TRẦN ĐẮC SỬ (Chủ biín)
_ NGUYỄN MẠNH TOĂN ~ LÍ DUY NGỤ ~ HỒ SĨ DIỆP TONG TRAN HIEN — NGUYEN VĂN CHƯƠNG
TRAC DIA DAI CUGNG
TRUONG BAI HOC GIAO THONG VAN TACO S6 2
FHU VEEN 05422 ail
NHA XUAT BAN GIAO THONG VAN TAI HA NOI — 2007
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sâch “Trắc địa đại cương” được biín soạn tât bẩn lđn thứ hai theo chương
trình cai câch giâo dục của Bộ Giâo dục vă Đảo tạo vă đê được Hiội đồng ngănh xđy
dựng công trùnh giao thông thông qua Đđy lă tăi liệu chính để giảng dạy vă học tập cho sinh viín ngănh Xđy dựng Cầu đường, Trường đại học Giao thông Vận tải ngoăi ra cịn
có thĩ ding lăm tăi liệu tham khảo cho câc cân bộ kỹ thuật trong ngănh
Cuối sâch năy nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản của trắc địa đại cương, đồng thời giúp cho sinh viín bước đầu lăm quen với công tâc khảo sât, thu thập số liệu, thao tic, su dung được một số mây trắc địa, biết câch tiến hănh câc công tâc đo đạc cơ bẩn, tính tôn vă xư lý số liệu đo
Sâch do câc giảng viín của BỘ môn Trắc địa Trường đại học Giao thơng Vận tải biín SOary, gỔm:
- TS Tran Đắc Sử viĩt PHAN MO'DAU, chuong: I: VII: X:
V (phan V.10); IX (phần IX.1, IX.2) -KS Nguyễn Mạnh Toăn viết chương: IƑ IX (phđn IX.3 đến IX.6) - KS Lĩ Duy Ngu viĩt chirong: V (phan V.1 dĩn V.9) - THS Hồ Sỹ Diệp viĩt chuong: I; VIL
-KS Tong Tran Hiĩn — viítchương: VŨ
- KS Nguyĩn van Chuong — viĩt chuong: IV
Câc tâc giả đê cố gắng biín soạn nội dung vừa mang tính tống hợp vừa mang tinh tứng dụng nín khơng trânh khỏi thiếu sót chúng tôi rêt mong nhận được những ý kiến
đóng góp của bạn đọc để cuốn sâch được hoăn thiện hơn
Chúng tơi xí chđn thănh cảm ơn PGS - 1S Trần Khânh —- Khoa Trắc Địa, Trường Đại học Mở địa chất đê góp nhiều ý kiến quý bâu trong quâ tình hoăn thiện bản thảo
Câc tâc giả
Trang 3MỞ ĐẦU
1 NHIỆM VỤ CỦA NGĂNH TRẮC ĐỊA
Ngănh khoa học trắc địa có nhiệm vụ nghiín cứu về hình dâng, kích thước quả đất, về câc phương phâp đo đạc vă biểu thị bể mặt quả đất dưới dạng bản đồ vă số liệu Để giải quyết vấn để trín, ngănh trắc địa có mối quan hệ chặt chế với câc ngănh khâc như: thiín văn, địa chất, địa vật lý vă một số ngănh khoa học khâc về quả đất ,
Ngăy nay với sự xuất hiện vệ tinh nhđn tạo, ngănh trắc địa cịn nghiín cứu hình
z „ z ` a ^“ ˆ wa ˆ z ? v ` ^ 221%
đâng, kích thước vă một số thông số kỹ thuật khâc cưa mặt trăng vă một số hănh tỉnh
Z xe ? a
khac ngoai qua dat
Khoa học trắc địa được chia ra những chuyín ngănh như: trắc địa cao cấp, trắc địa
` “ĩ A ` “ : ? ` 2 a
địa hình, trắc địa cơng trình, trắc địa anh vă ban đồ
Trắc địa cao cấp: Có nhiệm vụ nghiín cứu về hình đâng, kích thước quả đất, xâc
định chính xâc tọa độ câc điểm riíng biệt trín bể mặt quâ đất trong hệ toạ độ thống
nhất, đồng thời lăm cơ sở cho câc chuyín ngănh khâc Nhờ câc kết quả nghiín cứu đầu
tiín của trắc địa cao cấp người ta cho quả đất lă hình cầu, qua đó đê xâc định được hình
dang cua qua dat lă Elipxoid tròn xoay
Trắc địa địa hình: Chun nghiín cứu hình dạng, kích thước vă thể hiện khu vực
nhỏ của bề mặt quả đất (nhỏ hơn 300km”) Nhiệm vụ của trắc địa địa hình lă nghiín cứu câc phương phâp đo đạc một vùng đất để xâc định biín giới, diện tích, đặc trưng địa hình, địa vật vă vị trí của nó với câc vùng xung quanh Kết quả đo đạc tính toân được biểu điễn dưới đạng bình đồ, bản đồ hoặc những số liệu cần thiết phục vụ cho câc mục đích kinh kế vă kỹ thuật Trắc địa địa hình cịn nghiín cứu câc loại dụng cụ vă mây trắc địa, câc phương phâp đo vă xử lý số liệu đo đạc
Trắc địa công trinh: Có nhiệm.vụ nghiín cứu câc phương phâp đo đạc trong quâ trình khảo sât, thiết kế, xđy dựng vă theo doi độ biến dạng câc cơng trình như: nhă mây, xí nghiệp, cầu đường, đập thuỷ điện vă câc công trình ngầm
Trắc địa ảnh: Chun nghiín cứu câc phương phâp chụp ảnh (ảnh hăng không, ảnh vệ tỉnh, ảnh mặt đất) vă xử lý ảnh để thănh lập bình đồ, bản đồ
Bản đồ: Chuyín nghiín cứu câc phương phâp thănh lập câc loại bản đổ, tiến hănh biín tập chỉnh lý, in ấn vă xuất bản câc loại bản đồ
2 TOM TAT LICH SU PHAT TRIEN CUA NGANH TRAC DIA
Trắc địa lă ngănh khoa học đê ra đời vă phât triển đo nhu cầu phục vụ đời sống con người Từ xa xưa, người Hy Lạp, Trung Quốc vă một số nước trín thế giới đê âp dụng trắc địa để phđn chia đất đai thănh những vùng riíng biệt
Văo thế kỷ thứ II trước cơng ngun khi loăi người đê công nhận quả đất lă hình
cầu nhă bâc hợc Epatostel (Hy Lạp) đê xâc định được bân kính quả đất
Trang 4a ^“ z ` z ˆ ` ~ a ` 2 “ a 2 xi» Đầu thế kỷ thứ XVII nhă toân học Sneliraon (Hă Lan) đê níu ra cơ sở lý luận về lưới
, ^“ os ` Z wae : 2s Ne a’
khống chế tam giâc vă ứng dụng nó để tính chiều dăi kinh tuyến
Trơng những năm (1735 - 1736) Viện hăn lđm khoa học nước Nga đê tổ chức kiểm chứng lý thuyết tính Elíp do Newton níu ra bằng phương phâp đo đạc, từ đó ngănh
trắc địa phât triển không ngừng dựa trín cơ sở tôn học
Ở Việt Nam, ngay từ thời Đu Lạc con người đê âp dụng khoa học trắc địa trong Việc xđy đựng thănh Cổ Loa vă câc công trình có kiến trúc phức tạp
Dưới thời nhă Lí, vua Lí Thânh Tơn đê cho người đi khảo sât địa hình vă vẽ được
bản đồ văo năm 1469
Đầu thế kỷ 20, sau khi thơn tính vă lập nền đô hộ ở nước ta, người Phâp đê tiến hănh công tâc đo vẽ bản đồ toăn Đông Dương nhằm mục đích khai thâc vùng đất năy
Trong thời kỳ khâng chiến chống Phâp (1946-1954), công tâc trắc địa phục vụ chủ yếu cho mục đích quđn sự Sau khi cuộc khâng chiến thănh công nước ta đê chú trọng
tới công tâc trắc địa vă năm 1959 thănh lập Cục đo đạc ban đồ nhă nước, năm 1994, trín
cơ sở hợp nhất Tổng cục quản lý ruộng đất vă Cục đo đạc bản đồ, nhă nước thănh lập Tổng cục địa chính Hiện nay câc cơng tâc trắc địa bản đồ cơ bản của nước ta do Cục đo đạc vă bản đồ thuộc Bộ Tăi nguyín vă Môi trường quản lý, điều đó đê đânh dấu một
bước trưởng thănh của ngănh Trắc địa Việt Nam
Nhờ có sự phât triển nhanh của câc ngănh khoa học, đặc biệt lă trong lĩnh vực điện tử, tin học, ngănh trắc địa cũng có những bước tiến mới, nhiều mây hiện đại được ứng
Trang 5‘CHUONG 1
NHỮNG KHÂI NIỆM CƠ BẢN TRONG TRAC DIA
1.1 HÌNH DÂNG VĂ KÍCH THƯỚC QUÂ ĐẤT
Bề mặt tự nhiín của quả đất bao gồm 1/4 lă lục địa vă 3/4 lă đại đương Bề mặt lục địa có cấu tạo rất phức tạp bao gồm: đồi núi, sơng ngịi, hồ, ao v.v phần lớn gồổ ghế vă có tính chất rất phức tạp Vì vậy khơng thể coi bể mặt lục địa lă hình đạng chung của quả đất Mặt khâc, lúc biển lặng, bề mặt đại dương phẩn ânh đúng bể mặt thực của quả đất, vậy người ta coi bề mặt của quả đất trừng với mực nước biển ở trạng thâi yín tĩnh
Qua nghiín cứu, người ta đê nhận thấy bề mặt quả đất có đạng rất phức tạp, không
theo dạng tôn học chính tắc vă được gọi lă mặt Geoid (hình 1.1a) Bề mặt gần giống với mặt Geoid lă mặt Elipxoid xoay quanh trục ngắn PP, (hình 1.1b)
Mat geoid (mat Se : > Ce _
thuỷ chuẩn qua dat}
Bẻ mật tự nhiín Măi Elipxoid _ nh 11- Mặt Geoid vă Elipxoid 1.1.1 Mặt Geoid |
Mặt Geoid hay còn gọi lă mặt thuỷ chuẩn quả đất lă mặt nước biển trung bình ở
trạng thâi yín tĩnh, kĩo dai xuyín qua câc lục địa v vă hải đảo tạo thănh một: mat cong
khĩp kin
Mặt Geoid có hình đạng rất phức tạp vă không phải lă mặt toân học Tại mọi điểm trín mặt đất thì phương của đường dđy dọi ln vng góc với mat Geoid
Phương của đường dđy dọi lă phương của trọng lực (5) vă phụ thuộc văo sự phđn bố vật chất trong lòng quả đất Để có thể giải được câc băi tôn liín quan đến câc cơng thức tôn học, trong trắc địa chúng ta sử dụng mặt Elpxoid tròn xoay (Elipxoid quả
đất) thay cho mặt Geoid
1.1.2 Mat Elipxoid quả đất
Mat Elipxoid qua đất lă mặt Elipxoidl tròn xoay, được sử dụng thay thế cho mặt Geoid, vì vậy căn cứ văo mặt Geoid ta phải định vị Elipxoid quả đất theo câc nguyín
Trang 6_a Tđm của Elipxoid quả đất trùng với tđm quả đất
b Mặt phẳng xích đạo của Elipxoid quả đất trùng với mặt phẳng xích đạo quả đất c Thể tích của Elipxoid quả đất bằng thể tích Geoid
d Tổng câc bình phương độ lệch giữa mặt Elipxoid quả đất theo đường day doi va
mặt Geoid lă nhỏ nhất
[h? ] = min
Mat Elipxoid quả đất lă một mặt toân học, câc tính tôn trắc địa được thực hiện trín
mặt năy Tại mọi điểm trín mặt đất thì phương phâp tuyến (F) ln ln vng góc
