Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG HIỆU QUẢ TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG HIỆU QUẢ TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ THPT Người thực : Nguyễn Thị Ngoan Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc môn : Vật lý THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… 1.5 Những điểm sáng kiến……………… ………………………… NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận…………………………………………………………… 2.1.1 Sử dụng chức table máy tính cầm tay………………… 2.1.2 Bất đẳng thức cô si…………………………………………………… 2.1.3 Bất đẳng thức Bu-nhia- Cốpxki…………………………………… … 2.1.4 Tam thức bậc hai……………………………………………………… 2.1.5 Định lý hàm sin tam giác……………….……………………… 2.1.6 Khảo sát hàm số……………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu………………………………………… 2.3 Sử dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị……… 2.3.1 Sử dụng chức table máy tính cầm tay……………………… 2.3.2 Bất đẳng thức cô si…………………………………………………… 2.3.3 Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki………………………………… …… 2.3.4 Tam thức bậc hai……………………………………………………… 2.3.5 Định lý hàm sin tam giác……………….……………………… 2.3.6 Khảo sát hàm số……………………………………………………… 2.4 Hiệu SKKN ……………………….…………………………… KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận………… ……………………………………………………… 3.2 Kiến nghị…………………………….…………………………………… 1 2 3 3 4 4 4 11 15 18 20 22 23 23 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Cực trị toán hay gặp đề thi học sinh giỏi câu khó kì thi trung học phổ thơng (THPT) quốc gia Có nhiều dạng cực trị xuyên suốt từ phần học lớp 10, đến phần nhiệt học, điện học lớp 11 12, quang học, dạng ta phải sử dụng cơng cụ tốn học riêng để giải mà lại khơng có tài liệu tham khảo viết riêng vấn đề cực trị Do q trình dạy học phần kiến thức gặp nhiều khó khăn Tốn học vật lý mơn học có quan hệ gắn bó khăng khít với Tốn học cơng cụ hữu ích để ta giải nhiều tập, đặc biệt tập cực trị vận dụng nhiều kiến thức toán Tuy nhiên gặp tốn cực trị phần lớn học khơng biết phải đâu, áp dụng cơng cụ tốn học để làm Nhằm giúp học sinh giải đúng, giải nhanh tốn dạng tơi định nghiên cứu sâu dạng toán cực trị Qua đó, tơi đúc rút kinh nghiệm thân, tham khảo nhiều tài liệu để tổng hợp nên phương pháp áp dụng cho dạng tốn cực trị Từ lý trên, tơi định chọn nội dung “ Vận dụng hiệu toán học để giải tập cực trị vật lý THPT ” làm đề tài nghiên cứu Trong đề tài tổng hợp phần lớn dạng toán cực trị đồng thời nêu phương pháp lựa chọn cơng cụ tốn học để giải cho dạng Ngồi cịn giới thiệu phương pháp tìm cực trị mà tài liệu chưa có sử dụng chức table máy tính cầm tay FX 570 Hy vọng tập tài liệu giúp ích cho quí đồng nghiệp trình giảng dạy cho em học sinh trình học tập kiểm tra 1.2 Mục đích nghiên cứu - Việc nghiên cứu toán cực trị giúp giảm bớt khó khăn cho học sinh giáo viên trình dạy học phần kiến thức liên quan đến cực trị tốn khó q trình bồi dưỡng học sinh giỏi ơn thi THPT Quốc Gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu học sinh trường THPT Ba Đình- Nga Sơn qua số năm học từ năm học 2014-2015 đến 2021-2022 - Phạm vi nghiên cứu: + Các dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng vật lý chương trình vật lý THPT + Kiến thức toán học bất đẳng thức Cơsi, Bu-nhi-a-Cốp-xki, hàm lượng giác tốn học, phương pháp đạo hàm tìm cực trị ứng dụng máy tính cầm tay FX 570 giải tốn Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page Vận dụng công cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong sáng kiến sử dụng số phương pháp như: - Phương pháp là: tổng kết đúc rút kinh nghiệm từ thực tế dạy học - Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, mạng internet - Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ giáo viên bên mơn tốn học - Phương pháp điều tra từ đối tượng học sinh 1.5 Những điểm SKKN - Sáng kiến có sử dụng phương pháp chưa có tài liệu viết sử dụng máy tính cầm tay với chức table (mode 7) để tìm cực trị, cho kết nhanh xác Phương pháp q trình giảng dạy, tơi tổng kết từ phía học sinh tìm hiểu thêm từ đồng nghiệp bên mơn tốn Đặc biệt học sinh sử dụng máy tính cầm tay thành thạo nên em có khả áp dụng tốt phương pháp - Tuy nhiên, phương pháp sử dụng máy tính cầm tay hữu hiệu với có khoảng giới hạn xác định Thực tế ta cịn gặp nhiều mà điều kiện tốn khơng rõ ràng ta khơng thể dùng máy tính cầm thay Vậy nên, gặp ta phải sử dụng phương pháp khác, tơi giới thiệu phương pháp làm, cách lựa chọn cơng cụ tốn học hữu ích, đặc trị loại tốn Từ đó, giúp học sinh hiểu chất biết cách vận dụng gặp tương tự Đồng thời tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Bài tốn cực trị vật lý tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng vật lí Nó liên hệ chặt chẽ với tốn học Để giải loại tập ta phải khai thác triệt để bất đẳng thức (BĐT) Cô-si, BĐT Bu-nhia-côpxki, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, cosin tam giác khảo sát hàm số, sử dụng đạo hàm Ngồi với kiểu hình thức thi trắc nghiệm, máy tính cầm tay tích hợp nhiều chức Trong có chức table tìm giá trị lớn nhỏ khoảng nghiệm từ a đến b nên ta sử dụng cách tốn học để làm tập cực trị 2.1.1 Sử dụng chức table máy tính cầm tay Casio FX 500 Chức table máy Casio FX 570 giúp giải nhanh toán cực trị máy tính, hiệu sử dụng với tốn có khoảng giới hạn xác định - Ban đầu ta có hàm số f(x) với x số nguyên dương nằm khoảng a≤x≤b Khi thay x vào hàm số f (x), ứng với giá trị x ta có hàm f(x) tương ứng - Các thao tác với máy tính + Bấm mode để mở chức table Màn hình hiển thị f (x)= + Nhập hàm f(x) tương ứng với đại lượng vật lý cần tìm giá trị min, max + Bấm = hình hiển thị start ? Ta nhập giá trị đầu a giới hạn biến số x + Bấm = hình hiển thị end ? Ta nhập giá trị cuối b biến số x bấm = + Màn hình hiển thị Step ( bước nhảy ) ta nhập = (b - a)/19 hình hiển thị bảng giá thị tương ứng x f(x) + Dùng phím di chuyển lên xuống để dị kết max hàm f(x) 2.1.2 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) - Nội dung: a b 2 ab (a,b dương ) a b c 3 abc ( a, b, c dương) a b c n n a.b.c ( a, b, c….là số dương) Dấu xảy số 2.1.3 Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki (Bunyakovsky) 2 Nội dung: Cho a1, a2, b1, b2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 ) (b1 b2 ) Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT Dấu xảy a1 /a2 =b1 /b2 2.1.4 Tam thức bậc hai: Xét tam thức bậc hai y f ( x) ax bx c + Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + Nếu a < ymax đỉnh parabol x b y 2a ; 4a ( b 4ac ) + Tọa độ đỉnh: 2.1.5 Định lí hàm số sin tam giác A Xét tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,cc b Định lý hàm số sin tam giác: B a b c = = =2 R sin A sin B sin C C a 2.1.6 Khảo sát hàm số - Xét hàm số f(x) ' - Tính đạo hàm Cho f ( x )=0 - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu 2.2 Thực trạng việc giải toán cực trị - Các toán cực trị lâu tốn khó vật lý, khơng đơn chất vật lý mà học sinh phải vận dụng toán học để giải Từ kiến thức vật lý em cần thiết lập biểu thức đại lượng cực trị mà đề yêu cầu sau vận dụng kĩ tốn học để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng Thực tế với nhiều học sinh, vấn đề khó khăn Đa số em thường không làm được, số làm dc chưa đến kết cuối - Từ thực tế vậy, phân tích dấu hiệu tốn để học sinh định hướng cần phải dùng cơng cụ tốn học để làm hiệu Ví dụ tốn điện thường hay dùng bất đẳng si, cịn toán khoảng cách chuyển động thường hay dùng tam thức bậc hai, với có khoảng giới hạn xác định nên dùng chức table máy tính cầm tay cho kết nhanh xác… 2.3 Sử dụng tốn học để giải toán cực trị 2.3.1 Sử dụng chức table máy tính FX 570 để tìm cực trị Phạm vi sử dụng: Thường áp dụng cho toán tìm cực trị đại lượng vật lý mà biến số xác định khoảng giới hạn Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT Ví dụ (Chuyên sư phạm hà nội lần năm 2019): Cho hai lắc lò xo nằm ngang ( k1, m) (k2, m) hình vẽ Trục dao động M N cách 9cm Lị xo k1 có độ cứng 100N/m, chiều dài tự nhiên l 1= 35 cm Lị xo k2 có độ cứng 25 N/ m chiều dài tự nhiên l2= 26 cm Hai vật có khối lượng m Thời điểm ban đầu t=0, giữ lò xo k1 dãn đoạn 3cm, lò xo k2 nén đoạn 6cm đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa Bỏ qua ma sát Khoảng cách nhỏ hai vật q trình dao động bao nhiêu? Giải: Phân tích tốn: Hàm dao động điều hịa sin cosin xác định khoảng giới hạn (−1→1 ) nên sử dụng chức table sau lập phương trình khoảng cách hai vật Ta có: ω1 = k1 100 = m m √ √ ω 2= k1 25 = m m √ √ ω1 =2 ω ; nên VTCB lò xo cách theo phương ngang đoạn 35-26= 9cm Tại t=0, lò xo k1 dãn cm, lò xo k2 nén 6cm nên phương trình dao động hai vật x 1=3 cos ω1 t=3 cos ω t x 2=−9+6 cos ( ω2 t +π )=−9−6 cos ( ω t ) Δxx=|x 1−x 2|=|3 cos (2 ωt ) +6 cos ωt+9| 9cm ¿|6 cos ωt +6cosωt +6| Do −1≤cos x ≤1 nên ta thao tác máy tính sau: O1 + Bấm Mode hình hiển thị f(x)= + Nhập f (x)=6X2+6X+6 bấm = + Start -1= + end 1= + Step 2/19 = + Ta thu bảng kết phần bên + Dùng phím di chuyển lên xuống tìm giá trị f (x) nhỏ ta thấy Λxx =4 ,504 ( cm ) Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan x O2 Khoảng cách hai vật là: Page x1 x f(x) -1 -0,894 5,4349 0,789 5,0027 - 0,684 4,7036 -0,578 4,5373 -0,473 4,5041 -0,368 4,6038 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT - Khoảng cách nhỏ vật d =√ Δxx +MN =√ ,504 + 92≈10 ( cm ) Ví dụ ( Thi THPT quốc gia 2017) Trong thí nghiệm Yâng giao thoa ánh sáng, hai khe chiếu ánh sáng trắng có bước sóng từ 0,38 μmm đến 0, 76 μmm Tại vị trí vân sáng bậc ánh sáng đơn sắc có bước sóng 0,76 μmm cịn có vân sáng ánh sáng đơn sắc khác nhau? Bức xạ có bước sóng lớn nhất? Giải: Phân tích tốn: Bước sóng ánh sáng trắng có giới hạn xác định khoảng từ 0,38 μmm đến 0,76 μmm nên ta sử dụng chức table để tìm cực trị sau lập biểu thức bước sóng λ2 Xuất ⇒ λ 2= phát từ điều kiện hai vân k λ1 , 76 , 04 , 04 = = f ( x )= k2 k2 k Đặt X + Bấm mode để mở chức table hình hiển thị f(x)= , 04 f ( x )= X + Nhập + Start 1= + end 10 = + Step 1= ( k số nguyên nên bước nhảy 1) + Bấm phím lên xuống để dị tìm kết thỏa mãn yêu cầu toán