Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành : Tốn học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2021 L˝IC MÌN Lu“n ¡n n y ÷ỉc thüc hiằn ti Trữớng i hồc BĂch khoa H Ni dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Vụ Th Ngồc H (Trữớng ⁄i håc B¡ch Khoa H Nºi) v PGS TS °ng nh ChƠu (Trữớng HKHTN- HQG H Ni) Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi hai ngữới hữợng dÔn ca mnh, nhng ngữới  tn tnh ch bÊo hữợng dÔn giúp tổi ho n th nh lun Ăn Tổi xin gòi lới cÊm ỡn c biằt tợi PGS TSKH Nguy„n Thi»u Huy, mºt nh khoa håc, ng÷íi thy vổ mÔu mỹc  tn tnh giúp ù tổi trản ữớng nghiản cứu Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n thy Trong thới gian l m nghiản cứu sinh ti Trữớng i hồc BĂch Khoa H Ni, tổi  nhn ữổc nhiãu tnh c£m cơng nh÷ sü gióp ï cıa c¡c thƒy cỉ bº mỉn To¡n Cì b£n, c¡c thƒy cỉ Vi»n To¡n Ùng döng v Tin håc °c bi»t l nhøng âng gâp, chia s·, ºng vi¶n cıa c¡c th nh vi¶n nhâm seminar D¡ng i»u ti»m c“n nghi»m ca phữỡng trnh vi phƠn v ứng dửng ti Trữớng ⁄i håc B¡ch Khoa H Nºi, PGS TSKH Nguy„n Thiằu Huy iãu h nh, tổi xin chƠn th nh c£m ìn ‚n c¡c thƒy cỉ v nhœng th nh viản nhõm seminar NhƠn dp n y, tổi cụng b y tọ sỹ cÊm ỡn chƠn th nh tợi Ban Gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc cì b£n tr÷íng ⁄i hồc Sữ phm K thut Hững Yản  to iãu ki»n thu“n lỉi cho tỉi håc t“p v nghi¶n cøu CuŁi cịng, tỉi xin b y tä lỈng bi‚t ìn ‚n gia …nh v to n th” b⁄n b– ¢ luổn khuyn khch, ng viản chia sà nhng khõ khôn cuºc sŁng, gióp tỉi vœng t¥m håc t“p v nghi¶n cøu Nghi¶n cøu sinh i L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu lu“n Ăn Tnh chĐt nh tnh ca nghiằm mt s lợp c¡c ph÷ìng tr…nh câ tr„ v trung t‰nh l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tỉi, ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Vụ Th Ngồc H v PGS TS °ng …nh Ch¥u C¡c k‚t qu£ lu“n ¡n l ho n to n trung thüc v chữa tng ữổc tĂc giÊ khĂc cổng b bĐt ký mºt cỉng tr…nh nghi¶n cøu n o kh¡c H Ni, ng y thĂng nôm Tp th hữợng dÔn TS Vụ Th Ngồc H Nghiản cứu sinh PGS TS °ng ii …nh Ch¥u Trành Xu¥n Y‚n MƯC LƯC LIC MèN LI CAM OAN i ii MáT Să K HI U DÒNG TRONG LU N N M— U Tng quan vã hữợng nghiản cứu v lỵ chån • t i 2 Mưc ‰ch, Łi t÷ỉng v ph⁄m vi nghi¶n cøu Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu K‚t qu£ cıa lu“n ¡n C§u tróc cıa lu“n ¡n Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 10 Khæng gian h m 10 1.1.1 Khỉng gian h m Banach ch§p nh“n ÷ỉc 10 1.1.2 B§t flng thøc nân 13 1.2 Nßa nhâm 14 1.2.1 Nßa nhâm, to¡n tß sinh v gi£i thøc 14 1.2.2 ˚n ành mô v nhà phƠn mụ ca nòa nhõm 15 1.3 Nhà ph¥n mơ, tam ph¥n mơ cıa hå ti‚n hâa 17 Ch÷ìng A T P T CH PH N CH P NH N PH×ÌNG TR NH ìẹC ăI VI O H M RI NG H M TRUNG T NH 20 2.1 a t⁄p Œn nh bĐt bin E-lợp ca phữỡng trnh o h m riảng h m trung tnh trản nòa trửc 2.2 a t⁄p tƠm n nh bĐt bin E-lợp ca phữỡng trnh o h m 22 ri¶ng h m trung t‰nh 2.3 a t⁄p khỉng Œn ành b§t bi‚n E-lợp ca phữỡng trnh o h m 39 riảng h m trung t‰nh iii 42 Ch÷ìng A T P B T BI N CH P NH N ìẹC ăI VI PHìèNG TR NH O H M RI NG H M TRUNG T NH TR N NA TRệC 3.1 Sỹ tỗn ti nghiằm v a n nh bĐt bin E-lợp ca phữỡng 70 trnh o h m ri¶ng h m trung t‰nh 3.2 a tƠm n nh bĐt bin E-lợp ca phữỡng trnh o h m 73 riảng h m trung t‰nh 92 Ch÷ìng A T P B T BI N CH P NH N ìẹC ăI VI PHìèNG TR NH O H M RI NG H M TRUNG T NH V˛ITR V˘H N 4.1 Khỉng gian gi£m nhỵ 95 96 4.2 a n nh bĐt bin E-lợp ca phữỡng trnh o h m riảng h m trung t‰nh vỵi tr„ vỉ h⁄n 4.3 a t⁄p t¥m Œn ành bĐt bin ca phữỡng trnh o h m riảng 98 h m trung t‰nh vỵi tr„ vỉ h⁄n 115 K TLU NV KI NNGHÀ 119 Nhœng k‚t qu£ ¢ ⁄t ÷æc 119 ã xuĐt mt s hữợng nghiản cøu ti‚p theo 119 DANH MÖC C C CNG TR NHCNG Bă CếA LU N N 121 T ILI UTHAMKH O 122 CH MệC 128 iv MáT Să K HI U DÒNG TRONG LU N N : t“p c¡c sŁ tü nhi¶n R : t“p c¡c sŁ thüc : t“p c¡c sŁ thüc khỉng ¥m R+ Lp(R) Z p := u : R ! R : kukp = ( R ju(x)j dx) L1(R) 1=p N < +1 ; p < := fu : R ! R : kuk1 = ess sup ju(x)j < +1g x2R L1;loc(R) := fu : R ! R j u L1(!) vợi mồi o ữổc !Rg õ !R ngh¾a l bao âng ! l t“p compact R t t+1 ; R+ f L1; loc(R+) : t jf( )jd M( ) := < sup Z t+1 vỵi chu'n kfkM := sup jf( )jd Z t t : khỉng gian h m Banach ch§p nh“n ÷ỉc tr¶n I EI X : khỉng gian Banach C := C([ r; 0]; X) khæng gian c¡c h m u( ) li¶n tưc tr¶n [ r; 0]; r > 0; nh“n gi¡ trà X ÷ỉc trang bà chu'n kuk C = sup ku(t)k C t2[ : khæng gian c¡c h m ( ) li¶n tưc tr¶n ( v lim ! r;0] ; 0]; nh“n gi¡ trà X k ( )k = 0; ÷ỉc trang bà chu'n e k k = sup k ( )k e ; > 0 Cb(R+; X) : khæng gian c¡c h m u( ) li¶n tưc, bà ch°n, nh“n gi¡ trà trongX; xĂc nh trản R+ ữổc trang b chu'n kuk1 = sup ku(t)k: t2R+ M— U TŒng quan v• hữợng nghiản cứu v lỵ chồn ã t i Nghiản cứu sỹ tỗn ti ca a tch phƠn bao gỗm a n nh, a khổng n nh v a tƠm l mt cĂc vĐn ã ct yu viằc nghiản cứu tnh chĐt nh tnh ca nghiằm mt s lợp cĂc phữỡng trnh cõ tr v trung t nh Viằc nghiản cứu sỹ tỗn t⁄i cıa c¡c a t⁄p t‰ch ph¥n ln thu hót sỹ quan tƠm ca nhiãu nh toĂn hồc v mt m°t nâ mang l⁄i bøc tranh h…nh håc v• d¡ng iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn vợi nhiu phi tuyn a phữỡng xung quanh mt im cƠn b‹ng hay xung quanh mºt quÿ ⁄o x¡c