Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– CAO HÀ DƯƠNG BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– CAO HÀ DƯƠNG BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– CAO HÀ DƯƠNG BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN, 10/2018 i Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu BÀI TỐN HILBERT THỨ 17 1.1 Lịch sử vấn đề 1.2 Một số kết biểu diễn đa thức không 1.2.1 Kết Hilbert 1.2.2 Ví dụ Motzkin 1.2.3 Ví dụ Robinson 1.2.4 Ví dụ Choi-Lam 1.2.5 Ví dụ Lax-Lax Schmă udgen 1.2.6 Chng minh ca Artin âm MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN HILBERT 17 2.1 Về không điểm đa thức nhiều biến không âm 2.1.1 Không điểm dạng psd 2.1.2 Phương pháp ma trận Gram 2.1.3 Tổng quát hoá M S 2.1.4 Các ví dụ dạng đối xứng 2.2 Định lý Polya 5 10 12 13 14 15 29 29 29 30 31 32 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt psd đa thức nửa xác định dương pd đa thức xác định dương sos đa thức biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức AM − GM bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân GCD ước chung lớn Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái Thầy hướng dẫn tạo điều kiện tốt tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Q K11D; trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp cao học Toán K10Q K11D, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Mặc dù thân có nhiều cố gắng điều kiện thời gian ngắn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để tác giả tiếp tục nghiên cứu tốt Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả Cao Hà Dương Lời nói đầu Lagrange rằng, số nguyên dương a biểu diễn thành tổng bình phương bốn số nguyên Vậy câu hỏi tự nhiên sinh là: "Nếu thay số nguyên đa thức, đa thức biểu diễn thơng qua tổng bình phương đa thức khác? Nếu biểu diễn cần tối thiểu bình phương đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiện cần đủ gì?" Đã có nhiều cơng trình khoa học nhà toán học tiếng nghiên cứu vấn đề này, Motzkin, Robinson, Choi, Lam, ; có nhiều ví dụ phản ví dụ đưa Tại Đại hội tốn học quốc tế họp Paris năm 1900, Hilbert nêu vấn đề Bài toán thứ 17 danh mục 23 tốn tiếng ơng Bài toán giải Artin, nhiều cách tiếp cận mở rộng khác đưa Luận văn có mục tiêu trình bày lịch sử vấn đề số kết đạt hướng nghiên cứu toán Hilbert 17 mở rộng Mặc dù tốn Hilbert 17 trước đề cập đến nội dung Luận văn thạc sĩ toán học Phan Văn Dân với tên "Về định lí Hilbert thứ 17" vào năm 2017 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; kết nghiên cứu Tác giả luận văn toán Hilbert 17 khác biệt Trong luận văn mình, tác giả nêu kết đạt nhà toán học nghiên cứu toán Hilbert 17 cách chi tiết cụ thể hơn, ngồi cịn có bổ sung thêm nhiều kết khác Hơn nữa, chứng minh định lý Artin hai luận văn khác Cuối khác biệt đến từ chương luận văn này, tác giả quan tâm trình bày nội dung định lý Polya với mở rộng hướng nghiên cứu toán Hilbert 17 mà luận văn Phan Văn Dân khơng có Do vậy, luận văn tác giả bổ sung thêm kết với tiếp cận khác toán Hilbert 17 Tên luận văn "Biểu diễn đa thức dương dạng tổng bình phương hai đa thức" Tuy nhiên trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả dành phần nhiều thời gian để nghiên cứu thấy kết biểu diễn đa thức dương nhìn nhận cách yếu cho đa thức khơng âm Do nội dung luận văn có thiên hướng trình bày kết đạt đa thức không âm nhiều kết cho đa thức dương Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày cách khái quát lịch sử vấn đề; ví dụ đa thức khơng âm hay khơng thể biểu diễn thành tổng bình phương đa thức khác; với giải tốn Hilbert 17 Artin Chương 2: Trình bày số tiếp cận số kết mở rộng Bài toán Hilbert 17 Chương BÀI TOÁN HILBERT THỨ 17 1.1 Lịch sử vấn đề Vào năm 1900, Đại hội toán học quốc tế Paris, Hilbert nêu lên toán thứ 17 sau: "Có thể hay khơng biểu diễn đa thức thực khơng âm dạng tổng bình phương hàm hữu tỷ" Trước đó, khởi đầu toán Hilbert thứ 17 bắt nguồn từ luận án tiến sĩ Hermann Minkowski, bảo vệ tại Đại học Koxnigsberg vào năm 1885, mà Hilbert người phản biện Trong buổi bảo vệ, Minkowski khẳng định rằng: "Tồn đa thức thực không âm tồn Rn khơng biểu diễn dạng tổng hữu hạn bình phương đa thức thực" Mặc dù khơng có chứng minh cho khẳng định trên, sau Hilbert có nói ơng bị thuyết phục khám phá Sau vào năm 1888, Hilbert chứng minh báo tiếng tồn đa thức thực hai biến bậc sáu không âm R2 khơng phải tổng bình phương đa thức thực Ví dụ tường minh đưa T.Motzkin vào năm 1967 Đó đa thức: M (x, y) = x4 y + x2 y + − 3x2 y Trong báo thứ hai chủ đề vào năm 1893, Hilbert chứng minh lý luận khéo léo khó hiểu rằng, đa thức khơng âm p ∈ R [x, y] R2 biểu diễn tổng hữu hạn bình phương hàm hữu tỷ thuộc R (x; y) Mặc dù không nêu rõ, chứng minh mình, Hilbert gần p tổng bốn bình phương hàm hữu tỷ Năm 1899, Hilbert chứng minh kết quan trọng, làm sở cho khẳng định mà thời điểm cịn chưa chứng minh, rằng: "Bất kì hàm hữu tỷ khơng âm Q (x1 , , xn ) tổng bình phương hàm hữu tỷ Q (x1 , , xn )" Dựa ý tưởng từ cơng trình trước đây, Hilbert nêu toán tiếng thứ 17 Đại hội toán học quốc tế Paris vào năm 1900 với câu hỏi: "Nếu f ∈ R [x1 , , xn ] đa thức khơng âm, có thiết biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỷ R (x1 , , xn ) hay khơng?" Bài tốn Hilbert thứ 17 giải câu trả lời khẳng định vào năm 1926 Artin Chứng minh Artin mang đến khởi đầu cho số chủ đề hình học đại số thực 1.2 Một số kết biểu diễn đa thức không âm Trước vào trình bày kết đạt được, có kí hiệu định nghĩa sau: i) Hd (K n ): tập đa thức bậc d với n biến với hệ số trường K n + d − Do p ∈ Hd (K n ) xác định N = hệ số nó, n−1 nên Hd (K n ) ≈ K N ii) Với m số nguyên, đa thức p ∈ Hm (Rn ) gọi nửa xác định dương (viết tắt psd) p (x1 , , xn ) ≥ với (x1 , , xn ) ∈ Rn iii) Tập tất psd Hm (Rn ) kí hiệu Pn,m iv) Đa thức psd p (x1 , , xn ) gọi xác định dương (viết tắt pd) p (x1 , , xn ) = xj = 0, với ≤ j ≤ n v) Nếu p ∈ Hm (Rn ) biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức p gọi sos Nếu p ∈ Hm (Rn ) p = P k h2k với hk ∈ R [x1 , , xn ] hk ∈ Hm/2 (Rn ) P vi) Tập tất sos Hm (Rn ) kí hiệu n,m Ta có: X ⊆ Pn,m n,m P Do kí hiệu ∆n,m = Pn,m \ n,m tập tất đa thức psd mà không sos 1.2.1 Kết Hilbert Trước tiên có kết quan trọng sau: Mệnh đề 1.1 Mọi đa thức psd f (x) ∈ R [x] tổng bình phương đa thức R [x] Chứng minh, Chú ý f (x) đa thức nửa xác định dương nên nghiệm thực có f (x) phải có bội chẵn Thật vậy, ta thấy từ biểu diễn f (x) = (x − α)n g(x) với α ∈ R g (α) 6= 0, n lẻ, có (x − α)n nên f đổi dấu lân cận α, điều mâu thuẫn với việc f psd Do ta viết f (x) dạng: Y ni 2ni Y ni Y x − βi f (x) = c (x − αi ) (x − βi ) với αi ∈ R βi ∈ / R, c ∈ R Đặt: Y ni Y ni h (x) = (x − βi ) (x − αi ) Khi ta có: f (x) = ch(x)h(x) Với h(x) = p(x) + iq(x) p (x) , q (x) ∈ R [x] thì: √ √ 2 2 f (x) = c p(x) + q(x) = ( cp(x)) + ( cq(x)) Nhận xét 1.1 Trong trường hợp tổng quát với n biến, kết luôn cho đa thức Ta có ví dụ: