Xác suất thống kê tập 1 dành cho sinh viên ngành kinh tế vận tải và kỹ thuật điện điện tử

Chương BIÊN BIEN CÔ VÀ CO XÁC SUẤT CỦA Chương trình bày khái niệm ly thuyết xác suất, giúp người đọc có chuẩn bị mang tính sở cho chương sau Mục đích chương giúp bạn đọc hiểu, mô tả không gian mẫu biến cố ngẫu nhiên phép thử ngẫu nhiên, ý nghĩa xác suất biến cố ngẫu nhiên cơng thức tính xác suất 1.1 Khong gian mau va bién cé 1.1.1 Phép thứ ngẫu nhiên Các tượng xây c sống hàng ngày có tượng xảy có tính chất quy luật Chẳng hạn, ta thả vật nặng từ cao vật chắn rơi xuống đất Các tượng gọi tượng tất định Trái lại, ta tung đồng xu ta khơng thể biết mặt sấp hay mặt ngửa xuất hiện, 'ta đến điểm đỗ xe buýt thời điểm ta khơng thể biết: trước có người lên xe buýt Các tượng gọi tượng ngẫu nhiên: Tuy nhiên, ta tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên với hoàn cảnh ta rút quy luật tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Nghiên cứu quy lưật cho phép ta dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chúng ta gọi chung tượng, thí nghiệm hay quan sát phép thử Định nghĩa 1.1 Một pháp thủ mà có kết khác cho dù ta thực biện phép thử lặp lại nhiều lần uới điều kiện gọi phép thủ ngẫu nhiên : _ BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO Ta xem xét số ví du sau: Quan sát số tai nạn hàng tháng nút giao thơng Giả sử, số ghi chép từ tháng Giêng đến tháng Tư năm 2,0,1,2 Khi đó, ta nói việc quan sát số vụ tai nạn nút giao thông tháng phép thử Phép thử ngẫu nhiên ta khơng thể nói chắn số vụ tai nạn tháng tháng chưa diễn chưa kết thúc Quan sắt SỰ hoạt động máy tính làm việc liên tục ngày - Khì đổ có hai trạng thái máy hoạt động tốt bị hỏng ngày Máy tính hỏng không hỏng ta xác định chưa hết ngày Vậy việc quan sát hoạt động máy tính ngày phép thử ngẫu nhiên Đo thể tích lượng khí gas phản ứng hóa học Việc thực phản ứng hóa học thực phép thử Kết phép thử số đo thể tích khí gas giải phóng phản ứng Ta lặp lại thí nghiệm kết quan sát thay đổi mà ta khơng thể áp suất thay đối, phép thử Do phép thử ngẫu kiểm sốt thí nghiệm nhiệt độ thay đổi, kết phép đo gây thay: đổi kết ta khơng thể nói trước kết phép thử nên nhiên Một ví dụ đơn giản mơ tả rõ tính ngẫu nhiên thường xun nhắc đến xác suất, việc tung đồng xu gieo xúc sắc Khi tung đồng xu cân đối lên mặt bàn phẳng, ta nói trước mặt sấp hay ngửa xuất Tương tự gieo xúc sắc, ta khơng đốn định trước mặt chấm xuất Vì VIỆC tung dong xu gieo xúc sắc phép thử ngẫu nhiên Trong nhiều trường hợp, phép thử không đơn giản quan sát thực hành động lần mà tập hợp nhiều lần quan sát hay loạt hoạt động liên tiếp đồng thời Chẳng hạn như: e Quan sat hoạt động máy tính làm việc ngày e Tung đồng xu ð lần | , e Gieo lúc xúc sắc Để hiểu phép thử ngẫu nhiên, ta thấy bên cạnh phép thử ngẫu nhiên phép thử không ngẫu nhiên, phép thử mà dù chưa xảy người ta chắn kết Chẳng han như: b TỐ | - 1.1 Không gian mẫu biến cố | | e Tung mét ly thủy tinh thông thường xuống mặt sàn bê tông Chắc chắn ly thủy tỉnh vỡ Vậy việc tung ly thủy tính phép thử không ngẫu nhiên , e Quan sát mặt trời mọc hướng Việc quan sát phép thử khơng ngẫu nhiên có kết mặt trời mọc hướng Đông Rõ ràng phép thử khơng có tính ngẫu nhiên ta biết trước kết quả, cho dù chưa thực Khi đó, việc đốn định khả xảy kết khơng cịn ý nghĩa Tuy nhiên thực tế phép thử thường chịu ảnh hưởng nhiều yếu-tố tác động đến phép thử mà kiểm sốt được, để mơ tả phép thử mơ hình hóa, phép thử ngẫu nhiên Để cho thuận tiện ta gọi phép thử ngẫu nhiên đơn giản phép thử 1.12 Không gian mẫu Mặc dù với phép thử ngẫu nhiên, ta trước kết sé xay ra, ta biết tập hợp tất kết xảy Tập hợp gọi tập không gian mẫu phép thử Định | nghĩa 1.2 Không gian mau tập hợp tất kết cé thé ray rnột phép thử Kú hiệu tập khơng gian mẫu © Mỗi kết phép thứ gọi bỏến cố sơ cấp, ký hiệu chung w Méi phan tit w gọi phần tử, hay thành viên, hay điểm tập khơng gian mẫu Nếu khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử ta liệt kê phần tử phần tử cách dấu phẩy (,) chấm phẩy (;) đặt chúng dấu ngoặc nhọn { } Ví dụ khơng gian mẫu phép thử tung đồng xu viết N= {N, S} với N ký hiệu mặt ngửa S la ky hiéu cia mặt xuất Ví dụ 1.1 Xét phép thử gieo xúc sắc Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất mặt xúc sắc khơng gian mẫu Q; = {1, 2, 3,4, 5, 6} Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất chẵn hay lẻ khơng gian mẫu Qo = {chan, lẻ} L] | | BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO Ví dụ cho thấy phép thử có nhiều khơng gian mẫu So sánh hai khơng gian mẫu ©¡,Ơ¿, ta thấy ©\ạ cung cấp nhiều thông tin @; Nếu ta biết phần tử ©\ xuất ta nói phần tử -Ø; xuất hiện.| Nhưng ngược lại biết phần tử cung cấp thơng tin để ta xác định phần xuất Một cách tổng quát, ta mong muốn mẫu mà củng cấp hầu hết thơng tin liên quan phép thử | Ô; xuất điều tử tương ứng Ơ dùng khơng gian đến kết xây | Trong số phép thử, việc liệt kê phần tử không gian mẫu cách có hệ thơng theo sơ đồ hiệu Ví dụ 1.2 Một phép thử tiến hành sau: Tung đồng xu, mặt ngửa, xuất thi tung đồng xu thêm lần nữa, mặt xuất tung xúc sắc Hãy liệt kê phần tử không gian mẫu | Giải: Để liệt kê phần tử không gian mẫu, ta xây dựng sơ đồ hình _ theo Hình 1.1 Các nhánh khác dẫn đến phần tử khác không gian mẫu Ta nhận | Kết lân thử | | Kết NN § NS | | S ‘ S1 S2 S3 | không gian mau N " : Cac phan tử lânthứhai ` S4 S5 S6 ~— Hình 1.1: Sơ đồ cho Ví dụ 1.2 = {NN, NS, S1, 62, S3, S4, Sư, S6} Trong ta hiểu phần tử WN trường hợp lần tung đồng xu thứ mặt ngửa xuất hiện, lần tung đồng xu mặt ngửa Tương tự vậy, S3 tương ứng với trường hợp lần tung đồng xu mặt sấp, cịn: lần gieo xúc sắc mặt chấm xuất : oO Vi du 1.3 Lấy sản phẩm ngẫu nhiên dây chuyền sản xuất Mỗi sản phẩm kiểm tra phân loại có hay khơng có hiệu Nếu | 1.1 Khơng gian mẫu biến cố - | sản phẩm có dấu hiệu mà ta quan tâm ta ghi chữ D, khơng có dấu hiệu ta ghi chữ K Hãy liệt kê tập không gian mẫu phép thử Giải: Để liệt kê phần tử không gian mẫu, ta xây dựng sơ đồ hình cây, Hình 1.2 Từ theo nhánh cây, ta nhận khơng gian mẫu Lan D Lan Các phân tử không gian mẫu Lẳn3 Kk D DDD K DDK D DKD K DKK oo KDD K K KDK -D - KKD- K KKK Hình 1.2: Sơ đồ cho Ví dụ 1.3 Q = {DDD,DDK,DKD,DKK,KDD,KDK,KKD, KKK} L] Cách biểu diễn liệt kê gặp bất cập khơng gian mẫu có vơ số phần tử Khi ta viết phần tử chúng theo quy luật xác định, mơ tả xác định Ví dụ 1.4 Một người ném bóng rổ, ném liên tiếp có bóng trúng rổ dừng Hãy mơ tả khơng gian mẫu phép thử Giải: tương Ta ký hiệu T tương ứng với việc ném bóng trúng rổ, ký hiệu K ứng với việc ném bóng khơng trúng rổ lần ném Do không khống chế số lần ném điều kiện bóng trúng rõ dừng nên khơng gian mẫu có dạng Q = {T, KT, KKT, KK KT, , K K.T, } n-1 lần Mỗi biến cố sơ cấp không gian mẫu chi xuất 7' cuối không gian mẫu có số phần tử vơ hạn đếm - , Ví dụ 1.5 Mơ tả khơng gian mẫu quan sát thành phố giới có dân số lớn triệu người Giải: Ta mô tả phần tử tập không gian mẫu lời văn sau Q = {z | z thành phố có số dân lón triệu người} | BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO Khi ta đọc : Không gian mẫu gồm thành phố z, cho z thành phố có số dân lớn| triệu người oe — oO Chúng ta |vừa biết khơng gian mẫu phép thử, tập tất kết xảy phép thử Tiếp theo làm quen: với khái niệm lý thuyết xác suất, khái niệm biến cố quan hệ chúng Bién Biến cố quan hệ bién cé c | O» 1.1.3 | Trong phép thử cho trước nào, quan tâm đến xuất kiện hay tình xuất phần tử cụ thể khơng gian mẫu Ví dụ, gieo xúc sắc, ta quan tâm đến kiện A "mặt xuất có số chấm cha hết cho 3" Tình xuất nều kết phép thử phần tử tập A = {3,6} không gian mẫu O\¡ Ví dụ 1.1 Trong Ví dụ 1.3, ta quan tâm đến kiện B "số lượng dấu hiệu lớn 1", tình xuất kết i của, phép thứ phần tử tập sau không gian mẫu 2, ị B={DDK,DKD,KDD,DDD) Như tình hay kiện quan tâm tập phần tử khơng gian mẫu Tập thể tất kết thuận lợi cho tình hay sử kiện Định nghĩa 1.3 Mỗi biến có tập tập khơng gian mẫu Ta thường sử dụng chữ in hoa 4, B,C, hay 4, 4as, để ký hiệu biến cố Vậy ta nói biến cố ta hiểu A tập khơng gian mẫu | ký hiệu C @ Biến cố A xảy kết phép thử phan ttt cua A Ví dụ 1.6.| Cho không gian mau = {t|t > 0}, ¿ tuổi thọ loại thiết bị điện Khi biến cố A tình thiết bị hỏng trước năm Ta viết Á= {£ |0 < £< 5} : O — Một biến cố A tồn khơng gian mẫu 2, ta goi biến cố chắn ký hiệu @ Biến cố A tập rỗng, tập khơng chứa phần tử Q, ta gọi biến cố rỗng, ký hiệu Biến cố chắn tương tương với điều hiển nhiên đúng, ln xây phép thử thực Biến cố rỗng tương đương với điều vơ lý, khơng xảy phép thử thực hiện.' | | 1.1 Khðng gian mẫu va biến cố | | | | Vi du 1.7 Trong phép thit lay mot sé tu nhién bat ky, goi A 1a bién cé | | A= {x | x la mé6t:uéc sd chan cia 5} Khi A biến cố rỗng, ước số số số lẻ Ví dụ 1.8 Trong phép thử gieo xúc sắc Gọi A biến cố "mat chén chấm xuất hiện" B biến cỗ "mặt lẻ chấm xuất ", C biến cỗ "mặt chấm xuất " Khi đó, biểu diễn biến cố qua phần tử không gian mẫu, với ký hiệu œ; mặt ¿ chấm xuất hiện, ta có _ A = {wo,w4, We}; B= {w1,w3,ws}; C = {02, (06 }- Ta thấy biến cố A, B,C 1a cac tap cha N = {wy, we, w3, W4, Ws, We} Từ dan dén quan biến cỗ giống quan hệ tập hợp - ta biểu diễn biến cố lược đồ Ven L] Quan hệ biến cố Biễn đi: Bién có đối biến cố A tập.con gồm phần tử Q mà khơng thuộc A Ký hiệu biến cố đối A 1a A= Q\ A Bién cố đối A xay biến cố A4 không xây Ta Ví dụ 1.9 Trong Ví dụ 1.8, biến cố đối biến cố A, B,C A = {Ww}, W3, Ws } = B; B = {Wo, Ww, we } = A; C = {001; 0ã, 4, 09s } C) Giao biến cố: Giao hai biến cố A B, ký hiệu An B AB, biến cố mà gồm tất phần tử chung A B Bién cỗ giao AB xảy đồng thời A va B Xây Ví dụ 1.10 Trong Ví dụ 1.8, ta có AB=0; AC={u,w}=C; BC=0 6n Ta thấy cặp biến cố A B, B Œ khơng có phần tử chung, chúng khơng thể xuất lần thử Những biến cố ta gọi xung khắc Biến cố xung khắc: Hai biến cố A xung khắc rời nhau, AB =0, hay A B khơng có phần tử chung Hai biến cố: xung khác ' xảy đồng thời : i | BIEN CO VA XAC SUAT CUA BIEN CO Ví dụ 1.11 Một hộp chứa sản phẩm loại, có: sản phẩm xuất xứ Trung Quốc, sản phẩm xuất xứ Thái Lan, sản phẩm xuất xứ Nhật Ban, sản phẩm xuất xứ Việt Nam Giả sử người chọn sản phẩm ngau nhién Goi A 1a bién cé "sdén phan dé rudt rit Trung Quéc" va B biến cỗ "sản phẩm xuất rú Thới Lan" Do sản phẩm có xuất xứ, biến cố A va xảy ra, ta nói A, B xung khắc, viết tập giao AB + Ũ oO 4, Hop biến cố: Hợp hai biến cố A B, ký hiệu AU B, la biến cỗ bao gồm tất phần tử thuộc Ö hai Biến cố hợp AUĐ xảy Á xảy ra, B xảy ra, A va B đồng thời xảy Chú ý: Khi hai biến cố A xung khắc ta viết A + B=AUB Ví dụ 1.12 Goi A = {a,b,c} B = {b,ed,e} Khi AU B8 = {a, b, c,d, e} Vi du 1.13 Chon ngau nhién mét cong nhan tit mot céng ty khai thac dầu Giả sử A biến cố người hút thuéc 14 Goi B 1a bién cé ngudi cong - nhân uống rượu Khi đó, biến cố hợp 4U Ư tập tất công nhân mà hộ uống rượu, “hoặc hút thuốc lá, hai Vi du 1.14 Néu M = (|< MUN = 1213 t), với s,t số thực (2.19) Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học biến ngẫu nhiên khơng nhớ Thật 2.5 Một số phân phối xác suất rời rac 69 vậy, ta có P(X >s+t|X P(X >st+t,X >s) P(X > s) >s)= F(s +t) P(X >s+t) P(X > s) _ (1 — p)s** F@) — (-? = (1—p)' = F(t) = P(X > #) Biến ngẫu nhiên có phân phối hình học định nghĩa số lần thực phép thử đến thành cơng dừng Do phép thử độc lập với nhau, nên việc đếm số lần phép thứ thành công không thay đổi ta đếm thời điểm dãy phép thử mà không thay đổi hàm phân phối biến ngẫu nhiên Chẳng hạn, ta xét ví dụ truyền bit, ta truyền 100 bit, xác suất để lần xuất bit truyền lỗi, sau 100 bit, xuất bit thứ 105 xác suất kết TT TT'L Xác suất kiện 0, 92.0, 1, xác suất để lần đầu xuất lỗi bit thứ Ví dụ 2.18 Một công ty bán hàng qua mạng, công ty có 20 mặt hàng có máy tính Lenovo E430 hàng ngày hệ thống mạng lựa chọn ngẫu nhiên mặt hàng để giảm giá Ngày hôm bạn bắt đầu theo dõi trang mạng bán hàng bạn muốn mua máy tính Lenovo B430 cơng ty a) Bạn phải chờ đợi trung bình ngày đến ngày giảm giá sản phẩm máy tính Lenovo B430 đó? b) Tính xác suất để c) Bạn đợi õö ngày mà xác suất để bạn đợi thêm d) Tính xác suất để máy 20 ngày sau chưa đến đợt 1ð ngày tính có đợt giảm giá máy tính Lenovo B430 giảm giá máy tính Lenovo E430 Hãy tính đến đợt giảm giá loại máy tinh giảm giá vịng ngày tới Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số ngày phải chờ đến ngày giảm giá máy tính Lenovo E430 Khi X có phân phối hình học Do phân phối hình học phân phối khơng nhớ tức ta chọn thời điểm để bắt đầu trình đếm số sản phẩm máy tính Lenovo E430 giảm không làm thay đổi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Vì ta chọn ngày hôm ngày bắt đầu đếm gọi X biến ngẫu nhiên số ngày kể từ ngày hôm ngày giảm giá máy tính Lenovo E430 Khi X tn theo luật phãn phối hình học với tham sd p= sũ = 0,05 Hàm khối xác suất X ƒ(z) = 0,05.0,957~!, z= 1,2,3, Z x Q a) Bạn phải chờ đợi trung binh E[X] = = 20 ngày đên ngày giảm giá máy tính Lenovo E430 | | 70, | BIEN NGAU NHIEN ROI RAC b) P(X = 20) = f(20) = 0, 05.0, 9519 = 0, 0189 c) Vi phan phoi hình học phân phối khơng nhớ nên xác suất biến cố "bạn chờ ngày phải chờ thêm 15 ngày để đến đợt giảm giá" xác suất của, biển cố "đợi 15 ngày để đến đợt giảm giá" Vì xác suất cần tính P(X = 15) = f(15) = 0,05.0, 95"* = 0, 0244 d) Xác suất cần tính ‘P(X OO n =e, Do ; lim P(X = x) = T:—oo e"^\Z x ——— z =0,1,2, (2.24) Việc tính xác suất giới hạn theo công thức (2.24) rõ ràng thuận lợi nhiều so với việc tính xác suất theo phân phối nhị thức (2.23) Ví dụ 2.21 Giả sử X biến ngẫu nhiên đếm số vết nứt đoạn có độ dài L (mm) sợi dây đồng số trung bình vết nứt _ 2.5 Một số phân phối xác suất rời rạc 73 đoạn L (mm) À Việc tìm phân phối biến X tiến hành tương tự _ ví dụ Bây ta chia nhỏ đoạn dây (mm) thành n đoạn con, đoạn có độ dài đơn vị độ dài, chẳng hạn1 (um) Sợi dây chia nhỏ cho ta giả thiết : e xác suất để đoạn có nhiều vết nứt khơng đáng kể, e ta giả thiết xác suất để đoạn có vết nứt ø, e giả thiết việc vết nứt xuất đoạn độc lập với Khi ta xấp xỉ phân phối biến X thành phân phối nhị thức Mặt khác R|X] = À = np hay p = À/n, nên ta có xác suất để đoạn có chứa vết nứt p = À/n Vì ta tìm phân phối cua biến X theo cơng thức (2.23) (2.24) Ví dụ 2.20 L Trong Ví dụ 2.21 ta sử dụng đơn vị độ dài (m) để tìm luật phân phối xấp xỉ biến X Thực ta lập luận tương tự với với mơ hình liên quan đến đơn vị thời gian, đơn vị diện tích đơn vị thể tích Vì phương pháp áp dụng rộng rãi để mơ hình hóa cho nhiều _ ứng dụng kỹ thuật, chẳng hạn e dém số hạt bi ô nhiễm sản suất chất bán dẫn, e đếm số vết xước cuộn vải sản suất công nghiệp, ° đếm số gọi đến tổng đài, _e đếm số hạt nguyên tử giải phóng từ mẫu, _ e đếm số vụ tai nạn giao thông đoạn đường cao tốc v.v Một cách tổng quát ta xét khoảng số thực 7' chia khoảng thành khoảng nhỏ có độ dài A¿ đủ nhỏ cho: e xác suất có nhiều kiện xuất đoạn At khơng, e xác suất có kiện xuất đoạn nhỏ A ÀA¿/T, e kiện xuất đoạn nhỏ độc lập với - Những mơ hình mà thỏa mãn điều kiện gọi trình Poisson Với giả thiết ta xét dãy = T/At phép thử độc lập Bernoulli với xác suất thành công một`phép thử p = AAt/T, 74 CỐ BIEN NGAU NHIÊN ROI RAC = np gid nh số khơng đổi Ta có định nghĩa sau Biến ngẫu nhiên X đếm số kiện xuất khoảng đơn vị (thời gian, độ dài| v.v.) gọi biến ngẫu nhiên Poisson với tham số À > có hàm khối xác suất | —A\r ƒ@)= =”—, z=0,1/2, (2.25) I { Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số