Chương 1
BIÍN CƠ VĂ XÂC SUẤT CỦA BIEN CO
Chương năy trình băy những khâi niệm cơ bản của ly thuyết xâc suất, giúp
người đọc có được sự chuẩn bị mang tính cơ sở cho câc chương sau Mục đích
của chương năy giúp bạn đọc hiểu, mô tả được không gian mẫu vă biến cố ngẫu
nhiín của câc phĩp thử ngẫu nhiín, ý nghĩa về xâc suất của biến cố ngẫu nhiín cũng như câc cơng thức tính xâc suất
1.1 Khong gian mau va biĩn cĩ
1.1.1 Phĩp thứ ngẫu nhiín
Câc hiện tượng xđy ra trong c cuộc sống hăng ngăy có những hiện tượng xảy ra có tính chất quy luật Chẳng hạn, khi ta thả một vật nặng từ trín cao thì vật đó chắc chắn rơi xuống đất Câc hiện tượng như trín gọi lă hiện tượng tất định Trâi lại, khi ta tung một đồng xu thì ta khơng thể biết được mặt sấp hay mặt
ngửa sẽ xuất hiện, hoặc khi 'ta đến một điểm đỗ xe buýt tại một thời điểm năo
đó ta không thể biết: trước có bao nhiíu người sẽ lín xe bt đó Câc hiện tượng trín được gọi lă câc hiện tượng ngẫu nhiín: Tuy nhiín, nếu ta tiến hănh quan sât nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiín với những hoăn cảnh như nhau thì ta có
thể rút ra được câc quy luật của câc hiện tượng ngẫu nhiín năy Lý thuyết xâc
suất nghiín cứu về câc hiện tượng ngẫu nhiín Nghiín cứu về câc quy lưật năy
cho phĩp ta dự bâo về câc hiện tượng ngẫu nhiín xảy ra như thế năo Chúng ta
gọi chung một hiện tượng, một thí nghiệm hay một quan sât năo đó lă câc phĩp
thử -
Định nghĩa 1.1 Một phâp thủ mă có kết quả khâc nhau cho dù ta thực biện phĩp thử lặp lại nhiều lần uới câc điều kiện như nhau được gọi lă phĩp thủ ngẫu
nhiín
Trang 22 : _ 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Ta xem xĩt một số ví du sau:
1 Quan sât số tai nạn hăng thâng tại một nút giao thông năo đó Giả sử, câc con số ghi chĩp được từ thâng Giíng đến thâng Tư trong năm nay lă 2,0,1,2 Khi đó, ta nói việc quan sât số vụ tai nạn ở nút giao thông trong
một thâng lă một phĩp thử Phĩp thử năy lă ngẫu nhiín vì ta khơng thể nói chắc chắn được số vụ tai nạn trong thâng khi thâng đó chưa diễn ra hoặc chưa kết thúc
2 Quan sắt SỰ hoạt động của một mây tính lăm việc liín tục trong một ngăy - Khì đổ có hai trạng thâi lă câi mây đó hoạt động tốt hoặc bị hỏng trong
ngăy Mây tính có thể hỏng hoặc không hỏng ta không thể xâc định được
khi chưa hết ngăy Vậy việc quan sât sự hoạt động của một mây tính trong
ngăy lă một phĩp thử ngẫu nhiín
3 Đo thể tích lượng khí gas thoât ra trong một phản ứng hóa học Việc thực
hiện phản ứng hóa học năy lă thực hiện một phĩp thử Kết quả của phĩp thử lă con số đo thể tích khí gas được giải phóng trong phản ứng Ta có
thể lặp lại thí nghiệm năy nhưng kết quả quan sât có thể thay đổi một ít
mă ta khơng thể kiểm sôt được trong thí nghiệm như nhiệt độ thay đổi, âp suất thay đối, kết quả của phĩp đo cũng gđy ra sự thay: đổi kết quả của phĩp thử Do đó ta khơng thể nói trước được kết quả của phĩp thử nín đđy lă phĩp thử ngẫu nhiín
4 Một ví dụ đơn giản nhưng mô tả rất rõ tính ngẫu nhiín vă thường xuyín
được nhắc đến trong xâc suất, đó lă việc tung đồng xu hoặc gieo con xúc
sắc Khi tung đồng xu cđn đối lín mặt băn phẳng, ta khơng thể nói trước được mặt sấp hay ngửa sẽ xuất hiện Tương tự khi gieo một con xúc sắc,
ta cũng khơng đôn định trước được lă mặt mấy chấm sẽ xuất hiện Vì thế
VIỆC tung dong xu hoặc gieo con xúc sắc đều lă những phĩp thử ngẫu nhiín
Trong nhiều trường hợp, phĩp thử không đơn giản chỉ lă quan sât hoặc thực
hiện hănh động một lần mă nó có thể lă tập hợp của nhiều lần quan sât hay một
loạt câc hoạt động liín tiếp hoặc đồng thời Chẳng hạn như:
e Quan sat hoạt động của 3 mây tính lăm việc trong ngăy e Tung một đồng xu ð lần
| ,
e Gieo cùng lúc 2 con xúc sắc
Để hiểu hơn về phĩp thử ngẫu nhiín, ta thấy bín cạnh những phĩp thử ngẫu
nhiín lă những phĩp thử khơng ngẫu nhiín, đó lă những phĩp thử mă dù nó chưa
xảy ra nhưng người ta đê chắc chắn được kết quả của nó thế năo Chẳng han
như:
Trang 3
1.1 Không gian mẫu vă biến cố | | 3
e Tung mĩt ly thủy tinh thông thường xuống mặt săn bí tông Chắc chắn ly
thủy tỉnh sẽ vỡ Vậy việc tung ly thủy tính lă một phĩp thử không ngẫu
nhiín ,
e Quan sât mặt trời mọc ở hướng năo Việc quan sât năy lă một phĩp thử
khơng ngẫu nhiín vì nó chỉ có một kết quả lă mặt trời mọc ở hướng Đông
Rõ răng những phĩp thử không có tính ngẫu nhiín thì ta đê biết trước kết
quả, cho dù nó chưa được thực hiện Khi đó, việc đoân định khả năng xảy ra của
kết quả đó khơng cịn ý nghĩa nữa Tuy nhiín trong thực tế câc phĩp thử thường
chịu ảnh hưởng của rất nhiều câc yếu-tố tâc động đến phĩp thử mă chúng ta
không thể kiểm soât được, do đó để mơ tả câc phĩp thử chúng ta mô hình hóa,
bởi phĩp thử ngẫu nhiín Để cho thuận tiện ta gọi phĩp thử ngẫu nhiín đơn giản lă phĩp thử
1.12 Không gian mẫu
Mặc dù với mỗi phĩp thử ngẫu nhiín, ta khơng biết trước được kết quả năo sĩ xay ra, nhưng ta vẫn biết được tập hợp tất cả câc kết quả có thể xảy ra của
nó Tập hợp đó được gọi lă tập không gian mẫu của phĩp thử | Định nghĩa 1.2 Không gian mau lă tập hợp tất cả câc kết quả cĩ thĩ ray ra
của rnột phĩp thử Kú hiệu tập không gian mẫu lă ©
Mỗi kết quả của phĩp thứ được gọi lă bỏến cố sơ cấp, ký hiệu chung lă w Mĩi phan tit w trong 2 còn được gọi lă một phần tử, hay một thănh viín, hay một
điểm của tập không gian mẫu Nếu khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử thì ta
có thể liệt kí câc phần tử vă câc phần tử câch nhau bởi dấu phẩy (,) hoặc chấm
phẩy (;) vă đặt chúng trong dấu ngoặc nhọn { } Ví dụ không gian mẫu 9 của
phĩp thử tung đồng xu có thể viết
N= {N, S}
với N lă ký hiệu của mặt ngửa vă S la ky hiĩu cia mặt sắp xuất hiện
Ví dụ 1.1 Xĩt phĩp thử gieo một con xúc sắc Nếu ta quan tđm đến số chấm xuất hiện ở mặt trín của xúc sắc thì khơng gian mẫu sẽ lă
Q; = {1, 2, 3,4, 5, 6}
Nếu ta chỉ quan tđm đến số chấm xuất hiện lă chẵn hay lẻ thì khơng gian mẫu lă
Trang 4
|
4 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Ví dụ năy cho thấy một phĩp thử có thể có nhiều khơng gian mẫu So sânh
hai không gian mẫu ©¡,Ơ¿, ta thấy ©\ạ cung cấp nhiều thông tin hơn @; Nếu ta biết phần tử năo trong ©\ xuất hiện thì ta cũng nói được phần tử năo trong
-Ø; xuất hiện.| Nhưng ngược lại nếu biết phần tử năo trong Ô; xuất hiện thì điều đó chỉ cung cấp rất ít thơng tin để ta xâc định phần tử năo tương ứng trong Ô xuất hiện Một câch tổng quât, ta luôn mong muốn được dùng một không gian mẫu mă nó củng cấp hầu hết câc thông tin liín quan đến câc kết quả có thể xđy
ra của phĩp thử | |
Trong một số phĩp thử, việc liệt kí câc phần tử của không gian mẫu một câch
có hệ thơng theo sơ đồ cđy lă rất hiệu quả
Ví dụ 1.2 Một phĩp thử tiến hănh như sau: Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa,
xuất hiện thi tiếp theo sẽ tung đồng xu đó thím lần nữa, nếu mặt sắp xuất hiện
thì tiếp theo sẽ tung một con xúc sắc Hêy liệt kí câc phần tử của không gian
mẫu |
Giải: Để liệt kí câc phần tử của không gian mẫu, ta xđy dựng một sơ đồ hình
_ cđy theo Hình 1.1 Câc nhânh cđy khâc nhau sẽ dẫn đến câc phần tử khâc nhau của không gian mẫu Ta nhận được
| Kết quả Kết quả Cac phan tử của
lđn thử nhất lđnthứhai khơng gian mau
N NN | § NS | " | ‘ S1 | 9 S2 3 S3 : S ` 1 4 S4 5 S5 | 6 S6
Hình 1.1: Sơ đồ cđy cho Ví dụ 1.2
~—
= {NN, NS, S1, 62, S3, S4, Sö, S6}
Trong đó ta hiểu phần tử WN lă trường hợp lần tung đồng xu thứ nhất được
mặt ngửa xuất hiện, vă lần tung đồng xu tiếp theo cũng được mặt ngửa Tương
tự như vậy, S3 tương ứng với trường hợp lần tung đồng xu được mặt sấp, còn:
lần gieo xúc sắc thì được mặt 3 chấm xuất hiện : oO Vi du 1.3 Lấy 3 sản phẩm ngẫu nhiín của một dđy chuyền sản xuất Mỗi sản
phẩm được kiểm tra vă phđn loại lă có hay khơng có một dẫu hiệu năo đó Nếu
|
Trang 5
1.1 Không gian mẫu vă biến cố - | 5
sản phẩm có dấu hiệu mă ta đang quan tđm thì ta ghi chữ D, nếu khơng có dấu
hiệu đó thì ta ghi chữ K Hêy liệt kí tập khơng gian mẫu của phĩp thử
Giải: Để liệt kí câc phần tử của không gian mẫu, ta xđy dựng sơ đồ hình cđy,
như Hình 1.2 Từ đó theo câc nhânh cđy, ta nhận được không gian mẫu
Câc phđn tử của Lan 1 Lan 2 Lẳn3 không gian mẫu
D DDD K DDK D D DKD Kk K DKK oo KDD K KDK K -D - KKD- K KKK
Hình 1.2: Sơ đồ cđy cho Ví dụ 1.3
Q = {DDD,DDK,DKD,DKK,KDD,KDK,KKD, KKK} L] Câch biểu diễn liệt kí năy sẽ gặp bất cập khi không gian mẫu có vơ số phần tử Khi đó ta sẽ viết câc phần tử của chúng theo quy luật xâc định, hoặc mô tả
sự xâc định
Ví dụ 1.4 Một người nĩm bóng rổ, anh ta nĩm liín tiếp cho đến khi năo có bóng trúng rổ thì dừng Hêy mô tả không gian mẫu của phĩp thử
Giải: Ta ký hiệu T tương ứng với việc anh ta nĩm bóng trúng rổ, ký hiệu K
tương ứng với việc anh ta nĩm bóng khơng trúng rổ trong một lần nĩm Do
không khống chế số lần nĩm vă điều kiện lă khi năo bóng trúng rõ thì mới dừng nín khơng gian mẫu có dạng
Q = {T, KT, KKT, KK KT, , K K.T, }
n-1 lần
Mỗi biến cố sơ cấp của không gian mẫu chi xuất hiện 7' ở cuối vă không gian
mẫu trín có số phần tử vô hạn đếm được - , 0
Ví dụ 1.5 Mô tả không gian mẫu của quan sât câc thănh phố trín thế giới có dđn số lớn hơn 1 triệu người
Giải: Ta mô tả câc phần tử của tập không gian mẫu bằng lời văn như sau
Trang 6
6 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Khi đó ta đọc lă : Không gian mẫu gồm câc thănh phố z, sao cho z lă thănh phố
có số dđn lớn| hơn 1 triệu người oe — oO
Chúng ta |vừa biết về không gian mẫu của phĩp thử, đó lă tập tất cả câc kết
quả có thể xảy ra của một phĩp thử Tiếp theo chúng ta lăm quen: với một khâi niệm cơ bản trong lý thuyết xâc suất, đó lă khâi niệm biến cố vă câc quan hệ
giữa chúng
1.1.3 Biến cố vă quan hệ giữa câc biĩn cĩ
|
|
Trong bất cứ phĩp thử cho trước năo, chúng ta đều có thể quan tđm đến sự
xuất hiện của câc sự kiện hay tình huống năo đó hơn lă sự xuất hiện một phần
tử cụ thể của khơng gian mẫu Ví dụ, khi gieo một con xúc sắc, ta quan tđm
đến sự kiện A chỉ "mặt xuất hiện có số chấm cha hết cho 3" Tình huống năy sẽ
xuất hiện nều kết quả của phĩp thử lă một phần tử của tập con A = {3,6} của không gian mẫu O\¡ của Ví dụ 1.1 Trong Ví dụ 1.3, ta quan tđm đến sự kiện B chỉ "số lượng câc dấu hiệu lớn hơn 1", tình huống năy sẽ xuất hiện nếu kết quả i
O»
Biĩn c
của, phĩp thứ lă một phần tử của tập con sau của không gian mẫu 2,
ị
B={DDK,DKD,KDD,DDD)
Như vậy mỗi tình huống hay sự kiện được quan tđm lă một tập con câc phần
tử của không gian mẫu Tập con đó thể hiện tất cả câc kết quả thuận lợi cho tình Định nghĩa 1.3 Mỗi biến có lă một tập con của tập không gian mẫu
Ta thường sử dụng câc chữ câi in hoa 4, B,C, hay 4, 4as, để ký hiệu câc biến cố Vậy ta nói 4 lă một biến cố thì ta hiểu A lă một tập con của không huống hay sử kiện đó
gian mẫu | vă ký hiệu lă 4 C @ Biến cố A xảy ra nếu kết quả của phĩp thử lă một phan ttt cua A
Ví dụ 1.6.| Cho một không gian mau 2 = {t|t > 0}, trong đó ¿ lă tuổi thọ của một loại thiết bị điện Khi đó biến cố A chỉ tình huống thiết bị đó hỏng trước 5
năm Ta viết Â= {£ |0 < £< 5} : O
— Một biến cố A có thể lă toăn bộ không gian mẫu 2, ta goi do lă biến cố chắc chắn vă ký hiệu nó lă @ Biến cố A có thể lă tập con rỗng, đó lă tập không chứa
phần tử năo của Q, ta gọi đó lă biến cố rỗng, ký hiệu lă 0 Biến cố chắc chắn
tương tương với một điều hiển nhiín đúng, nó ln xđy ra khi phĩp thử được
thực hiện Biến cố rỗng tương đương với một điều vơ lý, nó không bao giờ xảy ra
khi phĩp thử được thực hiện.' |
Trang 7
1.1 Khðng gian mẫu va biến cố | | | | 7
Vi du 1.7 Trong phĩp thit lay mot sĩ tu nhiĩn bat ky, goi A 1a biĩn cĩ | | A= {x | x la mĩ6t:uĩc sd chan cia 5}
Khi đó A lă biến cố rỗng, vì câc ước số của 5 lă câc số 1 vă 5 đều lă câc số lẻ
Ví dụ 1.8 Trong phĩp thử gieo một con xúc sắc Gọi A lă biến cố "mat chĩn chấm xuất hiện" B lă biến cỗ "mặt lẻ chấm xuất hiện ", C lă biến cỗ "mặt 2 hoặc 6 chấm xuất hiện " Khi đó, nếu biểu diễn câc biến cố qua câc phần tử của không
gian mẫu, với ký hiệu œ; lă chỉ mặt ¿ chấm xuất hiện, ta có _ A = {wo,w4, We}; B= {w1,w3,ws}; C = {02, (06 }-
Ta thấy câc biến cố A, B,C 1a cac tap con cha N = {wy, we, w3, W4, Ws, We} Từ đó
dan dĩn quan hĩ giữa câc biến cỗ giống quan hệ giữa câc tập hợp - vă ta có thể biểu diễn câc biến cố bằng lược đồ Ven L] Quan hệ giữa câc biến cố
1 Biễn cô đi: Biĩn có đối của biến cố A lă một tập.con gồm câc phần tử
của Q mă nó khơng thuộc A Ký hiệu biến cố đối của A 1a A= Q\ A Biĩn cố đối A xay ra khi vă chỉ khi biến cố A4 không xđy Ta
Ví dụ 1.9 Trong Ví dụ 1.8, câc biến cố đối của câc biến cố A, B,C lă
A = {Ww}, W3, Ws } = B; B = {Wo, Ww, we } = A; C = {001; 0ê, 4, 09s }
C)
2 Giao của biến cố: Giao của hai biến cố A vă B, ký hiệu lă An B hoặc AB, lă biến cố mă gồm tất cả câc phần tử chung của A vă B Biĩn cỗ giao AB xảy ra khi vă chỉ khi đồng thời A va B cùng Xđy ra
Ví dụ 1.10 Trong Ví dụ 1.8, ta có
AB=0; AC={u,w}=C; BC=0 6n
Ta thấy câc cặp biến cố A vă B, B vă Œ không có phần tử chung, chúng không thể cùng nhau xuất hiện trong một lần thử Những biến cố như thế ta gọi lă xung khắc nhau
3 Biến cố xung khắc: Hai biến cố A vă lă xung khắc hoặc rời nhau, nếu
AB =0, hay A vă B khơng có phần tử chung Hai biến cố : xung khâc nhau '
không thể xảy ra đồng thời :
Trang 8
8 i | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Ví dụ 1.11 Một hộp chứa 8 sản phẩm cùng loại, trong đó có: 3 sản phẩm
xuất xứ Trung Quốc, 2 sản phẩm xuất xứ Thâi Lan, 1 sản phẩm xuất xứ
Nhật Ban, 2 sản phẩm xuất xứ Việt Nam Giả sử một người chọn một sản
phẩm ngau nhiĩn Goi A 1a biĩn cĩ "sdĩn phan dĩ rudt rit Trung Quĩc" va
B lă biến cỗ "sản phẩm đó xuất rú Thới Lan" Do mỗi sản phẩm chỉ có
một xuất xứ, nền câc biến cố A va không thể cùng xảy ra, ta nói A, B
xung khắc, vă viết tập giao AB + Ũ oO
4, Hop của biến cố: Hợp của hai biến cố A vă B, được ký hiệu lă AU B, la một biến cỗ bao gồm tất cả câc phần tử thuộc 4 hoặc Ö hoặc cả hai Biến
cố hợp AUĐ xảy ra khi vă chỉ khi hoặc  xảy ra, hoặc B xảy ra, hoặc cả A va B đồng thời xảy ra
Chú ý: Khi hai biến cố A vă xung khắc ta viết A + B=AUB
Ví dụ 1.12 Goi A = {a,b,c} vă B = {b,ed,e} Khi đó AU B8 =
{a, b, c,d, e} 0
Vi du 1.13 Chon ngau nhiĩn mĩt cong nhan tit mot cĩng ty khai thac |
dầu Giả sử A lă biến cố người đó hút thuĩc 14 Goi B 1a biĩn cĩ ngudi cong - nhđn đó uống rượu Khi đó, biến cố hợp 4U Ö lă tập tất cả câc công nhđn mă hộ hoặc lă uống rượu, “hoặc lă hút thuốc lâ, hoặc cả hai 0 Vi du 1.14 Nĩu M = (|< 2<9} N= {y|5<y< 12} Khi đó
MUN = 1213 <2 < 12}, a : O
Mối liín jhĩ gitta câc biến cố vă không gian mẫu có thể được mô tả qua sơ đồ
Ven Trong sơ đồ Ven, ta coi không gian mẫu lă hình chữ nhật, vă câc biến cố lă câc hình trịn bín trong hình chữ nhật Hình 1.3 a) biểu diễn câc biến cố đối của biến cố '4 lă phần tô đậm, Hinh 1.3 6) biểu diễn giao của hai biến cố A vă
B, Hình 1 3 c) biĩu diĩn hai biĩn cố A va xung khắc vă, Hình 1.3 đ) biểu diễn hợp của hai biến cố A vă B
Giả sử A, vă Œ lă câc biến cỗ năo đó của khơng gian mẫu © Sơ đồ Ven
trong Hình 1.4, ta thấy rằng:
AB= miền l vă2 | BC = miền l1 vă 3
| AUC = miĩn 1,2,3,4,5 va 7
| | BA= miĩn 4 va7
ABC= miền 1
| (AUB)C = miĩn 2,6 va'7
Quy tắc De Morgan: Quy tắc De Morgan lă quy tắc biểu diễn mối liín hệ giữa câc phĩp tôn trín câc biến cố Biến cố đối của hợp hai hay nhiều biến cố
Trang 9
1.1 Không gian mẫu vă biến cố | 9
2 2
Hình 1.3: Quan hệ giữa câc biến cô a) Biến cố dĩi b) Giao hai biĩn cĩ c) Hai biến cố xung khắc d) Hợp hai biến cố
Hình 1.4: Câc biến cố được biểu diễn bởi câc miền khâc nhau
bằng giao của câc biến cố đối đó vă biến cố đối của giao câc biến cố bằng hợp của câc biến cố đối Ta có thể viết quy tắc trín cho trường hợp hai biến cố như
sau: » C tơ | | sl trị trị > ^ tù | 1.1.4 Quy tac đếm
Mỗi biến cố đều chứa câc phần tử lă những kết quả của phĩp thử mă thuận
lợi cho biến cố đó Việc đếm được số câc kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố cũng
như đếm được tất cả câc phần tử của không gian mẫu lă rất cần thiết cho việc
Trang 10| | | |
10 1 BIEN CO VA XAC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
|
-_ tính xâc suất sau năy Việc đếm đó cần dựa trín một số quy tắc của Đại số tổ |
hợp Dưới đđy sẽ chỉ ra quy tắc nhđn, quy tắc cộng vă một số khâi niệm khâc
Quy tắc nhđn
Quy tắc 1 1 Nếu một công việc năo đó phải hoăn thănh qua Ỉk giai đoạn liín
tiếp, trong đó
- Giai/doan 1 có r câch thực hiện;
- Giai đoạn 2 có nạ câch thực hiện;
- Giail đoạn k có my câch thực hiện
Khi đó, ta có tất cả? - mạ - - - r„ câch để hoăn thănh công \ việc đê cho
Để âp dụng quy tắc năy, chúng ta phải hình dung về việc chia một công việc
(phĩp thử) thănh nhiều công đoạn cho phù hợp Sau đó đếm số câch thực hiện
cho từng công đoạn, rổi ấp dụng quy tắc nhđn '
|
Ví dụ 1 15 Có bao nhiíu phần tử trong tập không gian mẫu của phĩp thử gieo đồng thời hại con xúc sắc cùng lúc?
Giải: ,Con xúc sắc thứ nhất có thể xuất hiện mặt bất kỳ có số chấm từ 1 đến
6, vậy có nj = 6 khả năng có thể xảy ra Với mỗi khả năng của con xúc sắc thứ
nhất thì con xúc sắc thứ hai lại có nạ = 6 khả năng có thể xảy ra Như vậy có
- tất cả mạ - nạ = 6 - 6 = 36 khả năng có thể xảy Ta : L]
Ví dụ 1.16 Nếu một cđu lạc bộ có 2ð thănh viín muốn bầu một chủ tịch vă
một thủ quỹ thì có bao nhiíu câch ứng cử cho 2 vị trí năy, giả thiết rằng mọi :
người đều có cơ hội như nhau:
Giải: Với vi trí chủ tịch, có m¡ = 2ð câch lựa chọn Với mỗi câch lựa chọn chủ tịch thì lại có 24 câch lựa chọn thủ quỹ Âp dụng quy tắc nhđn, ta có tất cả
Ny ‘Ng = 2B - 24 = 600 câch khâc nhau để ứng cử văo 2 vị trí đê níu QO
|
Quy tắc tông
Quy tắc 1 2 Nếu một công việc năo đó có thể thực hiện theo k phương ân khâc nhaủ, trong đó
- Phuong An 1 cĩ n, cach thực hiện;
- Phương ân 2 có nạ câch thực hiện;
eo
- Phuong ân k có m câch thực hiện
Khi đó, tạ có tất cả m + mạ + + câch để hoăn thănh công việc đê cho
Có thể bạn đọc dễ nhầm lẫn giữa quụ tắc cộng vă quụ tắc nhđn Để phđn biệt
được hai quy tắc năy, chúng ta chú ý rằng: ,
Trang 11
1.1 Khong gian mau va biĩn c6 : | | 11
- Nếu bỏ 1 giai đoạn năo đó mă ta khơng thể hoăn thănh được công việc
(khơng có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhđn
- Nếu bỏ 1 giai đoạn năo đó mă ta vẫn có thể hoăn thănh được cơng việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng | "
Ví du 1.17 Co bao nhiĩu sĩ chan có 4 chữ số có thể lập được từ câc số:
0,1,2,5,7,8 mă mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần? :
Giải: Vì số cần lập lă số chăn, nín ta có n,; = 3 câch lựa chọn cho số ở vị trí
hăng đơn vị Mặt khâc, vì số có 4 chữ số nín chữ số hăng nghìn khơng thể lă số 0 Vì vậy ta xem xĩt đến chữ số hăng đơn vị lă 0 hoặc khâc 0 |
e Nếu chữ số hăng đơn vị lă 0, tức lă mị = 1, thi ta có nạ = 5ð câch lựa chon chữ số hăng nghìn, nạ = 4 câch lựa chọn chữ số hăng trăm vă m4 = 3 |
câch lựa chọn chữ số hăng chục Như vay, theo quy tắc nhđn, ta sẽ có 7 - Tta - Tra - nạ =1-5-4-3 = 60 cach tạo ra số có 4 chữ số khâc nhau mă
số cuối cùng lă số 0 :
e Còn nếu, chữ số hăng đơn vị lă khâc 0, tức lă có ny = 2, thì có mạ = 4 câch
chọn chữ số hăng nghìn, n3 = 4 câch chọn chữ số hang tram va nq = 3 câch
chon chữ số hăng chục Như vậy có ? - nạ - nạ : nạ = 2- 4- 4 - 3 = 96 câch
tạo ra số có 4 chữ số khâc nhau mă số cuối cùng khâc 0
Vì 2 trường hợp trín lă 2 phương ân khâc nhau để thănh lập số có 4 chữ số theo
yíu cầu của băi, nín ta phải dùng quy tắc cộng để tính tổng số câch thực hiện
lă 60 + 96 = 156 câch | | 0
Hoan vi
Định nghĩa 1.4 Một hoân tị của tập câc đối tượng phđn biệt lă một câch sắp
xếp câc đối tượng đó theo một trật tự nhất định
Số lượng câc hoân vị của một tập có ø phần tử lă
P, =n!
trong đó ký hiệu ø! = 1.2 n vă gọi lă "m giai thừa", với quy ước 0l = 1
Thật vậy, ta chỉ cần sắp xếp lần lượt từng phần tử cho đến hết, thì phần
tử đứng ở vị trí thứ nhất có mạ = mœ câch lựa chọn, phần tử ở vị trí thứ hai có
nạ = n — l câch lựa chọn, , phần tử thứ ø, cũng lă phần tử cuối cùng, có mạ = 1 câch lựa chọn Theo quy tắc nhđn, ta có tất cả số câch sắp xếp cả n= phần tử lă My Ng+++ Ny, = n(n — 1) 1 = nÌ câch
Vi du 1.18 Cho tập gồm 3 ký tự {a,b,c} Khi đó có 3! = 1-2 - 3 = 6 hoân vị
Trang 12
|
12 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Vi du 1.19.) Ban cân sự lớp mới được bầu có 3 người lă Hoa, Thănh, Hưng Giâo viín xếp ngẫu nhiín 3 người đó văo câc vị trí Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư Hỏi
khi đó có bao nhiíu câch bố trí ban cân sự lớp?
Giải: Mỗi câch bố trí ban cân sự lớp lă một hoân vị của 3 người Vậy có tất cả
3l =1-2-3= 6 câch bố trí, | O
|
Hôn vị vịng
Khi câc phần tử được sắp xếp trín một đường trịn mă ta hoân vị câc phần
tử đó thì ta gọi đó lă-hôn vị vịng Trong hôn vị vịng, việc tất cả câc phần tử cùng di chuyển thím một vị trí về cùng một chiều khơng tạo ra hôn vị mới Để
tạo ra câc hoân vị khâc biệt, ta phải cố định một phần tử trín đường trịn, sau đó cho (n ¬ 1) phần tử cịn lại hôn vị tùy ý Khi đó, có (w — 1)! câch hoân vị
khâc nhau |
Số lượng câc hoân vị vòng của ø phần tử lă (m — 1)!
Ví dụ 1.20 Có 4 người chơi đâ ‹ cầu, khi đó có 3! = 6 câch khâc nhau để sắp xếp
họ đứng thănh hình trịn oO
|
a ° l„
Hoân vị có lặp
Khi câc phần tử trong tập đang xĩt khơng phđn biệt, chúng có những phần tử giống nhau thì số lượng câc hoân vị của tập đó có sự thay đổi Ta trở lại Ví dụ 1.18 trong trường hợp có b = e = z Khi đó 6 hoân vị của 3 ký tự đê
cho sẽ trở thănh: azz,d+z,+az,zza,zaz,1zza Như vậy, thực ra chỉ có 3 hôn
vị khâc biệt lă: 4%, +az,zza Như vậy, với 3 ký tự, trong đó có 2 ký tự giống
nhau thì chỉ có š 3 = 3 hoân vị phđn biệt Tương tự, nếu có tập 4 ký tự {a,b,c,d}: 4!
trong d6 c6a=b=27vac=d= y thi chi cd rian 6 hoân vị phđn biệt lă:
- tải
LLYY, LYLY, YLLY, YYLL, 1UU*, U11
Xĩt một tập gdm n phan tu, trong dĩ cĩ n, phan ttt gidng nhau thuộc loại thứ
nhat, no phan tt gidng nhau thudc loai thtt hai, , va n, phan tt giĩng nhau
thuộc loại thứ k, ở đđy mị + nạ + +n„ = n Khi đó số lượng câc hoân vị của
tập phần tử đó lă n! | n,!no! ng! : 2 2 z Zz 1^ on a ~ x
Hoan vi dang nay cịn được mơ tả ở dạng khâc, đó 1a viĩc chia mĩt tap gom
n phan ttt thanh k tập con, sao cho mỗi tập thứ ¿ có n; phan tit Lic nay cac phần tử trong tập ban đầu có thể giống hoặc khâc nhau
Ví dụ 1.21 Xĩt một tap {a, e,7,0,u} Hay chia tap năy thănh 2 nhóm, sao cho nhóm thứ nhất có 4 phần tử, nhóm thứ 2 có 1 phần tử Khi đó câc câch chia
Trang 13
1.1 Không gian mẫu vă biến cố 13
khâc nhau lă
{(a,e,%,0),(u)}; {(@,2,0, x), (e)}; {(e,2,0, u), (a)};
{(a, €,0, u), ()}; {(a, C, 2, u), (o)}
Như vậy có 5 câch chia Ta thấy, do trong nhóm thứ nhất có 4 phần tử, ta không
quan tđm đến thứ tự của nó, có nghĩa lă thứ tự có khâc nhau thì cũng khơng
phải lă 2 câch chia nhóm ban đầu khâc nhau Chẳng hạn viĩt {(a,e,i,0),(u)}
hay {(e,i,a, 0), (u)} thi cing như nhau Như vậy số lượng hoân vị đê bị giảm đi 4l lần so với hoân vị của 5 phần tử ban đầu lă 5l Ta ký hiệu số lượng câc phĩp chia nhóm đó dưới dạng |
5! |
C3" = WT L]
~
Số lượng câc câch chia miột tập gồm 0+ phần tử thănh & tập con, sao 9 cho mỗi tập con thứ ¿ có n; phan tit, lă
nÌ Gntsn2sraBk = (1.1) mìlnat nzI" 1T'2: Tùp ` trong đó m + mạ + + nụ = n Ví dụ 1.22 Có bao nhiíu câch để sắp xếp đoăn có 7 nam thanh niín đi du lịch
văo phịng nghỉ ở khâch sạn, biết rằng khâch sạn lúc đó có 1 phịng ba giường, 2 phịng giường đơi?
Giải: Dđy chính lă câch chia nhóm có 7 người thănh 3 nhóm nhỏ, với nhóm thứ
nhất có 3 người, 2 nhóm cịn lại, mỗi nhóm có 2 người Âp dụng cơng thức chia
nhóm (1.1) ta có số câch sắp xếp 7 người văo 3 phòng lă
7! :
3,2,2 _—_
cy” = Joni = 210 0
Vi dụ 1.23 Có bao nhiíu sự sắp xếp câc ký tự khâc nhau có thể lập được từ câc ký tự trọng từ STATISTICS?
Giải: Ở đđy ta có 10 ký tự, trong đó có 3 ký tự S, 3 ký tự T, 2 ký tự l, 1 ký tự A vă 1 ký tự € Ap dụng công thức về hôn vị có lặp, ta có số câc câch sắp xếp khâc nhau từ câc ký tự đê cho lă
10!
NỔ
Chỉnh hợp
Định nghĩa 1.5 Mỗi câch lấy k phần tử phđn biệt trong số n phần tử phđn biệt
theo một trật tự năo đó thă được gọi lă một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Trang 14
14 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Số lượng câc chỉnh hợp chap k cia n phần tử lă:
(1.2)
Thật vậy, khi lấy phần tử thứ nhất thì có n¡ = câch lựa chọn, lấy phần tử thứ
| ⁄ ⁄ x 2 Z ` ⁄
hai có nạ = (nT— 1) câch lựa chọn, , lấy đến phần tử thứ k thì có my = (n—k+1) câch lựa chọn Vậy theo quy tắc nhđn, ta có tổng số câch lấy k phần.tử có sắp
xếp thứ tự lă
| ThịTt2 Tiy TT — 1) (n—k+1)=—™ l) (n-—kK+1) = ———
Co 1Tva Tuy = n(n — 1) ( )“ Bì
"
Ví dụ 1.24 Một lớp có 25 sinh viín, cần chọn một Lớp trưởng, một Lớp phó vă
một Bí thưi Giả sử rằng cơ hội cho mỗi sinh viín lă như nhau vă mỗi người chỉ
được giữ không quâ một chức vụ Hỏi có bao nhiíu câch chọn ban cân sự lớp? Giải: Vì 3 | vi trí được chọn lă phđn biệt, tức lă có tính đến thứ tự sắp xếp, thứ tự sắp xếp khâc nhau lă câch chọn ban cân sự khâc nhau, do đó đđy lă chỉnh hợp chập 3 của 25 phần tử Vậy có tất cả | A$ =—” ——= “` 251 25I =25.24.23= | 5 “135— 8) 7 i 25.24.23 = 13800 | A z | - sô câch chọn ban cân sự _ IR Tổ hợp ! ar ` s Re ys x yn mn Len
Trong nhiíu trường hợp, việc chọn k phan tu ttt n phan ttt phan biĩt nhung lại không quan tam đến thứ tự, khi đó chúng ta sử dụng khâi niệm tổ hợp
Ví dụ 1.25 Lớp có 25 người, cần chọn ra ban cân sự lớp gồm 3 người, tạm thời
chưa phđn, biệt vai trò của mỗi người Hỏi khi đó có bao nhiíu câch chọn? Giải: Khâc với Ví dụ 1.24, việc cử ban cân | Sut có ư người không phđn biệt vị trí ai lăm chức gì, nín so với việc chọn có thứ tự lă 43 thì giảm di 3! lần Do đó, tổng số câch chọn lă
A}, 251 13800
3! (25—-3)31 6
= 2300 L]
Tổng quât ta có khâi niệm tổ hợp chập k của n phan tit | |
| ^ 2 Lâ ~ 2 ` Z £ a v
Định nghĩa 1.6 Mối tổ hợp chập k của n phđn tử lă câch lđu k phđn tủ, không kể thú tự, từ tập đó
Trang 151.2 Định nghĩa về xâc suất 15 Số lượng câc tổ hợp chập k của ø phần tử lă n= kl(n — k)L : (1.3)
Ví dụ 1.26 Một hộp có 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm mău xanh Lay ngẫu nhiín 3 sản phẩm cùng một lúc Tính số khả năng có thể xđy ra của phĩp thử
Giải: Khi lấy cùng một lúc thì 3 sản phẩm lấy ra không kể đến thứ tự, vă đó lă 3 sản phẩm phđn biệt trong tổng số 8 sân phẩm Nín mỗi câch lấy lă một tổ hợp
chập 3 của § Vậy tổng số câch lấy lă: | 8!
đ — —
Cs = 318-3) crt ® LÌ
Ví dụ 1.27 Một hộp có 5 mảnh bìa, ghi câc số 1, 3,4,6,9 Lấy ngẫu nhiín 3
lần, mỗi lần một mảnh, ghỉ lại kết quả từ trâi sang phải để được một số có 3 chữ số Hêy tính số khả năng có thể xđy ra, trong trường hợp: | a.) Lay không hoăn lại
b) Lấy có hoăn lại |
Giải: a) Khi lấy khơng hoăn lại thì số thứ nhất có mạ = 5 câch lựa chọn, số thứ hai có nạ = 4 câch lựa chọn, số thứ ba có nạ = 3 câch lựa chọn Vậy theo quy tắc
nhđn, sẽ có tat cA ny.no.n3 = 5.4.3 = 60 câch tạo ra số có 3 chữ số, mă mỗi chữ
số xuất hiện đúng một lần Nói câch khâc, việc lấy lần lượt 3 số năy vă xếp từ
trâi sang phải nín đó lă một chỉnh hợp chập 3 của 5 Khi đó số câc chỉnh hợp lă
A = =m TI = 60 câch
b) Khi lấy có hoăn lại, thì kết quả lấy lần sau có thể trùng với kết qua lay lần trước, vì số lượng ban đầu được bảo toăn Như vậy số thứ nhất có nị = 5 câch
lựa chọn, số thứ hai cũng có ›; = 5 câch lựa chọn, vă số thứ ba cũng có n3 = 5
câch lựa chọn Vậy tổng số có n1.n;.nạ = 53 = 125 câch lập ra số có 3 chữ số từ
câc con số đê cho | O
Nhận xĩt 1.1 Trong tí dụ trín, nếu ta khơng quan tđm đến thú tự câc số lấu ra thế năo, thă khi lầu lần lượt 3 chữ số từ 5 chữ số đê cho, theo câch không hoăn
lại, sẽ lă tổ hợp chập 3 của 5 Khi đó tổng số câch lay sĩ la C3 = Ta —3)! = 10
cach
1.2 Dinh nghĩa về xâc suất
Khâi niệm xâc suất được xuất phât từ câc trò chơi có tính may rủi Những
nhă tôn học đầu tiín đê cung cấp những chiến lược cho câc trò chơi đó lă Pascal,
Trang 16
16 — ! , 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Leibniz, Ferrnat, va Bernoulli Ly thuyĩt nay chinh 1a thống kí suy luận, sau đó được phât triển vượt ra ngoăi phạm vi của câc trò chơi may rủi để ứng dụng văo
nhiều lĩnh vực khâc liín quan đến sự xuất hiện mang tính ngẫu nhiín, như chính
tri, kinh doahh, dự bâo thời tiết vă nghiín, cứu khoa học
Xâc suất| lă một đại lượng để đo mức độ hap’ ly hay cơ hội để một sự kiện xuất hiện trọng phĩp thử Chẳng hạn, "Cơ hội hôm may trời mưa lă 20%" lă một
mệnh đề được lượng hóa về cơ hội trời có mưa hơm nay Người ta dùng một con số trong khoảng (0; 1] dĩ thĩ hiĩn kha năng xđy ra của một kết quả hay tinh huống 4 năo đó mă ta quan tđm, con số đó được gọi lă zâc suất của A Có một
văi câch để "đo" khả năng xảy ra, đó lă những câch khâc nhau để định nghĩa
về xâc suất 'Dùng định nghĩa năo, nó phụ thuộc văo phĩp thứ Dưới đđy sẽ giới
thiệu một số phương phâp để xâc định xâc suất của một biến cố
|
1.2.1 Định nghĩa xâc suất theo cô điền
Điều kiện để định nghĩa được xâc suất theo nghĩa cổ điển lă phĩp thử có hữu hạn câc kết! quả có thể xđy ra, vă câc kết quả có tính đồng khả năng xuất hiện
Khi đó mỗi kết quả có cơ hội xuất hiện như nhau vă cơ hội đó được gọi lă zâc
suất hay trọng số của kết quả đó, nó được gân lă =, với œ lă số phần tử trong không gian mẫu Đ), ký hiệu lă n = = | Xâc suất của một biến cố 4 bất kỳ được
định nghĩa như sau:
|
Định nghĩa 1.7 Xâc suất của một biến cố A lă tổng câc trọng số của tất cả
câc điểm trong không gian mẫu mă thuận lợi cho A Kú hiệu xâc suất của A lă
P(A) Khi đó P(A) thỏa mên
0< P(A) <1,P(0) =0, să P(@) = 1
Hơn nữa, nếu Â, A;, 4a, lă dêy câc biến cỗ xung khắc, thì
`
P(AiU A¿U 4U ) = P(Ai) + P(Ag) + P(A3) +
Ta sử dụng quy tắc sau để tính xâc suất của một biến cố đối với phĩp thử có hữu hạn kết quả vă đồng khả năng |
‘| Quy tac 1.3 Gia sit một phĩp thử có øœ kết quả có thể xảy ra vă câc kết quả
^ đó có tính đồng khả năng xuất hiện Khi đó, nếu có đúng rn kết quả thuận lợi cho biến cố 4, thì xâc suất của biến cố 4 lă
P(e Ba (1.4)
Vi du 1.28: Một lớb: học môn Xâc suất thống kí có 2ð sinh viín ngănh cơng trình, 10 sinh viín ngănh cơ khí, 10 sinh viín ngănh điện tử, vă 8 sinh viín ngănh
Trang 17
1.2 Định nghĩa về xâc suất | 17
xđy dựng Chọn ngẫu nhiín một người để trả lời cđu hỏi Hêy tính xâc suất để
sinh viín được chọn lă:
a) Sinh viín ngănh cơng trình
b) Sinh viín ngănh xđy dựng hoặc sinh viín ngănh điện tử
Giải: Tổng số câc sinh viín trong lớp lă 53 nín số:khả năng xảy ra lA n = 53 vă
mọi người đều có cơ hội được chọn như nhau
a) Goi A lă biến cố sinh viín được chọn thuộc ngănh cơng trình Vì có 25 sinh
viín ngănh cơng trình nín số khả năng thuận lợi cho 4 lă m = 25 Do d6 xac
suất của biến cố 4 lă
m 25
b) Gọi Ö lă biến cố sinh viín được chọn thuộc ngănh xđy dựng hoặc điện tử
Vì có 18 sinh viín ngănh xđy dựng hoặc điện tử, nín xâc suất của Ư lă
a 1
P(B) = = = = 0, 3396 T
Ví dụ 1.29 Một hộp chứa 15 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm Lấy ngẫu
nhiín 3 sản phẩm cùng một lúc Tính xâc suất để trong 3 sản phẩm lấy ra thì: a) Có 2 sản phẩm tốt
b) Cả 3 sản phẩm đều tốt | - c) Có nhiều nhất 1 sản phẩm phế phẩm | Ị
Giải: Khi lấy 3 sản phẩm cùng lúc trong tổng số 15 sản phẩm, thì câc sản phẩm
lấy ra khơng kể thứ tự, nín mỗi câch lấy lă tổ hợp chập 3 của 15 Vậy tổng số
câch lấy lă, is
| 5!
n= Cis = 5-37 455
a) Gọi A lă biến cố "trong 3 sản phẩm lấy ra thì có 2 sản phẩm tối " Ta phđn tích băi toân năy chi tiết như sau: Để có được biến cố A xảy ra thì ta phải có
được 2 sản phẩm tốt vă 1 sản phẩm xấu (phế phẩm) Vậy ta chia việc lấy đó
thănh 2 cơng đoạn, công đoạn thứ nhất lấy 2 sắn phẩm tốt, công đoạn thứ hai
lấy 1 sắn phẩm xấu Vì lấy 2 sản phẩm tốt trong số 15 — 4 = 11 sản phẩm tốt vă
11! a
lấy khơng kể thứ tự nín cơng đoạn thứ nhất có C? 1= đới = ĐỒ câch thực hiện 4IC Q 912! Tương tự, lấy 1 sản phẩm xấu trong số 4 sản phẩm xấu, nín cơng đoạn thứ hai
đoạn
có Œ2 = 4 câch thực hiện Nếu bỏ bất kỳ công đoạn năo ace hai côn
ae
ei
phải sử dụng quy tắc nhđn dĩ tinh aude HẬN: Saat PHO HO ¢ cho A l& my = C2,C} = 55-4 = 220 Ÿđy xâc su
| thay
an li
năy thì phĩp thử đều không thănh cônE
Trang 18
18 hóc 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
b) Tương “4 gọi Ö lă biến cố "cả 3 sản phẩm đều tốt" Ta có
| | C3 165
P = —1 — ——~ — , 3626
| (2) = Gs = 355 = 9
c) Goi Œ lă biến cố "có nhiều nhất một sắn phẩm phế phẩm" Ö đđy chúng ta phđn tích việc có nhiều nhất một phế phẩm tương đương với tình huống trong 3 sản phẩm lấy ra có 0 hoặc 1 phế phẩm Như vậy cơng việc Œ có thể thực hiện
bằng 2 phương ân khâc nhau
Phương ân 7 lă lấy 3 sản phẩm mă khơng có phế phẩm năo, số khả năng
thuan lợi lă Cổ, = 165
Phương ân 77 lă lấy 3 sản phẩm thì có 1 phế phẩm vă 2 chính phẩm, số khả năng thuận lợi lă C¿ C?, = 220
_ Hai phường ân năy lă hai câch khâc nhau để thực hiện công việc ŒƠ, nếu bỏ một trong hai phương ân thì phĩp thử vẫn thănh cơng Do đó, đđy lă một biểu hiện cho ta thấy cần sử dụng quy tắc cộng để tính được số câch chọn, hay số khả năng thuận lợi cho biến cố Œ lă mm = 165 + 220 = 385 Vậy xâc suất của Œ lă:
_n - 385
P =— => — = 462
| (C) 7 BBS 0, 846 O
|
1.2.2 Định nghĩa xâc suất theo tần suất
Khi một phĩp thử có vô hạn kết quả hoặc câc kết quả không đồng khả năng
xuất hiện thì chúng ta không dùng định nghĩa xâc suất theo nghĩa cổ điển được Ví dụ, nếu một đồng xu không cđn bằng, để ước tính xâc suất của mặt sấp vă mặt ngửa thì người ta tung đồng xu một số lượng lớn lần vă ghi lại kết quả Nếu
trong ø lần tung đồng xu, thấy có zn lần mặt sắp xuất hiện, thì tỷ số ?* được gọi
lă tần suất xuất hiện mặt sấp trong nø lần tung, ký hiệu lă ƒ„ Khi thực hiện với một số lượng lớn lần tung thì người ta quan sât thấy giâ trị của ƒ„ dần ổn định,
ta gọi giới hạn của tần suất khi số phĩp thử tăng lín vơ hạn lă xâc suất Tạ có
định nghĩa xâc suất theo tần suất hay theo thống kí như sau
Định nghĩa 1.8 Giả sử khi thực hiện một phĩp thủ n lần một câch độc lập, thă
cĩ ma, lan xuất hiện biến cố A Khi đó tỷ số
| - (A4) =——
Đó 4 tì -
¿ t/a tủ, :
: ti wt ‘m4 hạ
được gọi lă tần suất uất, hiện biến cỗ! Ô trơng n lần thủ Xâc suất của biển cố A được rac dink la giới hân của tần suất khi số phĩp thử tăng lín hạn, túc lă
Peg
" 1 + P(A)= ih fr(A) —~ (1.5)
th tu
Trang 191.3 Công thức cộng xâc suất | - 19 Theo định nghĩa trín, ta thấy rằng giâ trị của P(4) không thể xâc định được
trong thực tế vì ta khơng thể thực hiện được phĩp thử vô hạn lần Do đó, khi số
lượng phĩp thử đủ lớn thì người ta lấy tần suất ƒ„ để thay cho xâc suất p = P(A) Chính vì vậy, theo nghĩa thống kí, nếu nói xâc suất của một biến cố lă 0 thì khơng được cho rằng biến cố đó khơng bao giờ xảy ra, mă phải hiểu lă bằng phĩp thống kí cho đến lúc dừng quan sât thì chưa thấy biến cố đó xảy ra, nhưng số lượng
quan sât thực tế vẫn cịn có thể tiếp tục Tương tự, khi nói một biến cố có xâc
_suất bằng 1 thì cũng khơng phải nó chắc chắn luôn xảy ra trong mọi phĩp thử
Ví dụ 1.30 Để xâc định xâc suất bắn trúng đích của một xạ thủ, người ta theo
đõi số lượng viín đạn anh ta bắn ra vă số viín đạn trúng đích Giả sử số viín đạn đê bắn lă ø = 150 viín vă thấy có mm = 125 viín trúng đích Vậy người ta có thể
nói rằng "zâc suất bắn trúng đích của anh ta lă = 0,8333 = 83,33%." O Ví dụ 1.31 Một hêng hăng khơng tun bố với công chúng lă "qua thống kí cho thấu, râc suất rơi mây bay của hêng bằng 0% " Lời tuyín bĩ năy lă chấp nhận
được vì có thể qua khảo sât thực tế, câc chuyến bay đê diễn ra của hêng thì chưa
thấy chuyến năo có sự cố bị rơi, tần suất của việc rơi mây bay đến thời điểm quan sât bằng 0 Tuy nhiín, người dùng không thể hiểu xâc suất đó lă tuyệt đối vì đđy chỉ lă câch coi tần suất lă xâc suất khi số phĩp thử khâ lớn, vă số phĩp
thử khâ lớn bao nhiíu cũng chưa phải lă tất cả, câc chuyến bay vẫn tiếp tục L]
1.3 Công thức cộng xâc suất
Tính tôn xâc suất của câc biến cố trong mỗi băi toân xâc suất, nếu chỉ dựa
văo định nghĩa xâc suất thì chưa đủ Đối với câc băi toân phức tạp chúng ta phải
tim câch biểu diễn biến cố đó qua-hợp hoặc giao của những biến cố khâc, rồi tính xâc suất của biến cố cần tìm thơng qua xâc suất của câc biến cỗ đê biết Dưới đđy lă câc quy tắc tính xâc suất mă ta gọi lă câc cơng thức tính xâc suất
Dựa theo sơ đồ Ven, Hình 1.5, ta thấy AU B lă biểu diễn của 3 miền 1,2, 3
Do đó ta viết được AU B dưới dạng tổng của câc biến cố xung khắc: ÂU B =
ABUABUAB Theo Định nghĩa 1.7 ta có cơng thức sau
P(AU B) = P(ABU ABU AB) = P(AB) + P(AB) + P(AB) (1.6)
Mặt khâc, biến cố A có thể viết thănh tổng của câc biến cố xung khắc như sau
A= AB+ AB Theo Định nghĩa 1.7 ta có
P(A) = P(AB + AB) = P(AB) + P(AB) " (1.7) Tương tự như trín ta có
P(PB) = P(BA+ BA) = P(BA) + P(BA).- (1.8)
Trang 20
20 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
|
Từ câc công thức (1.6), (1.7) vă (1.8) ta có
P(AU B) = P(A) + P(B) — P(AB)
` | - Hình 1.5: AUB
Định lý 1.1 Nếu A vă Ø lă hai biến cố bất kỳ thì
P(AU B) = P(A)+ P(B) - P(AB) (1.9) Ta biĩt P(0) = =0, vă khi A vă B lă xung khắc thì 4n B= 0 Do đó từ cơng thức (1.9) ở trín, ta có được câc công thức hệ quả dưới đđy
Hệ quả 1.1 se Nếu A,Ø lă hai biến cố xung khắc thì
|
P(A+ B) = P(A) + P(B) (1.10)
e Nĩu Aj, Ao, ., An la cdc biến cố xung khắc từng đơi thì
P(A + Art + An) = P(Ai) + P(A2) + + P(An) (1.11)
Do A, A lă hai biến cố xung khắc vă A + A= 2, âp dụng kết quả trín, ta có
hệ quả sau ;
Hĩ qua T3 Nếu A vă A lă câc biến cố đối của nhau thì
bó P(3)=1-— P(A) -(1.12)
Bằng câch âp dụng nhiều lần cơng thức (1.9), ta có thể mở rộng cho hợp của
nhiều biến cố
Hệ quả 1: 3 Nĩu A, B,C lă câc biến cô bất kỳ thì
P(AU BUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) ~ P(AC) + P(ABC) (113)
Ví dụ 1.32 Gieo đồng thời hai con xúc sắc cùng lúc, tính xâc suất dĩ tong số
chấm xuất hiện ở mặt trín của hai con xúc sắc bằng 5 hoặc 11
Trang 21
1.3 Công thức cộng xâc suất - 21
Giải: Gọi A lă biến cố "tống số chấm xuất hiện ở mặt trín của hai còn zúc sắc
lă 5" vă B lă biến cố "tong sô chấm xuất hiện ở mặt trín của hai con xúc sắc lă
11” Khi gieo hai con xúc sắc cùng lúc thì có ) = ST sât quả có thể xảy ra, trong đó có mạ `Š kat quả, thuận lợi cho A va m %$ =2 kết quả thuận lợi cho Ư Do
đó ta có P(A) = = 36 =iva P(B)=Z= = Cac biĩn c6 A va B la xung khắc, vì tổng sơ chậm băng 5 vă 11 không thí cùng xuđt hiện trong một lần tung xúc sắc Như vậy, biến cố cần tìm lă AU B có xâc suất lă
1 1 1
P(AUB)= P(A)+ P(B) = + (AUB) = P(A) + P(B) =ạ +Tg = ạ — =-
Ví dụ 1.32 có thể tính tôn trực tiếp bằng câch đếm số kết: quâ thuận lợi cho biến cố AU , khi đó ta nhận được số kết quả thuận loi cho AU B 1a maug = 6
Vậy xâc suất cần tìm lă : ,
MAUB: 6 1
P(AUB) =~ =e D
“Ví dụ 1.33 Một ngđn hăng sử dụng hai loại thẻ thanh tôn A vă Ư Tỉ lệ khâch hăng sử dụng loại thẻ A lă 70%, loại thẻ lă 55% vă cả hai loại lă 30% Chọn ngẫu nhiín một khâch hăng của ngđn hăng Tính xâc suất đề:
a) Người đó sử dụng thẻ của ngđn hăng _ |
b) Người đó không sử dụng thẻ của ngđn hăng c) Người đó chỉ sử dụng một loại thẻ của ngđn hăng đ) Người đó chỉ sử dụng loại thẻ Ð của ngđn hăng
Giải: Gọi A lă biến cố “Người đó sử dựng thẻ thanh toân A", B lă biín cỗ "Người đó sử dựng thẻ thanh toân B"
a) Biến cố "Người đó sử dựng thẻ của ngđn hăng" lă biễn cỗ AU Ö Do đó,
dùng cơng thức cộng xâc suất 1.9, ta tính được
P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,55 — 0,3 = 0,95
b) Biến cố “Người đó khơng sử dụng thẻ của ngđn hang" 1a AUB Nín ta có: |
P(AUB) =1- P(AUB) =1—0,95 = 0,05 - |
c) Biến cỗ "Người đó chả sử dụng một loại thẻ của ngđn hờng "lă biễn 06[ABUAR
Do do, eee tees a
ee “-
—— —_ —_
P(ABU Ap) = Pt P(AB) + P(AB) = “IP( (A) — P(AB)] + [P(B) - P(AB)) | = (0,7 - 0,3) + (0,55 —0,3) = 0,4 40,25 = 0,65 -
d) Biến có "Người đó chỉ sử dụng loại thĩ B cia ngan hang" la biĩn cĩ AB Ti
cđu (c), ta có
P(B) = P(B) ~ P(AB) = 0,55—0,3=0,98 D
Trang 22
22 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
| |
|,
1.4 Xâc suđt có điíu kiện
Một khâi |niệm rất quan trọng của xâc suất lă zâc suất có điểu kiện Trong
nhiều ứng dụhg, ta quan tđm đến xâc suất xuất hiện của một sự kiện năo đó với
câc hạn chế nhất định Vi du trong dich tĩ học, thay cho việc quan tđm tới tỉ lệ
dđn nói chung bị mắc bệnh tiểu đường, thì người ta quan tđm vấn đề mắc bệnh
đó ở từng nhóm riíng biệt, như nhóm phụ nữ với độ tuổi từ 35 đến 50, hay nhóm
những người đăn ông tuổi từ 40 đến 60 Kiểu xâc suất thế năy được gọi lă xâc
suất có điều kiện _
Xâc suất của một biến cố Ö khi biết rằng biến cố Â năo đó đê xảy ra thì ta
gọi đó lă zâc suất có điều kiện của B uới điều kiện A, ký hiệu lă P(BỊA) Ta hiểu
xâc suất có điều kiện của Ö đối với điều kiện A lă xâc suất của biến cố Ö khi đê :
biết chắc chắn biến cố 4 đê xảy ra, nghĩa lă không gian mẫu bđy giờ lă biến cố A Khi đó xâc suất của biến cố B lă phần giao 4B trong không gian mẫu mới A
Hình 1.6 thể hiện xâc suất có điều kiện của biến cố đối với điều kiện biến cỗ A đê xảy ra lă xâc suất phần giao AB với không gian mẫu lă 4 (hình chữ
nhật bĩ) : :
Q
Hình 1.6: Xâc suất có điều kiện P{B|A)
Định nghĩa 1.9 Xâc suất có điều kiện của B uới điều kiện A, được ký hiệu
P(B|A) uă được râc định bởi công thúc
: ! P(AB)
P(A)
P(BỊA) = „ mới P(A) > 0
Ví dụ 1.34 Một tập vĩ số có 10 vĩ, giả sử trong đó có 1 vĩ trúng thưởng Hai
người đến, lần lượt lấy mỗi người 1 vĩ Tính xâc suất trúng của người thứ hai
trong câc điều kiện người thứ nhất:
a) Lay được vĩ trúng
b) Lấy được vĩ không trúng
Trang 23
1.4 Xâc suất có điều kiện | 23
a) Ta can tinh P(BỊA) Lúc năy ta hiểu lă A đê xảy ra, tức người thứ nhất
lấy được vĩ trúng Trong tập vĩ số còn 9 vĩ vă khơng có vĩ năo trúng thưởng Khi đó cơ hội lấy được vĩ trúng cho người thứ hai lă
Oo! P(BỊA) = - =0 9
b) Tương tự ta cần tinh P(B|A) Khi biĩn cĩ dĩi A da xay ra, nghia lă người
thứ nhất lấy được vĩ không trúng thưởng Số vĩ còn lại gồm 9 vĩ, trong đó có một vĩ trúng thưởng Khi đó xâc suất có điều kiện của B đối với A da: xđy ra lă
BỊA |
P(B| ) = g ¬ —_
Vi du 1.35 Giả sử một con xúc sắc đặc biệt được thiết kế để khả năng nhận được mặt chẵn chấm gấp đôi khả năng nhận được mặt lẻ chấm
Không gian mẫu lă ©) = il, 2,3,4,5,6}, với xâc suất lă
P(1) = P(3) = P(5) = =
va — 2
P(2) = P(4) = P(6) = 9
cho câc số lẻ vă số chẵn tương ứng
Xĩt biến cô chỉ thông tin "mat 1 chấm hoặc 4 chấm xuất hiện” Như vậy
_ xâc suất xảy ra ? lă
P(B) = P({1,4}) = P(1) + P(4) = - + cle 1 7
Bđy giờ giả sử ta biết rằng khi tung xúc sắc thì được mặt có số chấm lớn hơn
3 Ta có khơng gian mẫu được thu gọn lại lă A = {4, 5, 6}, đó lă tập con của Đ)
Dĩ tìm xâc suất xuất hiện B voi điều kiện 4 xảy ra, thì việc đầu tiín lă ta
phải gân lại câc xâc suất mới cho câc phần tử của  sao cho tổng cua ching bang 1 Ta gan xâc suất lă t0 cho mỗi số lẻ của A, khi đó xâc suất cho số chên lă 2
Ta có 5u = 1, hay t0 = £ š- Trong tập không gian mẫu A, ta thay rằng biến cố B
chỉ chứa một số 4 Ký hiệu biến cố năy bởi BỊA, ta viết BA = = {4}, vă ta có _
2 |
P(B A) - ==, - 5
Ta cũng có thể tính xâc suất trín theo cơng thức P(AB) 2/9 2
trong d6 P(AN B) va P(A) dugc tim từ không gian mẫu ban đầu 2 L]
Trang 24
24 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Có việc lăm | Thất nghiệp | Tổng Nam} 460 | ' 40 - | 500 Nữ 140 260 | 400 Tổng 600 300 900
Bảng 1.1: Phđn loại về người Ở tuổi lao động ở một khu dđn cư
Ví du 1.36 Khảo sât Ở một khu dđn cư về tình trạng thất nghiệp vă giới tính của những người ở tuổi lao động, ta có bảng dưới đđy
Chọn ngẫu nhiín một người ở độ tuổi lao động trong khu năy Gọi M lă biến cố chỉ "người được chọn lă nam", E lă biín cỗ chỉ "người được chọn có tiệc lăm " Hêy tính P(M|E)
Giai: Sit dung khong gian mau thu hẹp #, ta tính được trong số những người có việc lăm thì tỉ lệ nam lă
460 23 | P(MIE) = 600 _ 30°
Một câch khâc, ký hiệu n(4) lă số câc phần tử của tập 4 năo đó, ta có
EM EM)/n(Q) EM
P(M|p) = "(EM) _ n(EM)/n(9) _ PEM)
| ME) n(E)/n(@@)- — P(E)
trong đó P(EM) vă P(E) được tìm từ khơng gian mau 2 Ta co
ø00 2 460 23
P(B) = go 73 TỰ M) = 900 45°
Do đó,
23/45 _ 23 Si nm ,
P(M|E) = 5 2/8 —80 | 0
Ví dụ 1.37 ‘Cho biết một chuyền bay thường xun theo lich trình có xâc suất khởi hănh đúng giờ lă P(D) = 0,83 (D-Depart), xâc suất đến nơi đúng giờ lă P(A) = 0,82|(A- Arrive), vă xâc suất để nó vừa khởi hănh vă đến nơi đúng giờ lă
P(DA) = 0,78 Hêy tìm xâc suất để một chuyến bay:
a) Đến nơi đúng giờ, biết rằng nó khởi hănh đúng giờ b) Khởi hank ding gid, biĩt ring nd đến nơi đúng giờ
Giải: a) Xâc suất chuyến bay đến nơi đúng giờ, biết rằng nó ó khởi hănh đúng gid
la P(A|D),
P(DA) 0, 78
= —— = — = 0,94
PUAID) = “Bopy = 0,83 4 Chu
b) Xâc suất chuyến bay khởi hănh đúng gid, biĩt rằng nó đến nơi đúng giờ lă
812) POA) = _ _P(DA) P(A) ~ 0,82 =~ =0,95 0,78 _ ¬ "
-
Trang 25
1.5 Công thức nhđn xâc suất - = 25
Như vậy xâc suất có điều kiện cho biết khả năng xảy ra của một biến cố năy trong bối cảnh có thím thông tin về biến cố khâc đê xảy ra Giả sử trong Ví dụ
1.37 cho biết thím thơng tin về một chuyến bay không khởi hănh đúng giờ, khi đó khả năng nó đến nơi đúng giờ lă bao nhiíu? Xâc suất cần tìm lă P(A|)
P(ADĐ) _ P(A)- P(AD) _ 0,82- 0,78 P(D) — 1-P(P) — 1-0,83
P(A|D) = — 0,24
Kết quả cho thấy, xâc suất đến đúng giờ của một chuyến bay bị giảm khi biết
chắc chắn rằng mây bay xuất phât không đúng giờ O
1.5 Công thức nhđn xâc suất
1.5.1 Tính độc lập của hai biến cố pit
ke Oy acl? |
Qua câc vi du trĩn, ta thay rang P(B|A) # P(B), điều đó chứng tỏ việc xuất
hiện A có ảnh hưởng đến việc xuất hiện Ö, hay ta nói Ư phụ thuộc văo 4 Nếu
ngược lại, việc xuất hiện của 4-không lăm ânh hưởng đến sự xuất hiện của _ thì
ta nói A va Ư lă hai biến cố độc lập
Định nghĩa 1.10 Ha biến cỗ A uă B lă độc lập nhau khi uă chỉ khi
Nhận xĩt 1.3 Chú ý rằng: Col De IC a
- Nếu có P(B|A) = P(B) thi suy ra P(A|B) = P(A), va nguoc lai That vay,
theo công thức xâc suất có điều kiện, ta có PŒ): P(A|B) = P(A) - P(B|A) =
P(AB) Tit dĩ suy ra kết luận
- Nĩu A va B la hai biĩn cố độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng
độc lập: A va B; Ava B; A va B
Ví dụ 1.38 Một thùng đựng 10 san phẩm ‹ được băy bân, trong đó có 2 phế
phẩm Lđy lần lượt hai lần, mỗi lần một sản phẩm một câch ngẫu nhiín Gọi 4;
_ lă biến cố "lần thứ ¡ lấy được sẳn phẩm tốt" (¡ = 1,2) Khi đó,
a) Nếu lấy có hoăn lại thi A; va 4a lă hai biến cố độc lập vì lần thứ nhất lấy xong lại hoăn tra lai thì thùng vẫn chứa 10 sản phẩm tốt vă 2 sản phẩm phế phẩm
như lúc đầu, do đó xâc suất xảy ra 4 vă 4s lă như nhau:
P(A) = P(A) = ©
b) Nếu lấy khơng hoăn lại thì số lượng câc loại trong thùng có sự khâc biệt giữa
hai lần lấy Do đó biến cố Ai có ảnh hướng đín đến biện cô 4a hay  vă 4; _khơng
độc lập Ta có SỐ |
ha
P(A) —= —-;, P(4:|4) = 9? con PAA, )= củ > | 0
Trang 26
26 “Tính độc cơng thức nh giao) có độc 1.5.2 Cĩ Từ Định ¡
1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
lập hay không độc lập của câc biến cố, được sử dụng nhiều trong đn xâc suất, bạn đọc cần phđn biệt câc biến cố trong tích (biến cố
lập với nhau không để sử dụng công thức cho phù hợp
ng thức nhđn xâc suất
nghĩa 1.9, ta suy ra công thức nhđn xâc suất như sau
Hệ quả 1.4
hiện, thì '
Trường hợp
Nếu trong một phĩp thử năo đó, câc biến cố A, B có thể cùng xuất
P(AB) = P(A)P(BỊA) = P(B)P(A|B) (1.15)
riĩng, nĩu A,B dĩc lập thă
P(AB) = P(A)P(B) (1.16) Chú ý rằn biến cố A vă Ví dụ 1.39 Chọn ngẫu n ca 2 cau chi | Giải: Gọi A
lan thit hai b
thay A va B
Sti dung c
ø, công thức (1.16) còn được dùng để kiểm tra tính độc lập của hai
B
Giả sử có một hộp cầu chì chứa 20 cầu chì, trong đó có 5 câi bị lỗi
hiín 2 lần, mỗi lần một cầu chì, khơng hoăn lại Tính xâc suất để:
ấy ra đều bị lỗi
lă biến cố "cầu chă lấu lần đấu b¿ lỗi" vă B lă biến cố "cau chi lay
¡ lỗi" Biến cố "cả hai cầu chă lấy ra đều b¿ lỗi" lă biến cỗ AB Ta
` « eh £ ^~ “a ^ _ " t ` a
lă hai biín cơ không độc lập bony ' Gharq gard mau
ông thức nhđn xâc suất, ta có (lk : -C '© `
; Le ở ¿` _f
P(AB) = P(A)P(BIA) ý Ð “Z2”
Trong lần chọn đầu tiín, hộp có 5 câi lỗi trong tơng 20 câi, nín P(A) i
Trang 27
1.5 Công thức nhđn xâc suất | | _27
Ví dụ 1.40 Một hệ thống điện có cấu hình như sơ đồ minh họa trong Hình 1.7
Toăn bộ hệ thống sẽ hoạt động nếu câc thănh phan A, B hoat động vă một trong:
hai thănh phần Œ hoặc D hoạt động Biết câc thănh phần lăm việc độc lập vă có
xâc suất hoạt động của câc thănh phần được chi nhu trong hình Tính xâc suất để:
a) Toăn bộ hệ thống hoạt động
b) Thănh phần Œ không hoạt động, biết rằng cả hệ thống vẫn hoạt động
Hình 1.7: Hệ thống điện cho Ví dụ 1.40
Giải: Trong cấu hình năy của hệ thống, thì A, B vă C hoặc: 4, B vă D tạo thănh câc hệ thống mạch nối tiếp, trong khi câc hệ thống con C vă D lă một mạch song song Ta ký hiệu câc biến cố trùng với ký hiệu câc thănh phần trín mạch điện
a) Do câc thănh phần trong mạch điện lăm việc độc lập, nín xâc suất hoạt
động của toăn hệ thống được tính như sau
P[AB(CU D)] = P(A)P(B)P(CU D) = P(A)P(B)|1 - PC D)
= P(A)P(B){1 — P(C)P(D)]
= 0, 9.0, 9.{1 — (1 — 0,8)(1 — 0, 8)]
= 0,7776 -
b) Để tính tôn xâc suất có điều kiện trong trường hợp năy, ta có thể viết
P(hệ thống vẫn hoạt động nhưng Œ không hoạt động|hệ thống hoạt động) P(hĩ thĩng van hoat dong nhung C không hoạt động)
P(hệ thống hoạt động)
_ P(ABCD) _ 0,9.0,9.(1 — 0, 8).0, 8
— P(hệ thống hoạt động) ˆ 0,7776
=
= 0, 1667 oO
Công thức nhđn, có thể mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố
Trang 28
sẻ TỐ 7ê
28 | | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
-|Định lý 1.2 Nếu trong một phĩp thủ, câc biến cố Âạ, 4a, A„ có thể xuất
hiện, thă ta có
P(Ai4a Aa) = P(Ai)P(42|Ai)P(43|Ax⁄42) P(Az|LAv4s Az-i) (117)
| Nếu câc biín có A, 4a, , A„ lă độc lập, thì ta có
Ví dụ 1.41 ‘Mot lơ hăng có 100 sản phẩm, trong đó có 8 phế phẩm Rút ngẫu
nhiín lần lượt 4 sản phẩm Nếu cả 4 sản phẩm năy đều tốt thì lơ hăng được chấp ' nhận Hêy tính xâc suất để lô hăng được chấp nhận trong câc tình huống sau:
a) Rút không hoăn lại b) Rút có hoăn lại
Giải: Gọi # lă biến cố "ô hăng được chấp nhận", gọi A, lă biến cỗ chỉ "sản phẩm rút ở lần thứ ¡ lă tốt", (¡ = 1,2,3,4)
a) Khi rút khơng hoăn lại thì câc biến cố A, lă không độc lập vì mỗi lần rút
x 4 | ” 2 4 4 : 2 oe z
sau có số lượng sản phẩm tôt, xđu bị thay đổi so với lần rút trước Do đó
P(H) = P(A, ApA3Aq) = P(A) P(Aal Ar) P(AslAs Az) P(Aal rz As)
92 91 90 89 _ |
b) Khi rút có hoăn lại thì số lượng hăng tốt, xấu trong lô khơng có sự thay đổi, câc lần lấy sau không phụ thuộc văo lần lấy trước đó hay câc biến cố 4, lă độc lập vă xâc suất để lấy được sản phẩm tốt ở mỗi lần lấy lă như nhau Do đó
92 4
PUD = Pid) = Pn (4a) P(Aa) P(A) = (
Vi dụ 1.42.- Cho biết xâc suất xe mây bị hỏng do hệ thống, phanh lă 0,2, do hệ thống truyền lă 0,12, vă do hệ thống phun xăng, lă 0,15 Câc bộ phận trín hoạt
động độc lập oS
a) Tính xâc suất xe may bị hỏng do hệ thống phanh hoặc hệ thống phun xăng
b) Tính xâc suất xe mây bị hỏng do đúng 1 trong ba hệ thống trín
Giải: Gọi A, B, Œ lă câc biến cố chỉ xe mây bị hỏng do hệ thống phanh, hệ thống
truyền vă hệ thống phun xăng tương ứng gđy ra Do câc bộ phận năy hoạt động
độc lập nín câc biến cỗ A, Ö, Œ lă độc lập va P(A) = 0,2, P(B) =0,12, P(C) =
0, lõ | | |
a) Gọi M lă biến cố xe mây bị hỏng do hệ thống phanh hoặc hệ thống phun xăng gđy ra Khi đó ta biểu diễn được ƠM = AUC Do đó
P(M) = P(AUC) = P(A) + P(C) — P(AC) = P(A) + P(C) — P(A)P(C) = 0,2 + 0,15 — 0, 2.0, 15 = 0, 32
Trang 29
1.6 Công thức xâc suất đầy đủ vă công thức Bayes 29
b) Goi lă biến cỗ xe mây bị hỏng do đúng 1 trong ba hĩ thông trín gđy ra, Ta có biểu diễn
N=ABCUABCUABC - _ |
Câc biến cố trong tổng lă xung: khắc vă câc biến cổ trong tích lă độc lập nín "
P(N) = P(ABC U ABC U'ABC)
= P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) | | —
= P(A) P(B)P(C) + P(A) P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
= 0, 2.0, 88.0, 85 + 0, 8.0, 12.0; 85 + 0,8.0,88.0,15
= 0, 3368 7 co Og
1.6 Công thức xâc suất day đủ vă công thức
Bayes
O phần trước, chúng ta thấy có nhiều câch biểu diễn tập không gian mẫu của một phĩp thử Ví dụ như đối với phĩp thử tưng con zúc sắc, ta có câc khơng gian
mẫu
0) = {wi, we, ws, tUạ, Ws, We}; Q = {O, E}; 023 = {Ay 4},
trong đó tu; chỉ mặt ¡ chấm xuất hiện; O, E lă câc biến cố chỉ mặt lẻ, chên chấm
tương ứng xuất hiện; 4 lă một biến cố bất kỳ của phĩp thử vă A lă biến cố đối
_ Của nó
Đặc điểm của câc tập năy lă:
e Hợp của tất cả câc phần tử trong mỗi tập đều thể hiện hết kết quả có thể
xảy ra của phĩp thử theo một nghĩa năo đó,
e Câc biến cố trong tập đều có tính xung khắc với nhau, nghĩa lă chúng không cùng xảy ra trong một lần thử
"Mỗi tập như thế lă một câch phđn hoạch của không gian mẫu © của phĩp thử vă ta gọi chúng lă những hệ đầy đủ Dựa văo tính chất tổng, tích của xâc suất mă người ta thấy từ hệ đầy đủ dẫn đến những công thức rất hữu hiệu trong việc _ tính câc băi tôn xâc suất, đó lă cơng thức xâc suất đầy đủ vă công thức Bayes Công thức xâc suất đầy đủ cho phĩp ta tính được xâc suất của một biến cố bất kỳ khi biết một hệ đầy đủ Cịn cơng thức Bayes, gần giống công thức xâc suất
điều kiện, nhưng dựa văo hệ đầy đủ, nó cho phĩp tính được xâc suất tiín nghiệm - khi biết xâc suất hậu nghiệm
Trước hết chúng ta có định nghĩa về hệ đầy đủ
Trang 30
30 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
1.6.1 Hệ biễn cỗ đđy đủ
Định nghĩa 1.11 Cho một hệ câc biến cỗ {B\, Bạ, , B.} của cùng một phĩp
thủ Hệ câc biến cô nău lă một hệ biến cố đầu đủ, nếu nó thỏa mên hai điễu kiện
đưới đđu:
¡) B.U B;ạU U Bạ = ©, uới © lă tập không gian mẫu
) B.n B; = Ú, Vì # j tă ¡7 = 1,1 -
Nói một |câch: khâc, hệ biến cố đầy đủ lă một hệ xung khắc từng đơi vă có hợp của chúng bằng không gian mẫu © của phĩp thử
¬ @
Hình 1.8: Sự phần hoạch không gian mẫu thănh câc hệ đầy đủ
Nhận xĩt 1.3 Với mọi biến cố A của phĩp thủ thì ta ln có nệ hai biến cố {A, Ô} lă một hệ đầu đủ Như uộu, một phĩp thử sẽ có rắt nhiều hệ biến cố đđu
đủ của nó Mỗi hệ day đủ lă một câch chia, hay câch phđn hoạch tập khơng gian
mẫu ©\ ban đầu thănh nhiều tập con khơng chồng lín nhau
Trong Hình 1.8, ta thấy có câc hệ đầy đủ sau:
(4, A}; {B,, Ba, Bs, Ba, Bs, Be}; {B;, Bi}, i = 1,6
Ví dụ 1.43 Một tập vĩ số có 10 vĩ, trong đó có 1 vĩ trúng thưởng Hai người lần
lượt rút mỗi người một vĩ Gọi 4, Ö lă câc biến cố tương ứng chỉ "người thứ nhất (thú hai) rút được vĩ tring" Khi d6 ta thay {A, A}, {B, B}, {AB, AB, AB, AB}
lă câc hệ đầy đủ oO
Ví dụ 1.44 Một xí nghiệp có 3 phđn xưởng hoạt động độc lập cùng sản xuất
một loại sản phẩm Biết rằng số lượng sản phẩm mă câc phđn xưởng sản xuất chiếm 30%, 45% vă 25% tổng sản phẩm của toăn xí nghiệp Lấy ngẫu nhiín một sản phẩm của xí nghiệp Gọi B; lă biến cố chỉ sản phẩm lấy được lă sản phẩm do
_ phđn xưởng thú ¡ đê sẳn xuất (1=1,2.3) |
Khi đó ta c6 hĩ { By, Bz, By} lă một hệ đầy đủ câc biến cố vì câc biến cố lă
xung khắc vă lấy một sản phẩm của xí nghiệp thì sản phẩm trín chắc chắn sẽ
Trang 31
1.6 Công thức xâc suất đầy đủ vă công thức Bayes | 31
1.6.2 Công thức xâc suất đầy đủ
Dựa văo tính chất của hệ đầy đủ vă câc công thức cộng, công thức nhđn xâc suất, ta dễ dăng chứng minh được công thức xâc suất đầy đủ dưới đđy Công thức năy dùng để tính xâc suất của một biến cố bất kỳ khi biết thông tin về một
hệ đầy đủ
Dinh ly 1.3 Giả sử {B\, B¿, , B„} lă một hệ biến cố đầy đủ của một phĩp
thử năo đó Giả sử A lă một biến cố bất kỳ có liín quan đến phĩp thử Khi đó, xâc suất của A được tinh theo công thức sau đđy vă gọi lă công thức xâc suất đầy đủ
P(A) = P(B\)P(A| Bi) + P(B¿)P(A|B¿) + + P(B,)P(A| Pa) (1.19)|
Thật vậy, ta có thể xem sơ đồ Ven trong Hình 1.8 để thấy rằng biến cố A lă hợp của những biến cố xung khắc từng đôi như sau:
— Sử dụng công thức cộng xâc suất của tổng trong trường hợp xung khắc từng
đôi vă sử dụng công thức nhđn xâc suất ta có P(A) = P[B:AU B;ạAU U BạA]
= P(B,A) + P(BạA) + + P(B„A)
= P(B,)P(A|B,) + P(B2)P (A| Bo) + + P(B n)P(A| Bn)
Để ứng dụng tốt công thức (1.19), việc quan trọng nhất lă lập ra hệ đầy đủ một câch phù hợp Với hệ đó ta phải biết thơng tin về chúng, tức lă xâc suất xảy ra từng biến cố trong hệ vă phải tính được hoặc biết được xâc suất có điều kiện - : của từng biến cố đó trong điều kiện biến cố cần tìm đê xảy ra
Ví dụ 1.45 Trở lại Ví dụ 1.43, hêy tính xâc suất lấy được vĩ trúng của mỗi người
_ Giải: Theo câch gọi biến cố ở Ví dụ 1.43, ta có hệ fA, A} lă một hệ đầy đủ Xâc suất lấy được vĩ trúng của người thứ nhất lă P(A) = qb
Bđy giờ tính xâc suất của Ö bằng công thức xâc suất đầy đủ, ta có
P(B) = P(A)P(BỊA) + P(A)P(BIA) = = 2 4222 | 109 109 10
Qua đđy, ta thấy rằng xâc suất trúng của hai người lă như nhau, hay cơ hội
cho mỗi người lă như nhau, không phụ thuộc văo thứ tự ai lấy trước, lấy sau LÌ
Ví dụ 1.46 Trở lại Ví dụ 1.44, giả sử ta có thím thơng tin về tỉ lệ phế phẩm
của mỗi phđn xưởng tương ứng lă 5%, 10% vă 8% Hêy tính xâc suất để sản phẩm :
lấy ra lă phế phẩm (hay tính tỉ lệ phế phẩm chung của xí nghiệp)
|
Trang 32
32: is BN C6 VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Giai: Goi A' lA biĩn cĩ chi "sdn phdm lay ra la phĩ phẩm" Ta tính P(A) theo
cơng thức xâc suất đầy đủ | ,
| |
_ P(A) = P(B,)P(A|Bi) + P(B¿)P(A|B¿) + P(B3)P(A|Bs)
= 0,3.0,05 + 0, 45.0, 1 + 0, 25.0, 8 = 0,075 = 7, 5% O
— Ví dụ 1.47: Theo nghiín cứu của Bộ y tế cho rằng tỷ lệ hút thuốc lâ lă 20%
- Xâc suất bât sĩ chđn đoân người hút thuốc lâ mắc bệnh ung thư 0,78 Xâc suất
chẩn đoân người không hút thuốc bị ung thư lă 0,06 Chọn ngẫu nhiín một người
để kiểm tra.|'Tính xâc suất để người đó bị chẩn đoân mắc bệnh ung thư
Giải: Gọi B lă biến cố người được chon lă người hút thuốc lâ Gọi A lă biến cố người được chọn bị chẩn đoân mắc bệnh ung thư Ta thấy rằng hệ {B, B} lă một hệ đầy đủ, với P(B) =0,2, P(B) =1-— P(Đ) = 0,8 Tính P(4) theo công thức
xâc suật đầy đủ nó
P(A) = P(B)P(A|B) + P()P(AIB) =.0,2.0,78 + 0,8.0,06 = 0,204 O
Trong Ví dụ 1.46, nếu ta giả sử rằng một sản phẩm được lựa chọn ngẫu nhiín vă nó lă phế phẩm, đó lă ta biết kết quả hậu nghiệm Hỏi khi đó sản phẩm ấy lă
sản phẩm do phđn xưởng thứ ¿ sản xuất lă bao nhiíu? Tức lă ta cần tính câc xâc
suất có điều kiện P(4;|4),.2 = 1,2,3, đó lă ta đânh giâ khả năng tiền nghiệm
xđy ra Để trả lời cđu hỏi năy ta sử dụng định lý sau đđy, gọi lă quy tắc Bayes
_ hay công thức Bayes | _
1.6.3 Công thức Bayes
Định lý 1:4 Nếu {\, Bạ, , B„} lă một hệ đầy đủ câc biến cố của một phĩp thir nao dĩ'sao cho P(Đ,) # 0, với i = 1,2, ,n va A lă một biến cố bất kỳ của cùng một phĩp thit, sao cho P(A) # 0 Khi đó ta có cơng thức Bayes như sau:
_ P(B,)P(A|B,)
P(B)P(AIBI) + + P(B„)P(A|B,)
Thật vậy, công thức năy được suy từ công thức xâc suất có điều kiện
P(B,|A) = P ae Ta thay P(B,4) trín tử số bằng công thức nhđn xâc suất
P(B.A) = P(E.)P(A|B,) va thay P(A) dưới mẫu số bởi công thức xâc suất đầy
đủ (1.19), sẽ nhận được công thức (1.20)
, với k=1,2, ,m (1.20)
P(By|A) =
Vi du 1.48 Trở lại Ví dụ 1.46, với phĩp thử lấy ngẫu nhiín một sản phẩm của, xí nghiệp Giả sử rằng đó lă phế phẩm, hêy cho biết khả năng sản phẩm đó lă
sản phẩm do phđn xưởng thứ ba sản xuất lă bao nhiíu? Hỏi sản phẩm đó có khả
năng do phđn xưởng năo đê sản xuất lă.cao nhất?