với mặt Elipxoid Như vậy mặt Elipxoid quả đất vă mặt Geoid khơng trùng nhau nín phương phâp tuyến, va phuong đường day doi không trùng nhau Nếu lấy phương phâp tuyến lăm chuẩn, bằng phương phâp đo đạc trắc địa ta xâc định được độ lệch giưa
chúng vă gọi lă độ lệch dđy dọi z (hình 1.1a) Độ lệch dđy đọi trung bình từ 3” + 4”, cũng
có nơi đến 10” thậm chí đến 1, giâ trị độ lệch dđy dọi phụ thuộc văo sự phđn bố vật chất trong lòng quả đất Dựa văo độ lệch đường đđy đọi, người ta có thể chuyển câc yếu ‡ố đo đạc từ mặt Geoid sang mặt Elipxoid quả đất
1.1.3 Kích thước quả đất
- Trong tính tôn câc kết quả đo đạc, người ta coi quả đất lă Elipxoid có kích thước được đặc trưng bởi ba yếu tố sau:
— Bân trục dăi: a (OQ=a) — Bân trục ngắn: b(OP=b) — Độ đẹt œ được tính từ cơng thức: a-b a a= (1.1)
Kich thước của Elipxoid quả đất được nhiều nhă khoa học xâc định với kết quả
khâc nhau Ở Việt Nam trước năm 2000 sử dụng số liệu cua nha bac hoc Craxôpvxki ;
(a = 6.378.245m, b = 6.356.863m, œ = 1: 298,3), từ năm 2000 đến nay sử dụng số liệu của hệ quy chiếu trắc địa thế giới năm 1984 (WGS-84: a = 6.378.137m, b = 6.356.752m, œ = 1: 298,2)
Chú ý: Vì độ det a rất nhỏ nín trong một số trường hợp để đơn giản việc tính tôn
-_ có thể coi quả đất lă hình cầu với bân kính R = 6371km
1.2 ANH HUONG ĐỘ CONG QUA DAT ĐẾN KHOẢNG CÂCH NGANG VĂ
ĐỘ CAO
Để có thể tính tôn chính xâc câc kết quả đo trín câc vùng khâc nhau của quả đất, người ta phải chiếu câc kết quả đó xuống mặt Elipxoid theo phương vng góc với mặt đó rồi mới chuyển lín mặt phẳng Việc tính chuyển lă một quâ trình biến đổi, tính tôn phức tạp do phải tính đến độ cong quả đất, chuyển từ mặt cầu lín mặt phẳng Chúng ta xâc định xem trong phạm vi năo có thể coi bĩ mat hình cđu của quả đất lă mặt phẳng, nghĩa lă khơng tính đến ảnh hướng độ cong quả đất đến kết quả đo
Trang 7Giả sử coi quả đất lă hình cầu bân AI
kính R, thay phạm vi mặt cầu ATB bằng
mặt phẳng năm ngang A'TB' tiếp xúc với
mặt cđu tại T điểm giữa khu vực Chúng
ta so sânh độ đăi cung TB = S với tiếp tuyến TB’ = t (hình 1.2)
Từ hình(1.2) ta có: t=R tgœ vă
S=R.ơ (1.2)
Khi đó độ chính lệch giữa độ đăi
trín mặt phẳng nằm ngang vả trín mặt
cđu lă: Ị`°
AS=t—S - (1.3) Hình 1.2- Ảnh h wong dĩ cong qua dat Thay công thức (1.2) văo công thức (1.3), ta có:
AS =R(tga—- a) (1.4)
Vì độ đăi cung S rất nhỏ so với bân kính R nín góc œ cũng nhỏ,vì vậy ta có thể triĩn’ khai tga nhu sau:
tgơ = œ + + se 3)
Trong công thức (1.5) chỉ lấy hai số hạng đầu vă thay văo công thức (1.4), khi đó:
AS=R.— : (1.6)
3 -
Từ công thức (1.2) ta có: = = vă thay văo (1.6) sẽ-thu được:
Si s
AS= =—, 3R? d2) | 1 Ví dụ 1: Nếu lấy giâ trị gần đúng R = 6.371km vă S = 10km, ta tính được:
AS i
S 1.218.000
Độ chính xâc đo chiều dăi thực tế hiện nay chỉ đạt được tối đa lă 1: 1.000.000, do dĩ khi đo đạc trong khu vực có bân kính nhỏ hơn hoặc bằng 10km, có thể bỏ qua sai số do ảnh hưởng độ cong của quả đất (coi mặt cđu quả đất lă mặt phẳng)
Chúng ta xâc định giâ tri doan AA’ = BB’ = Ah (hình 1.2), Ah lă a anh hưởng độ cong quả đất đến độ cao câc điểm trín bể mặt quả đất
R cosa
Ah=R[—L_~I “cosa dụ) 19
Trang 8Khai triển vă thay văo công thức (1.9) sẽ thu được:
cosa
Ah=R H+Š—+-—~ø*+ —1 2° 240 (1.10) Ta lấy hai số hạng đầu của dêy khai triển thi:
_Ah=R.— (1.11) 7 So as s
Thay œ= R vao cong thức (1.11): Ah= oR (1.12)
Vi du 2: Chúng ta cho 5 những giâ trị khâc nhau sẽ nhận được giâ trị Ah như trong bang 1.1 Bảng1.1 S(m) 100 1.000 2.000 3.000 5.000 | 10.000 Ah(cm) | 008 | 7,8 31 71 105 | 780
Như vậy, ảnh hưởng độ cong quả đất tới độ cao câc điểm lă đâng kể trong công tâc trắc địa cơng trình( khi yíu cầu xâc định độ cao từ 1+2cm thậm chí cao hơn), do đó khi chuyển độ cao, kể cả qua những khoảng câch không lớn cũng phải lưu ý tính đến sai số
năy ˆ
1.3 HINH CHIẾU CUA MAT DAT LEN MẶT CẦU VĂ MAT PHANG, KHÂI
NIỆM VỀ BẢN ĐỒ, BÌNH DO VA MAT CAT
Để thuận lợi cho công tâc thiết kế kỹ thuật, trong | trắc địa người ta đê nghiín cứu câc phương phâp biểu diễn bể mặt quả đất lín mặt phẳng tờ giấy Phương phâp năy cho phĩp chúng ta thu nhỏ bề mặt quả đất với độ chính xâc cần thiết
Bĩ mặt tự nhiín của quả đất có cấu tao rất phức tạp, vì vậy để biểu diễn nó lín mặt phẳng, người ta phải chiếu bề mặt quả đất lín mặt cầu rồi thu nhỏ mặt cầu quả đất theo tỷ lệ yíu cđu Bằng phĩp chiếu xuyín tđm ta tiếp tục chiếu hình cầu quả đất lín mặt trụ hoặc mặt nón rồi cắt mặt đó theo một đường sinh được chọn trước vă trải ra mặt phẳng Câc phương phâp chiếu năy lăm cho bể mặt quả đất bị biến dạng, mức độ biến dạng phụ thuộc văo điểm chiếu cũng như phương phâp c chiếu Trong imoi trường hợp chúng
ta luôn tính được giâ trị biến dang bằng phương phâp toânhọc -
Khi biểu diễn bể mặt quả đất trong một phạm vi nhỏ với độ chính xâc không cao, chung ta không chiếu bề mặt quả đất lín mặt cầu mă chiếu trực tiếp lín mặt phẳng 1.3 1 Phương phâp chiếu
Địa hình vă địa vật lă tập hợp vơ số câc điểm có quy luật trong khơng gian, vì vậy
để biểu diễn địa hình địa vật chúng ta chỉ cần biểu điễn một số điểm đặc trưng rồi dựa
văo quy luật của chúng suy ra câc điểm còn lại
Trang 92 a? v >
Giả sử có bốn điểm A, B, C, D nằm A B
trín mặt đất tự nhiín, để biểu điễn |
chúng lín mặt cđu (coi mặt Geoid lă -ÍĂ ats
mặt cầu) chúng ta dùng phương phâp chiếu xuyín tđm theo phương của
D Cc
đường dđy đọi (hình 1.3) |
Khi d6 a’, b’, c’, d@’ la hinh chiĩu cua | ti “ti
A, B, C, D trín mặt cầu Q Nếu thay | - |
mặt cầu Q bằng mặt phắng P thì a, b, c, i
—_ ™
— đ lă hình chiếu của A, B, C, D trín mặt Km
phẳng P Hình chiếu abcd trín mặt _ phẳng bị biến đạng so với abcd' về chiểu dăi vă góc, độ biến dạng phụ thuộc văo hình chiếu ABCD, nghĩa lă phụ thuộc văo diện tích khu vực biểu điễn Đối với khu vực có diện tích nhỏ, sai số biến dạng nhỏ hơn sai số đo đạc, khi đó chúng ta âp dụng phương phâp L/ chiếu theo đường dđy dọi lín mặt phẳng vẫn đảm bảo yíu cầu độ chính
xâc biểu diễn địa hình, địa vật - Hinh 1.3— Phĩp chiếu xuyín tđm
1.3.2 Khâi niệm về bản đồ, bình đổ vă mặt cắt địa hình
Mọi hình chiếu biểu diễn thu nhỏ bể mặt thực địa trín giấy đều được gọi chung lă bình đồ hoặc bản đồ, tuy nhiín giữa bình đồ vă bản đồ có sự khâc biệt cơ bản
Ban đồ lă hình ảnh thu nhỏ vă được khâi quât hoâ một phần rộng lớn bề mặt quả đất lín mặt phẳng nằm ngang theo phĩp chiếu hình bản đồ với những nguyín tắc biín ` - tập khoa học Như vậy, khâi niệm bản đồ phải hiểu lă biểu thị một khu vực lênh thổ rộng lớn, có tính đến ảnh hưởng của độ cong quả đất vă đặc điểm biến dạng của phĩp chiếu hình, sử dụng thống nhất hệ thống tọa độ, độ cao nhă nước
Theo nội dung, bản đồ được chia lăm hai loại lă bản đồ địa-lý chung vă bản đồ chuyín môn Bản đồ địa lý gồm ba nhóm lă bản đồ địa lý khâi quât, bản đồ địa hình khâi quât vă bản đồ địa hình tỷ lệ lớn
Bình đồ khâc với bản đồ, bình đổ biểu thị một khu đất nhỏ theo phĩp chiếu hình đơn giản, nghĩa lă coi mặt quy chiếu toạ độ vă độ cao lă mặt phẳng nằm ngang Bình đồ thường có tỷ lệ rất lớn vă được ứng dung nhiều trong trắc địa công trình, ví dụ: bình đồ của một khu xđy dựng, một tuyến giao thông, thuỷ lợi Tuỳ theo yíu cầu sử dụng mă bình đồ có thể không sử dụng hệ tọa độ, độ cao Nhă nước hoặc không biểu thị
đâng đất :
Mặt cắt địa hình: ĐỂ giải quyết nhiều nhiệm vụ kỹ thuật khâc người ta cịn biểu điễn trín giấy dưới dạng thu nhỏ vă đồng dạng hình chiếu địa hình theo một hướng nhất định năo đó theo chiều thắng đứng, những bản vẽ năy gọi lă mặt cắt (hình 1.4a mặt cắt ngoăi thực địa; hình 1.4b mặt cắt vẽ trín giấy) Trong thực tế thường sử dụng hai loại mặt cắt lă mặt cắt đọc vă mặt cắt ngang
Trang 10| | | | | | | l | | ] | ; 4 | | | | | | | | | | | | to} Mặt Thuý Chuẩn
a - Mặt cắt ngoăi thực địa b - Mặt cắt vẽ trín giấy Hình 1.4 - Mặt cắt địa hùnh
1.4 CÂC HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG TRẮC ĐỊA 1.4.1 Hệ tọa độ địa lý :
Để xâc định tọa độ địa lý của một điểm trín bề mặt quả đất chúng ta coi qua đất lă
hình cđu tđm O, với trục quay BN (B, N gọi tắt cực Bắc vă cực Nam quả đất - hình 1.5) Để hiểu rõ về tọa độ địa lý chúng ta xem xĩt một số khâi niệm sau:
