Phan 6

========== Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh : xy yz zx    x  y  2z y  z  2x z  x  2y Bài 2 Xét toán phụ với a, b ta có: (a  b) 2(a  b ) 2 2 2 Ta có (a  b) 2(a  b )  a  2ab  b 2a  2b  a  2ab  b 0  (a  b)2 0 với a, b Suy điều cần chứng minh Áp dụng bất đẳng thức a) ta có: x  y  z  x  z    y  z    x  z   y z      1      x  y  2z x  z  y  z 2 x  z xy xy xy 1    x  y  z  x  z y z Do đó: Dấu xảy x = y yz 1   y  z  x  Tương tự: Dấu xảy y = z yz y x  x  y 2 z  Suy ra:   y  z     yz   z  x   xy  zx 1 zx     z  x  y  z  y x  y  Dấu xảy x = z Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: xy yz zx 1    x y z  x  y  2z y  z  2x z  x  2y 2 x  y z  Dấu xảy   ========== Bài x2 y2 z2    Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: y  z  x  Bài Nội dung Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x2 y 1 x y 1 x  2 2 x y 1 y 1 (1) y2 z 1  y Tương tự: z  (2); z2 x 1  z x 1 (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: x2 y2 z2 x 1 y 1 z 1      x  y  z y 1 z 1 x 1 4 3 x  y  z  x2 y2 z2     y 1 z 1 x 1 (4) Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ – si ta có : x  y  z 3 xyz 3 3 (5) x2 y2 z2 3.3  3     Từ (4) (5) suy ra: y  z 1 x  Dấu “=” xảy  x = y = z = ========== Bài : Cho a,b,c>0 S  a2  a b c  Tìm giá trị nhỏ 1  b2   c2  2 b c a Bài S  a2  1  b2   c2  2 b c a (12  42 )(a  1 ) (1.a  ) 2 b b a2  1  (a  ) b b 17 Tương tự 1 1 b2   (b  ); c   (c  ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 S (a  b  c    )  (a  b  c  ) a b c a b c 17 17   17 135  (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)     Dấu “ =” xảy  a = b = c = 17 Vậy S đạt giá trị nhỏ √ a = b = c = 2  17 ========== Bài Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x  y xy Bài 1 1    2 A = x  y xy = x  y 2xy 2xy Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: x + y 2 xy  2 xy  4xy  2 2xy (1) Đẳng thức xảy x = y Tương tự với a, b dương ta có: 1  2 2  a b ab a + b a + b (*) 1   4 x  y 2xy  x + y  2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: Dấu đẳng thức xảy x2 + y2 = 2xy  x = y Từ (1) (2) suy ra: A 6 Dấu "=" xảy ========== Bài Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab = P = a  b2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài  x=y= (2) Vậy minA = a b3 Nội dung 2 Ta có: (a  1)  (b  1) 0 a, b  (a  2b  1)  (a  2b  1) 0  a  b 2a  2b  a  b 3 13 P 2a  2b       a  b  a b 3 a b 3 5  Áp dụng BĐT Cô – si cho số dương a b 3 a  b 3  2  2 a b3 a  b 3 a  b 2 ab 2 13 P 2  2  3 5  a b 1   a b 1 a  b    a b 3 Dấu “=” xảy   Vậy Pmin =  a = b = ========== ab bc ac    Cho a, b, c  a + b + c = Chứng minh: c  a  b  Bài Điểm Xét hai số dương x,y chứng minh 1 1     x  y  x y  (1) 0,25 ab ab ab  1       Áp dụng BĐT (1) ta có c  (c  a )  (c  b)  c  a c  b  (1) bc bc bc  1       Tương tự a  (a  b)  (a  c)  a  b a  c  ac ac  1      b   b  a b  c  (3) Bài 0,25 (2) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta : ab bc ac  ab  ac ab  cb cb  ca  a  b  c         c 1 a 1 b 1  b  c ca a b  4  a b c  Dấu xảy ========== Bài Với x>1; y>1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài A x2 y2  3 y x Nội dung A x y  3 y x Với x>1 y>1 x2 x2 x2 y2 x y x y  2 2 2 y y y x y x x  y  (1) Ta