Chuong 1
MOT SỐ KHAI NIEM CƠ BẢN VỀ ĐỘ TIN CẬY VÀ TUỔI BỀN
1.1 ĐÓI TƯỢNG NGHIÊN CUU VA NHIEM VU CUA LY THUYET
_ ĐỘ TIN CAY |
1.1.1.Khái niệm về lý thuyết độ tin cậy
Những nguyên lý khoa học tổng quát nghiên cứu những phương pháp và biện pháp chung cân tuân thủ trong quả trình thiết kế, chế tạo, bảo quản, vận chuyển và khai thác sản phẩm nhăm đạt được hiệu quả tối đa trong quá trình sử dụng; cũng như nghiên cứu những phương pháp chung dé tính tốn chất lượng của các hệ thông theo chất lượng cho trước của các phần tử cấu thành nên các hệ thống đó, được gọi là jý thuyết độ tin cậy
1.1.2 Đôi tượng nghiên cứu của lý thuyết độ tin cậy
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết độ tin cậy trong chương trình này là các hệ cơ học như: các loại cơ cầu, máy móc, thiết bị, phương tiện v v và tổ hợp của chúng (hệ thống) trong mối quan hệ tương hỗ nhằm hoản thành một số nhiệm vu, chức năng nhất định nào đó; cũng như các bộ phận, nhóm, cụm chi tiết và các chỉ tiết (các phần tử) cầu thành nên các hệ thống đó Người ta thường gọi đối tượng nghiên cứu của lý thuyết độ tin cậy bằng một tên chung: đối tượng hoặc sản phẩm
1.1.3 Nhiệm vụ của lý thuyết độ tin cậy
Nhiệm vụ chủ yếu của lý thuyết độ tin cậy là nghiên cứu quá trình thay đổi các chỉ tiêu chất lượng của sản phẩm theo thời gian, thiết lập các quy luật xuất hiện hư hỏng của đối tượng và những phương pháp dự báo chúng, tìm kiếm những giải pháp nâng cao độ tin cậy của sản phẩm khi thiết kế, chế tạo cũng như các biện pháp nhằm duy trì độ tin cậy của nó trong thời gian bảo quản và sử dụng
Cho dù những chỉ tiêu chất lượng ban đầu của sản phẩm có thể giống nhau, nhưng sau một thời gian nhất định do tác động của nhiều nguyên nhân, các chỉ tiêu chất lượng này đều bị suy giảm và trở nên rất khác nhau Vì vậy hầu hết các bài toán về độ tin cậy đều được bắt đầu bằng việc thu thập thông tin về chất lượng sản phẩm và sau đó là xử lý các thông tin đó để rút ra những kết luận cần thiết Phần lớn các chỉ tiêu độ tin cậy của sản phẩm được đánh giá định lượng bằng số đo xác suất, do đó cơng cụ chủ yếu để giải quyết các bài toán độ tin cậy là lý thuyết xác suất và thống kê toán học
DTC & TBM * 7
Trang 2
1.2 MOT SO KHAI NIEM CO BAN VE DO TIN CAY VA TUOI BEN
|
Trong lý thuyết độ tin cậy, các khái niệm cơ bản có thể được chia thành bốn nhóm: - Các khái niệm về đối tượng nghiên cứu;
- Các khái niệm về trạng thái của đối tượng:
- Các |khái niệm về tính chất của đối tượng:
- Các đặc trưng (chỉ tiêu) của độ tin cậy
|
1.2.1 Các khái niệm về đối tượng nghiên cứu
a Đỗi tượng có phục hơi là đối tượng mà khả năng làm việc của nó có thể
được thiệt lập lại trong trường hợp xảy ra hư hỏng
b Đối tượng không phục hôi là đối tượng mà khả năng làm việc của nó khơng được thiết lập lại trong trường hợp xảy ra hư hỏng, trong đó phục hồi được hiểu là quá trinh phát hiện và khắc phục một sự cố (trục trặc) nào đó nhăm thiết lập lại khả năng làm việc của đối tượng
€ Phan r là một đối tượng có tính độc lập, là một đơn vị không thể chia nhỏ hơn nữa rong một hệ thống và nó có độ tin cậy độc lập
d Hệ thống là một đối tượng bao gồm một tập hợp các phan tử Các phân tử này được liên kết với nhau theo những phương thức nhất định nhằm thực hiện một
chức năng nhất định nào đó
dl Hệ thống nồi tiếp là một hệ thông, trong đó nếu một phần tử bị hư hỏng thì cả hệ thống cũng bị hư hỏng
d2 Hé thong song song là một hệ thống, trong đó nếu tất cả các phần tử đều bị hư hỏng thì hệ thống mới bị hư hỏng
33 Hệ thong k từ n phần tử, (k<n), la mot hé thống, trong đó khi k phần tử bị hư hỏng thì hệ thông bị hư hỏng
d4 Hệ thống dự phòng là một hệ thống bao gồm phần tử cơ bản và phần tử dự phòng, trong đó phân tử cơ bản là phần tử bắt buộc phải đảm bảo cho khả năng làm việc của đối tượng; còn phần tử dự phòng là phần tử đảm bảo cho khả năng làm việc tiếp tục của đối tượng khi phần tử cơ bản bị hư hỏng
1.2.2 Các khái niệm về trạng thái của đối tượng
a Chất lượng của sản phẩm là tập hợp các tính chất quy định tính hữu ích của đối tượng 'đang xét nhằm đảm bảo những yêu câu nhất định, tuỳ theo mục đích sử dụng được đặt ra cho nó Một trong số những tính chất đó là độ tin cậy
b Hiệu quả (kỹ thuật) là số đo chất lượng làm việc của đối tượng hoặc số đo tính hữu ích của việc sử dụng đối tượng đó nhằm đáp ứng nhiệm vụ đã cho
rs
`
8 * ĐTC & TBM
Trang 3
c Khả năng làm việc \a tinh chat cua doi tượng có thê hồn thành nhiệm vụ
được giao và duy trì được các giá trị thông sô làm việc chủ yêu trong một giới hạn
nhât định nào đó
d Hong la su ton that mét phan hoặc toàn bộ những tính chất của sản phẩm dân đên làm mật khả năng làm việc của nó
dl Hong dan dân (tiệm tiến) là hư hỏng, xuất hiện cùng với sự suy giảm dần dân các thông số chất lượng, làm cho các trị số của nó vượt ra ngoài mức giới hạn
cho phép Hỏng dân dẫn thường là do lão hoá, mài mòn hoặc ăn mòn
42 Hỏng đột ngột là hư hỏng xuất hiện cùng với sự biến đôi đột ngột các thơng
số chât lượng nói trên
d3 Hỏng một phần là hư hông mà sau khi xảy ra đối tượng còn có thể tiếp tục hoạt động được tuy nhiên trong đó giá trị của một hoặc vài thông số chất lượng cơ bản đã vượt ra ngoài giới hạn cho phép
d4 Hỏng hoàn toàn là hư hỏng mà sau khi xảy ra, hoặc từ sau khi xảy ra cho
tới khi nó được phục hơi, đơi tượng không hoạt động được hoặc không thê hoản thành được các chức năng đã định của nó
e Trang thai giới hạn là trạng thái, mà ở đó đối tượng không thể tiếp tục làm việc được nữa hoặc sự làm việc tiếp tục của nó là khơng có lợi về mặt kỹ thuật, không đảm bảo hiệu quả và không an toàn
1.2.3 Các khái niệm về tính chất của đôi tượng
Độ tin cậy là tính chất của đối tượng, trong những điều kiện làm việc nhất định
nào đó, có khả năng thực hiện được các các chức năng cho trước, mà vẫn duy trì được giá trị của các thông số làm việc đã được thiết lập trong một giới hạn xác định, trong một khoảng thời gian xác định
Độ tin cậy là một chỉ tiêu tổng hợp, nó bao gồm một số chỉ tiêu chủ yếu của đối tượng như: tính khơng hỏng, tính hữu dụng sửa chữa, tính bảo quản va tinh lâu bên (độ bên lâu hay tuổi bên)
Đặc trưng định lượng của một hay nhiều tính chất xác định độ tin cậy của đối
tượng được gọi là chỉ tiêu độ tin cậy :
Các chỉ tiêu độ tin cậy được xác định trên cơ sở thông tin về sự biến đối của các thông số của đối tượng trorig quá trình hoạt động, cũng như thông tin về khối lượng công tác (hiểu theo nghĩa rộng) mà đối tượng thực hiện được trong q trình đó
a Tính khơng hỏng là tính chất của đối tượng duy trì được khả năng làm việc của mình
Đặc trưng định lượng cho tính khơng hỏng là các chỉ tiêu: xác suất làm việc không hỏng, thời gian làm việc trung bình giữa các lần hỏng, cường độ hỏng, các thơng sơ dịng hỏng v.v
Trang 4
b Tính hữu dụng sửa chữa là tinh chất của đối tượng thích ứng với việc kiểm
tra, phát hiện hư hỏng, bảo dưỡng và sửa chữa
Đặc trưng định lượng cho tính hữu dụng sửa chữa là các chỉ tiêu: xác suất phục hỏi, thời gian dừng trung bình, thời gian phục hơi trung bình, cường độ phục hôi V.V
Đặc trưng chung cho tính khơng hỏng và tính hữu dụng sủa chữa là các chỉ
tiêu: hàm sẵn sàng, hệ số sẵn sàng, hệ số không sẵn sàng, mức độ sử dụng kỹ thuật
V.V :
e Tính bảo quản (hay cịn gọi là tính lưu kho, tính vận chuyển) là tính chất của
đỗi tượng duy trì được các thơng số chất lượng ban đầu của nó trong giới hạn đã cho
khi bảo quản trong kho và trong quá trình vận chuyền
Đặc trưng cho tính bảo quản là là các chỉ tiêu: thời gian bảo quản trung bình, cường độ hỏng trong quá trình bảo quản v.v
d Tính lâu bên (tính bên lâu, độ bên lâu, tuổi bên) là tính chất của đối tượng
duy trì được khá năng làm việc của nó cho tới khi đạt tới trạng thái giới hạn, trong đó có kê tới những gián đoạn cân thiết cho việc bảo dưỡng kỹ thuật và sửa chữa
Đặc trưng cho tuổi bền (độ bên lâu) thường là các chỉ tiêu về thời gian làm việc: tuôi thọ trung bình, thời gian làm việc trung bình, ti tho gamma phan tram, thời gian làm việc gamma phần trăm, thời gian làm việc trung bình giữa các lần sửa chữa, thời gian làm việc trung bình tới khi thanh lý
e Thời hạn phục vụ hay tuổi thọ là khoảng thời gian làm việc tính theo lịch của đôi tượng, tức là kê từ khi băt đâu đưa vào sử dụng cho tới khi đạt tới trạng thái giới hạn
Đặc trưng này thường dùng cho những đối tượng hoạt dộng liên tục hoặc cho những trường hợp đối tượng chịu tác động thường xuyên của tải trọng và môi trường, mà nguyên nhân làm mắt khả năng làm việc của đôi tượng là ăn mòn, nhiệt độ v.v
Tuy nhiên, đối với đa số cơ cấu, máy, thiết bị và phương tiện người ta khơng dùng thời gian tính theo lịch để đánh giá sự mất khả năng làm việc, mà dùng tổng thời gian thực hiện nhiệm vụ của đối tượng kế từ khi bắt đầu hoạt động cho tới khi đạt trạng thái giới hạn Khoảng thời gian này (thường được tính theo giờ) được gọi là thời hạn làm việc đến khi hỏng hoặc tuổi thọ hữu ích
Cần lưu ý rằng tuổi thọ và tuổi thọ hữu ích là hai khái niệm khác nhau Tuy nhiên đối với những đối tượng hoạt động liên tục thì tuổi thọ hữu ích cũng đồng nghĩa với tuôi thọ Mặt khác, đúng ra chỉ khi lượng công việc được đo băng thời gian thì mới dùng khái niệm "tuổi thọ" Nhưng trong thực tế, khi lượng công việc được đo bằng các chỉ số khác như bang sô chu trình, qng đường chạy tính băng kilômét, sản lượng v.v người ta vẫn quen gọi các số đo ấy là tuôi thọ
Thời hạn phục vụ hay tuôi thọ là một đại lượng ngẫu nhiên
Khoảng thời gian làm việc của đôi tượng cũng có thể được quy định trước theo những điều kiện nào đó, chăng hạn sự cần thiết phải đưa vào bảo dưỡng, sửa chữa
10* DTC & TBM
Trang 5
hoặc sự can thiét phai duy trì mức độ an tồn Thời gian làm việc đên trạng thái giới:
hạn được quy định trước như vậy được gọi là thời hạn phục vụ cho phép hay tuổi thọ
danh nghĩa Rõ ràng ở đây thời hạn phục vụ cho phép hay tuôi thọ danh nghĩa không phải là đại lượng ngâu nhiên
1.3 NHUNG YEU TO ANH HUONG DEN ĐỘ TIN CẬY
Cac thiét bi k¥ thuat thudng xuyén chiu tac dong cua cac yếu tô gây hư hỏng, đặc biệt là trong quá trình sử dụng, khai thác Các yêu tố đó làm suy giảm các tính
năng ban đầu của thiết bị và có thể gay ra những tác hại lớn Các yếu tố ảnh hưởng đó
có thể được phân theo loại, dạng biểu hiện, theo nguồn gốc và theo quá trình tác động
1.3.1 Phân theo loại
Các yếu tố ảnh hưởng đến độ tin cậy được phân thành các yếu tố kỹ thuật và các yêu tố kinh tế-kỹ thuật
a Các yếu tố kỹ thuật là các quá trình vật lý khác nhau của sự hư hỏng Các
q trình đó dẫn đên sự thay đối về kích thước, hình dạng, vê vị trí tương đơi giữa các bộ phận, về chât lượng bê mặt hoặc về những tính chât khác của đơi tượng
b Các yếu tô kinh tế-kỹ thuật là các yeu tố làm giảm giá trị của sản phẩm kỹ- thuật do tiến bộ khoa học kỹ thuật, các sản phẩm mới được tạo ra, có năng suất cao hơn, chất lượng tốt hơn Yếu tổ kinh tế-kỹ thuật không làm thay đôi các thông số làm
việc hay tính chất sử dụng mà chỉ làm cho sản phẩm trở nên cũ, lỗi thời
1.3.2 Phan theo dang biéu hién
Về mặt hình thức biểu hiện, các yếu t6 gây hư hỏng được chia thành ba nhóm: hỏng tiệm tiên, quá tải và lão hoá
a Hỏng tiệm tiễn (hỏng dân dân) là khái niệm chung của quá trình hao mòn
(mài mòn), mỏi và ăn mòn (gi) - những dạng hỏng chủ yêu của các sản phẩm kỹ
thuật cơ khí Đây là những yêu tổ không thể loại trừ được, kể cả khi tuân thủ một cách chặt chẽ quy trình sử dụng, khai thác
b Sự quá tải thường xảy ra do sử dụng sai quy định, hoặc do sự hỏng tiệm tiến gay ra khiến tải trọng tăng lên vượt quá giá trị giới hạn, nó trực tiếp dẫn đến sự hư hỏng hoặc làm tăng quá trình hỏng tiệm tiến
c Su lao hoa (hoặc hóa già) là quá trình biến doi (khong thuan nghich) trong vật liệu, làm thay đơi độ bên Nó chỉ được coi là các yếu tô gây hư hỏng khi nó xuất hiện ngồi q trình cơng nghệ chế tạo
1.3.3 Phân biệt theo quá trình tác động
Xét theo khoảng thời gian tác động nhanh hay chậm mà có thể có các yếu tổ
gây hỏng dân dân hoặc hỏng đột ngột
Trang 6
1.3.4 Phan loai theo nguyên nhân
Các yếu tố ảnh hưởng đến độ tin cậy có thể phân theo nguồn gốc sinh ra chúng
a Nguyên nhán khách quan
Nguyên nhân khách quan gây ra hư hỏng thường được hiểu là nguyên nhân bên ngoài, nhưitác động của môi trường hay điều kiện sử dụng mà chúng xảy ra không biét trước, vượt ra ngoài các trường hợp tải trọng hay các giới hạn được quy định trong các tiêu chuẩn hoặc quy chuẩn kỹ thuật thiết kế hay sử dụng, hoặc như sự khơng - hồn thiện của các quy trình cơng nghệ được áp dụng trong chế tạo hoặc sửa chữa b Nguyên nhân chủ quan
_ Nguyên nhân chủ quan là nguyên nhân do sai lâm chủ y yếu của con người trong quá trình thiết kế và q trình cơng nghệ chế tạo, vi phạm các quy trình vê sử dụng
hoặc sơ suat trong thao tác v.v
Câu hỏi ổn tập chương Í
-_ 1 Nêu các khái niệm về lý thuyết độ tin cậy, đối tượng nghiên cứu và nhiệm vụ của lý thuyết độ tin cậy
2 Nêu các khái niệm về đối tượng nghiên cứu: đối tượng không phục hôi, đối tượng có phục hồi, phần tử và hệ thống trong lý thuyết độ tin cậy
3 Nêu các khái niệm về trạng thái của đối tượng trong lý thuyết độ tin cậy 4 Nêu các khái niệm vẻ tính chất của đối tượng trong lý thuyết độ tin cậy
| , og ,
5 Nêu những yêu tô ảnh hưởng đên độ tin cậy
12 * ĐTCl& TBM
Trang 7
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÁC QUY LUẬT
PHAN BO CUA DAI LUONG NGẪU NHIÊN
2.1 DAI LUQNG NGAU NHIÊN 2.1.1 Một số khái niệm và thuật ngữ
Các hiện tượng ngẫu nhiên thường xảy ra bởi tác động đồng thời hoặc kế tiếp của hàng loạt các nguyên nhân Trong thực tế không bao giờ có thể đánh giá được một cách chính xác mức độ ảnh hưởng của các nguyên nhân đó, xác lập được trạng thái ban đầu của hiện tượng cũng như phán đốn đủ mức chính xác cân thiết trạng thái cuối cùng của nó Tuy nhiên cần phải thấy răng mỗi một hiện tượng như vậy đều găn liền với một nhóm điều kiện cơ bản, và các hiện tượng đó chỉ xảy ra khi nhóm các điêu kiện cơ bản găn liền với nó được thực hiện Khi thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy để quan sát xem hiện tượng nào đó có thể xảy ra hay không, tức là ta