Trang 33
.1.6 Công thức xâc suất đầy đủ vă công thức Bayes 33
Giải: Theo câc ký hiệu đê níu trong Ví dụ 1.44, Ví dụ 1.46 thì cầu hỏi thứ nhất chính lă yíu cầu tính xâc suất P(a|A4) Dùng công thức Bayes, ta có:
P(B3)P(A|Bs)
P(B,)P(A|B,) + P(B2)P(A|Bo) + P(B3)P(A|Bs)
— _— 0,25.0,08 — 0,02
~ 0,3.0,054+ 0,45.0,14+0,25.0,8 0,075
— P(B3|A) =
= 0, 2667
Để xĩt xem phế phẩm đó có khả năng thuộc về phđn xưởng năo đê sản xuất lă
cao nhật thì chúng ta tính khả năng nó thuộc về từng phđn xưởng lă bao nhiíu,
sau đó so sânh xem con sơ năo lớn nhất thì tương ứng đó lă khả năng xảy ra cao
nhất Ta có | 0, 3.0, 05 0,015 _ P(B,\A) = (BilA) = 535005 4 0,45.0,140,95.0,8 ~ 0,075 ——— =— = 0,2;- P(B;|A) = ~ 0,3.0,05+ 0, 45.0,1+0,25.0,8 0,40, 1) = 204 _ 0.5333 0,075
So sânh ba giâ trị tính được, ta có P(B;¡|A) < P(|A) < P(B;|4) Như vậy khả năng phế phẩm đó lă sản phẩm do phđn xưởng thứ hai sản xuất lă cao nhất, khả
năng đó lă 53, 33% | O
Ví du 1.49 Có ba câi hộp đựng sản phẩm, hộp thứ nhất chứa 6 chính phẩm vă 2 phế phẩm, hộp thứ hai chứa 10 chính phẩm vă 4 phế phẩm, hộp thứ ba chứa
15 chính phẩm vă 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiín một hộp, rồi từ đó lấy ngẫu nhiín
_ một sắn phẩm
a) Tính xâc suất để sản phẩm lấy ra lă chính phẩm
b) Giả sử sản phẩm lấy ra lă chính phẩm, hêy tính xâc suất để đó lă sản phẩm
của hộp thứ hai |
Giải: Goi B; lă biến cố Hộp thứ ¿ lă hộp được lấu, ¿ = 1,2,3 Khi đó, { By, Bo, Bs} lă một hệ đầy đủ, với
P(B\) = P(Bs) = P(Bs) = 5
Goi A lă biến cố sản pham lay ra la chinh phẩm - a) Tính P(4) theo công thức xâc suất đầy đủ
P(A) = P(B,)P(A|Bi) + P(B2)P(A|Bo) + P(Bs)P(A|Bs)
16 110 #1415 =~ I1
= 47=.—4-.— = — =0, 7381 38131473120 748 bi |
b) Giả sử lấy được chính phẩm, tức lă A đê xảy ra Tính khả năng nó lă sản phẩm của hộp thứ hai, nghĩa lă tính P(Bạ|4) Dùng công thức Bayes ta thu được |
P(Bo)P(A|B2) _ š-z _ 10 — = 0.3226 oO
P(A) — S31
Trang 34
34 : - 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
Nhận xĩt 1.4 Nếu phĩp thử gồm hai giai đoạn, biến cố A liín quan đến giai
đoạn, sau, i câc kĩt qua có thể của giai đoạn đầu chính lă một hệ đầu đủ
Ví dụ 1.50 Một lô hăng gồm 50 sản phẩm tốt vă 5 sản phẩm xấu được vận chuyển về kho, trong quâ trình vận chuyển đê có 1 sản phẩm (không rõ chất
lượng) bị mất Khi lô hăng về đến kho, chọn ngẫu nhiín 1 sản phẩm: a) Tính xâc|suất để sản phẩm năy lă sản phẩm tốt
b) Biết rằng sản phẩm được chọn lă tốt, tính xâc suất để sản phẩm bị mat lă sản phẩm tốt -
Giải: Gọi B lă biến cố sản phẩm bị mất lă sản phẩm tốt Khi đó {B, B} lă một hệ đầy đủ, với P(B) = 22 va P(B) = & Goi A lă biến cố sản phẩm lấy ra lă sản phẩm tốt
a) Tinh P(A) theo công thức xâc suất đầy đủ Ta cần xâc định câc xâc suất điều
kiện P(A|B) vă P(A|B) Voi P(A|B), ta dang giả thiết tình huống B xay ra,
tức lă sản phẩm bị mất lă sản phẩm tốt, trong tình huống đó ta xĩt khả năng A xảy ra Vậy lúc năy lô hăng gồm 49 sản phẩm tốt vă 5 sản phẩm xấu, nín P(A|B) = 49 Tugng tu, ta cĩ P(A|B) = 2 Ti do suy ra
| P(A) = P(B)P(A|B) + P(B)P(A[B)
50 49 5 50 50
! =e 5g t 55 54 55 7 9d
b) Bay gid ta giả thiết kết quả cuối của phĩp thử lă nhận được sản phẩm tốt, tức lă A xảy ra Trong tình huống năy, ta đặt cđu hỏi liệu khả năng sản phẩm, trước đó b‡ tmmắt lă sản phẩm tốt lă bao nhiíu? Tức lă ta cần tính P(B|A) Kiểu tính năy ta gọi lă dùng hậu nghiệm để tính tiền nghiệm Dùng cơng thức Bayes,
ta cd: ị |
P(AB) P(B)P(AB) %-# 49 |
P(B\A) = = = 254 — — — 0 9074
(BIA) = aH) P(A) ma ~5q7 0 H
Ví dụ 1.51 Bản tin điện bâo gồm tín hiệu chấm (e) vă tín hiệu vạch (—) Qua
thống kí cho biết 2 tín hiệu chấm khi truyền bị bóp mĩo thănh tín hiệu vạch vă
_s tín hiệu vạch bị bóp mĩo thănh tín hiệu chấm Biết rằng tỷ số giữa tín hiệu
chấm vă tín hiệu vạch trong câc tin truyền đi lă ð : 3 Tìm xâc suất để tín hiệu truyền đi được nhận đúng nếu biết rằng ở đầu nhận đê:
a) Nhận được tín hiệu chấm b) Nhận được tín hiệu vạch
Giải: Gọi 4, 4; lă biến cố chỉ tín hiệu phât đi lă tín hiệu chấm, tín hiệu vạch tương ứng Gọi A, lă biến cố chỉ tín hiệu nhận được lă tín hiệu chấm, tín hiệu
vạch tương ứng Hình 1.9 mơ tả q trình truyền tín hiệu từ đầu phât đến đầu thu vă câc xâc suất truyền đúng, truyền sai tương ứng
a) Cđu hỏi thú nhất cho tình huống: nhận được tín hiệu chấm, tức lă giả thiết
Trang 35
1.7 Dêy phĩp thử độc lập vă công thức Bernoulli 35
SChđm -Ù (® —(e) 4
3Vach 4, /~) +/—-) B
Hình 1.9: Tín hiệu truyền từ nơi phât đến nơi thu
biến c6-A xảy rả, ta cần tính xâc suất tín hiệu truyền đi cũng lă chấm Điều đó có nghĩa lă ta cần tính xâc suất có điều kiện P(4|4) Ta cần tinh P(A)
Ta thấy rằng {4¡, 4s} lă hệ đầy đủ với P{4¡) = : ; 3 = 0,625 vi P(Az) =
5497 0,375 Đề tính được P(4) theo công thức xâc suđt đđy đủ, ta cần biết
thím P(A|4¡) vă P(A|4;) Xâc suất có điều kiện P(4|4a) với giả thiết 4¡ đê
xảy ra, tức lă phât đi tín hiệu chấm Hỏi khi đó cũng nhận được tín hiệu chấm
(truyền đúng) thì có xâc suất bao nhiíu? Do đề băi cho thơng tin, có 2 tín hiệu _
chấm khi truyền bị bóp mĩo thănh tín hiệu vạch, nín suy ra phần bù cịn lại š
tín hiệu chấm truyền đi vẫn nhận đúng được tín hiệu cham Do d6 P(A|A)) = 2,
Theo giả thiĩt ta cĩ6 P(A|A2) = 5 Vậy suy ra
5 3 3 1 ô 1 1
— A AIA — — — —- —=— — —=—_—
P(A) = P(Ai)P(A|Ai) + P(Aa)P(AL4;) = 2-2 42.5 = 2 42 =F 0,5
Tinh xAc suat P(A,|A) theo cĩng thttc Bayes
P(A)P(AjA) 3-2 3
A — =- =- =
P(A,|A) P(A) 1 i 0,75
b) Tương tự âp dụng công thức xâc suất toăn phần ta có
9 2 38 2 1
P(B) = P(A,)P(B\A)) + P(A2)P(BlA2) = 5-2 4+5°5 =5 =09,5 8 5 8 3 2
Ap dung cơng thức Bayes ta tính được
32
P(A,Ip) = PU3)PUB|Âö) _ 83 — 1o P(B) r= 9 oO
1.7 Dêy phĩp thứ độc lập vă công thức Bernoulli
1.71 Dêy phĩp thử độc lập
“Trong nhiều tình huống thực tế, có những phĩp thử được lặp đi, lặp lại nhiều
lần Nếu kết quả của lần thử trước, không ảnh hưởng đến kết quả của lần thử
Trang 36
36 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CỐ
sau thì ta sẽ nhận được một dêy câc phĩp thử độc lập Nói câch khâc, nĩu ta
quan tđm đến biến cố 4 năo đó trong mỗi lần thử, thì dêy câc phĩp thử độc lập lă dêy câc phĩp thử mă xâc suất xảy ra biến cố 4 không đổi trong mỗi lần thử Ví dụ 1.52: - Tung một con xúc sắc 7 lần một câch độc lập Khi đó ta có dêy phĩp thử độc lập vă lặp lại 7 lần
- Có 5 câi hộp giống nhau, mỗi hộp đựng 30 sản phẩm tốt vă 5 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiín mỗi hộp một sản phẩm Khi đó ta coi mỗi lần lấy một sản phẩm từ một hộp lă một phĩp thử, vă ta có dêy phĩp thử độc lập, được lặp đi lặp lại
5 lan | O
Khi có một dêy câc phĩp thử độc lập, người ta thường quan tđm về số lần
xuất hiện một tình huống A nao đó Chẳng hạn như trong câc ví dụ tung con
xúc sắc 7 lần, người ta quan tđm về khả năng mặt 3 chấm xuất hiện 2 lần lă bao
nhiíu? Hoặc trong ví dụ về 5 câi hộp giống nhau, người ta quan tđm khả năng trong 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 1 phế phẩm lă bao nhiíu? Để trả lời câc cđu hỏi dạng đó, ta có cơng thức Bernoulli dưới đđy
1.72 Công thức Bernoulli
Định lý 1.5 Giả sử có một dêy gồm ø phĩp thử độc lập Với mỗi phĩp thử ta, đều quan tđm đến biến cố A nao dĩ, vdi P(A) = p (khơng đổi) Khi đó,
a) Xâc suất, để trong n lần thử, biến cố A xuất hiện đúng k lần (0 < k < n):
P.(k;p) = Câ p°(1— p)""" (1.21)
b) Xâc suất để trong nø lần thử, biến cố A xuất hiện từ kạ đến k; lần:
| ke
Palka SBS koip) = Ð ` Cả p(L— pyr’ (1.22)
| ‘ k=k,
Để hiểu rõ hơn về công thức Bernoulli, ta gọi 4; lă biến cố chỉ "lần thử thứ ¡
xuất hiện A”, ¿ = 1,2, ,m Do dêy phĩp thử độc lập, nín câc biến cố 4; độc lập,
với P(A,) = P(A) =p,Vi=1,2, ,n
Trường hợp cong thie (1.21): Goi B 1a biĩn cĩ trong n lan thit thi biĩn cĩ A xuất hiện k lần Khi đó sẽ có (n — k) lần thử không xuất hiện A, hay (m — k) lần xuất
hiện A Mỗi tình huống thuận lợi cho lă một câch chọn k lần thử năo trong số mø„ lần thử dĩ xuất hiện A, số còn lại lă, xuất hiện 4 Chẳng hạn như
Ay Ag Ag Anst An
| lần n—-k lan
Vậy số lượng câc biến cố thuận lợi cho chính lă số tổ hợp chap k ctia n, hay C} Trong mỗi tình huống thuận lợi cho B thì xâc suất xảy ra tình huống đó lă
|
Trang 37
1.7 Dêy phĩp thử độc lập vă công thức Bernoulli | 37
p*(1 — p)"-*, vi cdc biĩn cĩ trong tich 1a doc lap vă xâc suất xuất hiĩn A 1a p,
xuất hiện A la 1 — p Từ đó ta có
P(B) = Chp*(1— p)?™
Người ta thường ký hiệu công thức Bernoulli theo câc chỉ số có liín quan, nín
P(Ð) còn được ký hiệu lă P„(k;p) |
Trường hợp công thức (1.22): Ta gọi Œ lă biến cố trong n lần thử thă biến cố A
tuắt hiện từ kị đến kạ lần, gọi C„ lă biến cỗ trong n lần thử thă biến cỗ A xuất
hiện k lần Nhữừ vậy biểu diễn dude C = Cy, Ó Cz,+¡ U U Œp, Do câc biến cố
trong tổng lă xung khắc nín P(C) = P(Œ;,) + P(C¿¡+¡) + + P(C¿„) Mă mỗi
xâc suất (Œ¿) lại được tính như cơng thức (1.21) Từ đó ta nhận được công
thức (1.22) | |
Nhận xĩt 1.5 Trong băi toân Bernoulli, câc thông tin quan trọng cần được phan tich theo trat tu:
—- Phĩp thử lă gi?