sáng trùng k λ 1=k λ2 nhau: với , 38 μmm≤f ( x )≤0 , 76 μmm x f(x) 3,04 1,52 1,0133 0,76 0,608 0,5066 0,4342 0,38 0,3377 10 0,304 Ta thấy khoảng từ , 38 μmm≤f ( x )≤0 , 76 μmm có giá trị thỏa mãn k= 5,6,7,8( k=4 trùng với xạ đề không tính) tức có xạ cho vân sáng Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT + Nhìn giá trị ta nhận thấy giá trị lớn với X= f ( x )=λ =0 , 608 μmm 2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Côsi Phạm vi áp dụng: Thường áp dụng cho toán điện chiều lớp 11 điện xoay chiều lớp 12 Ví dụ 1: (phần Điện trường, Vật lí 11) Hai điện tích q1 = q2 = q > đặt A B khơng khí Biết AB = 2a a Xác định cường độ điện trường E M điểm M đường trung trực AB cách AB đoạn h b Xác định h để EM cực đại Tính giá trị cực đại Giải: Phân tích tốn: E2 EM E1 M q1 A h O 2a Biểu thức cường độ điện trường M hệ điện tích gây ta chứa số hạng dương nên ta áp dụng bất đẳng thức cô si a Xác định E M : q q q E1 E2 k k k 2 AM BM a h2 E M E1 E với Ta có EM 2 E1.cos 2kq h 2kqh a h a h (a h )3/2 Độ lớn: b Trong biểu thức EM số hạng dương, nên áp dụng BĐT Cô-si ta được: Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page q2 B Vận dụng công cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT a2 a2 a 4h2 3 2 a h h 3 (a h )3/2 ah 2 2 EM 2kqh 4kq a2 a 3 3.a h h a h 2 Nên EM đạt giá trị cực đại khi: ( EM ) max 4kq 3.a Khi đó: Ví dụ 2: (phần Điện học, Vật lí 11) Cho mạch điện hình vẽ Cho biết: 12V , r = , R biến trở Tìm giá E, r trị R để công suất mạch ngồi đạt giá trị cực đại Giải: Phân tích tốn: R Sau lập biểu thức cơng suất mẫu số có dạng tổng số hạng dương, mà tích chúng khơng đổi nên áp dụng BĐT Cơ si cho mẫu số để tìm giá trị nhỏ - Dòng điện mạch: I Rr 2 r2 2R R R r P R R 2rR r = Công suất: P = I2.R = ( R r ) Đặt y ( R 2 ( R r ) R 2 r ) P y Để Pma x ymin R Theo BĐT Cơ-si: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số R r 2 122 Pmax 9(W ) R R = r = () r 2r r 4r 4.4 => ymin E,r Ví dụ 3: (phần Điện học, Vật lí 11) Một nguồn điện có: E = 15 V; r = , nối với mạch gồm R1 = v R2 mắc song song với Tìm R2 để R1 A cơng suất tiêu thụ cực đại Tính giá trị cực đại Giải : R2 Phân tích tốn: + Biết giá trị điện trở khơng âm nên ta chuyển hàm P = f(R2) dạng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page B Vận dụng công cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT L2 a cosα Trên Oy, Vật m1 : y1 = - a.sinα Vật m2 : y2 = - m1 y1 m2 y2 a.sin L2 a ( c os) m m 4 Tọa độ trọng tâm hệ vật: yG= -Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cơp-ski, ta có 2 2 2 a.sinα + 3.cosα L a ≤ (a L a ).(sin cos ) L L2 a a L Dấu xảy sin = 3cos a = 14 L L => yG a= 14 cosβ = 14 => β=79,10 Ví dụ 2: Cho hệ hình vẽ Hệ số ma sát M sàn k2.Hệ số ma sát M m k1.Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc Hãy tìm Fmin để m khỏi M Tính góc tương ứng? Giải: Phân tích toán: F≥ ( k + k ) Mg + ( k +k ) mg cos α +k sin α Ta tìm biểu thức F để m thoát khỏi M là: Trên tử số số để F nhỏ mẫu lớn Ta cóy thể áp dụng bất đẳng k 22 ) ( sin2 α +cos α )≤1+k 22 thức bunhia- Cốp-xki ( cos α +k sinα ) ≤( 1+ + N1 Fms12 Fms N2 Fms 21 F O x P P N F ma 1 ms 21 Xét vật m: (1) F a1 mn 21 m Chiếu lên Oy: N1 – P1 = N1 = P1 Chiếu lên Ox: Fms21= ma k mg a1 k1 g Fms21= k1.N1 = k1.mg m Khi vật bắt đầutrượt thì a = k g 1 + Xét vật M: F P2 P1 N Fms12 Fms ( M m)a2 F cos Fms12 Fms a2 F cos F F ( M m ) a ms12 ms M m Chiếu lên trục Ox: Chiếu lên Oy: F sin ( P1 P2 ) N 0 N P1 P2 F sin Ta có: Fms12 k1mg Fms k2 N k2 ( P1 P2 F sin ) Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page 13 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT a2 F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) M m F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) a1 a2 k1 g M Khi vật trượt (k1 k2 ) Mg (k1 k2 )mg (k1 k2 ) Mg (k1 k2 )mg cos k2 sin y Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: F y (cos k2 sin ) (12 k2 )(cos sin ) k2 ymax k2 Fmin (k1 k ) Mg (2k1 k2 )mg k2 sin k2 tg k2 Lúc đó: cos Vậy Ví dụ 3: (phần Động lực học chất điểm, Vật lí 10) Người ta quấn sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể quanh khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây lực Fmin, góc α để khối trụ quay chỗ Cho biết hệ số ma sát khối trụ sàn k Giải: Phân tích tốn: Ta tìm biểu thức F để m thoát khỏi M là: F= kmg cos α +k sin α Trên tử số số để F nhỏ mẫu lớn Ta áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki ví dụ y F x N O Fms P Các lực tác dụng biểu hình Do khối trụ khơng chuyển động tịnh tiến nên tổng hình chiếu lực phương Ox, Oy Tức là: Fms F cos 0 F sin N P 0 Trong : Fms =k.N Từ hệ phương trình ta có: kmg kmg F cosa k sina y => F đạt y đạt max Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki ta có: y cos k sin (1 k )(cos2 sin ) k Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page 14 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT k tg k Dấu ‘=’ xảy cos sin kmg Fmin k tg k Vậy Ví dụ 4: v2 v1 ; 300 Khi Hai chuyển động AO BO hướng O với khoảng cách hai vật cực tiểu d khoảng cách từ vật đến O d1' 30 3(cm) Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O Giải Phân tích tốn: + Sau q trình lập luận tút biểu thức tính khoảng cách từ vật đến O ta 2 2 2 y = ( cos sin ) ⇒ ( cos sin ) (( 3) ).(cos sin ) 2 Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = ) Áp dụng định lý hàm sin ta có: A d d' d' d d vt d v t 1 2 sin sin sin sin sin sin v v2 nên ta có: Vì d d vt 3d v1t 1 sin 30 sin sin B d1’ d O d2’ Áp dụng tính chất phân thức ta có: d1 v1t 3d v1t ( 3d v1t ) (d1 v1t ) 3d d1 sin sin sin sin sin sin d 3d d1 sin 30 sin sin 0 Mặt khác, tacó: sin sin(180 ) sin( ) sin(30 ) 3 cos sin sin sin(30 ) 3(sin 30 cos cos 30 sin ) 2 3d d1 ( 3d d1 ) sin 30 3d d1 d d sin 30 1 3 cos sin cos sin sin cos sin 2 2 3d d1 3d d1 d ( cos sin ) y cos sin 0 Vậy Để dmin Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page 15 ymax với y = Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT ( cos sin ) (( 3) 12 ).(cos sin ) 2 cos cot g 300 sin ⇒ ymax= 120 d1' d2' sin1200 ' ' d d1 3d1' 90(m) sin 300 ⇒ sin 300 sin1200 Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) 2.3.4 Sử dụng tam thức bậc hai Phạm vi áp dụng: Thường dùng tập chuyển động có liên quan đến phương trình chuyển động dạng tam thức bậc hai Ví dụ 1: Hai xe môtô chạy theo hai đường vuông góc với nhau, tiến phía ngã tư (giao điểm hai đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc hướng Nam với vận tốc 30 km/h Lúc sáng, A B cách ngã tư 4,4 km km Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe nhỏ Tính khoảng cách Giải: Phân tích tốn: - Chuyển động hai xe chuyển động thẳng nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc theo thời gian t Hai xe chạy theo hai hướng vng góc với nên khoảng cách hai xe xác định theo định lí pitago tọa độ hai xe Nghĩa là, khoảng cách L hai xe biểu diễn thông qua hàm bậc hai thời gian t y - Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với + trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây; v + trục Oy theo hướng từ Bắc Nam; A O x x0 + gốc tọa độ O ngã tư vB - Chọn mốc thời gian lúc sáng y0 - Phương trình chuyển động xe + xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km); + xe B: y = y0 + vBt = - + 30t (km) 2 x y 3400t 680t 35,36 (km) - Khoảng cách hai xe: L = = 2 Biểu thức: L =3400t −680 t+35 , 36 tiểu x=− b 680 ⇒t= =0,1h 2a 3400 Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan tam thức bậc hai có hệ số a>0 nên đạt cực ⇒ Lmin = 1166 m Page 16 Vận dụng công cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ 1166 m Ví dụ 2: Một cầu thủ ghi bàn thắng phạt đền 11 m; bóng bay vơ chạm vào mép xà ngang bay vô gôn Biết xà ngang cao 2,5 m; khối lượng bóng 0,5 kg Hỏi góc bay bóng so với mặt sân cỏ phải để lượng mà cầu thủ truyền cho bóng nhỏ Bỏ qua sức cản khơng khí Lấy g = 10 m/s2 Giải: Phân tích tốn: Phương trình quĩ đạo bóng có dạng ném xiên y = f(x) biểu diễn theo hàm bậc hai tan, với góc tạo vận tốc ban đầu bóng so với mặt sân cỏ Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m x = L=11 m; y v0y O v0 v0x Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với: + trục Ox nằm ngang hướng phía gơn; + trục Oy thẳng đứng hướng lên; + Gốc tọa độ vị trí phạt 11 m Chọn mốc thời gian lúc bóng bắt đầu bay Phương trình chuyển động bóng theo hai trục tọa độ là: + theo phương Ox: x = x0 + v0x.t = (v0cos)t; + theo phương Oy: y = y0 + v0y.t + ½ ay.t2 = (v0sin)t – ½ gt2 gx 2 Phương trình quĩ đạo bóng có dạng: y = f(x) = (tan)x – 2v0 cos α g Hay: y = (tan)x - 2v (1 + tan2)x2 Khi bóng chạm xà ngang bay vô gôn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m gL2 (1 tan α) gL2 gL2 (1 tan α) 2 L tan α h 2v 02 Ta có: h = L.tan v0 = = a > Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page 17 X G x Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT tan α L tan α h a phải có nghiệm tan để tồn giá trị phương trình h L Khi đó, tan2 - L.a.tan + + h.a = ⇒ tan2 - 11a.tan + + 2,5a = Để thỏa mãn điều kiện thì: = 121a2 – 4(1 + 2,5a) 121a2 – 10a – 509 a 121 - 121 a 121 509 121 a - 509 121 < (loại) 509 11a amin = 121 = tan = = 51024’ 509 Ta lại nhận thấy: Wđ0min v0min amin = 121 gL2 Vậy, = 51024’ Wđ0min = ½ m v0 = ½ m amin 34,5 J Ví dụ 3: Hai tàu chuyển động với vận tốc hướng tới O hai đường thẳng hợp với góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ hai tàu Biết ban đầu chúng cách O khoảng d1 = 60km d2 = 40km Giải: Phân tích tốn: Chuyển động vật có dạng phương trình bậc khoảng cách vật thành hàm bậc theo biến thời gian t Nên ta áp dụng cách tìm cực trị tam thức bậc hai Chọn hệ trục tọa độ khơng vng góc hình vẽ Giả sử tàu A chuyển động Oy O ,tàu B chuyển động Ox O Phương trình chuyển động y chúng lần lược : x= 40-v.t y= 60-v.t A Tại thời điểm t khoảng cách hai tàu d OA2 OB 2OA.OBCOS 600 y d x y xy.cos 600 d x y xy (3) 2 Thay (1),(2)vào(3) ta d v t 100vt 2800(4) Vế phải tam thức bậc hai có giá trị nhỏ Nguyễn Thị Ngoan n Thị Ngoan Ngoan Page 18 O 600 B x 300 d 17, 32km 4a X