À X ~ P(A) Ta nhớ rằng, hàm e khai triển Taylor thành chuỗi theo cơng thức | 4a cÀ=1+ Do dé, > f(z) =e? z=0 | z=0 1+ Sy Sy ta tội = » T (2.26) Herre = ˆ Ví dụ 2.22: Giả sử số vết nứt dọc theo sợi dây đồng biến Poisson với trung bình 2,3 vết Imm _ a) Tính xác!suất để 1mm sợi dây có vết nứt | b) Tính xác suất để 5mm sợi dây có 15 vết nứt c) Tính xác suất để có vết nứt 2mm sợi dây Giải: a) Gọi X biến ngẫu nhiên số vết nứt 1mm sợi dây đồng Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số À = 2, Ta có xác suất để mm sợi dây có vết nứt | e232 33 P(X =3) = 3I = 0,2033 b) Goi Y biến ngẫu nhiên số vết nứt 5mm sợi dây, Y biến Poisson với tham sốÀ = 5.2, = 11,5 Bởi xác suất để ðmm sợi dấy có l5vếtnứt ~ { | ` e "11511, 515 P(Y = 15) =——————— ' 15! =0,0630 c) Goi Z biến ngẫu nhiên số vết nứt 2mm sợi dây Z | z+- + 4 biến Poisson với tham số À = 2.2, = 4,6 Xác suất để có vết nứt 2mm sợi dây đồng _ | P(Z >1)=1~: _ e464 6° P(Z =0)=1~ “gi — = 0, 9809 “Trong Ví dụ ta cần tính xác suất liên quan đến 2mm sợi dây đồng tham số biến Poisson điều chỉnh thành À = 4,6; tức trung bình 2.5 Một số phân phối xác suất rời rạc — TỔ 2mm sợi dây có 4,6 vết nứt Với điều chỉnh tham số À ta tính xác suất đoạn có độ dài sợi dây O Bây áp dụng khai triển (2.26) ta chứng mỉnh- en = So i ke~^AÀ# sen CAI eS n - oe k=0 A#-] k=1 Để tính phương sai X ta tính, E|X(X - 1)| Ta có B[XGX — DJ= Š, HÉ= ĐC Đ _ ye Mee — : © k(k — ee — Ta tính Từ ta có Ạ? = e~^Ak*~2 — kk- — — Ạ? —r A — BY E[X?] = RE[X(X - 1)| + E[X]= A? +X | V[X] = E[X?] — (E[X])? =? +A-A7 =) Vậy ta có kết luận: Giả sử X biến ngẫu nhiên Poisson với tham số À > E|X]= A V[X]=A - / (2.27) Ta thấy giá trị trung bình phương sai biến Poisson Chẳng han Ví dụ 2.22 có trung bình 2,3 vết nứt 1mm sợi dây có phương sai V[X == 2,3 Như độ lệch chuẩn ø = 2,3 = 1,5166 vet nứt/ 1mm Như mẫu liệu có phương sai mẫu lớn giá trị trung bình ta khơng nên dùng biến Poisson để mơ hình hóa cho nguồn cung cấp mẫu liệu : 76 | BIEN NGAU NHIEN ROI RAC BÀI TẬP CHƯƠNG | Bài 2.1 Một nha may chế tạo bán loại đĩa cứng với dung lượng 1000 GB, 500 GB I00 GB có sản lượng tương ứng 50%, 30% 20% Doanh số từ việc bán loại đĩa năm 50 tỷ, 25 tỷ 10 tỷ Gọi X biến ngẫu 'nhiên doanh số loại đĩa năm a) Hãy tìm bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Tìm đồ thị hàm phân phối biến ngẫu nhiên X | Bài 2.2 Một công ty chuẩn bị phân phối loại máy dùng dé phan tích mẫu đất vào thị trường Phịng kinh doanh cơng ty dự báo hội để sản phẩm "rất thành cơng", "thành công" "không thành công" 60%, 30% và, 10% Phịng kinh doanh ước tính lợi nhuận năm tương ứng với hội làilãi 15 tỷ, lãi tỷ lỗ 500 triệu Gọi X biến ngẫu nhiên lợi nhuận năm sản phẩm a) Tìm hàm,khối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X c) Vẽ biểu đồ hàm khối xác suất hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Bài Một máy truyền {000, 111, 010, 101,001,110,100,011} tin với phát xác suất day tương' tam ứng phan 4t Š: ä T8: Tổ: Tế ¡} Mã tam phân thứ k giải mã thành "từ mã" có chiều dài tương ứng — logs pr (vGi p;, xác