- Phĩp thử đó lặp bao nhiíu lần? (tầm n)
- Mỗi lần thử ta quan tđm đến biến có A chỉ câi gă?
_-~ Xâc suất xắu ra A lă bao nhiíu? (từm p-khơng đổi)
- Cần tính sâc suất để trơng n lần thử thă A xuất hiện mấy lần? ( tầm k)
Ví dụ 1.53 Người ta kiểm tra chất lượng một thùng hăng bằng câch lay ngau nhiín 5 lần, mỗi lần 1 sản phẩm, có hoăn lại Nếu trong 5 lần lấy, có không quâ 1 lần xuất hiện phế phẩm thì thùng hăng sĩ được chấp nhận Biết rằng thùng hăng có 150 sản phẩm, trong đó có 10 phí phẩm Tính » xâc suất để thùng hăng được chấp nhận
®iải: Mỗi lần lấy một sản phẩm từ thùng hăng lă một phĩp thử Vì lẫy có hoăn
lại nín khi thực hiện 5 lần, ta nhận được một dêy phĩp thử độc lập với n = 5 Mỗi lần thử, ta quan tđm biến cố 4 chỉ thông tin sản phẩm lấu được lă phế phẩm Ta có
Ta thay P(A) khong thay đổi ở mỗi lần thử, nín p= =:
_Gọi B lă biến cỗ thùng hăng được chấp nhận Theo đề băi, thùng hăng được chấp nhận lă khi có khơng q 1 phế phẩm xuất hiện trong 5 lần kiểm tra ngẫu
nhiín Vậy số lần xuất hiện phế phẩm lă 0 < k < 1 Dùng công thức Bernoulli
Trang 38
I
38 | 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
(1.22), ta có 1 P(B) = 5_ C§p*(1 — p)P* | k=0 = 1\° el 1Ă 1\* E —— l—-—- } 1-— | ! = (5) ( x) T6 (5) ( 5) i = 0, 7082 + 0, 2529 = 0, 9611
Vậy xâc suất để thùng hăng được chấp nhận khoảng 96, 11% L]
Ví dụ 1.54 Một đề thi trắc nghiệm có 20 cđu hỏi, mỗi cđu có 4 phương ân trả
lời, trong đó chỉ có một phương ân đúng Một sinh viín đi thi, không thuộc băi, đê đânh dấu ngẫu nhiín phương ân trả lời cho mỗi cđu hỏi Tính xâc suất để: a) Sinh viín đó trả lời đúng được ð cđu hỏi
b) Sinh viín đó trả lời đúng được 10 cđu hỏi
c) Sinh viín đó thi đỗ môn học, biết rằng muốn đỗ thì phải trả lời đúng ít nhất
11 cđu |
Giải: Coi mỗi lần sinh viín chọn phương ân trả lời cho một cđu hỏi lă một phĩp
thử Vì có 20 cđu hỏi, nín phĩp thứ được lặp đi lặp lại ø = 20 lần Mỗi lần thử ta quan tđm biến cố A chỉ thông tin chọn được phương ân đúng Do môi cđu hỏi
đều có 4 phương ân trả lời vă chỉ có 1 phương ấn ding, nĩn P(A) = = =, 25 a) Gọi N lă biến cỗ sinh viĩn do trả lời đúng 5 cđu hởi Ta âp dụng công thức Bernoulli (1.21) với n = 20, p = 0.25,k = 5 dĩ tinh P(N) Ta c6
| P(N) = Cñn(0,25)?(1 — 0,25) 9~° = 0,2023
! |
Như vậy, khả năng trả lời đúng 5 cđu của sinh viín khơng thuộc băi năy lă 20.23%
Liệu sinh viín năy có nhiều cơ hội để đỗ môn học không?
b) Gọi M lă biến cố sinh tiín đó trả lời đúng 10 cđu hởi Tương tự cđu trín, sử
dụng công thức Bernoulli với & = 10, ta có
Ị
| P(M) = C}9(0, 25)'°(1 — 0, 25)*°-?° = 0, 0099
4 : |
Như vậy, có khoảng gần 1% khả năng sinh viín năy trả lời đúng được một nửa
số cđu hởi
ð) Gọi D lă biến cố sinh tiín thi đỗ môn học Điều kiện của thi đỗ tương đương
với sĩ lần trả lời đúng từ 11 đến 20 lần, vậy 11 < k < 20 Âp dụng công thức (1 2) ta có
P(D) = Sk K(Q, 75)2°-* = 2,95117E — 05 = 2,95117- 107* = 0, 00003
k=11
Từ đó cho thấy khả năng đỗ quâ thấp, gần như bằng 0 L1
Trang 39
1.7 Day phĩp thử độc lập vă công thức Bernoulli 39
Ví dụ 1.55 Trong một thùng chứa 20 sản phẩm loại 4, 10 sản phẩm loại B vă
15 sản phẩm loại Œ Lấy ngẫu nhiín 7 lần (có hoăn lại) mỗi lần một sản phẩm
Tính xâc suất để trong 7 lần lấy đó
a) Có 3 lần lấy được sản phẩm loại A
b) Có 4 lần lay được sản phẩm loại 4 vă 3 lần lấy được sản phẩm loại Ư
C), Có 2 lần lấy được sản phẩm loại 4, 4 lần lấy được sản phẩm loại Ö vă 1 lần lấy được sản phẩm loại C
Giải: Do lấy sản phẩm có hoăn lại nín mỗi lần lấy thì số lượng câc loại sản phẩm trong thùng lă như nhau vă câc lần lấy lă độc lập với nhau Gọi A, B,C 1a cac biến cố chỉ sản phẩm lấy ra trong một lần lấy lă sản phẩm loại A,B, C tuong
ứng Ta, có | |
=3 P(C) = 15 _—
45 -
20 4, — 10
sole
Câc xâc suất năy không thay đổi trong mỗi lần lấy Coi mỗi lần lấy lă một phĩp thử ta có dêy phĩp thử độc lập lap n = 7 lần
a) Gọi D lă biến cố "trong 7 lần lấy có 3 lần lấy được sản phẩm loại 4" Theo
cơng thức Bernoulli, ta có |
P(D) = C‡ exe _ 3) - =0,2027
b) Gọi E lă biến cố "trong 7 lần lấy sản phẩm có 4 lần lấy được sản phẩm loại
A vă 3 lần lấy được sản phẩm loại B" Ta có
P() = CẬ §) 4) =0,015
c) Goi F la biến cố "trong 7 lần lấy có 2 lần lđy được sản phẩm loại 4, 4 lần lấy
được sản phẩm loại vă 1 lần lay được san pham loai C" Ta cĩ
P(F) = C†( 20) 'Ø(§) =0.0034 : n
Trang 40
40 1 BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO
| | ! | ` -
| : BAI TAP CHUONG 1 | |
|
Băi 1.1 Cổ 3 người cùng đầu tư văo lĩnh vực xđy dựng giao thông Gọi A,B,C
tương ứng lă câc biến cố mă người thứ nhất, thứ hai, thứ ba thănh công trong
lĩnh vực năy
a) Hay diễn! tả nội dung của câc biến cố ABŒ, ABC,AU BUC vă biểu diễn
‘ching bang sơ dĩ Ven
b) Xĩt câc biến cố sau: D= "Có ít nhất hai người thănh công", E="C6 nhiều nhất một người thănh công ”, F= "Chỉ có rnột người thănh cơng ", G= "Chỉ có người thú
ba thănh công " Hêy biểu diễn câc biĩn e6 nay theo A, B,C
Băi 1.2 Kiểm tra ngẫu nhiín 3 sản phẩm Gọi 4; lă biến cố "Sdn phdm thi k
lă san phẩm tot" Dùng câc phĩp toân trín câc biến cố, hêy biểu diễn qua At những biến cố sau đđy: A= "Tât cả đều rĩu",B= "C6 ít nhất mĩt san phẩm xấu" C= "Có đứng một sẵn phẩm xấu ", D= "Có ít nhất hai sản phẩm tốt"
Băi 1.3 Theo điều tra của ngđn hăng về khâch hăng sử dụng thẻ tín dụng ở
một công ty, có 50% dùng thẻ A, 40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thĩ A vă B„ 15% dùng thẻ B vă C, 10% dùng thẻ A va C, va 5% ding ca ba thĩ A,B,C Chọn ngẫu nhiín một người ở công ty đó Tính xâc suất để người ấy: a) Dùng ít nhất một trong ba loại thể trín,
_ b) Chỉ dùng thẻ A va C,
c) Ding thĩ A hoặc C mă không dùng thẻ B, d) Chỉ dùng một thẻ hoặc thể A hoặc thẻ C, e) Chỉ dùng thẻ B,
f) Ding the B, biết rằng người đó dùng thẻ A
Băi 1.4 Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư câc du an I, Il tương ứng lă 9%, 7% vă gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai dự ân lă 4% Nếu đầu tư cả hai dự ân,
tính xâc suất để:
a) Chỉ dự ân I gap rủi ro
b) Chi mĩt du 4n gặp rủi ro c) Gặp rủi ro
d) Không gặp rủi ro
Băi 1.ê Một hệ thống mây tính được căi đặt mật khẩu lă một dêy 6 ký tự,
trong đó mỗi kỹ tự lă một trong 26 chữ số thường (từ a đến z) hoặc một trong 10
số nguyín (từ 0 đến 9) Gọi A lă biến cố "Ký tự đầu tiín của mật khẩu lă một nguyín đm" (có 5 ngun đm a, e, ¡, o, u) Gọi B lă biến cố "Ký tự cuối cùng của
mật khẩu lă chữ số chên" (có 5 số chên 0, 2, 4, 6, 8) Hêy tính câc xâc suất sau
P(A), P(B), P(AB), P(AU B), P(A|B), P(BỊA), P(ÊU Đ)