ành M°t kh¡c, nhí t‰nh hót cıa a t⁄p b§t bi‚n, ta cõ th sò dửng ữổc nguyản lỵ thu gồn ữa viằc nghiản cứu phữỡng trnh vi phƠn ( o h m riảng) ban u vã cĂc phữỡng trnh ỡn gi£n hìn tr¶n a t⁄p n y tł â nghi¶n cøu d¡ng i»u ti»m c“n cıa c¡c nghi»m thíi gian lợn CĂc kt quÊ ban u thu ữổc bði Hadamard [1], Perron [2, 3], Bigoliubov v Mitropolsky [4, 5] vã sỹ tỗn ti ca a bĐt bin i vợi phữỡng trnh vi phƠn n R Sau â, Daleckii v Krein [6] ¢ chøng minh sü tỗn ti ca a bĐt bin i vợi nghiằm ca phữỡng trnh nòa tuyn tnh khổng gian Banach vợi toĂn tò tuyn tnh b chn Tip theo, Henry [7]  phĂt trin cĂc kt quÊ n y vã sỹ tỗn ti a tch phƠn cho trữớng hổp A(t) l cĂc toĂn tò o h m riảng khổng giợi ni Vã sau, nhớ sỹ phĂt trin mnh m ca giÊi tch h m hiằn i v lỵ thuyt nòa nhõm mt tham s, cĂc kt quÊ vã sỹ tỗn ti ca a t ch phƠn  ữổc chuyn sang nhng nĐc thang mợi cho cĂc lợp phữỡng tr nh rĐt tng quĂt bao gỗm cÊ phữỡng trnh ⁄o h m ri¶ng câ tr„ v trung t‰nh (xem [8, 9, 10, 11, 12]) Huy [13] ¢ ch¿ sỹ tỗn ti ca ca a bĐt bin i vợi phữỡng trnh tin hõa khổng ổtổnổm nòa tuyn tnh khỉng gian Banach vỵi sŁ h⁄ng phi tuy‚n l ’-Lipschitz, nâ l c£ qu¡ tr…nh khâ kh«n v phøc Hỡn na, Huy [14]  chứng minh sỹ tỗn ti ca loi a bĐt bin mợi, cử th l a n nh bĐt bin thuc lợp chĐp nhn ữổc Nhng a nhữ vy bao gỗm qu ⁄o cıa nghi»m thuºc v o lỵp khỉng gian h m Banach chĐp nhn ữổc, õ cõ th l c¡c khæng gian Lebesgue L p, khæng gian Lorentz Lp;q v nhiãu khổng gian khĂc thữớng gp lỵ thuyt nºi suy ˆ Nh…n v o làch sß qu¡ tr…nh nghiản cứu vã a tch phƠn i vợi nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn ta nhn thĐy cõ mt s hữợng xò lỵ v iãu kiằn chnh Ơ y: Thứ nhĐt l vã phữỡng phĂp nghiản cứu, cõ hai ph÷ìng ph¡p ch‰nh l ph÷ìng ph¡p Hadamard v ph÷ìng phĂp Perron Phữỡng phĂp Hadamard  ữổc tng quĂt hõa th nh phữỡng phĂp bin i ỗ th v  ÷ỉc sß dưng mºt sŁ cỉng tr…nh [15, 16] chứng minh sỹ tỗn ti ca a tch phƠn Phữỡng phĂp n y liản quan n viằc lỹa chồn cĂc php bin i phức hổp gia cĂc ỗ bi”u di„n a t⁄p t‰ch ph¥n Trong â, ph÷ìng ph¡p Perron ÷ỉc mð rºng th nh ph÷ìng ph¡p Lyapunov-Perron nõ liản quan n cĂc phữỡng phĂp ca Lyapunov Phữỡng phĂp Lyapunov-Perron trung v o viằc xƠy dỹng phữỡng trnh Lyapunov-Perron cõ mi liản hằ vợi phữỡng trnh tin hõa, t õ ch sỹ tỗn t⁄i cıa a t⁄p t‰ch ph¥n ˆ (xem c¡c cỉng tr…nh [17, 18, 6, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 11] còng c¡c t i li»u tham kh£o â vã vĐn ã n y) Thứ hai l vã iãu ki»n cıa sŁ h⁄ng phi tuy‚n SŁ h⁄ng phi tuy‚n thới gian u hu ht ãu ữổc lỹa chồn thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz vợi hng s Lipschitz nhọ (xem [8, 17, 23, 6, 16, 11, 24]) Tuy nhi¶n, vợi cĂc phữỡng trnh nÊy sinh t cĂc quĂ trnh ph£n øng-khu‚ch t¡n, â sŁ h⁄ng phi tuy‚n ⁄i diằn cho nguỗn vt chĐt th hng s Lipschitz cõ th” khỉng nhä theo ngh¾a cŒ i”n [25, 26, 27] Do â sŁ h⁄ng phi tuy‚n ÷ỉc mð rºng ” chóng câ th” mỉ t£ ÷ỉc c¡c qu¡ tr…nh ph£n ứng-khuch tĂn nhữ vy Gn Ơy, Huy [13]  sò dửng phữỡng phĂp Lyapunov-Perron v khổng gian h m chĐp nhn ữổc ữa iãu kiằn tng quĂt hỡn ca phn phi tuyn xt sỹ tỗn ti ca a t⁄p Œn ành b§t bi‚n, ð â h» sŁ Lipschitz cıa phƒn phi tuy‚n phư thuºc v o thíi gian v thuºc v o mºt khæng gian h m Banach chĐp nhn ữổc ỗng thới sò dửng khổng gian h m Banach chĐp nhn ữổc  cõ mt s kt quÊ vã lỵ thuyt dĂng iằu tiằm cn nghiằm ữổc cổng b thới gian gn Ơy [28, 29, 30, 31] CuŁi cịng l c¡c ph÷ìng tr…nh câ tr hay trung tnh ữổc nghiản cứu vợi tr hu h⁄n (xem [32, 33, 34, 35, 36, 37]) ho°c vỵi tr„ væ h⁄n (xem [38, 39, 40, 41]) Tł bi cÊnh lch sò vã tm quan trồng viằc nghiản cứu vã a tch phƠn i vợi nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn cõ tr v trung tnh, lu“n ¡n n y chóng ˆ tỉi nghi¶n cøu cĂc lợp phữỡng trnh o h m riảng h m trung t‰nh, â h» sŁ Lipschitz cıa sŁ h⁄ng phi tuy‚n l mºt h m sŁ cıa thíi gian Sau Ơy chúng tổi s trnh b y ba lợp phữỡng trnh o h m riảng h m trung Ăn n y t‰nh ÷ỉc tr…nh b y lu“n D⁄ng Chóng tỉi x†t ph÷ìng tr…nh @ F ut = B(t)F ut + (t; ut) t s; t; s I; (1) @t < us = : 2C := C([ r; 0]; X); ð ¥y X l khỉng gian Banach (chu'n k k), B(t) l to¡n tß tuy‚n t‰nh (câ th” khỉng bà ch°n) tr¶n khỉng gian Banach X vỵi mØi t cŁ ành Vỵi r > ta k‰ hi»u C := C([ r; 0]; X) l khổng gian Banach ca tĐt cÊ cĂc h m liản tưc tł [ r; 0] v o X, ÷ỉc trang bà chu'n k k C = sup X†t to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n F : C ! X l ( ); 2C toĂn tò sai phƠn, : I C ! X l toĂn tò phi tuyn liản tửc gồi l to¡n ki»n ’-Lipschitz kh¡c tr¶n R v R+, ut l 2[ r;0] tò tr thọa mÂn cĂc iãu h m lch sò xĂc nh bi r; 0], cỈn I l R+ ho°c R ut( ) := u(t + ) vỵi [ D⁄ng Chóng tỉi x†t ph÷ìng tr…nh @ t (0; 1); F ut = B(t)u(t) + (t; ut) (2) @t < u0 = : 2C := C([ r; 0]; X); ð ¥y X l khæng gian Banach, B(t) : D(B) X ! X l to¡n tß tuy‚n t‰nh (câ th” khỉng bà ch°n) vỵi mØi t cŁ ành vỵi chu'n k kD(B) v kB(t)xk KkxkD(B); x D(B) X†t to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n F : C ! D(B) l e toĂn tò sai phƠn, : R+ C! X l toĂn tò phi tuyn liản tửc gồi l toĂn tò tr thọa mÂn iãu kiằn -Lipschitz trản R + D⁄ng Chóng tỉi x†t ph÷ìng tr…nh F ut = B(t)F ut + (t; ut) t (0; 1); @t @ < : u = 2C; (3)