ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1]× R[0, 1]× R[0, 1]× R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 c Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1] × R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1] × R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Hồ Minh Toàn Thái Nguyên, năm 2020 c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huyền Trang Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học i c LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hồ Minh Toàn - người hướng dẫn bảo tận tình cho em, tạo điều kiện thuận lợi nguồn động lực quan trọng để em hồn thành tốt Luận văn tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn, gia đình, bạn bè quan tâm, giúp đỡ, động viên em Trong q trình làm Luận văn khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ phía thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huyền Trang ii c Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU Chương 1.Biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R 1.1.Giới thiệu toán kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Bài toán thứ 17 Hilbert 1.2.Đa thức không âm dải 1.2.1 Phát biểu định lí 1.2.2 Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.2.3 Ý tưởng chứng minh 15 1.2.4 Kiến thức cần dùng để chứng minh 16 1.2.5 Chứng minh Định lý 1.2.1 24 Chương 2.Một số ứng dụng 28 2.1.Bài toán tối ưu đa thức 28 2.2.Bài tốn mơmen 32 2.2.1 Bài tốn mơmen cổ điển 32 iii c 2.2.2 Bài toán mômen tập nửa đại số 33 2.2.3 Ứng dụng Bài tốn mơmen 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv c MỞ ĐẦU Cho f ∈ R[X] đa thức theo n biến X1 , , Xn Nếu f biểu diễn thành tổng bình phương hữu hạn đa thức R[X] rõ ràng f khơng âm Rn Do đó, câu hỏi tự nhiên đặt chiều ngược lại có khơng, tức f > Rn =⇒ f ∈ P R[X]2 ? Câu trả lời cho đa thức biến, không nói chung cho nhiều biến Hilbert chứng minh hình thức vào năm 1888 Bài tốn phát biểu mở rộng cho trường hợp biểu diễn đa thức không âm tập nghiệm K hệ hữu hạn bất phương trình đa thức Giả sử G = {g1 , , gm } họ đa thức thực m biến K ⊂ Rn xác định KG = {x ∈ Rn | g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ 0} Một tập T ⊂ R[x] gọi tiền thứ tự T chứa tổng bình phương, đóng với phép cộng nhân Ký hiệu TG tiền thứ tự bé chứa G Khi đa thức thuộc TG khơng âm K Vì toán biểu c diễn đa thức dương K phát biểu sau: Nếu đa thức f ∈ R[x] dương K f có thuộc T không? Gần đây, với lời giải Schmudgen [7] khẳng định đa thức f ∈ TG trường hợp tập K compact vào năm 1991, có lời giải cho số trường hợp tập K khơng compact Mục đích luận văn trình bày lại kết biểu diễn đa thức khơng âm dải [0, 1]× R Kết viết báo: Marshall M (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc Amer Math Soc., 138 (5), 1559–1567 mở rộng báo Nguyen H and Powers V (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J Pure Appl Algebra, 216 (10), 2225–2232 Ngoài Mục lục, Lời mở đầu, Tài liệu tham khảo Kết luận, nội dung Luận văn gồm chương, hình thành chủ yếu từ tài liệu [2], [3]: • Chương : Biểu diễn đa thức không âm di [0, 1] ì R ã Chng : Mt số ứng dụng Trong Chương cung cấp khái niệm Hình học đại số thực cho đa thức kết sử dụng Luận văn gồm: Bài toán thứ 17 Hilbert Định lý biểu diễn đa thức không âm dải Trong chương trình bày ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen c Chương Biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R Trong chương trình bày số kiến thức biểu diễn đa thức không âm dải Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [2], [3] 1.1 Giới thiệu toán kiến thức chuẩn bị Trước tiên, luận văn trình bày số khái niệm Hình học đại số thực cho đa thức trích dẫn từ cơng trình Marshall 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hốn có đơn vị Kí hiệu P A2 tập hợp tổng bình phương A, tức tập hợp phần tử có dạng k X a2i , k ∈ N, ∈ A, i = 1, , k i=1 Cho n ≥ 1, kí hiệu R[X1 , , Xn ] := R[X] vành đa thức n biến X1 , , Xn với hệ số thực; P R[X]2 tập hợp gồm tổng hữu hạn bình c phương đa thức R[X], tức tập hợp phần tử có dạng k P i=1 fi2 , k ∈ N, fi ∈ R[X], i = 1, , k Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn có đơn vị (i) Một môđun bậc hai A tập M A thỏa mãn: • M + M ⊆ M; • ∈ M; • a2 M ⊆ M với a ∈ A (ii) Một tiền thứ tự A tập T A thỏa mãn: • T + T ⊆ T; • T · T ∈ T; • a2 ∈ T với a ∈ A Từ định nghĩa 1.1.1 có số nhận xét sau Chú ý 1.1.2 Cho A vành giao hốn có đơn vị Khi đó: (i) Mỗi tiền thứ tự A môđun bậc hai A (ii) P A2 tiền thứ tự nhỏ A Bây xét A vành đa thức R[X] := R[X1 , , Xn ] G = {g1 , , gm } tập R[X] Khi đó: c ... chương trình bày ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen c Chương Biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R Trong chương trình bày số kiến thức biểu diễn đa thức. .. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1] × R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 6 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán... có biểu diễn x = x2 + x (1 − x) − x = (1 − x) 2 + x (1 − x) nên ¯b (x) .f (x, y) = σ (x, y) + τ (x, y) .x (1 − x) , σ , τ ∈ P R [x, y] + Nếu r = ta làm tương tự với r = ta triệt tiêu nhân tử (1 − x) phân