suất tương ứng mã tam phân thứ k) Gọi X biến ngẫu nhiên chiều dài dãy từ mã a) Hay lap bang phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Hãy vẽ biểu đồ dạng cột cho hàm khối xác suất biến ngẫu nhiên X Bài 2.4 Một modem truyền tín hiệu có điện áp +2 Vol đến kênh thơng tin Kênh thơng tin cộng thêm vào tín hiệu nhiễu có giá trị điện áp thuộc tập {0, —1,—2, —3} với xác suất tương ứng {0,4; 0,3; 0,2; 0,1} Gọi Y biến ngẫu nhiên giá trị điện áp truyền kênh thông tin a) Tim bang phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y b) Tính xác suất để điện áp truyền vào kênh thông tin điện áp truyền c) Tinh xác suất để điện ấp truyền khỏi kênh thơng tin dương d) Tính giá trị trung bình phương sai biến ngẫu nhiên Y e) Tìm hàm phân phối xác suất #(y) biến ngẫu nhiên Y vẽ đồ thị hàm F(y) | Bài 2.5 Một hệ thống điện tử có thiết bị tản nhiệt kích hoạt cách độc lập để giải phóng nhiệt độ sinh hệ thống hoạt động Xác suất dé BAI TAP CHUONG | _ 77 thiét bi tan nhiét dudc kich hoat 1A 0,35 Dé thiét ké théng.tan nhiét cho hợp lý người ta cần tính xác suất số kiện liên quan đến số thiết bị tản _ nhiệt kích hoạt a) Gọi X biến ngẫu nhiên số thiết bị tản nhiệt kích hoạt, tìm hàm khối xác suất X b) Tính xác suất để khơng có thiết bị tắn nhiệt kích hoạt c) Tính xác suất để có thiết bị tần nhiệt kích hoạt -đ) Tính xác suất để có nhiều thiết bị tản nhiệt kích hoạt Bài 2.6 Một sinh viên từ nhà đến trường phải qua vị trí có đèn tín hiệu giao thơng Ở hệ thống đèn tín hiệu đặt thời gian 4ð giây màu xanh, ð giây màu vàng, 50 giây màu đỏ Các hệ thống đèn tín hiệu hoat động độc lập với a) Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên số lần gặp đèn đỏ di tit nha đến trường _b) Tính xác suất để số lần gặp đèn xanh không lần c) Tính xác suất để sinh viên gặp lần đèn đỏ, lần đèn xanh, lần đèn vàng Bài 2.7 Một cơng ty có máy tính hoạt động độc lập với Xác suất để ngày hoạt động máy tính gặp cố 0,01; 0,012 và, 0,015 Gọi X biến ngẫu nhiên số máy tính hoạt động tốt ngày a) Hãy lập bảng phân phối xác suất biến X | b) Trung bình ngày hoạt động có máy bị hỏng? c) Tính xác suất để ngày hoạt động có khơng máy bị hỏng Bài 2.8 Một tin nhắn truyền qua cổng thông tin đường truyền Nếu tin nhắn truyền qua cổng trước khơng bị lỗi truyền tới cổng sau Xác suất “truyện lổi cổng 0,008; 0,01; 0,015 0,02 Gọi X số cổng thông tin mà tin nhắn truyền qua không bị lỗi a) Hãy tìm hàm khối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Tinh E[X] va V[X] c) Giả sử có hai tin nhắn truyền Hãy tính xác suất để có it tin nhắn truyền thành công Bài 2.9 Cho biết số lần sinh viên vào mạng internet điện thoại di động biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất P(X =k) = raT k = 0,1,2,3,4 a) Tìm tham số c hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Tính số lần trung bình vào mạng sinh viên | 78 | | _ BIEN NGAU NHIEN ROI RAC Bài 2.10 Các lỗi kênh thông tin thường tạo trình truyền tin phát phận phát sung bị Số lỗi truyền bit biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất là: F(z) = néuz