Duong kinh tuyĩn: La giao tuyĩn gitta mat phang chứa trục quay quả đất với mặt cau Mặt phẳng chứa đường kinh tuyến gọi la mat phang kinh tuyĩn Mat phang kinh tuyến đi qua đăi thiín văn Gơrinuyt (G) gần thủ đô Luđn Đôn lă mặt phẳng kinh tuyến
gốc của quả đất
Đường vĩ tuyến: Lă giao tuyến giữa mặt phẳng vng góc với trục quay qủa đất
với mặt cầu, mặt phẳng chứa đường vĩ tuyến gọi lă mặt phẳng vĩ tuyển Mặt phẳng vi tuyến đi qua tđm của quả đất gọi lă mặt phẳng xích đạo
B¢ Bae )
V1 tuyển điểm M Rinh tuyín điểm M —~-—“F—=—=-=_
T( Tđy ) eyo D( Dong )
Duimy vich daa Kinh tuyển uữc
N(Nam )
Hình 1.5 - Hĩ toa dĩ dia ly
Vị trí của một điểm bất kỳ nằm trín bể mặt quả đất có thể xâc định được nếu biết tọa độ địa lý của nó
Kính độ dia ly (A) cua một điểm lă góc nhị diện tạo bởi mặt phẳng kinh tuyến gốc
vă mặt phẳng kinh tuyến của điểm đó Kinh độ được tính từ kinh tuyến gốc về phía Đơng (gọi lă kinh độ Đông) vă về phía Tđy (gọi lă kinh độ Tđy) vă có độ biến thiín từ 0° + 180°
Vĩ độ địa lý (o) của một điểm lă góc hợp bởi mặt phẳng xích đạo vă phương đường dđy đọi của điểm đó Vĩ độ được tính từ mặt phẳng xích đạo về phía Bắc bân cầu gọi
Trang 11lă vĩ độ Bắc, về phía Nam bân cầu gọi lă vĩ độ Nam vă có độ biến thiín từ
0° + 90°
Ví dụ: tọa độ địa lý của điểm M (hình 1.5) gồm: ^.— kinh độ vă — vĩ độ, câc yếu tố
năy được xâc định nhờ đo đạc thiín văn.Hay Hă Nội có tọa độ địa lý: @ = 21° vĩ độ Bắc; Ă = 10” kinh độ Đông
1.4.2 Hệ tọa độ vng góc phẳng
Khi đo đạc trín khu vực khơng lớn chúng ta coi bể mặt quả đất lă mặt phẳng, vì
vậy để xâc định vị trí câc điểm trong trường hợp năy ta dùng hệ toạ độ vng góc
2 ` ` ˆ A ^ˆ^ 4 4 x
phăng hay còn gọi lă hệ tọa độ vuông góc quy ước (hình 1.6)
Hệ tọa độ vng góc phẳng gồm hai trục ox vă oy vng góc với nhau
Trong đó: O lă gốc tọa độ , Trục hoănh OX trùng với hướng Bắc - Nam - Trục tung OY trùng với hướng Đông — Tay
Hệ toạ độ chia mặt phẳng thănh bốn phần theo thuận chiều kim đồng hồ:
I (Bắc-Đông), II (Nam-Đông), II (Nam-Tđy), IV (Bắc-Tđy)
hex ` | La (@ >| Ta 7 1 ® 5 TW FX +x, | | ị i ~ -YŒ) 0 ; #¥D) J 1 “Xe ! “Ky bf 0 pee eee 5 l , tờ L ———- ˆ ch~¬ @) Ye |x) @) Hình 1.6 - Hệ toa đỘ vng góc phẳng
Nhờ hệ tọa độ nđy người ta có thể xâc định được tọa độ của một điểm bất kỳ, dấu
của hoănh độ vă tung độ tuỳ thuộc văo điểm nằm trong góc phần tư năo (bảng 1.2)
Bảng1 2 Tọa độ Góc phần tư X Y I - Bắc- Đông(BĐ) _ + + Il — Nam— Dĩng (NB) ~ + IH— Nam - Tđy (NT) ~ —
IV — Bac — Tay (BT) + —
Trang 12
1.4.3 Hệ tọa độ vuông góc phẳng Gauss — Kriuger
Phương phâp chiĩu Gauss Kinh tuyển trục
Chia quả đất hình cầu theo câc đường RX, B kinh tuyĩn ra ting mui 6°, bắt đầu từ kinh SCAN tuyến gốc có kinh độ ^ = 0° vă đânh số thứ OX] tự từ 1 + 60 qua Tđy sang Đông (hình 1.7)
Kinh tuyến giữa của mỗi múi gọi lă kinh
tuyến trục có kinh độ được tính theo cơng r » :
thức (đối với múi 6°):
Atrye = (n — 1) 6° + 3° (1.13) Ui
Trong đó:
n — Lă số thứ tư của múi (n = 1 + 60) be pees
‘ ¢ ) Aiinh 1.7 - Phđn chữa múi chiíu
Sau khi đê chia múi vă xâc định được kinh tuyến trục của mỗi múi, đặt quả cầu nội
tiếp trong một hình trụ nằm ngang có bân kính bằng bân kính quả cầu (hình 1.8a)
Đường xích đạo Ả ¬ T— _Z | 17 Z0 | Ry | | | ĐI | | »—L ~ | |
Kinh tuyĩn truc
| Hinh 1.8 - Phĩp chiĩu Gauss- Kriuger
Xoay quả cầu sao cho kính tuyến trục múi thứ nhất tiếp xúc với mặt trong hình trụ: Lấy tđm quả cầu lăm tđm chiếu lần lượt chiếu từng múi một bắt đầu từ múi thứ nhất sau đó vừa xoay vừa tịnh tiến hình cầu đến múi thứ hai tại vị trí kinh tuyến trục tiếp xúc với mặt trụ vă tiếp tục chiếu
Cắt mặt trụ theo hai đường sinh BB), NN vă trải ra mặt phẳng (hình 1.8) Đặc điểm của múi chiếu hình
Đường xích đạo được chiếu'thănh đường thẳng vă được chọn lăm trục tưng (Y) của
2
hệ tọa d6 vuĩng goc phang Gauss — Kriuger
Đường kinh tuyến trục của mỗi múi được chiếu thănh đường thắng vă chọn lăm
trục hoănh (X) của hệ toạ độ, trục X vng góc với trục Y tại điểm O — goi la gĩc tọa độ
Trang 13~ ` 2 ae bă
Những đường thắng song song với hình
wat ? , `AZ ` sy z
chiếu của kinh tuyến trục vả đường xích đạo _ tạo thănh lưới tọa độ vng góc (hình 1.9)
.Ă ae ? : a? A
Chiều dăi của kinh tuyến trục không thay
wpe is : ^7 : 2s
d6i, con cac kinh tuyĩn khac bi thay d6i sau khi
wy da we 1d
chiếu lín mặt phẳng Gauss — Kriuger
x re Z > `
Chiíu đăi câc đoạn thăng nắm cảng xa
kinh tuyến trục bị biến đạng căng nhiều, đặc
tay os Ậ Te at tA x as ga
biệt ở vùng gần hai kinh tuyến biín mơi múi độ
eat 2 2 1A Z* ˆ“ aye ae
biến đạng có thí lín tới x5 đối với múi 6°
ws gas 2
(S —chiĩu dai doan thang)
Hạnh 1.9- Lưới toa độ vuông góc
Độ biến dạng chiều đăi của một đoạn thắng khi chiếu xuống mặt phẳng Gauss — Kruger nếu biết tọa độ điểm đầu vă điểm cuối có thể tính theo cơng thức sau:
AS =S-d= 2.5 2R 7 aay)
Trong đó: đ - Độ đăi cung trín mặt cđu
5 ~- Khoảng câch tương ứng trín mặt phẳng Gauss R - Ban kinh qua dat
Ay = y.— Yq - Số gia hoănh độ giữa điểm đầu vă điểm cuối trong hệ toạ độ vng góc Gauss
Nhận xĩt: Nếu chọn giao điểm giữa kinh tuyến trục va đường xích đạo lăm gốc hệ -tọa độ vng góc phẳng Gauss — Kriuger thì câc điểm nằm ở nửa múi về phía Tđy kinh -
tuyến trục có giâ trị hoănh độ mang đấu đm Để khắc phục nhược điểm trín, người ta quy ước chuyển trục X về phía Tđy một đoạn 500km, khi đó mọi điểm nằm trong múi có giâ trị hoănh độ mang dấu dương (hình 1.10), điểm gốc O có toạ độ X, = 0 km; Y, = 500 km Để xâc định điểm M thuộc múi năo người ta đê qui định ghỉ số thứ tự múi trước giâ trị y của điểm đó
-_ Ví dụ: Toạ độ M: Xạ, = 2.209.000,00m hs + Yạụy = 18,576.000,00m Như vậy điểm M nằm
trong múi thứ 18 vă kinh độ của kinh tuyến x, w
trục lă: c x |
' Aw 0 +Y
a Yu Y
ewe = (18-1).6° + 3° = 105°
Điểm M nằm ở Bắc bân cầu câch đường
xích đạo 2.209km Để xem M nằm ở phía Đơng say km
hoặc phía Tđy kinh tuyến trục thì ta xĩt: Ex -X
Trang 14Nếu y > 0 chứng tỏ điểm M nằm ở phía Đơng kinh tuyến trục Nếu y < 0 chứng
tỏ điểm M nằm ở phía Tđy kinh tuyến trục Trong trường hợp trĩn y’,, = 76.000,00m da
chứng tỏ rằng điểm M nằm ở phía Đông kinh tuyến trục
a x 2 ? z tA! : ~ oe ` ca x
Để khắc phục nhược điểm của phĩp chiếu Gauss — Kriuger lă câc vùng biín mui
nw z on 2 ỉ as wi ` oa , on ? z 2 re
chiếu có biến đạng lớn về chiều dăi vă diện tích, hiện nay ở nước ta sư dụng phĩp chiếu U.T.M
Phĩp chiếu U.T.M cũng được thực hiện với từng múi như phĩp chiếu Gauss — Kriuger, nhưng trọng phĩp chiếu UTM sử dụng hình trụ ngang cắt mặt quả đất theo hai đường đối xứng nhau qua kinh tuyến trục của múi chiếu Kinh tuyến trục nằm ngoăi mặt trụ, còn hai kinh tuyến biín nằm trong hình trụ Tỷ lệ chiếu của kinh tuyến trục
nhỏ hơn 1 (với múi chiếu 6° có k= 0,9996; múi 3” có k = 0,9999), ty lệ chiếu của hai kinh
tuyến biín lớn hơn 1 Hai đường cong cắt mặt trụ có hệ số chiếu bằng 1, tđm chiếu lă tđm O của quả đất
Đường xích đạo N
Kinh tuyĩn truc
Hình 1.11 - Phĩp chiếu UTM
Sau khi chiếu từ mặt cđu lín mặt trụ rồi trải ra mặt phẳng, kinh tuyến trục trổ thănh đường thang đứng, đường xích đạo trở thănh đường nằm ngang vă vng góc với kinh tuyến trục Hai đường năy được chọn lăm hai trục của hệ tọa độ vng góc U.T.M (hình 1.11) Câch chiếu như vậy sẽ giảm được sai số biến dạng ở ngoăi biín vă phđn bố đều trong phạm vi múi chiếu Nhưng khi xử lý số liệu lại rất phức tạp (vì trong múi chiếu ở câc vùng khâc nhau hoặc thậm chí khi xĩt trong một vùng độ biến dạng mang dấu đm, dương khâc nhau)
Hiện nay để thuận tiện cho việc sử dụng hệ toạ độ chung trong khu vue va thĩ
giới, trong hệ tọa độ mới VN-—2000 sử dụng phĩp chiếu UTM thay thế cho phĩp chiíu
Gauss-Kruger trong hệ toạ độ HN- 72 ˆ 1.5 ĐỘ CAO VĂ HIỆU ĐỘ CAO
- Độ cao của một điểm lă khoảng câch tính theo phương của đường dđy dọi từ điểm
đó đến mặt thuỷ chuẩn được chọn lăm gốc (hình 1.12) Nếu chọn mặt thuỷ chuẩn gốc lă
mặt Geoid ta có độ cao tuyệt đối (H„„ Hạ) Nếu chon mặt thuỷ chuẩn gốc lă mặt thuỷ
chuẩn giả định không trùng với mặt Geoid ta có độ cao giả định (độ cao tương đối) (H;,Hạ) Khoảng câch từ điểm xĩt theo phương phâp tuyến đến mặt Elipxoid quả đất
gọi lă độ cao trắc địa (H, ,Hạ)
Trang 15Hiệu độ cao (độ chính cao) giữa hai điểm lă hiệu số độ cao tuyệt đối hay tương đối của hai điểm, có nghĩa lă khoảng câch theo phương của đường dđy dọi giữa hai mặt
thuỷ chuẩn qua hai điểm đó (hạn)
Trong thực tế việc xâc định mặt thuỷ chuẩn gốc (mặt Geoid) lă rất phức tạp, vì vậy
mỗi một nước trín thế giới đều thănh lập riíng cho mình mốc có độ cao chuẩn gần với độ cao trung bình của mặt nước biển vă bằng câc phương phâp đo cao khâc nhau sẻ xâc định được độ cao câc điểm trín mặt đất Ở nước ta đê chọn mốc chuẩn tại trạm nghiệm
triểu Hòn Dấu — Đỏ Sơn — Hai Phòng lăm độ cao “0” cho cả nước, mọi điểm so với nó được coi lă trong cùng hệ thống độ cao
Mặt thuỷ chuẩn qua B B
Hạ mat Geol Hình 1.12 - Mặt thuỷ chuẩn
TRƯỜNG BAIHOG GIAQ THGNG VAN TACO 862
THƯ VIỆN 005422 | TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THONG VAN TAI-ca Š
THU Vib N
>
Trang 16
CHƯƠNG 2
ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỜNG THẮNG
2.1 CÂC LOẠI GÓC ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỜNG THANG
Một đường, thang trín thực địa muốn được đưa lín bản đồ thì cần phải biết độ đăi
nằm ngang vă hướng của nó Trong trắc địa muốn định hướng một đường thắng, người
ta đê qui ước chọn một hướng lăm chuẩn, đó lă hướng Nam - Bắc của đường kinh tuyến quả đất Như vậy trín thực địa, hướng của đường thắng được xâc định dựa văo
hướng chuẩn trín Trong trắc địa để định hướng đường thắng người ta dùng góc phương vị, góc định hướng vă góc hai phương
2.1.1 Góc phương vị thực
_ Góc phương vị thực của một đường thang tại một điểm lă góc bằng được tính từ hướng Bắc của kinh tuyến qua điểm đó, quay thuận chiều kim đồng hồ đến hướng của đường thẳng Góc phương vị có giâ trị biến thiín từ 0° đến 360”, ký hiệu lă A (hình 2.1)
Hình 21 - Góc phương vị thực
Góc phương vị được tính từ hướng Bắc của kinh tuyến thực hay kinh tuyến địa lý
_ gọi lă góc phương vị thực ( Đu)
Góc phương vị tính theo hướng định trước gọi lă góc phương vị thuận, theo hướng ngược lại gọi lă góc phương vị nghịch Trín hình 2.1 ta thấy đường thang P,P, co A, la
góc phương vị thuận vă A”; lă góc phương vị nghịch
Do kinh tuyến tại câc điểm khâc nhau trín cùng một đường thắng không song song
với nhau, cho nín góc phương vị tại câc điểm đó cũng khâc nhau Góc hợp bởi hai
hướng của hai kinh tuyến ở hai điểm trín cùng một vĩ độ gọi lă độ hội tụ kinh tuyến, ký hiệu lă 7 (hình 2.1) Ta thấy mối quan hệ giữa góc phương vị thuận vă góc phương vị
nghịch của đường thắng P;P; được biểu điễn bằng công thức:
A’, = A, + 180° + y=A, + 180° (2.1)
Nhu vậy, tại một điểm trín cùng một đường thắng, góc phương v vị thuận vă nghịch
Trang 17được tính từ hướng Bắc của 2.1.2 Góc phương vị tu
Góc phương vị từ của một đường thắng lă góc bằng,
kinh tuyĩn từ theo thuận chiều kim đồng hồ đến đường thẳng đê cho, trị số biến thiín
Bắc thực
từ 0° đến 3ó0° vă ký hiệu lă A
Tại một điểm trín mặt đất kinh tuyến từ vă kinh tuyến thực không trùng nhau mă hợp với
nhau một góc ð, góc ư gọi lă độ lệch từ hay lă độ từ thiín (hình 2.2)
Nếu lấy kinh tuyến thực lăm hướng chuẩn
khi hướng kinh tuyến từ lệch sang phía Đơng thì ồ gọi lă độ lệch từ Đông, nếu lệch sang phía Tđy thì õ gọi lă độ lệch từ Tay
Độ lệch từ ö biến động theo vị trí địa lý của
điểm trín mặt đất, theo tình hình hoạt động của
núi lửa, động đất, sự phđn bố vật chất trong lịng
“Hình 22 - Góc phương vị từ Kinh
tuyen dire
quả đất v.v
Giâ trị vă dấu của thường được ghi chú văo dưới mỗi tấm bản đồ, lă giâ trị
trung bình của cua ving nằm trong giới hạn bản đồ
Quan hệ giữa góc phương vị thực vă góc phương vị từ được biểu diễn bằng công
(2.2)
thức: Ay = Ag £8
Trong đó: 5 - La dĩ lệch từ, lấy dấu (+) khi đầu Bắc kim từ lệch sang phía Đơng của hướng Bắc thực, lấy dấu (—) khi đầu Bắc kim từ lệch sang phía Tđy hướng Bắc thực (hình 2.2)
2.1.3 Gâc định hướng (góc phương vị tọa dd)
Góc định hướng được dùng trong trắc địa để xâc định hướng đường thăng với kinh - _ tuyến giữa của một múi theo phĩp chiếu Gauss Nói câch khâc, góc định hướng dùng
để xâc định hướng của câc đường thẳng trín hình chiếu
Trín hình 2.3 nếu coi kinh tuyến BN; tại P\ lă kinh tuyến trục của một múi năo đó
theo phĩp chiếu, đường B,N; lă kinh tuyến thực tại P;„, BẠN) // BẠN; thì A lă góc phương vị thực vă œ lă góc định hướng của đường thẳng P,P, tai P,, nhu vay chung ta có định nghĩa:
4ìmh 23 - Góc định hướng Hình 24 - Quan hệ giưa góc phương vị vả góc định hướng
Trang 18Góc định hướng của đường thắng lă góc bằng, được tính từ hướng Bắc kinh tuyến trục của một múi hay đường thắng song song với kinh tuyến đó, theo chiều thuận kim đồng hồ đến hướng đường thẳng đê cho, có trị số biến thiín từ 0° đến 360”, ký hiệu lă œ
Góc phương vị vă góc định hướng có quan hệ với nhau, trong phĩp chiếu hình trụ
ngang quan hệ đó được tính như sau:
Theo hình 2.4 cung KL lă hình chiếu của đoạn thẳng KL trín mặt đất, nếu dùng
đoạn thắng KL sỡ cho cung sẽ có góc định hướng của đoạn thang KL la:
= A‡+y-eE (2.3) Trong đó: A — góc phương vị thực trín mặt chiết
+ - độ hội tụ kinh tuyến trín mặt chiếu, có thể coi bằng độ hội tụ kinh
tuyến ở mặt đất (y)
s — số điều chỉnh hướng KL
Trong trường hợp KL tương đối ngắn, có thĩ coi e = 0
Bởi vậy, quan hệ gần đúng của ơ vă A tại một điểm như sau:
= A‡+y | (2.4)
Trín hình 2.5 có hai đường thẳng P,P, va P,P, 6 pia Đông vă Tđy kinh tuyến trục,
ta có:
Œmpa “ Đpm — Tư Craps = Apap + Y2 (2.5)
Như vậy khi đường thẳng nằm ở phiâ Đơng kinh tuyến trục thì œ = A- y vă khi đường thẳng nằm ở ở phía Tđy kinh tuyến trục thì œ= A+y
'Góc định hướng cũng có góc định hướng thuận vă nghịch Tại bất kỳ một điểm nao trín đường thẳng, góc định hướng thuận cũng bằng nhau vă góc định hướng thuận vả nghịch chính nhau 180° Trín hình 2.6 quy định hướng đi từ P, đến P;, thì u, la gor định hướng thuận vă œ; lă góc định hướng nghịch của đường thắng PP: tại P›
Nếu thay góc định hướng theo bội số của 360” thì Tướng của đường thẳng vẫn không đổi ` \ Đường song song với kinh lưyến tục Đương song song với kinh tuyín trục Đường kính tuyển truc Đưỡng kinh tuyển tục Đường song song vơi kinh luyến truc
Hình 25- Quan hệ giữa A vao; nh 26- Góc định hưởng thuận Vô nghịch
Khi xâc định độ hội tụ kinh tuyến, nếu ta ký hiệu I lă “hiệu số kinh độ của điểm đầu, điểm cuối đoạn thẳng vă B lă vĩ độ điểm giữa đoạn thẳng thì độ hội tụ kinh tuyến y
được tính theo cơng thức:
y =lsin B (2.6)
Trang 19ý ; : ~ 12 a we a 3 a te ye
Trong trắc địa khi đo vẽ bản đồ cũng như bố trí cơng trình, để phục vụ cho việc tính
z ` 2x z z a8 ^“ a’ a ror ^“ z z xv ^
tôn, bình sai gần đúng câc lưới khống chế, đồng thời bố trí được câc điểm của công
` ^ 2» At A woe 2 Z « Z,
trình cần phải biết một số ứng dụng của góc định hướng như sau:
Trường hợp khi biết góc định hướng của hai cạnh, u cầu tính góc kẹp g giữa hai
cạnh đó Ví dụ trín hình 2.7 biết œ¿a vă œog sẽ tìm được:
B= đog — Goa (2.7)
Trường hợp biết góc định hướng của một cạnh va goc bằng kẹp giữa cạnh năy với
cạnh tiếp theo, yíu cầu tính ra góc định hướng của cạnh tiếp theo đó
Ví dụ: Có một đa giâc khĩp kín (hình 2.8) biết góc định hướng AB lă œ,„, biết câc góc kẹp giữa hai cạnh liín tiếp lă B„ B„ B„ B, Tìm góc định hướng của câc cạnh BC, CD,
DA Theo hình vẽ, ta có:
Œp¿ = œp + 1802 — B, Ocp = Age + 180° — B, Opa = dẹp + 180° — B,
Khi đa giâc có n cạnh, ta có cơng thức tổng qt để tính góc định hướng như sau: œ, = œ„_¡ + 180°—B„ (với góc B, lă góc phải) (2.8)
œ„=œ„_;¡-180+B, (vðigócBlăgóctrâ) — (29
Chú ý: Khi tính ra œ < 0° thì œ + 360° a > 360? thì œ — 360?
Theo hướng đo, góc ở bín trâi tuyến gọi lă góc trâi, góc bín phải tuyến gọi lă góc phải œ om o Đường lính tuyến trục
“Hình 2Z- Góc kẹp giữa hai canh Ví dụ 1: Cho biết góc định hướng
œag=150°307, góc B; = 120°10 B; = 100°40”
Tính góc định hướng cạnh CD
Trang 20Giai: Từ công thức:
On — Ong + 180° — Ba (góc B; phải)
Qi, = On 1 + Ba - 180° (góc B: trai)
Ta CO: Oa = Oga + B, - 180° = a4, + 180° + B, - 180°
= dap + B, =150°30 + 100540? = 251°10”
dẹp = Cac + 180° — B, = 251°10 + 180° — 120°10' = 311°00”
2.1.4 Góc hai phương
Góc hai phương của một đường thắng lă góc bằng hợp bởi hướng Bắc hoặc hướng
Nam của kinh tuyến theo chiều thuận hoặc ngược kim đồng hồ đến hướng đường
2 ` 4 or rd tA ` 5 “ Lay `
thang vă có giâ trị biến thiín từ 0° +90° được ký hiệu lă r."
