) (1) a) Xác định hàm số y đường thẳng (1) qua gốc toạ độ b) m=? để đường thẳng (1) cắt trục tung -1 c) m =? để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y= x + d) m =? để đường thẳng (1) vng góc với đường thẳng y= 2mx - e) CMR: Đường thẳng(1) qua 1điểm cố định 20 Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng kiến thức hàm số bậc để giải Do đặc thù học sinh trường nên với trường THCS Hương Sơn đưa kiến thức phù hợp với học sinh đại trà Chính vậy, những bài tập tơi đưa ở phần giúp cho học sinh nắm bắt hiểu rõ chất, thấy được tầm quan trọng của hàm số bậc chương trình tốn Qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập có liên quan đến hàm số bậc q trình học ơn thi vào 10 Bên cạnh mục đích của nợi dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường mà hiện có chiều hướng xuống bởi vì một số em chưa nắm bắt được kiến thức bản và chưa biết cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến áp dụng tiết dạy học cụ thể buổi hoạt động ngoại khóa chuyên đề mơn Tốn học - Giải pháp áp dụng tốt đơn vị trường THCS Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Cơ sở vật chất nhà trường xây dựng đầy đủ đảm bảo điều kiện phục vụ cho công tác dạy học đạt kết tốt - SGK, sách tài liệu tham khảo, máy tính, máy chiếu, thiết bị dạy học mơn 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Qua giảng dạy mơn tốn 9, tơi nhận thấy nội dung thiết thực có lợi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn, em tích cực học tập hứng thú giải hàm số nói chung hàm số bậc nói riêng Đặc biệt vận dụng kĩ làm dạng toán sau cách có hiệu tảng kiến thức cho em bước vào THPT Với việc em nắm vững kĩ giải toán hàm bậc với việc đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn khối 9, tơi thấy chất lượng mơn tốn ngày tiến rõ rệt Cụ thể là: 21 Bảng 1: Kết khảo sát chất lượng trước thực chuyên đề: TSHS Giỏi 148 Khá 4,1% 36 Trung bình 24,3% 56 37,8% Yếu 45 Kém 30,4% 3,4% Bảng 2: Kết qủa khảo sát chất lượng sau áp dụng chuyên đề: TSHS 148 Giỏi 10 6,8% Khá 45 Trung bình 30,4% 73 49,3% Yếu 20 13,5% 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: - Học sinh khối trường THCS Hương Sơn Hương Sơn, ngày 10 tháng 11 năm 2021 KT HIỆU TRƯỞNG PHÓ HIỆU TRƯỞNG Tác giả sáng kiến Vũ Thị Hảo Đặng Thị Thu Phương