đã thực hiện một phép thử
q Phép thứ
Như vậy, việc tiến hành một tổ hợp các điều kiện nhằm nghiên cứu một hiện
tượng hoặc một đôi tượng nào đó, được gọi là phép thu
Trong giáo trình này, từ đây trở đi, khi nghiên cứu về độ tin cậy, thử đồng -_ nghĩa với: thí nghiệm, thử nghiệm, thực nghiệm, quan trắc, quan sát, thống kê, v.v
.b Biến cỗ
Sự xảy ra hoặc không xảy ra của một hiện tượng nào đó trong một phép thử được gọi là biến cố Biến cố còn được gọi là sự kiện
Các biến cổ thường được ký hiệu là các chữ cái hoa: A, B C, D, v.v c Phân loại biến cô
Một biến cố nào đó chỉ có thể xảy ra khi một phép thử găn liền với nó được thực hiện Trong thực tế, với bất kỳ một phép thử nào cũng chỉ có thê xảy ra ba loại biến có sau đây:
c1 Biến cố chắc chến: là biển cô nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử c2 Biến cố khơng có thể: là biến cỗ không thê xảy ra khi thực hiện phép thử
c3 Biến có ngẫu nhiên: là biễn cỗ có thê xảy ra hoặc không xây ra khi thực hiện một phép thử
ĐTC & TBM * 13
Trang 8
c4 Biến cỗ độc lập: hai biến cố được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra hoặc không - xây ra của biến cỗ này không ảnh hưởng tới sự xảy ra hoặc không xảy ra của biến cô
kia và ngược lại
c5 Biển cố kéo theo: là biển cố khi nó xảy ra thì kéo theo biến cố kia cũng xảy ra và ngược lại
Biến cố xung khắc: hai biến cố gọi là xung khắc khi biến cố này xảy ra thì khơng, hd xay ra bién cé kia va ngugc lại
c7 Bién cố đối lập: hai bién cô gọi là đối lập nếu chúng xung khắc với nhau và tông xác suât của chúng là một biên cô chắc chăn (đây là hai biên cô bù của nhau)
Trong thực tê, biên cô ngâu nhiên là các biên cô thường gặp hơn cả
2 4, xe 4, 3 Á 4
d Tan suat va xac suat của biÊH cô
Trong một loạt phép thử cùng điều kiện, việc một biến cố ngẫu nhiên có xảy ra hay khơng, và xảy ra bao nhiều lần là điều không thê biết trước được.Tuy nhiên có thể nhận thây các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác - nhau Khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một ,phép thử trong những điều kiện như nhau người ta thây rằng khả năng xảy ra của biến cô dường như thê hiện theo những quy luật xác định Từ đó ta có thê định lượng (đo lường) khả năng khách quan xây ra của biến cô nào đó
Xác suất thường được ký hiệu là chữ P Xác xuất của các biến cố A, B, C
được ký hiệu là P(A), P(B), P(C)
Goi ma 1a sé lan xay ra hay tan suất tuyệt đối của biễn cỗ A và n là tông số phép thử trong loạt này, thì tỷ số
r,=m,/n (2.1)
được gọi là tần suất (tương đổi) của biến cô A
Vi O<m,<n_ nên dễ dàng nhận thấy 0<z, <I
Thực nghiệm chứng tỏ rằng, khi số phép thử càng lớn thì tân suất tương đối
càng có tính ơn định và dao động càng gần quanh một số không âm không đối Số
khơng đổi| đó được gọi là xác suat cua bién cô Ký hiệu xác suất của biến cố ngẫu nhiên A là P(A) Cũng như đối với tần suất, giá trị của P(A) năm trong khoảng
0<P, $1} trong do: Biến cố chắc chin có xác suất bằng 1: P(BCCC) = 1 | |
Biến cố khơng thê có xác suất băng 0: P(BCKT) = 0
Như vậy, xác suất của một biến cố là một đại lượng đặc trưng khả năng khách quan xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử, nó khơng phụ thuộc vào ý muốn của con người, Nói một cách khác, xác suất là công cụ để đo lường khả năng khách quan xây ra của biến cố
14 # ĐTC & TBM
Trang 9
2.1.2 Đại lượng ngẫu nhiên và tập giá trị của nó
q Khải niệm
Trong thực tế đánh giá độ tin cậy của các đối tượng kỹ thuật, các đặc trưng được xem xét thường là các đại lượng đo lường tính chất của đối tượng Qua cuộc
_ thử, do các yếu tố ngẫu nhiên, một đại lượng có thê nhận các giá trị khác nhau, nên
chúng được gọi là đại lượng ngấu nhiên hay biến ngâu nhiên Tập các số thực nhận được trong loạt thử cùng điêu kiện đó được gọi là các giá trị của đại lượng ngâu nhiên
b Kỷ hiệu
Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ cái in X, Y, 7, Z còn các giá trị mà chúng có thể nhận được ký hiệu tương ứng băng các chữ cái thường x, y, /, z , ví dụ, có thể viết ết X(xXis;, Xj yee Xy)-
c Phan loai
cl Dai luong ngẫu nhién roi rac
Dai luong ngau nhiên X được gọi là rởi rạc, khi nó có thê nhận một sơ hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị khác nhau x¿, x¿, „ %„ Hay nói khác, nó nhận
các số tự nhiên khác nhau
c2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có thê nhận giá trị bất kỳ trong một khoảng nào
đó của trục sơ, hay nói khác nó nhận các giá trỊ là sơ thực, thì nó được gọi là đại
lượng ngầu nhiên liên tục
Khi nghiên cứu độ tin cậy của các sản phâm kỹ thuật trong ngành: cơ khí ta thường gặp:
- Các đại lượng biểu hiện sự hư hỏng của sản phẩm iy thuật nhự độ hao mịn, khe hở, kích thước và tốc độ phát triển của vết nứt, chiều sâu và tốc độ phát triển của vết gỉ, mức độ gia tăng cường độ tiếng ôn, mức độ gia tăng lượng tiêu hao nhiên liệu của động cơ và những, biểu hiện khác của sự mất khả năng làm việc của sản phẩm
- Các đại lượng đặc trưng cho lượng công việc mà sản phẩm hoàn thành trong một khoảng thời gian nào đó như thời gian làm việc đo bang gid hay thoi han phuc vu tinh bang nam, quang đường mà xe chạy được tính bằng kilơmét, số chu trình tải trọng mà một chỉ tiết máy phải chịu tính bằng số lần v.v
Tất cả các đại lượng nói trên đều được coi là ngẫu nhiên, mặt khác, chúng đều là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục với các giá trị biểu hiện là không âm
2.2, HAM MAT DO VA HAM PHAN BO XAC SUAT
Mỗi quan hệ giữa các giá trị có thê của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó với các xác suât tương ứng của chúng được gọi là quy luật phân bố của đại lượng ngẫu
nhiên (ĐLNN) đó
Luật phân bố của ĐLNN rời rạc thường được cho đưới dang bang (bang 2.1)
Trang 10
| Bảng 2.1 Luật phân bố xác suất của ĐLNN rời rạc
Ỉ
ĐLNN xX x, X› see x; ~ Ăn
Xác suất xây ra, p DĐ Ps - _Ð " D,
|
Luật | phân bố của ĐLNN liên tục được thê hiện trên trục số
Luật phân bố của ĐLINN liên tục là quy luật cho phép xác định xác suất để
ĐLNN X lấy giá trị trong khoảng x,,x; bất kỳ nào đó và nó thường được biểu thị i bang ham mat độ xác suất `
2.2.1 Hàm mật độ phân bố xác suất (mật độ phân bố xác suất) f(x)
Giả sử có DLNN LT X phan bé trén truc OX Lay một điểm x bất kỳ trên
trục sô, sau đó cho sơ gia Ax Can tim xac suat dé DLNNLT YX rơi vào khoảng
(x+x+ Ax) Xác suất này được viết như sau: P(x< X <x+ Ax)
P(x<X<x+Ar) a P(x<X<x+Ar) và tìm giới hạn lim Av¬0 Ax Thiết lập tỷ số
Nếu giới hạn này tôn tại thì nó được gọi là mật độ hay hàm mật độ phân bố của
ĐLNNLT ,X và được ky higu la f(x),
a Dinh nghia
Mat do phan bố của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X tại điểm x là giới hạn của tỷ số giữa xác suất để ĐLNN rơi vào khoảng từ x đến x+ Ax với chiều dài
Ax của nó, khi Ax dần tới 0 -
P(x< X <x+Ar)
fle) = lim Ax (2.2)
- Hàm mật độ phân bố Z(x) cho biết mức độ xảy ra (xuất hiện) của ĐLNN LT
X tại lân cận của điểm x nào đó khi các phép thử (quan trắc) được lặp lại nhiều lần
Đơn vị đo của f(x) 1a bằng 1/đơn vị đo của ĐLNN X b Một số tính chất cơ bản của hàm mật độ phân bỗ
b] Hàm mật độ phán bố là một hàm không âm
f(x)20; | (2.3)
Điều này được rút ra từ định nghĩa và có nghĩa là đường cong phân bố ý (x) không năm đưới trục hồnh (hình 2.I)
16 * ĐTC|& TBM ag
Trang 11
b2 Tich phan
[f@ de =1; a (2.4)
Điều này có nghĩa Ja dién tich gidi han boi dudng cong phan bé f (x )và trục
hoành 2X bằng một đơn vị (hoặc bằng 100%) Đó chính là xác suất để X lây giá trị
trên toàn trục số - một biến cố chắc chan
I @A 7 Ax yw? ` = orm % txt FeO F(x)A F (x) —> X -Ý +
Hình 2.1 Đô thị hàm mật! độ ƒ (x ) va ham phan bố xác suất F (x)
của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X 2.2.2 Hàm phân bồ xác suất Ƒ(x)
q Định nghĩa
Giá trị của hàm phân bố xác suất của ĐUNN LT X tại điểm x là xác suất để
đại lượng đó nhận một giá trị nhỏ hơn x
P(X<x) —œ < X < +œ (2.5) Ở đây xác suất của biên cô P(X < x) phụ thuộc vào x và là hàm của x; nó
được gọi là bàm phân bố xác suất của ĐLNN LT X và được ký hiệu la F(x)
Như vậy, giữa hàm phân bố #(z) và hàm mật độ ƒ(x) có quan hệ sau:
+
F =.P(Y.<.x)=.|./(xw (2.6
Etkgi ĐẠI HỌC GIAOÔ THÔNG VẬN TẤT )
PHAN HIEU TAI THANH PHO HO CHI MINH
Trang 12
trong đó, về mặt hình học, quan hệ này có nghĩa là, gia tri cua ham phân bố tại điểm x bằng diện tích phần hình dưới đường cong ƒ (x) bên trái đường thăng x
Hàm phân bó xác suất F(x) đơi khi cịn được gọi là ham tích phân hay quy
luật tích phân của phân bó Ngồi ra, hàm phân bố xác suất #(x) còn được gọi là hàm phân bơ tích lũy, hàm phân bồ lý thuyêt hay hàm phân bơ chính xác
b Tink chất của hàm F (x) bl Các giới hạn | | | lim F(x) = f f(x)dx=0; | (2.7) | 2 | lim F(x)= Ỉ ƒ()&=1; (2.8)
(Biến có để ĐLNN X lấy giá trị nhỏ hơn +© là chắc chắn; cịn biến có để DLNN X Hy giá trị nhỏ hơn —œ là không thé xảy ra được)
b2 Hàm F(x) là một hàm đơn điệu không giảm liên tục theo x, và nhận các giá trị từ 0 đến 1, tức là 0< f{x) <1
| £ z / ° # + ` , a a A “7 °
b3 Nêu lấy các giá trị x,x, với xạ <x;, thì xác suất để X lây gia tri trong khoảng ( x,,X, ) bang <X<x,)= | f (x)dx = F(x,)- F(x,) = P(X <x,)- P(X <x) (2.9) ‘| P(x,
Tích phân này bằng số đo diện tích hình 6, giới hạn bởi đường cong ƒ(x) và
các đường thẳng x,,x, (hình 2.1) Đó cũng là xác suất dé X lấy giá trị trong khoảng
(Xi;X;):
4 Nếu hàm phân bố F(x) là khả vi liên tục, từ (2.6) ta có
dF (x) |
ax
có nghĩa l mật độ / (x) bằng đạo hàm của hàm phân bố #(z)
f(x)= = F (x); (2.10)
b5 Từ (2.9) thấy rằng, với một giá trị a cé dinh thi
| P(X =a)=0; (2.11)
Điều này nói lên rang, biến cố để đại lượng X lẫy mot gid tri a khong đổi trong mọi lân thử là không thê xảy ra
Trang 13
Ngược lại, mọi hàm số Ƒ'(x) thoả mãn các tính chất trên đều có thể là hàm
phân bố của một ĐLNN nào đó
Đơ thị hàm mật độ và hàm phân bô xác suât của đại lượng ngâu nhiên liên tục:
được thể hiện trên hình 2.1
2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG BẰNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2:3.1 Kỳ vọng toán học và giá trị trung bình số học
Trong lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, (hay kỳ vọng toán học, giá trị trung bình), của ĐLNN X biêu diễn giá trị trung bình mà người ta “mong đợi” nhận được
qua loạt phép thử Nó thường được ký hiệu là E(X),A⁄(X) hoặc đơn giản là a
a Đối với ĐLNN rời rạc
Nếu X là một ĐLNN rời rạc, lay Các gia tri x,,x,, VỚI Các xác suất tương
ứng là p,,p;, mà 3` p;=1 thì £(X) bằng tổng của các tích giữa mỗi giá trị với
xác suất tương ứng của nó
E(X)=M(X)=a=Š`xp (2.12)
is}
trong do:
x, - gia tri tha 7 cua DLNN X;
P, -Xắc suất xảy ra (xuất hiện) giá trị x, của ĐLNN X
với điều kiện tổng (2.12) là hội tụ tuyệt đối
Tuy nhiên, trong thực tế, ĐLNN X chỉ có thể nhận được một dãy ø các giá trị
X„X;„ X„, khi đó giá trị trung bình số học, nêu X là ĐLNN rời rạc, băng:
X=) xD); (2.13)
/=l
b Đối với ĐLNN liên tục
Nếu X là một ĐLNN liên tục có hàm mật độ ƒ(x) thì kỳ vọng toán học của
nó được định nghĩa băng "
E(X)= M(x =a= | xf (x)dx, : (2.14)
với điều kiện tích phan (2.14) la hdi tu tuyét đối
Về mặt hình học, biểu thức (2.14) cho biết kỳ vọng chính là hồnh độ trọng
tâm của hình dưới đường cong hàm mật độ f(x)
ĐTC & TBM * 19
Trang 14
Cịn như trên đã nói, khi ĐLNN X chỉ có thể nhận được một dãy ø các gia tri _- X,X;, „ „|, khi đó giá trị trung bình sơ học, nêu X la DLNN lién tuc, bang:
xe 1W (2.15)
A zl
Trường hợp dãy số liệu được chia thành & nhóm (khoảng bằng nhau trên trục
số), nhóm thứ ¡,¡ = l,2, ,& ,, có trung điêm (điểm giữa) là x, và tân suất la r, thi gia tri trung binh số học X được tính băng (xem 2.11, chuong 2)
k
X=) xr, (2.16)
trong do:
_x,-trung diém nhom thir i của ĐLNN LT X; r- tan suat cua nhém thir 7 cla cla DLNN LT X; i
k - số nhóm số liệu thống kê
Người ta đã chứng minh được răng các giá trị trung bình số học nói trên là ớc
lượng của kỳ vọng toán học E(X), khi số ø đủ lớn Vì vậy, giá trị trung bình số học
nhiều khi còn được gọi là ) vọng thực nghiệm, hay ngắn gọn cũng là kỳ vọng Kỳ vọng tốn học có các tính chất sau:
- Kỷ vọng có thể âm hoặc đương;
- Kỷ vọng của một hăng số c chính băng hăng số đó, E(e) =c
2.3.2 Made va median a Mode
_Mode của ĐLNN X, ký hiệu x.,,, là giá trị của ĐLNN có xác suất xảy ra
(xuất hiện) lớn nhất Nói một cách khác, đó là giá trị của ĐLNN LT X trên trục hoành, mà tại đó hàm mật độ có giá trị lớn nhất ƒ(x„„)= f(x)
Một ĐLNN LT có thê có nhiều giá trị mode b Median
Median cia DLNN X, ký hiệu x
tích dưới đường cong mật độ phân bố được chia thành hai phần bằng nhau và
F (Xm«) T0, 3
là giá trị trên trục hoành, mà tại đó diện
med?
Trong trường hợp tổng quát, giá trị mode, median và kỳ vọng toán học không trùng với nhau Còn đổi với một luật phân Bố đối xứng thì chúng là trùng nhau Cả
ba đêu có đơn vị đo là đơn vị đo của X
20 * DTC & TBM
Trang 15
2.3.3 Phuong sai va sai léch binh phuong trung binh
a Phuong sai
Phuong sai là một đại lượng mô tả mức độ tản mạn của ĐLNN xung quanh giá trị kỳ vọng toán của nó Thơng sơ này bố trợ một cách đáng kể cho việc đánh giá một DLNN, vi rang trong thực tế thường gặp những ĐLNN có kỳ vọng tốn bằng nhau | nhưng phân bố lại khác nhau
Phương sai thường được ký hiệu là DCX ),ơ?(X) hay đơn giản là D hoặc ø”
Khi xác định các đặc trưng tản mạn người ta sử đụng một ĐLNN mới X„ băng độ lech gitta DLNN X va ky vọng toán học của nó, tức là
X,=X-E(X)=X-a; (2.17)
trong dé: a= E(X) - ky vong todn hoc cla DLNN X |
Phuong sai của ĐLNNX được định nghĩa là kỳ vọng tốn học của bình
phương độ lệch của ĐLNN X với kỳ vọng toán học của ĐLNN đó
D(X)=ơˆ(X)=ơ” = E(X -a)°, | (2.18)
hay D(X)=ø°(X)=ơ' = E[Xj] | - (2.19)
al Đối với ĐLNN rời rạc |
Phương sai được biểu thị bằng tổng
D(X)=ø?(X)=ơ?=Š`@,~a)'p,- i=l (2.20)
a2 Đối với ĐLNN liên tục
Phương sai được biểu thị bằng tích phân
D(X) =07(X)=0° = fo —a) f(x)dx | (2.21)
hoac (xem 2.11, chuong 2)
D(X)=ơ”(X)=ơ' =S -a} dt, : -_ (2.21a)
trong do:
x,- trung diém nhóm thứ ¡ của ĐLNNLT X;
r, - tần suất của nhóm thứ ¡ của ĐLNNLTX;
k - số nhóm (khoảng chia) của đãy số liệu
Trang 16
Phường sai của ĐLNN là một đặc trưng tiện lợi cho việc đánh giá mức độ tản mạn của các giá trị của ĐLNN xung quanh giá trị kỳ vọng toán Tuy nhiên đặc trưng này có nhược điểm là không thể biểu diễn trên đồ thị được vì nó có thứ ngun là bình phương của thứ nguyên của ĐLNN
Trong thực tế, người ta còn sử dụng phương sai thực nghiệm s”, được xác định bởi:
1 ) ‘
2 —
s =——T 3 (x-*), : , (2.22)
aot Il a `
trong đó: X =— > %, la gid tri trung binh
A jzl
b Sai lệch bình phương trung bình (sai lệch quân phương, sai lệch chuẩn, -
độ lệch chuẩn)
Để biểu diễn được mức độ tản mạn của ĐLNN trên đồ thị và luôn dương, người ta sử dụng một đại lượng mà thứ nguyên của nó trùng với thứ nguyên của DLNN Dai lượng â ấy được gọi là sai lệch bình phương trung bình (hay cịn gọi là sai lệch quân! phương, sai lệch chuẩn, độ lệch chuẩn) của ĐLNN và được xác định bằng căn bậc hai cua phương sai và thường được ký hiệu là z(X) hay đơn giản là o
ơ(X)=ơ =.|D(#) =|ø°(x) = V0? | (2.23)
Trong thực tế người ta sử dụng đó lệch tiêu chuẩn thực nghiệm (độ lệch chuẩn thực nghiệm) s để làm số đo sự tân mát của số liệu
(2.24)
Khi hai tập số liệu có cùng giá trị trung bình, tập nào có độ lệch chuẩn lớn hơn là tập số liệu có biến thiên lớn hơn (hàm mật độ dãn rộng ra và dẹt xng, hay cịn gọi là thoải ra) Trong trường hợp hai sơ liệu có giá trị trung bình khơng bằng nhau, thì việc sp sánh độ lệch chuẩn của chúng khơng có ý nghĩa
c Sai số chuẩn
Độ lệch chuẩn còn được sử dụng khi tính sai số chuẩn Khi lấy độ lệch chuẩn
chia chỏ cho căn bậc hai của sô lượng quan sát trong tập dữ liệu, ta có giá trị của sai
sô chuẩn [10] |
SE=-S—= (2.25)
Vn
2.3.4 Hệ số biến động (hệ số biến thiên, hệ số biến sai)
Khi có giá trị kỳ vọng toán học và sai lệch bình phương trung bình, người ta tính được hệ số biến động (hay hệ số biến thiên, hệ số biến sai):
Trang 17
Kỳ vọng toán học, mode, median, phuong sai, sai lệch bình phương trung bình là các đặc trưng bằng số của ĐLNN được sử dụng một cách thường xuyên nhất Trong khi các giá trị x hay a, x„.„ mod và x„ med đặc trưng cho vị trí xê dịch của hàm mật
do theo truc hoanh thi o dac trưng cho hình dáng, nhọn hay thoải, của hàm mật độ
Trong quá trình giải quyết các bài toán thực tế, khi không thể xác định được luật phân bó thì các đặc trưng bằng số, biểu thị các tính chất của phân bó, sẽ là cơ sở để mô tả ĐLNN
2.3.5 Phân vị của phân bố
Nếu trên trục OX lấy một giá trị là x„, cần xác định xác suất để ĐLNN X
nhận giá trị nhỏ hơn x„ Xác suất này cũng là giá trị của hàm phân bồ tại x„, và x„
được gọi là phân vị cấp œ của phân bố
F(x„)=P(X<x„)= | /(x)&=a, (2.27)
trong đó: 0< ø <]
Phan vi cap ø = 0,5 chính là median: x); = X24 -
Phan vi cua phan bé duoc thé hién trén hinh 2.2
Hình 2.2 Phân vị x„ của phân bố liên tục
’ er ° A ” A A
2.3.6 Cac gia tri mOmen cua phan bo
Ngoài các đặc trưng cơ bản về trọng tâm của phân bố (kỳ vọng toán học) và mức độ tản mạn (phương sai), thường cịn phải mơ tả các đặc trưng quan trọng khác của phân bố như: độ đối xứng và độ nhọn, mà đến lượt chúng lại được mô tả nhờ các loại mômen của phần bố
Phân bố của một ĐLNN sẽ hoàn toàn được xác định nếu biết được tất cả các mơmen của nó Tuy nhiên, nhiêu phân bơ có thê được mô tả một cách hồn tồn nhờ
bơn mơmen đâu tiên
Trang 18
Trong| lý thuyết xác suất, người ta phân biệt hai dạng mémen: momen gốc và
ho mômen trung tâm
|
2 3.6.1 Momen gốc (dối với điểm gốc tọa độ)
Mômen gốc bậc & của ĐLNN X là kỳ vọng toán của đại lượng XÝ, có nghĩa là
Mẹ =E[X*] _ (2.28)
a Đối với ĐLNN rời rạc | My => % P, (2.29)
j=}
b Đổi với DLNN lién tuc
Mi = J x f(x)dx | (2.30)
Trong số các mômen gốc của ĐLNN thì mơmen gốc ` bậc một chính là kỳ vọng
toán (2.14)|của ĐUNN Các mômen gốc bậc cao thường được sử dụng chủ u cho
việc tính tốn các mômen trung tâm
2.3.6.2 Mômen trung tâm (đối với điểm kỳ vọng)
a Momen trung tam bậc k |
Mômen trung tam bac & cua DLNN X la ky vọng toán hoc cua dai luong
[x- E(X) Ï' hay (X -a)” tức là
ME = E[(X —a)*] | (2.31)
- Đối với ĐLNN rời rac Mẹ =3 (x,—đ)' p, (2.32) |
ist
- Đổi với ĐLNN liên tục
Mi = | (x—a)* f(x)dx (2.33)
b Mômen trung tâm bac mot (k = 1)
Mômen trung tâm bậc một luôn luôn bằng không, vì rằng
E[X -a]= Ð`(x,~a)p, = x,p,- Yap, =a-a.1=0 (2.34)
i=] i=] i=]
c Momen trung tâm bậc hai (A =2) - Đối với DLNN roi rac
24* DTC & TBM
Trang 19
=> \(x,-a)'p, | | (2.35)
j=l
+ - Déi voi DLNN lién tuc
= | (x-a) f(x)dx (2.36)
Như vậy, mômen trung tam bac hai cua DLNN X chinh là phương sai của nó
`
d Mơmen trung tâm bậc ba (k =3)
- Đối với ĐLNN rời rạc
=> Œ,~a)`p, (2.37)
i=l
- Đối với ĐLNN liên tục
= |œ-~4)`ƒ/G)& : (2.38)
Momen trung tam bac ba M? dic trung cho d6 bất đối xứng của phân bố .Vì răng mơmen bậc ba có thứ nguyên là lập phương của ĐLNN, cho nên, để có một một đặc trưng không thứ nguyên, người ta chia Mộ cho sai lệch bình phương
trung bình mũ ba |
(2.39)
Hệ số a, được gọi là hệ số bất đối xứng Nếu a,> 0 đường cong phân bố lệch
về bên trái (độ lệch dương), còn nếu 4, <0 đường cong phân bố lệch vẻ bên phải (độ
lệch âm), tức là số liệu tập trung nhiều hơn ở miễn bên phải giá trị kỳ vọng
e Mômen trung tâm bậc bốn (k =4)
- Đối với ĐLNN rời rạc
Mẹ; =.(x,— đ)ˆ p, | (2.40)
i=]
- Đối với ĐLNN liên tục
= fo — a)! f (x)dx | | (2.41)
Mémen trung tam bậc bốn M„ đặc trưng cho độ nhọn hoặc độ thoải của phân “bế, Tuy nhiên trong thực tế tính chất này của phân bố được mô tả nhờ một đặc trưng
không thứ nguyên | i
|
| |
: _ ĐTC&TBM*25_
Trang 20Khi 4 _M, C= t 4 Oo -3; (2.42)
đó œ được gọi là độ nhọn của phân bô Đường cong phân bô chuân có
c =0, được coi như đường cong mau dé so sánh với các phân bố khác
Khi phân bố
Các lđặc trưng cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên được cho trong bảng 2.2 được col là thoải
đ > 0 đường cong phân bố được coi là nhọn, còn khi e, < 0 đường cong
Bảng 2.2 Các đặc trưng cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên
Các đặc| ĐLNN rời rạc ĐLNN liên tục trưng _ P(x< X<x+Ax) _ {x)= hm Ax 7
Mat do - ~ jim LE tAD= FO)
phan bé — Arog Ax | F(x+Ax)— F(x) _ po f(x) = lim x)= lim ————————= Ƒ` - (x) F(x)=P(X <x), Ham F(x)=P(X <x), —œ < x< +œ phân bó|| ~œ < x<+œ F(x)=P(X <x)= [ reves | +02
tụ E(x)=a= [of (ae
Ky vong E(x)=a= > xp, “°
toan hoc j=l k
E(x)= a=) xr
i=!
2 2 = 2 2 2 ve 24
D(X) =0°(X)=0 =) \(x,-a) P; DX) = @7(X)= 0? = |(x—a)" fa)as
Phuong = |
sal
D(X) = 0"(X) = ơˆ >= (x, —a)*r
iz]
Trang 21Hệ số _ ơ _C_ Oo
bién a E(X) a E(X)
dong
" — LÀ giá trị x„„„, tại đó đường cong mật độ
one đạt giá trị cực đại, f (Xm) = f(x) ’
Median - La gia tri x,,.,, taido F (x„«) =0,5
Mômen Mẹ = 3 xp, Mj = [x'/7œ)&
gốc bậc i= ~0
k với Mẹ=E(X)=a_ với Mụ =E(X)=a
Mômen trung My = do(@,~ a)" p, _- My = [(x-a)! f(x)de ~
tam ng = , ; ”
back | Vol M, =0; M, = D(X) =o voi M'=0; M?=D(X)=o0"
Me —
4, =———
Joo, Hệ sô _ :ỡ
a that ORLA
wit adj - 4, > 0 - đường cong phân bô lệch vê bên
xứng trái (độ lệch dương),
a, <0 - đường cong phân bồ lệch về bên |
phải (độ lệch âm) |
4
C= = Tả
Độ nh s dĐc - \c, > 0 - đường cong phân bô được coi là
và độ _
thoải nhọn,
c <0 - đường cong phân bồ được coi là
thoải
2.4 MOT SO QUY LUAT PHAN BO CO BAN CUA ĐẠI LƯỢNG