Bang 2.1
Góc phần Đường Góc hai Câch ghi Câch đọc
tư thăng phương
I M-1 Tì r,(B-D) r (Bắc —- Đông) _ H M-2 Ta r,(N-D) r, (Nam —Dĩng) II M-3 T rạ(N=T) r (Nam — Tđy ) IV M-4 ry r¿(B—T) r, (Bắc — Tđy)
Tuỳ theo hướng của Beat
đường thẳng, ta có câch ghi :
vă câch đọc góc hai phương Ven '
của câc đường thắng M-I,
M-2,, M-3, M~4 (hình 2.2) nă
phi ở bảng 2.1 : " u bee”
Tel be
Khi biết góc phương vị hoặc 2
góc định hướng ta cố thể tính HN Ty >
ra góc hai phương Quan hệ WEN Ba
giữa góc định hướng vă góc
-hai phương được ghi trong Nioy®
bảng 2.2 Hinh 29 - Góc hai phương
Bảng 22- Quan hệ giữa góc định hướng vă góc hai phương
Góc phần tư Góc định hướng Góc hai phương r
Trang 21Ví dụ 1: Cho góc hai phương của câc cạnh BA, BC, CD
Cho biĩt: ry, = 50530 (N — TT); rạc = 85°10 (N— Ð); Tcp = 60120 (N—Ð)
Tính góc kẹt Bị vă B: | | Giai:
Câch 1: Dựa văo quan hệ giữa góc định hướng vă góc hai phương đổi góc hai
phương của câc cạnh:
Opa = Iya + 180° = 50°30" + 180° = 230°30" c= 180” — rạc = 180” — 85°10" = 94°50’ Qep = 180° — rep = 180° — 60°20’ = 110°40’ Tính góc: B, = Gg, — Oye = 23030 — 94°50’ = 135°40’
Bs = Ocp—-Acp = Age + 180" — acy
= 94°50’ + 180° — 110°40’ = 164°10’
Câch 2: Từ công thức œ„ = œ„_¡ + 180°— B„ (với B, góc phải), ta có:
B„= ơœ„-¡ + 180°— œ, |
hay: B, = Gag + 180° — ag Bị = œạa + 180” + 180” — dục (*) Thay số văo (*), ta được:
B, = 230°30’ + 360° — 94°50' = 495°40” Vì khơng có góc > 360° nĩn: B, = 495°40’ — 360° = 135°40’ B = Oge + 180° — O&p = 94°50’ + 180° — 110°40’ = 164°10’
2.2 ĐỘ HOI TU KINH TUYẾN
Xĩt điểm A vă B trín mặt đất, vì câc kinh tuyến gặp › nhau ở hai cực của quả đất nín câc kinh tuyến qua A vă B không song song với nhau mă hợp với nhau một góc y (hình 2.9) Góc y được gọi lă độ hội tự kinh tuyến
Vì AB = d lă một cung nhỏ so với kích thước qủa đất nín có thể coi AB lă một cung của vòng tròn tđm T bân kính AT, vì vậy:
-— đ
ï: p | (2.10)
Xĩt tam giâc vuông ATO (hay BTO) vuông tai A (B),tacó: ˆ
_ AT=BT= AO tg (90°- 9) AT =R ctog » = R
tgp Thay văo (2.10), chúng ta thu được:
-_— dap
y= _ tgp (2.11)
Trang 22
Hinh 2.10 - Độ hội tụ kinh tuyín
Ví dụ: Tại khu vực Hă Nội có ọ = 21° va vdi d = 1km thi:
HC LKm.206265”
6371
Kết quả cho thấy rằng khi đo đạc ở một khu vực nhỏ có thể coi đường kinh tuyến qua mọi điểm trín khu vực đó đều song song với nhau
2.3 ĐỊA BĂN VĂ CÂCH SỬ DỤNG
Địa băn dùng để xâc định góc phương vị từ của đường thang Cấu tạo của địa bản đơn giản, gon nhẹ đo đạc giản tiện nín địa băn cịn dùng để đo đạc ước lượng (hình 2.11 lă một kiểu địa băn cầm tay) Cấu tạo địa băn gồm câc bộ phận chính sau:
tg 21°=12”-
Hộp: Lăm bằng kim loại không có từ tính, mặt ị
trín bằng kính, bín trong hộp có vănh khắc độ để đo :
góc phương vị từ Trín mặt hộp có ống thuỷ để đưa - đường ngắm chuẩn địa băn về vị trí nằm ngang Bộ phận ngắm: Gỗm hai miếng kim loại có đục
lỗ, gắn ở hai đầu đường kính 0° —180° của vănh độ:
Kim tử: Lăm bang thĩp dat mỏng nhiễm từ, có TL
dạng hình thoi, đầu Bắc thường có mău xanh đen,
đầu Nam mău trắng Đầu Nam có cuộn một số vịng
dđy đồng để điểu chỉnh cho kim thăng bằng (vì do ảnh hưởng của từ cực qua dat nĩn kim thường bị nghiíng một góc gọi lă độ nghiíng từ)
Kim từ có thể quay tự do trín một trục cố định
Khi không dùng địa băn phải vặn ốc hêm giữ kim cố _ định để bao quan kim không bị chấn động hư hỏng Hinh 2.11- Dja ban
Có thể sử dụng địa ban để định hướng đường thẳng AB như sau: ˆ
Trang 23ngang Mở ốc hêm kim để cho kim dao động tự do, xoay địa băn ngắm lín điểm định
hướng đặt tại B (hướng 0° —180?), đợi cho kim dừng hắn, căn cứ đầu Bắc của kim chỉ trín vănh độ đọc được góc phương vị từ
Địa băn cần thoả mên câc điều kiện sau:
Hộp địa băn khơng có từ tính, kim từ phải nhậy, kim từ phải cđn bằng Trục quay của kim từ phải đi qua tđm của vănh độ, trục từ tính vă trục hình học của kim phải
trùng nhau Khoảng chia của vănh độ phải chính xâc, đường kính 0°—-180° của vănh độ
phải song song với cạnh của hộp địa băn
Trang 24CHƯƠNG 3
SAI SỐ ĐO
3.1 KHÂI NIỆM VỀ PHĨP ĐO
3.1.1 Định nghĩa phĩp đo
Nhận thức sự việc vă hiện tượng xung quanh chúng ta lă một quâ trình phức tạp, thường được bắt đầu từ cảm giâc thu nhận được qua giâc quan của con người Trong, quâ trình nhận thức đó con người phđn biệt câc sự vật về lượng vă về chất Muốn xâc định về số lượng chúng ta phải tiến hănh tính, đếm vă đo đạc
Tính, đếm lă một quâ trình tương đối đơn giản vă kết quả của tính đếm mang tính tuyệt đối Ví dụ nếu hai người cùng đếm số sinh viín trong một phịng thì kết quả phải giống nhau, nếu khơng thì một trong hai người hoặc cả hai người đều đê đếm sai Đo đạc lă một quâ trình phức tap hơn nhiều mă tính, đếm chỉ lă một phần nhỏ hợp thănh Vậy đo lă gì?
Do lă một phĩp so sânh đại lượng cần xâc định với một đại lượng cùng loại được
chon lam don vi
Tuy nhiín trong thực tế có một số trường hợp để so sânh trực tiếp rất khó thực hiện, cho nín người ta có thể dùng mối quan hệ giưa vật vă hiện tượng để thực hiện phĩp đo Ví dụ dựa văo tính chất giên nở của chất lỏng dưới tâc dụng của nhiệt để có thể đọc số trín cột thuỷ ngđn của nhiệt kế (đựa văo sự co giên của thuỷ ngđn dưới tâc dụng của nhiệt độ) để xâc định nhiệt độ Giâ trị bằng số của một đại lượng xâc định bằng một phĩp đo gọi lă giâ trị đo
3.1.2 Phđn loại câc giâ trị đo
Chúng ta có thể phđn loại câc giâ trị đo theo những quan điểm khâc nhau: a Phđn loại dựa văo phương thức tiến hănh để nhận được kết quả đo
Đo trực tiếp lă so sânh đại lượng cần xâc định với đại lượng dùng lăm đơn vị Vi du, do chiĩu dai mĩt doan thẳng bằng thước thĩp
Đo giân tiếp lă phĩp đo mă giâ trị của một đại lượng cần tìm được xâc định thông qua hăm số của câc kết quả đo trực tiếp của câc đại lượng khâc Ví dụ, điện tích của một tam giâc được xâc định bằng kết quả đo trực tiếp cạnh đây vă chiều cao
b Phđn loại dựa văo điều kiĩn do
Đo cùng độ chính xâc lă đo trong cùng một điều kiện như nhau: cùng người do, dùng cùng mây, dụng cụ, cùng phương phâp vă tiến hănh trong cùng một điều kiện ngoại cảnh như nhau Ví đụ, một nhóm đo khoảng câch giữa hai điểm A vă B bằng thước thĩp 6 lần, như vậy kết quả đo được của 6 lần có cùng độ chính xâc
Đo khơng cùng độ chính xâc lă đo trong những điều kiện khâc nhau, do đó độ chính xâc câc kết quả đo cũng khâc nhau, điều kiện khâc nhau có thể lă người đo cớ “trình độ khâc nhau, thiết bị đo có độ chính xâc khâc nhau hoặc khâc phương phâp tiến
Trang 25câch giữa A vă B nhưng trong 6 lần đo đó thì có 2 lần được đo bằng thước thĩp, 2 lần đo
bằng mây kinh vĩ vă mia đứng, 2 lần được đo bằng mây đo đăi điện tử Như vậy rõ
răng trong quâ trình đo chúng ta dùng 3 loại mây, dụng cụ đo khâc nhau cho nín nhiều khả năng độ chính xâc của kết quả đo cũng sẽ khâc nhau
c Phan loại dựa văo quan hệ giữa câc đại lượng đo
Đại lượng do độc lập lă những đại lượng đo mă giữa chúng không tồn tại.bất kỳ
một sự phụ thuộc nao
Đại lượng đo không độc lập lă những đại lượng đo mă giữa chúng tồn tại một mối
tương quan hoặc một sự phụ thuộc năo đó ©
d Để phục vụ cho công tâc chẳnh lý kết quả đo
Ta có thể phđn biệt đại lượng đo cần thiết vă đại lượng đo thừa
Đại lượng đo cần thiết lă số đại lượng cần thiết tối thiếu để từ đó có thể tính được giâ trị của đại lượng cần xâc định
Đại lượng đo thừa lă số đại lượng đơ thím ngoăi câc đại lượng đo cần thiết để có điều kiện kiểm tra câc giâ trị đo vă nđng cao độ chính xâc của kết quả cẩn tìm
Ví dụ: Đo câc góc của một tam giâc, ta chỉ cẩn đo hai gốc lă có thể xâc định được góc thứ ba, vậy đại lượng đo cần thiết lă 2 Nếu ta đo cả 3 góc thì sẽ có 1 đại lượng đo
thừa Hoặc đo một đoạn thắng ba lần, đại lượng đo cần thiết lă 1 (vì chỉ cần đo 1 lần - chúng ta đê xâc định được chiều đăi đoạn thang đó), đại lượng đo thừa lă 2
Thực ra trong câc câch phđn loại trín đđy cũng chỉ lă tương đối Nhiều khi ta có thể coi hăm đơn giản của trị đo trực tiếp cũng lă trị đo trực tiếp để sử dụng trong việc chỉnh lý kết quả đo, như dùng độ chính cao giữa 2 điểm (hiệu số của câc trị đo trực tiếp trĩn mia dung tai hai điểm ấy) hoặc giâ trị góc (hiệu số của trị đo giữa hai hướng ) như lă câc trị đo trực tiếp
Khâi niệm đo cùng độ chính xâc cũng chỉ lă tương đối vì con người, điều kiện đo,
điều kiện khâch quan cũng luôn luôn biến đổi theo thời gian vă không gian Mọi vật đều có liín quan với nhau (theo quan điểm vật lý), cho nín khâi niệm đại lượng đo độc lập chỉ có ý nghĩa lă giữa câc đại lượng ấy khơng có sự phụ thuộc hăm số để có thể nói rằng chúng độc lập với nhau về sai số
8.9 SAI SỐ ĐO ĐẠC
3.2.1 Sai số đo
Khi đo một đại lượng năo đó nhiều lần ta thấy kết quả câc lần đo không giống nhau, điíu đó chứng tỏ câc giâ trị đo chỉ lă giâ trị gần đúng của đại lượng cần xâc định vă mỗi kết quả đo đó đều có chứa sai số
Vậy sai số đo lă độ chính lệch giữa giâ trị đo vă giâ trị thực của nó
Nếu ký hiệu giâ trị thực của một đại lượng cần đo lă X, câc giâ trị đo lă lị, lạ ::- Ì„
(đo n lần) thì sai số thực của giâ trị đo thứ ¡ được tính theo cơng thức:
A; = X-¬l], c (3.1)
Trong trắc địa rất ít trường hợp chúng ta biết được giâ trị thực của đại lượng đo (X) Thực tế đôi khi chúng ta có thể coi một giâ trị năo đó có độ chính xâc rất cao lă giâ trị
Trang 26oases „ „ „ 2 " „ „ a - ow A ˆ aw
thực để từ đó chúng ta có thể nghiín cứu tính chất của sai số thông qua sự phđn hố sai
aw? A'
số của kết quả đo
3.2.2 Nguyín nhđn gđy ra sai số đo
Sai số đo đo rất nhiều nguyín nhđn gđy ra vă có thể gộp văo nhóm 3 ngun nhđn
chính ảnh hưởng đến kết quả đo lă:
1 Do may va dung cu
