Đề thi hsg cấp trường toán 7

PHÒNG GD&ĐT SƠN TỊNH TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN NĂM HỌC 2022-2023 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) 104.81  16.152 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A  44.675 Câu (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: x y z   x  y  3z  100 Câu (2,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 Tính giá trị biểu thức M = 11x2y + 4xy2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: x - 2xy +2 y = b) Tìm giá trị nhỏ M  x   x   x  2020 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 27  x (với x số nguyên) 12  x Câu (6,0 điểm)   Cho xOy nhọn Trên tia Ox lấy A, tia Oy lấy B cho OA OB Vẽ phía ngồi xOy hai đoạn thẳng AM BN cho AM BN , AM  Ox BN  Oy a) Chứng minh: OM = ON  b) Chứng minh AMB BNA c) MN cắt Ox E, MN cắt Oy F Gọi I giao điểm AN BM Chứng minh OI đường trung trực tam giác cân Câu (2 điểm) Cho ba số x, y, z thoả mãn  x  y  z 1 x y z Chứng minh: yz   xz   xy  2 -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phịng thi: PHỊNG GD&ĐT SƠN TỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Hướng dẫn chung: - Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa - Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Câu Nội dung Điểm 4 4 2 10 81  16.15  = A 0,5 8.33.5 675 4.3 2.5 (5 2.3  1) 225  0,5 = = (2đ) 8.33.5 224 5.7 14 0,5 = = = 3 0,5 0,5 0,5 Từ x y z x2 y z 2 x 2 y 3z 2 x  y  3z  100   ta suy ra:        4 16 25 18 32 75  25  25 (2đ) Suy ra: ( Vì x, y, z dấu) KL: Có hai (x; y; z) thỏa mãn : (6; ;10) (-6; -8;-10) x   y z  36 64   100                     x 6 y x 8  10 x y z     10 2018  với x, y nên Vì (x - 2)  0; (2y – 1) 2014  với x, y (x - 2) + (2y – 1) Mà theo đề : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  2014 =0 Suy (x - 2) + (2y – 1) 2018 =0 (2đ) Hay: (x - 2) = (2y – 1) suy x = 2, y = Khi tính được: M = 24 a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: x - 2xy +2 y = (4đ) Ta có: x - 2xy + 2y =  x(1 – 2y) + 2y =  (2 y-1) + x(1 – 2y) = -1  (x-1)(1 – 2y) = -1 Ta có: -1 = 1.(-1 ) Ta có bảng: x-1 -1 – 2y -1 x y Vậy (x;y) {(2;1);(0;0)} b) Tìm giá trị nhỏ M  x   x   x  2020 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,75 0,5 0,25 Ta có a   a ; a 0, a Dấu xảy a=0; a a, a Dấu xảy a 0 0,25 x    x  x  2020 Vì  x 6  x, x ; x  0, x; x  2020 x  2020, x 1,0 Nên M 6  x   x  2020, x  M 2026, x 6  x 0   Dấu xảy   x  0  x  2020 0  6  x   x 5  x 5  x  2020  Vậy GTNN M=2026 x=5 0,25 0,25 27  x = 2+ 12  x 12  x Suy Q lớn lớn 12  x 0,25  12  x 0 * Nếu x < 12 12  x   12  x 0,25 Ta có: Q= * Nếu x > 12 12  x   (2đ) Từ trường hợp suy lớn 12-x>0 12  x Vì phân số có tử mẫu số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12  x giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Hay 12  x 1  x 11 Suy A có giá trị lớn x =11 (6đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 M x A 0,5 E I O B F y N a) Xét  OAM  OBN   Có OA = OB; AM = BN; OAM OBN =>  OAM =  OBN (c.g.c) => OM = ON b) Xét  OMB  ONA 0,5 0,5 0,5   Có OA = OB; OM = ON; MOB NOA  OMB =  ONA (c.g.c) => MB = NA 0,5 Chứng minh  AMB =  BNA (c.c.c)  => AMB BNA c) Theo câu b có  IAB cân I => IA = IB =>  OIA =  OIB (c.c.c)   => EOI FOI 0,5 0,5 Chứng minh  OEM =  OFN (g.c.g) => OE = OF =>  OIE =  OIF (c.g.c) => IE = IF 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì 0 x  y  z   x -  0, y -  0 (x - 1) (y - 1)   xy +  x + y     (1) Chứng minh tương tự :  (2) ;  (3) Cộng vế (1) (2) (3) ta có : + +  + + (4) Mà    0,5 0,5 0,5 Chứng minh tương tự  ;  (2đ)  + +  2 (5) Từ (4) (5)  đpcm 0,5 Hết -