NGAU NHIEN ROI RAC |
Trong ngành cơ khí người ta thường sử dụng khá nhiêu luật phân b6 xac suat đối với các đại lượng ngẫu nhiên nói chung Dưới đây giới thiệu một số quy luật
phân bô cơ bản của DLNN roi rac
Trang 22
2.4.1 Phân bố đều rời rạc -
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X lây øở giá trị khác nhau xị,x;, x;, ,X„ VỚI Các
, A Lá ` A +, A l #, * ° * `
xác suất tương ứng 7, Ø; Ø; p„, và nêu xác suât p,=— với mọi /=l, ,m thi
: _ H
DLNN X được gọi là phân bô đều rời rạc
Ky vous toan hoc
E(X)=a=~Šx, (2.43) n i=] Phuong sai | 1 n 1 1 2 | D(X)=ơ! >>") (2.44) - jel Wj= 2.4.2 Pha bo Poisson
Giả sử một đại lượng ngẫu nhiên rời rac X lay các giá trị k = 0,1,2,3 Xác suất để ĐLNN X nhận giá trị bằng k
Ẫ
P(X=k)= “ek =0,1,2,3 (2.45)
|
Gia trị xác suất của phân bố Poisson được cho trong bảng 1 (Phụ lục)
Ham phân bô xác suât
F(x)=Ð3 P(X =k)=k=
k<x >
tronglđó: A(A > 0)- tham số của phân bố, là một hăng số
A*e ^ (2.46) Ky vịng tốn học: E(X)=a=A (2.47) Phuong sai: | D(X)=0? =A ~ (2.48)
Trên| hình 2.3 biêu diễn xác suất P(X = &) của phân bố Poisson với các giá trị
A khác nHau Qua đây thấy rằng dạng phân bố càng bắt đối xứng khi A càng nhỏ
28 * ĐTC|& TBM
Trang 23
Trong thuc té dang phan bé nảy thường được đừng để mô tả trình trạng dừng máy đề sửa chữa, thay thế các bộ phận bị hư hỏng |
_PŒ =E)h P(X=k) 0,5ƑF r A=0,5 0.2 A=5 0,3 ey | "| | | pty - TLL LÌ LÌ | | { L—> 012345 & 01 2 3 5 7 9 &k
Hình 2.3 Xác suat P(X =k) ctia phan bé Poisson với các giá trị A khác nhau
2.4.3 Phân bố hình học |
Nếu ĐLNN rời rạc X nhận các giá trị k = 0,l,2, có xác SUẤt _
P(X =k)=(I-p)p',k=0,1,2,3 | (2.49)
thì được gọi là phân bố hình học
Hàm phân bơ
0;x<0
Fư)=|Sit ph» | (2.50)
Kex
trong dé: p - tham số của phân bố (0< p<1])
Kỳ vọng toán học E(x)=a=-F—- l—p 7 | | (2.51) Phương sai D(X)=ơ?=—— (2.52) (1-p) :
2.5 MOT SO QUY LUAT PHAN BO CO BAN CUA DAI LƯỢNG
NGAU NHIEN LIEN TUC
_ Trong giáo trình này chủ yếu chỉ xét các đại lượng ngẫu nhiên liên tục và một
số luật phân bô điên hình sau đây
2.5.1 Quy luật phân bố chuẩn (Gauss)
Quy luật phân bố chuẩn còn được gọi là quy luật phân bố Gauss, vì răng người
phát hiện ra luật phân bố này là nhà toán học người Đức Carl F Gauss Thực ra
người đề cập tới luật phân bố này là nhà toán học người Pháp De Moivre, nhưng ông không phát triển thêm Gauss là người phát triển các đặc điểm của luật phân bố chuẩn và chỉ ra rằng luật phân bố này phù hợp với các hiện tượng tự nhiên [10]
Trang 24
Trong |số các quy luật phân bố của ĐLNN LT, trong thực tế quy luật phân bố chuẩn là quy luật phân bố được sử dụng rộng rãi hơn cả Quy luật này thường xuất
hiện khi đại|lượng ngẫu nhiên X là kết quả tác động tông hợp của một số lượng lớn
các yếu tô khác nhau
2.5.1.1 Hàm mật độ phân bỗ chuẩn (hai tham số) (x-a)’
l
-exp| — 5 ơN2z | 20°
Người ta thường ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với hai tham
ƒŒ)= | —œ < x<œ, (2.53)
số a và ơi là X eN[a,ơ?), trong đó:
a - kỳ vọng toán học được tinh theo (2.16) hoặc (2.15); Ø” - phương sai được tính theo (2.21a) hoặc (2.22);
o- sai léch binh phuong trung binh (sai lệch chuẩn) được tính theo (2.23)
hoặc (2.24) |
Tham! s6 a duge goi la tam déi ximg hay 1a tam tan mạn của đại lượng ngẫu nhiên, và đặc trưng cho vị trí của phân bồ trên trục hoành Thứ nguyên của z trùng với thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên
Tham số ơ đặc trưng cho hình dáng của đường cong phân bố, thứ nguyên của nó trùng với thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên
Đường cong phân bố chuẩn có những tính chất sau đây:
1 đường cong phân bố đối xứng qua đường thăng đứng đi qua điểm x =a;
2 đường cong có một giá trị cực dai f(x) max = a khix=a; Ớ J2n
| |
3 khi |x|—> © các nhánh của đường cong tiệm cận với trục hồnh ĨX ;
4 mỗi nửa đường cong (nhánh trái và nhánh phải) có hai phần, phần thứ nhất là đoạn cong lỗi, còn phân thứ hai là đoạn cong lõm, giữa hai phần đó có một điểm
uốn; hai điểm uốn này cách trục đôi xứng ø một khoảng băng ø về hai phía;
5, với giá trị kỳ vọng toán học không thay đổi a = const, thì khi ø tăng lên
đường cong phân bố trở nên thoải hơn và trải dài ra theo trục hồnh, cịn khi ơ giảm
thì đường cong thu hẹp lại và cao lên (nhọn lên);
6 khi sai lệch bình phương trung bình khơng thay đổi o =const , con giá trị kỳ vọng toan| học z thay đổi thì đường cong phân bố vẫn giữ nguyên dạng của nó,
nhưng sẽ dịch chuyên dọc theo trục hoành;
|
30 * DIC |& TBM
| !
Trang 25
7 dọc theo trục hoành X „trong giới hạn:
từ -ơ đến +ø: diện tích phía dưới đường cong chiếm 0,6826894921371 tồn
bộ diện tích, tức là khoảng 68,3% hay khoảng 2/3;
từ -2ơ đến +2ơ : 0,954499736 hay khoảng 95,5%;
từ -3ơ đến +3ơ : 0,9973002039 hay khoảng 99.7%;
Từ đây có thể thấy tính chất của phân bố chuẩn là hầu hết các số liệu của nó
đều tập trung trong phạm vi a+3ø, tức là dãy số liệu từ x„„ đến x„ nằm trong khoảng rộng 6Ø với xác suất 0,997
Như vậy, nếu biết sai lệch bình phương, trung bình ø vả kỳ vọng toán z của một đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn thì có thể sơ bộ chỉ ra được khoảng các giá trị có thể của nó Phương pháp đánh giá (ước lượng) khoảng kiểu như vậy đối với
các giá trị có thé của đại lượng ngẫu nhiên được gọi là quy zốc ba xích-ma Dựa trên
CƠ SƠ của nguyên tắc này có thể xác định một cách gần đúng sai lệch bình phương trung bình của đại lượng ngẫu nhiên bằng cách lay hiệu số giữa giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của nó chia cho 6
Ngoài ra a người ta cịn có thê sử dụng các giới hạn sau đây: Phạm vi +4ơ : 99, 99366575163 % (0,9°366575 163); Pham vi +50 : 99, 99994266969 % (0,9°4266969); Phạm vi +6ơ : 99, 99999980268 % (0,9°80268); Phạm vi +7ơ : 90.99999999974 % (0,9!174),
Các đường cong mật độ phân bố chuẩn được thẻ hiện trên hình 2.4
⁄œ) Øi SØ; ; đạ S đi 1 oan ' N(a,øi) N (a2,07°) N(a,ơ¿ˆ) a 9 A-o, a arto; x
Hình 2.4 Hàm mật độ phân bỗ chuẩn với các tham số khác nhau
Trang 26
^ A A A 4 A a r
a Ham mat dé phan bo chuan chuan hoa
Nếu la =0; ø =1, thì từ biểu thức (2.53) ta có
l x |
| l (2.54)
được gọi là hàm mật độ phân bố chuẩn chuẩn hố (hình 2.5a)
Giá trị của a hàm mật độ phân bố chuẩn chuẩn hóa được cho trong bảng 2 (Phu lục) b Chuẩn hố biến ngẫu nhiên có ¿ phân bỗ chuẩn
Ta biết rằng luật phân bố chuẩn có thể ứng dụng cho rất nhiều ĐLNN trong tự
nhiền Tuỷ nhiên, các ĐLNN đó rất khác nhau về đơn vị đo lường (thứ nguyên), như độ mòn của một chỉ tiết máy đo băng mm, thời hạn làm việc (tuổi thọ) đo bằng giờ , do đó khơng thể sử dụng được bảng 2 (Phụ lục), bởi trong đó biến số là khơng nó nguyễn
Giả |sử ta đang xét biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với kỳ vọng toán học
là a và sái lệch bình phương trung bình là o, Xe Na ơ ) thì băng cách đổi biến (đặt biển ngẫu nhiên mới)
| z= › (2.55)
ta nhận được một hàm sô mới và đơn giản hơn; đó là hàm mật độ phân bô của đại
lượng ngậu nhiên Z
| o(2)= Fens] -22"| —œ < Z<œ, (2.56)
|
Khi đó Z là một đại lượng có phân bố chuẩn chuẩn hoá với kỳ vọng toán học