Trong mọi công việc đo đạc chúng ta đều phải dùng đến mây vả dụng cụ đo, dù cho mây vă dụng cụ được chế tạo tỉnh vi, kiểm nghiệm vă điều chỉnh đến đđu cũng không thể tuyệt đối chính xâc vă điều đó đê gđy ra sai số trong kết quả đo Ví dụ, Một thước thĩp có chiều dăi danh định lă l=10m, nhưng chiểu dăi thực tế của nó lă 1=10.002m Nếu không kiểm nghiệm vă cải chính văo kết quả đo thì khi đo một cạnh đăi, cứ một lần đặt thước ta sẽ phạm một sai số ö= 2mm
2 Sai số do người đo
Trong quâ trình đo đạc dù người đo cẩn thận nhưng do giâc quan của con người chỉ có hạn vă khi đo ngắm mỗi người đều có thói quen riíng, chính vì vậy mă trong quâ trình đo những điều năy sẽ tâc động đến kết quả đo gđy ra sai số Ví dụ, Khi ngắm một
điểm thì đối với người năy có thể điểm đó đê nằm trín giao điểm dđy chư thập nhưng
đối với người khâc thì chưa vă phải địch chuyển mây đi một chút nữa 3 Sai số do ảnh hưởng điều kiện bín ngoăi
Q trình đo đạc đều tiến hănh trong mơi trường tự nhiín (nhiệt độ, âp suất, nắng,
gió ) ln ln thay đổi Sự thay đổi đó sẽ ảnh hưởng đến kết quả đo đạc gđy nín sai số: Ví dụ, gió tâc động văo mây lăm cho mây bị rung, mặt trời chiếu văo chđn mây không đều gay nĩn su giên nở cũng khơng đều, do đó sẽ ảnh hưởng đến điều kiện thẳng đứng của trục đứng của mây
3.2.3 Phđn loại sai số đo
Căn cứ văo tính chất của câc sai số đo ta có thể phđn biệt sai số đo theo ba loại như sau:
1 Sai số thô (sai lđm)
Lă sai số do nhđm lẫn trong khi đo hoặc tính tôn do con người thiếu cẩn thận như
ngắm sai, đọc sai, tính tôn sai Ví dụ, khi đo chiều dăi bằng thước thĩp bị nhầm một
đoạn thước, khi đo góc ngắm nhầm hướng
Sai số do sai lđm thường có trị số lớn, vượt ra ngoăi phạm vi độ chính xâc của đo đạc Để phât hiện vă loại bỏ sai số do sai lầm cđn phải kiím tra kết quả đo vă tính tôn,
việc đo đạc luôn phải tiến hănh đúng quy trình, cần níu cao tỉnh thần trâch nhiệm, tính
cẩn thận của người lăm công tâc đo đạc Chính vì vậy trước khi chỉnh lý kết quả đo ta
phải loại bỏ sai số sai lầm Chúng ta biết đại lượng đo thừa chính lă một trong những
phương phâp hữu hiệu nhất để kiểm tra, phât hiện những sai lầm trong khi đo cũng như trong khi tính tôn
2 Sai số hệ thống
Sai số do một ngun nhđn năo đó gđy ra vă thể hiện rõ rệt tính chất quy luật của
nó thì gọi lă sai số hệ thống: Quy luật năy chúng ta hiểu lă quy luật hăm SỐ, ta có thể '_ chia sai số hệ thống ra câc loại như sau:
28
121
VachigSkliignyetbU-tielde
"`
Trang 27Sai số không đổi: Lă loại sai số hệ thống mả trong quâ trình đo đạc giâ trị của sai số
khơng đổi, nói câch khâc độ lớn của sai số không phụ thuộc văo độ lớn của kết quả đo ví dụ, nhiệt kế bị sai ở điểm 0, có thể nhiệt kế rất chính xâc, thang chia độ chính xâc nhưng vị trí điểm 0 lại sai, như vậy dù đo thế năo thì kết quả vẫn chứa sai số lă Št
Sai số thay đổi theo kết quả đo: Lă loại sai số hệ thống mă giâ trị của nó phụ thuộc văo giâ trị của kết quả đo Ví dụ, chiều đăi đanh định của thước lă 20m nhưng thực tế chi dai 19,997m, vay thi ctr mdi lan đặt thước có sai số lă 0,003m Rõ răng lă số lần đạt thước cảng nhiều thì sai số cộng dồn căng lớn
Sai số hệ thống thay đổi cả về dấn vă giâ trị, tuy nhiín luôn tuđn theo điều kiện
[a] #0 khin => o
H
Tóm lại, giả thiết rằng đối tượng đo không biến đổi thì một trong câc nguyín nhđn
về mây, dụng cụ đo, người đo vă hoăn cảnh bín ngoăi đều có thể gđy ra sai số hệ thống Có một số biện phâp chủ yếu để lăm giảm ảnh hưởng của sai số hệ thống lă:
- Kiểm nghiệm vă điều chỉnh thật chính xâc mây vả dụng cụ đo đạc ví dụ, kiểm
nghiệm thước thĩp trước khi đo chiều dăi, kiểm nghiệm vă điều chỉnh câc điều kiện của mây kinh vĩ trước khi đo góc, trânh câc sai số đo mây gđy ra như trục ống thuỷ đăi không vuông góc với trục quay của mây
- Dùng phương phâp đo thích hợp để loại bỏ hoặc lăm giảm ảnh hưởng của sai số hệ thống Ví dụ, đọc số ở hai vị trí của băn độ để loại bỏ sai số do trục ngắm không vuông góc với trục quay của ống kính, đo góc n lần để lăm giảm sai số đo vạch khắc trín băn
độ khơng chính xâc, trong đo cao hình học, mây thuỷ bình ln được bế trí giữa hai mỉa để lăm giảm bớt sai số đo trục ngắm không nằm ngang, ảnh hưởng của độ cong
quả đất vă chiết quang khơng khí
- Dùng phương phâp tính tôn hợp lý để chỉnh lý kết quả đo Ví dụ, tính số hiệu chỉnh sai số hệ thống do nhiệt độ gđy nín đối với thước thĩp, sau đó hiệu chính văo kết - quả đo
Tuỳ nhiín, trín thực tế việc phât hiện sai số hệ thống gđy nín do mỗi nguyín nhđn riíng biệt rất khó khăn, phức tạp đồi hỏi phải có những khảo sât đặc biệt, vì thế phải
tuỳ văo từng trường hợp cụ thể mă chúng ta phđn tích, phât hiện quy luật của nó Mỗi
khi những sai số hệ thống đê được phât hiện vă xâc định được giâ trị thì có thể đễ đăng loại trừ sai số năy ra khỏi kết quả đo bằng câch đưa văo câc số hiệu chỉnh tương ứng hoặc lựa chọn phương phâp đo thích hợp
Vì vậy, trước khi chỉnh lý kết quả đo, chúng ta xem câc sai số hệ thống đê được loại trừ hoặc lăm giảm tới mức tối đa ảnh hưởng của chúng trong kết quả đo chưa Trong thực tế có rất nhiều phương phâp kiểm tra có sai số hệ thống trong kết quả đo hay
không, một trong những phương phâp hay được sử dụng lă tiíu chuẩn ABE
3 Sai số ngẫu nhiín
Sau khi đê loại trừ được sai số đo sai lầm vă sai số hệ thống ra khỏi kết quả đo thì ta thu được một đêy kết quả đo chỉ mang tính ngẫu nhiín mă ta không thể dự đoân được về giâ trị đo tiếp theo của nó Trong dêy câc giâ tị đo đó vẫn tơn tại một loại sai số
mang tính ngẫu nhiín gọi lă sa sốzgẫu nhiín
Sai số ngẫu nhiín sinh ra bởi một số rất lớn câc nhđn tố mă ảnh hưởng của chúng phức tạp đến mức không thể tâch vă tính riíng biệt được Mặt khâc; sai số ngẫu nhiín lă khơng thể trânh khỏi trong kết quả đo Những nguyín nhđn chính lă đo người đo, do
Trang 28mây, dụng cụ, do điều kiện ngoại cảnh Sai số ngẫu nhiín lă tâc dụng tổng hợp của nhiều nguyín nhđn kể trín
Sai số do sai lầm vă sai số hệ thống thể hiện rõ những đặc điểm riíng trong giâ trị
sai số đo, nhưng sai số ngẫu nhiín thì khơng tuđn theo quy luật hăm số, do đó chúng ta phải tìm một quy luật khâc để xem xĩt về sai số ngẫu nhiín, đó lă quy luật xâc suất _
thống kí
3.2.4 Đặc tính của sai số ngầu nhiín
Sai số ngẫu nhiín khơng tuđn theo quy luật hăm số, nghĩa lă không thể dựa văo - một sai số ngẫu nhiín đầu tiín để dự đôn về những sai số tiếp theo Nhưng khi chúng
ta quan sât một dêy câc sai số ngẫu nhiín xuất hiện trong cùng một điều kiện đo thì ta
thấy chúng cũng tuđn theo một quy luật nhất định, để lăm sâng tỏ quy luật năy chúng ta khảo sât trường hợp sau đđy:
Trong cùng điều kiện đo, người ta đo toăn bộ câc góc của 162 tam giâc Vì khơng thể trânh khỏi sai số nín tổng câc giâ trị đo được của 3 góc trong mỗi tam giâc không bằng 180° Ta coi X = 180° lă giâ trị thực của tổng 3 góc trong mỗi tam giâc; Ï, lă giâ trị đo của tổng 3 góc trong tam giâc thứ i
Bang 3.1 ¡ sổ -A +A Tổng số -
sae trong oang SL % SL % | SL 5 % Ghi chú
0,00” + 0,2” | 21 13,0 21 13,0 42 26,0
0,2” + 0,4” 19 11,7 19 11,7 38 23,4
0,4” + 0,6” 11 6,8 16 9,9 27 16,7
0,6” + 0,8” 8 5,0 13 8,0 21 130 | Giâ trị bín
hải của mỗi
” + 1,00” 3 6 6 phâi 0,8” + 1,00 7 4 9 5 1 9.9 Í khoảng được - 1,00” + 1,20” : 6 3,7 5 3,1 11: 68 |tính văo 1,20” + 1,40” 3 1,8 1 0,6 4 2 | Khoảng ấy 1,40” + 1,60” 2 1,2 1 0,6 3 1,8 1,60” trở lín 0 0 0 0 0 0 Tĩng: 77 47,5 85 52,5 162 100
Ta coi: A, =a, (@; — goi la sai s6 khĩp của tam giâc) đóng vai trị sai số ngẫu nhiín vă được tính theo công thức (3.1)
Theo trị số tuyệt đối của sai số ngẫu nhiín ta sắp xếp chúng thănh bảng 3.1 Để dễ đăng nhận thấy quy luật phđn bố sai số ta dùng số liệu ở bảng trín vă vẽ đồ thị, trín
trục hoănh ta biểu diễn câc sai số cịn diện tích của mỗi hình chữ nhật biểu diễn bằng số
phần trăm sai số xuất hiện trong bảng, ta có thể xâc định chiều cao để vẽ hình chữ nhật
như sau Ví dụ, sai số xuất hiện trong khoảng 0,00 + 0,2” chiếm 13,0% thì chiều cao của
Trang 29
3
vă
a
Nếu nối câc điểm giữa cạnh đây phía trín của câc hình chữ nhật lại, ta sẽ được một đường gêy khúc, gần giống với dạng hình chng úp đối xứng qua trục tung vă tiệm
cận với trục hoảnh - ị
Trong thực tế thấy rằng nếu số lượng câc sai số căng lớn vă khoảng chia sai số xuất ˆ hiện căng nhỏ thì đạng đường gêy nói trín căng gần với đường cong biểu diễn sự phđn bố sai số ngẫu nhiín mă trong lý thuyết xâc suất đê chứng minh được phương trình của
nó lă:
f(A)= ae _62)
Trong đó: h— Lă tham số đặc trưng cho độ chính xâc, cũng có nghĩa lă đặc trưng
cho điều kiện đo
td S | \ | | J | J I J | J Ề | | | | | | | | | | | | | 0.8 >F-—=——————- [=]
Hình 3.1 - Phđn bố của sai sốngẫu nhiín
Qua khảo sât đêy sai số ngẫu nhiín xuất hiện trong những điều kiện đo nhất địmh, ta nhận thấy chúng thể hiện câc đặc tính sau:
a Thị số tuyệt đổi của câc sai sốngẫu nhiín khơng vượt qua mgt gioih han nhât định, trị số/giồi hạn năy phụ thuộc văo điều kiện đo
b Những sai số ngẫu nhiín có giâ trị tuyệt đối nhỏ có khả năng xuất hiện nhiều hơn những sai số ngđu nhiín có giê trị tuyệt đối lớn
„ Câc sai số ngẫu nhiín đm vă dương có giả trị tuyệt đối bằng nhau đíu có khả
năng xuât hiện như nhau
d Khí số lần đo tăng lín vơ hạn thì giâ trị trung bùih cộng câc sai số ngẫu nnhiín
tiến đến khơng, nghĩa lă:
imAlog (3.3)
Na
A,.A, ¬ vă cũng đúng với tin g (1#j)
Trong đó ký hiệu [ ] lă ký hiệu tổng
Đặc tính thứ nhất của sai số ngẫu nhiín đặc trưng cho điều kiện đo, giâ trị của sai số giới hạn căng nhỏ chứng tỏ điều kiện đo căng tốt
Đặc tính thứ hai nói rõ về quy luật, về giâ trị của sai số
Trang 30v Z ⁄ cea a a “ ? a
Đặc tính thứ ba nói lín quy luật về hướng cua sai số
“ „ z ` ˆ 2 2 z v z ^
Đặc tính thứ tư lă hệ quả của câc đặc tính trín
a “2+ > 2 , ~ ~ a0 at ve a ⁄ * a’ ^ aA ^
Cần chú ý rằng chỉ có những dêy với số lượng lớn câc sai số ngđầu nhiín tuđn theo
A a ˆ“ Z a0 Z a + « z a ` A 2 A2 » f es
luật phđn phối chuẩn mới có đầy đủ câc đặc tính trín vă không phải tất ca câc loại sai
< x A a ^ ^ A A’ a
số ngẫu nhiín đều tuđn theo luật phan phối chuđn
3.3 TIÍU CHUẨN ĐÂNH GIÂ ĐỘ CHÍNH XÂC KẾT QUẢ ĐO
Trong một dêy kết quả đo được gọi lă cùng độ chính xâc, ta nhận thấy câc sai số của từng giâ trị đo riíng rẻ có thể rất khâc nhau, vì vậy khâi niệm độ chính xâc được đặc
trưng cho điểu kiện đo Tuy nhiín chúng ta cũng biết rằng, điểu kiện đo ảnh hưởng trực tiếp đến sự phđn bố sai số, điều kiện đo cảng tốt Thì sai số có giâ trị nho xuất hiện căng nhiều hay nói câch khâc sai số phđn bố căng tập trung hơn, điểu kiện đo khơng tốt thì sai số lớn xuất hiện cảng nhiều, tức lă câc sai số phđn bố căng tản mạn hơn Vì vậy để đânh giâ độ chính xâc của kết quả đo người ta dùng một số tiíu chuẩn sau đđy:
Giả sử chúng ta biết giâ trị thực của đại lượng lă X, tiến hănh đo đại lượng đó n lần
trong cùng một điều kiện được câc giâ trị đo lă l„ l„ , l„ vă coi câc giâ trị đo không
chứa sai số sai lầm vă sai số hệ thống Như vậy sai số ngẫu nhiín được tính theo công thức (3.1):
Ay = Xx _— iF
3.3.1 Sai số trung binh
ya * sae 2 a ` ˆ z ap gat? -
Sai số trung bùnh lă giới hạn của số trung bùuh cộng câc giâ trị tuyệt đôi của cúc sai
sốnygẫu nhiín độc lập, khi số lần đo tiến đến vô cùng
= lim — il | (3.4)
n>
ta a ALIS A Pare a ^ ` ` ` ^ ae
Tuy nhiín trong thực tế số lần đo không thể tăng đến vô cùng mă chỉ lă một con số hữu hạn, cho nín người ta thường dùng công thức gần đúng để tính sai số trung bình theo sai số ngẫu nhiín như sau:
-¿lal a5
Trong lý thuyết xâc suất người ta đê chứng mỉnh câc sai số ngẫu nhiín xuất hiện
anf a Z CA“ Z 2 ^“, «an
trong khoảng (_ 9, +0 ) chiếm 57% tống câc sai số có thể xuất hiện
3.3.2 Sai số trung phương
Sai số trung phương lă giới hạn của căn bậc hai số trung bùnh cộng của bình phương;
câc sai số ngđu nhiín độc lập, khi số lần đo tiến đến vô cùng
A.A
m= lim
n¬w n
(3.6)
Cũng như đối với sai số trung bình, trong thực tế người ta dùng công thức gần đúng để tính sai số trung phương theo sai số ngẫu nhiín như sau:
A.A n
m=+ (3.7)
Công thức (3.7) gọi lă công thức Gauss
32
z
Trang 31tự Điểm uốn 50% 7% ` Điểm uến 68% -A =n =p 0 poem cA
Tnhh 3.2 - Sai số trung bùủy sai số trung phương vă sai số xâc suất
a a ? = A “2 «ae x oa
trín đồ thị đường cong biến điín phđn bố của sai số ngđu nhiín
Theo lý thuyết xâc suất thì số lượng sai số ngẫu nhiín xuất hiện trong khoảng (—m, +m) chiĩm 68% tổng số lượng sai số có thể xuất hiện vă giâ trị m chính lă hoănh
độ điểm uốn của đường cong phđn bố sai số Người ta còn chứng minh được quan hệ
giữa sai số trung phương vă sai số trung bình của một dêy câc sai số lă:
0 = 0/7979 m ~ mm —— #8
Trong thực tế công tâc trắc địa, chúng ta ít dùng sai số trung bình để đânh giâ độ chính xâc kết quả -đo mặc dù phương phâp tính đơn giản mă hay dùng sai số trung
phương, bởi vì sai số trung phương dễ lăm nổi bật những sai số có trị số tuyệt đối lớn
trong day kết quả đo, hay nói câch khâc sai số trung phương thể hiện tốt hơn sự tản
mạn của sự phđn bố câc sai số so với sai số trung bình, tức lă đânh giâ tốt hơn độ chính
xâc của kết quả đo - Trong thực tế chúng ta thấy có hai dêy trị do có sai số trung bình ˆ thể khâc nhau, hay: độ chính xâc có thể khâc nhau Mặc dù vậy khi số lần đo khâ lớn thì kết quả đânh giâ bằng sai số trung bình cũng thể hiện đúng được độ chính xâc của câc dêy giâ trị đo
3.3.3 Sai số xâc suất
Sai số xâc suât lă một giâ trị của sai số ngđu nhiín mă câc sai số có trị tuyệt đối lớn hơn hoặc nhỏ hơn nó đều có khả năng xuất hiện như nhau
Muốn xâc định được sai số xâc suất trước hết ta phải sắp xếp dêy sai số theo thứ tự giâ trị tuyệt đối tăng dần từ nhỏ đến lớn Nếu ký hiệu sai số xâc suất lă p Sai số xâc
suất được xâc định như sau:
Trang 32Z + a x on > ? ont a a ` afte x
Câc sai số ngđu nhiín năm trong khoang (—p, +p) chiếm 50% tông số sai số có thĩ xuất hiện Dựa văo lý thuyết sai số người ta đê xâc định được mối quan hệ giữa sai số
xâc suất vă sai số trung phương như sau:
p=0,6745m z 2m (3.11)
3
3.3.4 Sai số giới hạn
Đặc tính thứ nhất của sai số ngẫu nhiín đê chỉ rằng: trong điều kiện đo nhất định, trị số tuyệt đối lớn nhất của sai số ngẫu nhiín khơng vượt q một giới hạn nhất định Như vậy, trong một dêy kết quả đo những giâ trị đo năo vượt quâ giới hạn ấy thì chúng ta coi như nó khơng thoả mên với quy luật vă coi như kết quả đó khơng đảm bao độ chính xâc vă chúng ta loại ra, không dùng để chỉnh lý kết quả đo
Nhưng vấn đề đặt ra lă: trong một điều kiện đo thì lăm thế năo để xâc định được
giới hạn đó, rõ răng giâ trị của sai số giới hạn phụ thuộc văo điều kiện đo Theo lý
^^ Z ^^ ` a’ ~ * a’ ` Z A A a x ` 2 ` at
thuyết xâc suất thì nếu đêy sai số phù hợp với quy luật phđn bố chuẩn thì có 5% sai số ngẫu nhiín có giâ trị lớn hơn 2 lần sai số trung phương vă 3°/„ sai số ngẫu nhiín có giâ trị lớn hơn 3 lần sai số trung phương Trong thực tế số lần đo không nhiều lắm, nín có thể coi sai số ngẫu nhiín lớn hơn 3 lần sai số trung phương rất ít khi xuất hiện, vì lẽ đó chúng ta lấy giâ trị 3m lăm giới hạn của sai số ngẫu nhiín, ta có:
Ayn = 3.m (3.12)
< : as "nước a z Z Z ` at ve - _? oa
Trong trắc địa đôi khi đề tăng độ chính xâc khi đo chúng ta còn lấy giâ trị của sai sô
giới hạn lă:
Ag = 2.m (3.13)
_Với khâi niệm sai số giới hạn (lă sai số neat nhiín lớn nhất) cho phĩp ta biết được
khoảng xuất hiện của sai số ngẫu nhiín (- A„,, + A„ ) Mặt khâc, nếu biết sai số giới hạn tức lă ta sẽ biết được sai số trung phương vă trín cơ sở đó ta xâc định được phương
phâp đo, mây, dụng cụ đo để đảm bảo độ chính xâc theo yíu cầu đê đặt ra 3.3.5 Sai số tương đối
Trong quâ trình đânh giâ độ chính xâc kết quả đo nếu chúng ta chỉ dùng sai số trung phương, sai số trung bình vă sai số xâc suất thì vẫn chưa đủ để đânh giâ chính xâc kết quả đo Ví du hai đoạn thắng S, = 200m ,S, = 20m cĩ sai số trung phương bằng
nhau lă mạ = mạ = + 0,04m, nhưng ta nhận thấy rằng S,=200m được đo với độ chính xâc
cao hơn S; = 20m, để thể hiện rõ răng hơn ta dùng sai số tương đối :
Sa số tương đổi lă iy số giữa giâ trị tuyệt đối của sai sO va gid a7 cua dai hrong do vă luôn luôn lấy tử số bằng 1
x _ |m Ký hiệu: + (3.14) T x 1_m,_0,04 1 T, 9, 200 50.000 1_m,_0,04_ 1 T, 8, 20 5000 Theo ví dụ trín ta có:
Vì Hộ > in - nĩn doan S, đo chính xâc hơn đoạn S,
Trang 33
Lưu ý răng khi so sânh độ chính xâc thì câc sai số cảng nho độ chính xâc cảng cao
Miặt khâc, không bao giờ dùng sai số tương đối đề đânh giâ độ chính xâc khi đo góc
Ví dụ: Trong bảng (3.2) người ta ghỉ lại sai số khĩp của 27 tam giâc trong một mạng
lưới, cần tính:
a Sai số trung phương tính sai số khĩp tam giâc b Sai số trung bình
“ + at 2 a , se
c Sai số xâc suđt của tổng 3 góc trong của tam giâc
fang 2.2 ca a i
tr khĩp A” Av | SốTT khĩp A” a TT ¡ khếp A" | & 1 | +08 | 043464 | 10 | -075" | 05625 | 19 | +030" | 01296 2 +044 | 01936 | 11 | +012 | 001 | 20 | -Lúê | 27223 a | 039 01521 | 12 | +068 | 0A634 | 2i -L2L | 14641 4 +037 | 0/2349 | 13 037 | 01369 | 22 | +UA7 | 01369 3 4086 | 073% | 14 | -134 | 23716 | 23 | 4050 | 02500 6 Ag 2049 | 15 | -043 | 01849 | 24 | 029 | 0084 +1,07 11449 16 +0,12 0014 | 25 | 0,15 0,0225 +021 | 00441 | 17 | -018 | ooa2 | 26 | +043 | 03969 0,56 02146 | 18 | +081 | 06361 | 27 | +0/22 | 0/0484 [AlÌ= 16.49; [A]= 14,9849 m=+,HÍ3 ch = 0.74" n 27 A 8= lal =+ 16,49 =+0,61'' n 27 p = +0,5"
3.4 SAL SO TRUNG PHUONG CUA HAM CAC DAI LUGNG ĐO ĐỘC LAP
Trong thực tế không phải câc đại lượng chúng ta cđn xâc định đều có thể đo trực tiếp mă thường lă hăm số với đối số lă những đại lượng do trực tiếp Mặt khâc, trong quâ trình đo thì câc đại lượng đo được đều có chứa sai số cho nín giâ trị của hăm số (đại lượng cần xâc định) cũng có sai số
Vậy sai số của câc giâ trị đo độc lập đê ảnh hưởng đến hăm số như thế năo? Trong phần năy chúng ta tìm quan hệ giữa sai số trung phương của câc đại lượng đo độc lập với sai số trung phương cua ham
3.4.1 Sai số trung phương của hăm có dạng tổng quât
Giả sử có hầm số: F = £(x, y, z, ., u) (3.15)
Trong đó: x, y„ u: Lă câc đại lượng đo độc lập với sai số trung phương tương
ung la m,, m,, M, , TT,
Trang 34ves 2 , : ` ` ` sow x ` oa
Giả sử giâ trị thực của câc đại lượng đo lă: X, Y, Z, , U, thi sai số ngẫu nhiín tương
ứng sẽ lă:
Ax=X—x Ay=Y~-y Az=Z-z Au=U-u
vă sai số ngẫu nhiín của hăm số sẽ lă:
AF = f (X,Y, Z, , U) —f (x, y, Z„ , u) (3.16)
hoặc: AF = f(x+Ax, y+Ay, Z+AZ, , utAu) — f(x,y,z, ,u) (3.17)
Vì câc sai số đo Ax, Ấy, Az, , Au rat nhĩ nín ta có thể coi lă vi phđn của câc đổi số
x/y,z, ,u Vậy khi khai triển (3.17) thănh chuỗi Taylor vă bỏ qua câc thănh phan phi tuyến tính (đạo hăm bậc cao), ta được:
AF=(x,y,Z, u)+
(a | + (Zaz (Faure, ),z „0) (3.18)
Ox i
hay AF = (Zax +f 2 of ay +( 2c + (Z ` (3.19)
3x oy Oz Ou
Trong do: (=) ot lêi — lă câc đạo hăm riíng của hăm số F theo câc
Øx/\@y)} \ oz Ou
ate A“
Khi ta thay câc giâ trị đo văo câc : dao ham riíng ta nhận được câc hằng số, gia thiĩt
cac dai luong x, y, z, , u đều được đo n lần cùng độ chính xâc, vậy ta sẽ có n biíu thức
có đạng:
ar=( lax [sy 4(Z)ae + (2 lau, (i= len) Ox Oy Oz Ou (3.20)
Bình phương hai vế cơng thức (3.20) lấy tong theo vĩ rĩi chia cho n ta duge:
lar? -(# bs] (a) bod ca) lord),
n Ox n oy n Oz n ou n (3.21)
2 (4) of [Ax.Ayl Ta (Z| z) [A:.Az]
Ox }\ dy n ar )\ Ou n
Nĩu thay: ax’] =n ; la'] =m” 5 [au] = 11" ; lar] =1,
n n n n
Do tính chất ngẫu nhiín của câc sai số nín:
[axay] _ = 0, „ |An]_ =0 Vì vậy chúng ta thu được:
n n
2 2 2
mỹ fe ox) * lay m2 + of mi +(e), m? + +({F ôz ôu m2 (3.22)
Trang 35hay:
mp =t of mị + of mỹ + of mitt 2) m* (3.23)
OX MU; + Øu
Như vậy, sai số trung phương của hăm câc đại lượng đo độc lập bằng căn bậc hai của tổng bình phương câc tích của sai số trung phương câc đại lượng đo với đạo hầm riíng của hăm số theo câc đại lượng đo tương ứng
Ví dụ: Tính sai số trung phương khoảng câch giữa hai điểm A vă B được xâc định theo công thức:
S = K.n.cos’v
Trong do: n=1,327m với mạ =+0,002m v = 2°30’ m,=+1’ K = 100 p = 3438’
Ta tinh dao ham riĩng
(=) - = K cos*v = 100 cos? 2°30’ = 99,8097
n
(=) =-2K.n.cosv.sinv =
3V
=- 2.100 1, 327 cos 2°30° sin 2°30’ = - 11,5656 Thay văo công thức (3.18), ta có:
as 2 os MM, =+ 3 5 | ¬
mạ =# (2) m ::( [St Ì ~+ J§oA0) {0,002)’ + (-11,5656)° ng
= = £Y0,03985 +0, 00001 = + /0,03986 = +0, 200m 3.4.2 Sai số trung phương của một số hăm thường gặp
~ wo ——”
'
Ta âp dụng theo cơng thức tính sai số trưng phương của hăm có dạng tổng quât (3.23) cho câc hăm số thường gặp theo câc bước như sau:
1 Lập quan hệ hăm số
2 Tìm đạo hăm riíng của hăm số đó theo câc đối số tương ứng 3 Tính sai số trung phương theo công thức (3.23)
a Hầm số có dạng tuyến tính
F=K,x,+ Kx, + + K,x, 3.24)
Trong đó: K,— lă câc hằng số
x¡ — lă câc đại lượng độc lập có sai số trung phương lă mị Ta có: OF LK: OP Kas oat oF - ne Ox, ox, Ox
Thay văo công thức (3.23), ta có:
(3.25)
Trang 36b Ham s6-cĩ dang tông hoặc hiệu câc đại lượng đo độc lận
F=x¿‡x;+ +Xx, (3.20)
x¡ - lă câc đại lượng độc lập có sai số trung phương tương ứng lă mị,
Đđy lă trường hợp đặc biệt của trường hợp trín khi:
|K.|=|K›:|= - =|K,|=l
Vì vậy theo công thức (3.25), ta có:
3 2
my = +2j m; +mÿ + +m; (3.27)
Nếu câc đại lượng x¡ được đo cùng độ chính xâc nghĩa lă: mị = m, = =m, =m thi trong trường hợp năy sai số trung phương được tính theo công thức:
n;=m Ýn (3.28)
c Sai s6 trung phương đo góc trong lưới tam giâc
Giả sử một lưới tam giâc gồm n tam giâc, đo câc góc trong lưới tam giâc ta tinh được câc sai số khĩp góc cho từng tam giâc lă wy, Wy .W,
Tính sai số trung phương khĩp góc của của tổng 3 góc trong tam giâc theo công thức :
m„ =+.|— (3.29)
n
Trong đó w; = A, + B, + C, — 180” (A„ Bự„ C; lă 3 góc đo trong tam giâc thứ i Nĩu do
3 góc trong tam giac cĩ sai s6 trung phuong 14 mg, mg, m, thi:
m2 =m, +me+mĩ (3.30)
Tuy nhiín trong cùng một tam giâc thì câc góc thường đều được đo với độ chính xâc như nhau, hay mạ = mụ = mụ.= m;, nín:
mạ =3.m„ hay m, = (3.31)
43
Thay công thức (3.29) văo công thức (3.31), ta có:
W.W
mì p =+d + an (3.32) 3.32
Cĩng thic (3.32) dĩ tinh sai so trung phuiong do gĩc trong lưới tam giâc Công thức 6 ES P Ss tO & 6 & 6
nay con gọi lă cơng thức Fírírơ
Vi du: Theo s số liệu ở bảng (3.2) Tính sai số trung phương đo góc trong lưới tam giâc
Ta âp dụng công thức Fírírơ để xâc định sai số trung phương đo góc
Ta có: m, =+ — 3n
an ns , ` 9
Trang 373.5 GIA TRI DO CUNG ĐỘ CHÍNH XÂC CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG 3.5.1 Giâ trị trung binh cộng
Ta tiến hănh đo n lần cùng độ chính xâc một đại lượng có giâ trị Hiực lă X được câc
gid tri do 1a: 1, 1, 1, ., 1, Vay gia tri xâc suất nhất của kết qua đo được xâc định như thế năo từ câc giâ trị đo 1
Theo công thức (3.1) ta tính được câc sai số ngẫu nhiín:
Ay = Xx — 1
A,=X-1,
" (3.33)
A, =X-1,
Lấy tổng theo vế n công thức của (3 33) vă chia cho n ta được:
BÌ- x | _ — 34)
Kýhiệu x= “iy = Hebe n n (3.35)
Nếu đặt x chính lă giâ trị trung bình cộng của câc giâ trị đo cùng độ chính xâc của
một đại lượng thì cơng thức (3.34) có thể viết
la] _y_y n — (836)
Theo tinh chat thứ tư của sai số ngẫu nhiĩn thi lim la] _ =0 nghia lă n> o thi lai
n> n HW
- 0 khi đó x —› X tức lă giâ trị trung bình cộng tiến dẫn tới giâ trị thực Thực tế không thể đo vơ hạn lần được, chính vì vậy chúng ta gọi giâ trị trung bình cộng lă giâ trị xâc suất - nhất của đại lượng đo
—>
3.5.2 Sai số trung phương của giâ trị trung bình cộng
Ta viết cơng thức tính giâ trị trung bình dưới dạng :
xe yeti, (3.37)
non n
Vì câc giâ trị được đo cùng độ chính xâc vă có sai số trung phương lă m Đđy lă hăm có đạng tuyến tính nín sả số trung phương của giâ trị trung bình cộng được ký hiệu lă M sẽ được tính theo công thức (3.25):
M a iM Ww am + “ | (3.38) " (1) 24 m mM (3.39)
Nhu vay, sa số trung tn ương của trị trung ” cộng câc giâ trị đo độc lập, cùng độ chính xâc của một đại lượng nhỏ hơn sai số trung phương của một lần đo căn bậc hai n lđn
Ta thấy khi số lần đo tăng lín thì độ chính xâc của giâ trị trung bình cộng cũng tăng, lín Tuy nhiín để tăng độ chính xâc chúng ta phải lựa chọn điều kiện đo, phương phâp đo, mây dùng để đo vă số lần đo sao cho thích hợp vă kinh tế nhất
Trang 38
3.5.3 Tính sai số trung phương theo sai số xâc suất nhất
Chúng ta đê biết, công thức (3.7) được dùng để tính sai số trung phương theo sai số ngấu nhiín
Tuy nhiín trong thực tế hầu như chúng ta không biết được trị thực X c ủa đại lượng, đo (có rất ít trường hợp biết được trị thực), vì vậy chúng ta cũng khơng thể tính được sai số ngẫu nhiín (A¿ X — 1; ) Hay noi cach khâc, công thức (3.7) ít được sử dụng Việc
tìm một cơng thức khâc thay thế cho công thức tính sai số trung phương theo sai số ngẫu nhiín lă cần thiết Một trong những hướng đi lă thay giâ trị thực của kết quả đo
bằng một đại lượng gần bằng chính nó Đó lă giâ trị trung bình cộng vì giâ trị trung
bình cộng chính lă giâ trị gần đúng nhất hoặc giâ trị xâc suất nhất của kết quả đo (như ta đê chứng minh ở phần trín)
Khi ta có một dêy câc giâ trị đo cùng độ chính xâc lă lụ l„ , l¡ Ta sẽ tính được trị
xâc suất nhất của chúng theo công thức (3.35)
Dựa văo giâ trị xâc suất nhất của câc giâ trị đo ta tính câc sai số xâc suất nhất hay
còn gọi lă số hiệu chỉnh v, theo công thức:
Vị=x-—l, (i=1,2, ,n) (3.40) Lấy công thức (3.1): A;= X- l, trừ công thức (3.40) theo từng vế ta được:
A, -V; = X-x (3.41)
Đặt X— x = ö lă sai số thực của trị trung bình cộng
Vậy: A, - v, = 6 hay: A; = v, +6 (3.42)
Ta bình phương hai vế công thức (3.42) rồi cộng theo vế vă chia cho n ta được:
= A]_ bw] v] 2 8 tyes? (3.43)
n
Lấy tổng theo + vế của n n phương trinh (3.40) ta dude: [v] =n x —[1] va thay giâ trị
x= L văo biểu thức năy thì [v] = n
Theo cơng thức (3.36) vă (3.42) ta có = Ia] (3.44) n
Nếu bình phương hai vế biểu thức năy lấy tổng theo vế vă chia cho n sẽ được:
ở? -|#l,;la.^ 2 2 (3.45)
H n
Lưu ý tính chất thứ tư của sai số ngẫu nhiín thì số hạng
2|A,.A; „ ÂP 2ÌA,-A,] =0vắ -#] (3.46) n° n° Vì vậy cơng thức (3.43) có dạng: A.A] _ b.v] 4 [A 4] (3.47) n n n°
Mặt khâc, theo công thức (3.7) tính sai số trung phương thì cơng thức (3.47) được
viết lại lă: m? = kv],m (3.48)
n n
Trang 39v.v
"hay: m=+ (3.49)
n-Ï
Đđy lă công thức tính sai số trung phương của trị đo theo số hiệu chỉnh v hay sai số xâc suất nhất CØr+z #iức (3.49) còn gọi lă công thức Bessel
Sai số trung phương của giâ trị trung bình cộng theo số hiệu chỉnh v hay sai số xâc
suất nhất tính theo công thức sau:
V.V ,
Ms =* n.(n - Ì) 650
3.5.4 Tính sai số trung bình theo sai số xâc suất nhất
Công thức Bessel dùng số hiệu chỉnh hay sai số xâc suất nhất để tính sai số trung
tn ae Ww ` ` , wos > Aisa , af
phương Vậy đối với sai số trung bình thì có thể tính được bằng số hiệu chỉnh hay sai số
xâc suất nhất không ?
Theo công thức (3.8), quan hệ giữa sai số trung phương vă sai số trung bình lă:
9=Í.m 5 | (3.51) A hay: lal = 4 AA (3.52) n 5 n
Theo công thức Bessel thì : Is -Al- lv băi (3.53) n
Thay công thức (3.53) văo cong thức (3.52) ta nhận được: A
lal 4 vị | (3.54)
n 5 n-l
Z ` « coe a4 ⁄ 34x z 2 ow x fA a ` ở A sal
Khi n đủ lớn, thì sai số xâc suất có đặc tính của sai số ngẫu nhiín nín ta có thể viết
được:
` _ @.8)
Từ công thức a5 ta có thể viết:
4 +P = [+ i 3.56)
Thay công thức (3.56) văo công thức (3.54) ta được:
ts I = ll = jl (3.57)
hay 2-2 bÙ, (3.58)
Đđy lă cơng thức tính sai số trung bình theo số hiệu chỉnh hay theo sai số xâc suất nhất Công thức năy gọi lă công thức Peter
2, + “ :
Khi n đú lớn, ta có thể coi:
tne tifn—t)
Trang 40Như vậy cơng thức (3.58) có thể viết: Lv < — 8=+ 1 (3.60) n — 2
Thay văo cơng thức (3.8) thì ta có cơng thức đơn giản hơn như sau:
m=+2.6 = eigsa Lvl 4 a (3.61)
2
Trong thực tế, chúng ta sẽ dùng công thức (3.49) để tính sai số trung phương của trị đo, cịn cơng thức (3.61) dùng để ước tính sai số trung phương đo góc trong lưới tam giâc Khi n đủ lớn thì ta dùng công thức (3.61) để kiểm tra công thức (3.49)
Ví dụ: Đoạn thang AB được đo ó lần cùng độ chính xâc với câc kết quả như sau:
l=46,535m l=46,539m 1, = 46,540m 1, = 46,548m 1, = 46,528m 1, = 46,545m
Hêy tính: Trị xâc suất nhất của đoạn AB Sai số trung phương của trị đo
Sai số trung phương của trị xâc suất nhất Tính trị xâc suất nhất (trị trung bình cộng):
x=Ll = 46,539
n
Tinh cdc sai s6 gan ding nhat v=x—Ì
v,=x-lL= 4mm v,=x-l= Omm V;=x—lÌ=-1mm V; =x—lạ=— 9 mm V;ạ=x—l= 11mm Vạ= x— Ì,=— 6 mm [Ivil=a Tính[v v]: Vị Vị = l6 v,.V,=0 V2-V,=1 v;.V;=81 V;.Vạ=121 _ _Ve.V¿=36 [v.v]=255
Sai số trung phương của trị đo (tính theo cơng thức Bessel)
m=#.j lv.¥] = +? = +7,l1mm
n-l 5
Sai số trưng phương của trị xâc suất nhất:
M.=+-m- + 2Í _ +29 x _ > mm n 6
Sai số trung bình của trị đo (tính theo công thức Peter):