bằng 0 và phương sai bang 1, Z e M(0,1)
Saủ khi đã xác định được các giá trị của hàm mật độ (z) tu bang 2 (Phụ lục),
bang cach đổi biến ngược lại
x=ơz+a, (2.57)
ta sẽ nhận được các giá trị hàm mật độ của ĐLNN X cần xét X (a, o)
Đồ thị của hàm mật độ phân bố chuẩn chuẩn hóa được thê hiện trên hình 2.5a
32* prc & TBM
| |
Trang 27
-3 2 4
Hình 2.5a Hàm mật độ phân bỗ chuẩn chuẩn hóa @(x)
2.5.1.2 Hàm phân bố chuẩn chuẩn hóa:
_Từ tính chất (2.10), tích phân hàm mật độ ø(x) ở biểu thức (2.54) ta được
hàm phân bố chuẩn chuẩn hóa
~Ằœ2
trong đó ¿ là biến tích phân (biến mù)
®(3)=E—= | | 2P ]at, (2.58)
Giá trị của hàm ®(x) được xác định bằng cách tra bang 3 (Phụ lục) q Tính chất của phân bố chuẩn chuẩn hố
1 ø(=x)=ø(>)
2 ®(-x)=1-®(z)
(2.59)
(2.60)- Ngồi ra chúng cịn có các quan hệ với các phân bố chuẩn thông thường như sau
| | (2.61)
2 F(x)=®(z);
, x-a trong do z=
(2.62)
; f(x) va F(x) la ham mat 46 va ham phân bố của ĐLNN X
phân bó chuẩn, X e N(a,o° )
Cac quan hé (2.61) va (2.62) cho phép dung cac bang 2 va bang 3 (Phu luc) dé
tính mật độ và hàm phân bố của ĐLNN X phân bố chuẩn với a va o° bat ky [1]
DTC & TBM * 33
Trang 28
b Khoảng số liệu (khoảng tin cậy) và mức đảm bảo thơng kê của nó
Như|đã biết từ biểu thức (2.9), xác suất để ĐLNN X' nhận giá trị trong khoảng
(x, ,X,) la "
P(x, <X<x)=F(x)-F(a)= [F(a _
Mặt| khác, đối với ĐLNN có phân bố chuẩn với các tham sô a và ơ”, XeN[aiơ°) thì F(x)~P(x)=e[ =*)-o[4 =#)ze()~ø() (2.63)
Oo Oo
Giờ ta hãy tìm xác suất để XY € N(a,o7) lay gid trị lệch khỏi giá trị kỳ vọng a về hai phía không quá một trị số / cho trước, tức là tìm xác suất P(|X -a|< 8)
Khi đó từ biểu thức (2.62) và (2.63), ta có
P(¿~ø<3 "` (2.64) ơ ơ 5 5
Xap suất này không phụ thuộc vào z Nếu chọn 0=ơ,8 = 2ø và Ø =3ơ, lần
lượt ta CÓ | |
| P(|X -a|<ø)=2®(1)—1=0,6827 |
_ P(|X-a|<2ø)=2®(2)-1=0,9545 — 65
P(|X -a|<3ø)=2®(3)~1=0,9973 |
Đây chính là một trong các tính chất của quy luật phân bố chuân đã trình bày ở ~ 2.5.1.1 (tính chất 7), chăng hạn biểu thức sau cùng có nghĩa là xác suất để số liệu | 3
nam trong khoang +30 xung quanh ky vọng là 99,73%
Thơng tự cách tính như trên, nhưng giờ nêu cho trước về phải của biểu thức
(2.65) chc giá trị khác, chẳng hạn thường gặp trong thực tế xử lý số liệu thống kê, lần
lượt là 0,80; 0,85; 0,90; 0,95; 0,99 va 0,999, từ bảng 3 (Phụ lục) ta sẽ tính được các
A J ‘st , z ° ‘
sô x và # tuong tng theo cac busc trong bang sau:
'
34 * DIC & TBM
Trang 29
Bảng 2.3 Mỗi quan hệ giữa các giá trị #, x và B
20(z)-I=z |080 [0,85 10,90 |0/95 [0,99 0,999 20(z) 1,80 1,85 1,90 1,95 [1,99 1,999 O(z)=F(x) [0,90 | 0,925 10,950 |0,975 |0,995 | 0,9995 x 1,282 [1,440 [1,645 | 1,960 | 2,576 |3,290 1,2820 | 1,4400 | 1,6450 | 1,9600 | 2,5760 | 3,2900 Bang 2.3 có nghĩa là:
Xác suất để số liệu nằm trong khoảng 1,282ơ vẻ hai phía của kỳ vọng (tức là trong
khoảng a +1,282ø ) là Z = 0,80
Xác suất đề số liệu nằm trong khoảng 1,440ơ về hai phía của kỳ vọng (tức là trong
khoảng z +l1,440ơ ) là 2= 0,85; v.v
Xác suất đề số liệu nằm trong khoảng 3,290ơ về hai phía của kỳ vọng (tức là trong khoảng z + 3,290ø ) là = 0,999,
Xác suất được gọi là mức đảm bảo thống kê hay mức tin cậy của khoảng số liệu
Năm ngoài khoảng là biến cố bù của biến cố nằm trong khoảng, do đó xác suất
đề số liệu năm ngồi các khoảng nói trên, z=l—.Z, lần lượt là: 0,02; 0,15; 0,10;
0,05; 0,01 và 0,001 Xác suất dé số liệu năm ngoài khoảng được chia đều cho hai đầu
của phân bố, nên mỗi đầu có xác suất là œ/2= (I —#)/ 2 Các xác suất và œ/2 được biểu diễn bằng diện tích các phần trên hình 2.5b
Trang 30
Vi dụ 2.1
Ap dung quy tắc “ba xích ma”
khi khảo sát độ mòn của một loại chỉ tiết máy trong cùng một điều kiện làm việc, ta nhận được dãy số liệu về độ mòn tuân theo luật phân bố chuẩn Trong dãy số - liệu đó, độ mòn nhỏ nhất là 1,50 mm và độ mòn lớn nhất là 1,78 mm Hãy xác định các tham số phân bố của độ mòn: kỳ vọng toán và sai lệch bình phương trung bình
Ký hiệu độ mòn là T., ta cd:
- Chênh lệch giữa các giá trị lớn nhât và nhỏ nhât của do mon:
max nun
R=1I —-] =1,78mm-— 1,50 mm = 0,28 mm
- Vì|độ mịn phan bố theo luật chuẩn nên sai lệch bình phương trung bình gần
đúng bằng © " | - | |
| © go =R/6=0,28/6 = 0,0467 mm
- Ky vong toan hoc của độ mòn: s
E(1)=a=l1 - +t37=H nn War ._-3Ø =1,50 mm + 3x0,0467 mm = 1,64 mm
Vậy độ mịn trung bình của loại chi tiết máy này là 1,64 mm + 0,0467 mm
Ngược lại nêu biết độ mịn có phân bơ chn với kỳ vọng toán học là 1,64 mm
và sai lệch bình phương trung bình là 0,0467 mm, ta có thể xác định được các độ
môn nhỏ nhất và lớn nhất:
Lin = 1,64 mm -3x 0.0467 mm = 1,4999 mm > 1,50 mm;
— huay= ], „64 mm +3 x0,0467 mm = 1,7§01 mm z 1,78 mm
2.5.2 Quy luật phân bo légarit chuẩn
Quỷ luật phân bố logarit chuẩn mô ta DLNN LT X, ma logarit của nó tuân |
theo luat phân bố chuẩn với các tham số đụ, (hoặc In xy) va Oiny’
Nhu vậy, thay vì xét ĐLNN X, ta sẽ xét logarit của nó tức là Y=lnX' và giả
thiết răng 3 DLNN Y tuan theo quy luật phân bố chuẩn, với hàm mật độ -
Ẩm} — Ss ) | | (2.66)
36 * DTC & TBM
Trang 31
2.5.2.1 Ham mat d6 phan bé (hai tham sé)
Hàm mật độ phân bồ (hai tham số) của ĐLNN X là
2 2 Ơn x ƒœ)=——k—ex _(nx=lnx,}' " (2.67) _.- 7 | trong đó: In xạ - kỳ vọng toán học của ĐLNN In X ;
Oo ina” phương sai cua DLNN In X ;
ơ,„„- sai lệch bình phương trung bình của DLNN In X
Mặt khác, từ các quan hệ sau, ta tính được kỳ vọng và phương saI của ĐLNN ln X
La ay, | | |
Inx, =2lna=> In(ø +a’); | _ (2.68)
Ø„„ =ajIn(ø? +a?)—2lna, | (2.69)
trong đó:
a4 - kỳ vọng toán học của ĐLNN YX ;
ơ? - phương sai của ĐLNN XY
Giá trị mode của ĐNNN lnX :
Xmod = exp(In Xo - oh.) | | (2.70)
eg - (Inx-lnx;)
Vi rang đại lượng In X có phân bo chuan, nên nêu ta đặt z =——————— thi
, Ơn,
Z là đại lượng có phân bố chuẩn chuẩn hóa với mật độ
(z) z)=——exp| -— | =-—== | Z | ex =—|————-| 1/ Inx-Inx, |
° 20 P 2 20 P 2 Ớin;
So sánh biểu thức này với biểu thức (2.69) ta được
| ò1 ,(Inx-lnx :
f (x)= ø(z)= af ‘) (2.71)
XOIn, XỞIn, ƠI;
Trang 32
Các đường cong mật độ phân bố logarit chuẩn được thể hiện trên hình 2.6
/Œ) a =|0,1- 0,16 0,12 0 0,08 0,3 0,04 0 10 20 30 x
Hình 2.6 Đường cong mật độ phân bố lôgarit chuẩn
2.5.2.2 Hàm phân bố xác suất alos Ìnx— Đổi biến: |) (2.72) Ơin; | fiInx-— khi đó: F(x)=®(z)= of PBS), a (2.73) Ơn,
trong đó ®(z) được xác định theo bảng 3 (Phụ lục)
_2.5.3 Quy luật phân bố mũ
2.5.3.1 Hàm mật độ phân bỗ (một tham số) |
Hàm mật độ phân bố của đại lượng ngẫu nhiên X (X >0) có phân bố mũ với
tham sô 4 được cho bởi
ƒ(x)= Äe ” = Aexp(-Ax), x20 trong đó: |4 - tham số của phân bó
_ Đối với luật phân bố mũ, kỳ vọng tốn và sai lệch bình phương trung bình là
băng nhau và băng oe
a=O=—; =a (2.75) 2.75
ne 1 |
do đó “ A= (2.76)
a |
Các đường cong mật độ phân bố mũ được thê hiện trên hình 2.7
38 * ĐTŒ & TBM
Trang 33
/@) 2,2 ght 1,4 1,0 \\ 2 0,6 N 4 Rx <==< =— 0.2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 x 0,2
Hình 2.7 Đường cong mật độ phân bỗ mũ 2.5.3.2 Hàm phân bố xác suất
F(x)=I-e ? =1 —exp(-Ax) , + (2.77)
2.5.4 Quy luật phân bé gamma
Quy luật phân bố gamma mô tả các đại lượng ngẫu nhiên liên tục và được ứng
dụng rộng rãi trong lý thuyệt độ tin cậy và lý thuyết phục vụ đám đông
2.5.4.1 Hàm mật độ phân bố (hai tham số)
7
f(x%,7,4) = wee với x>0; Â4>0; >0, (2.78)
7) | : |
trong do: |
7, A - các tham số của ham gamma, trong dé 7 la tham số hình dạng, 4 là
tham số tỷ lệ (kích thước)
Hàm gamma T'(?) được xác định bởi tích phân Ơle có dạng
T
* Từ;+]) * !) ›x<]
T(?)= |x"'e*4x= ?) (2.79)
° (7-1) (7-1);x>2
Tích phân (2.79) khơng tính trực tiếp được Giá trị của ham gamma I'(7) được
Trang 34
Nếu m là số nguyên dương thi
T(n)=(n-1)! ˆ 7 (2.80)
Khi y la duong va 1a béi hodc ước số của 1/2 (chia hết cho 1/2) thì
2n-1)! si |
r(z+;)=* v2 H V2 (2.81)
2 2" ¬
Mối quan hệ giữa các tham số của quy luật phân bố gainma nhu sau
Ky vong toan hoc
E(X)=a=" (2.82)
Phuong sal
D(X) (2.83)
Tu cdc mdi quan hệ trên, ta có các tham sơ băng
A=; (2.84) oy | naka (2.85) Giá trị mode: 7-1 | X =——;7>Ì mod A 7] ( 2.86 )
Đồ thị hàm mật độ phân bố gamma khá đa dạng Trong trường hợp đặc biệt khi
nạ<l thì! đô thị là một đường cong đơn điệu giảm (tương tự như đường cong hàm
mật độ phân bế mũ), cịn khi ? >1 thì đường cong có một đỉnh với giá trị cực đại tại
(7-1)
điểm x+ —”" Mặt khác, có đường cong hàm mật độ phân bố gamma rất giống
với phân bố Weibull S
_ Các đường cong mật độ phân bố gamma được thẻ hiện trên hình 2.8 f(x) 0,8 | 06 x |\n = 0 0,4 | 0,2 ⁄ GB 3 0 2 4 6 x
Hình 2.8 Đường cong mật độ phân bỗ gamma
Trang 35
2.5.4.2 Ham phân bỗ xác suất
X 7 , ‘ -
F(x) = lr TT nh (287)
Tích phân này khơng tính trực tiếp ‹ được, do đó ló phải sử dụng phương pháp tính gan dung
Khi 7 1a mét s6 nguyén, bang cach tich phân từng phân, ta có ham phan bố
_z@)~š09 seC29 ¬ | k=n | (2.88)
2.5.5 Quy luật phân bố Weibull
Phân bố Weibull chiếm một vị trí trung tâm khỉ nghiên cứu tính lâu bền (tuổi bên) và độ tin cậy của các phương tiện và các bộ phận cơ khí nói chung và cơ khí giao thơng nói riêng
2.5.5.1 Hàm mật độ phân bố
a Trường hợp tông quát (hai tham số)
f(x) = nữ ¬""ì” os #7 | „mạ 3 Ú;X > Xu; ở > Ú; ổ > Ô, (2.89) B
trong đó:
a, B,x,,, - cac tham sé cia phan bố;
œ - tham số hình dang;
B - tham s6 kich thước;
x,,, - gid tri nhỏ nhất của ĐLNN X (còn gọi là tham số vị trí) b Trường hợp đặc biệt (hai tham số)
Khi x„„ =0, ta có phân bố Weibull giới hạn (rút gọn):
A ot x"
ƒ(x)=—x ex = (2.90)
B LB)
Tham số œ được xác định thông qua hệ số biến động (biến thiên)
yal | (2.91)
a "
bang cach tra bang 5 (Phu luc), trong dé a va ola ky vong toan va sai lệch bình phương trung bình của ĐLNN 4
Trang 36
Tham s6 Ø được xác định như sau
>
B=drxt, | (2.92)
VỚI:
x VÀ r.~ trung điểm và tần suất của nhóm thứ ¡;
k- số hhóm của ĐLNN
Trong trường hợp đặc biệt
| - khi œ =1- phân bố Weibull trở thành phân bố mũ; - khi @ =2- phan bé Weibull trở thành phân bố Rayleiph;
- khi z >3 - phân bố Weibull kha gần với phân bố chuẩn Từ các định nghĩa về kỳ vòng và phương sai, ta có
Kỳ vọng toán học E(3) =a=X,,, +pr{ 4+ | | | (2.93)
‘Phuong sal
p(x)=0" ="|r(2+1)- r’ (+ (2.94)
Mặt khác, trong quá trình tính tốn thực tế, nêu biết trước gia tri x, min thì thuận
lợi nhất là sử dụng phép đổi biển y= x—x,„„ và ta trở về với phân bô giới hạn có
dạng đơn giản hơn, (2.90)
min
Kỳ vọng toán học được xác định theo công thức
|
| a= b B? ‘ (2.95)
Sai lệch binh phương trung bình
Trang 37Hệ số biến động lý thuyết ~”~ | = fa › | | (2.99) 2.99
Các đường cong mật độ phân bố Weibull được thể hiện trên hình 2.9
0,5 LOOT TT =3 CÀ 1,5 NT NO 0 05 10 15 2,0 x-°
Hình 2.9 Đường cong mật độ phân bỗ Weibull
2.5.5.2 Hàm phân bố xác suất Trường hợp tổng quát: F(x) =1- os cm | (2.100) , | Trường hợp đặc biệt, x„„ = 0: # xe ° , F)=1-ef-), , (2.101)
2.5.6 Quy luật phân bo Rayleigh
Phân bố Rayleigh là phân bé có dạng gần với phân bố chuẩn Chang han, néu hai đại lượng ngẫu nhiên độc lap ¥, va Y, có phân bố chuẩn, trong đó mỗi đại lượng
có kỳ vọng toán học ø=0 và có sai lệch bình phương trung bình là như nhau thì đại
Trang 38
_ trong đó: ơ] - tham số tỷ lệ của phân bố
a
Oo, =——; 71283” 1 (a - ky vong toan hoc ÿ vọng ) ( 2.103) )
Cac dudng cong mật độ phân bố Rayleigh được thê hiện trên hình 2.10
F(x) | 1,6 Lơ= 0,32 A “Ae sal WON | , QO 0,5 1,0 15 xX
Hình 2.10 Đường cong mật độ phân bố Rayleigh
7) À
2.5.6.2 Ham phan bo xác suất
2 -
Fea) =1~en > | x>0 (2.104)
2.5.7 Quỷ luật phân bố Maxwell
Quy luật phân bố Maxwell mô tả các đại lượng ngẫu nhiên dưới dạng một véctơ ngâu|nhiên, trong đó các thành phân của nó tuân theo quy luật phân bồ chuẩn với kỳ vọng toán học bằng khơng và có các sai lệch bình phương trung bình giống nhau
2.5.7.1 Hàm mật độ phân bố (một tham số)
2 2 2
/6)= | Šsewl- =| x>0, (2.105)
trong đó: ở - tham sô của phân bô
a
o.= ; 2.106
~ 1,596 (
Kỳ vọng toán học của phân bồ
a =l1,596ơ, (2.107)
Sai lệch bình phương trung bình
=
ơ=.|3- Sơ, = 0,67340, (2.108)
7z
44* DTC & TBM
Trang 39
Gia tri mode cla phanb6
=14l4o, 0 (2.109)
X mod
` Từ các phương trình trên đây thấy răng đối với phân bố Maxwell, hệ số biến động băng
y=“ =0,422 5 | (2.110)
Xét về mặt hình dáng, phân bố Maxwell gần với các phân bố Rayleigh và
Weibull Các đường cong mật độ phân bô Maxwell được thê hiện trên hình 2 1
F(x) 0,4 I keal 0,2-+ Sp} ran | => | 0 2 4 6 8 10 x
'Hình 2.11 Đường cong mat dé phan b6 Maxwell
2.5.7.2 Hàm phân bỗ xác suất 2 x 3 ye F(x)= 2t exp| — * ~ \dx (2.111) 4 0 0 ` 2Ø,
Tích phân nay khong tính trực tiếp được, do đó phải sử dụng phương pháp tính
gan dung
2.5.8 Quy luật phan bé beta
Cung voi quy luat phan bố gamma, có hình đáng rất đa dạng trong khoảng từ
một giá trị ban đầu nào đó đến vO cung, guy ludt phan bố beta là một quy luật quan
trọng đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục, mà giá trị của chúng được hạn chế trong một khoảng hữu hạn Nói một cách khác, quy luật phân bố beta mô tả đại
lượng ngẫu nhiên liên tục mà các giá trị của nó bị giới hạn bởi một khoảng hữu hạn
2.5.8.1 Hàm mật độ phân bố (hai tham số)
a Truong hop tong quat
Quy luật phân bó beta có thể tổng quát hóa cho trường hợp một khoảng tùy ý
( Minin ? X may )
zÌ n~l
T(x) = — My +7) Ä — X min = X= X nin 12)
Xmax ~ *min T(y)1 (77) Xuav T X min x max x min
Trang 40
Xmin =X SXmax i ¥ > 937 > 0 trong do: |
71" các tham số của phân bố;
TÍ r) - hàm gamma
Các tham số trong phân bỗ beta được xác định như sau:
Ky vong toán học
a= X min + (Xoo, + X min | Ƒ _ (2.1 13)
y+17
Sai lệch bình phương trung bình
o = (Xinae — Xmịn Ỷ | | ZI (2.1 14)
(vt+n) (v+7+1) _
Môi quan hệ giữa các tham sô:
n= (pax — a)| (a — a(x —x Xin )(Xinax ~ 2) ~ a] (2.115) | a-x
y= na ~ Xu, ) : - 2.116)
Xmax — Ở :
'b Trường hợp đặc biệt
| Ham mật độ phân bố beta trong khoảng (0,1)
fy = EYED (1x) 0< x51 —— G117
Tợ)Tứn)
trong đồ: |
vn - các tham số của phân bố;
Tz) - hàm gamma
Nếu các giá trị 7,7; là nguyên thì nên sử dụng một dạng khác của hàm mật độ
phân bố beta |
fy ED occ | (2.118)
[x (1 -x)”
0
- Đề thị hàm mật độ phân bố beta với các giá trị tham số hình dạng 7,7; khác
nhau được thể hiện trên hình 2.12
_46* BIC & TBM
|