có: Ta có: x ( x  1)  2 x   x 2 x (2) Dấu “=” xảy x = Ta có: y ( y  1)  2 y   y 2 y (3) Dấu “=” xảy y = Từ (1), (2), (3) suy A 5 Vậy giá trị nhỏ A x = y = ========== Bài 0,25 Cho x, y > 2x + 3y £ Tính giá trị nhỏ biểu thức A= Bài + xy 4x + 9y Lời giải sơ lược 1 + ³ ( *) x y x + y Chứng minh BĐT phụ 1 + ³ x y x , y > Áp dụng BĐT AM-GM cho ta được: x = y Dấu “=” xảy ( *) , ta thấy Áp dụng BĐT 4 26 A= + = + + ³ 2 xy 4x + 9y 12xy 3xy 4x + 9y xy x +y ³ 16 ( 2x + 3y) + 26 3xy + 26 3xy 2x + 3y £ Û ( 2x + 3y) £ 4( 1) Lại có 2 Mặt khác 4x + 9y ³ 12xy (BĐT AM-GM cho x, y > 0) Û 4x2 + 9y2 + 12xy ³ 12xy + 12xy Û ( 2x + 3y) ³ 24xy ( 2) ( 1) Từ ( 2) suy 24xy £ Û xy £ Ta có: A= 4 26 + = + + ³ 4x2 + 9y2 xy 4x2 + 9y2 12xy 3xy 16 ( 2x + 3y) 16 26 + Û A ³ 56 ìï ìï ïï ïï x = x = y ï Û íï í ïï 2x + 3y = ïï ïï ïï y = ỵ ï ỵ Dấu “=” xảy 1 x = ,y = Vậy giá trị nhỏ A 56 ========== Û A³ ³ Bài : Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + zx + yz = 3xyz Tìm giá trị nhỏ A biểu thức: Bài x2 y2 z2   z ( z  x ) x( x  y ) y ( y  z ) Nội dungi dung 1   3 x y z Từ xy + zx + yz = 3xyz ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số thực dương x, z ta có: x  z 2 zx Dấu “=” xảy x = z x2 x2  z  z z z 1        2 2 z xz z x (1) Lại có: z ( z  x ) z ( z  x ) z z  x y 1   2 Tương tự có: x(y  x ) x y (2) z 1   2 y(y  z ) y z (3) Từ (1), (2), (3) suy ra:  1 1 1 1 1 1 A             3  x y z   x y z  (do x y z ) Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ nhất của A là y giá trị nhỏ A đạt x = y = z = ========== Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac 7 abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc   a  2b a  4c b  c Từ gt : 2ab  6bc  2ac 7 abc a,b,c >    7 c a b Chia hai vế cho abc >  x, y , z  1 x  ,y  ,z    2 z  x  y 7 a b c đặt 4ab 9ac 4bc    C   Câu 6: Khi a  2b a  4c b  c x  y x  z y  z  C  2x  y   4x  z   y  z  (2 x  y  x  z  y  z ) 2x  y 4x  z yz     x  2y    x  2y      4x  z    4x  z       yz x  , y z 1 Khi C = 17 Vậy GTNN C 17 a =2; b =1; c = ========== Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh rằng: 2 x + y3 + z + +  +3 x + y2 y + z2 z2 + x 2 xyz  y  z   17 17    Vì x2 + y2 + z2 = = 2   2 x y y z z  x2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + x + y2 y2 + z2 z2 + x z2 x2 y2 + + +3 x + y2 y + z2 x + z2 = Bài z2 z2   x + y 2xy , 2 Ta có x + y ≥ 2xy x2 x2 y2 y2   2 2yz , x + z 2xz Tương tự y + z z2 x2 z2 x2 y2 y2  +3 2 2 2 2xy + 2yz + 2xz + Vậy x + y + y + z + x + z 2 x + y3 + z + +  +3 2 y2 + z2 z2 + x 2xyz  x +y (đpcm) √6 Dấu « = » xảy x = y = z = ========== Bài 6: Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 xy P      x  y2  x y  x y Bài Nội dung Ta có 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 với a, b Thật 2  a  b   a  b   2a  2b  a  b  2ab 0 Bài 6:  (a  b) 0 a, b Dấu “=” xảy a = b 2 Áp dụng bất đẳng thức 2(a  b ) (a  b) ta  1  x  y xy xy P   x  y       x  y2  x y  x  y2 xy xy x  y2   2 x  y2 xy xy x  y2 x  y2   2 x  y2 4xy xy Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta xy x  y 2xy P 2   2  x y 4xy xy P  xy x  y2   2 4xy  x y x  y  x y Dấu “=” xảy  Vậy minP = đạt x = y ========= Bài : 1   3 a 2b 3c Cho a, b, c ba số dương thoả mãn P Tìm giá trị lớn biểu thức: 2ab 6bc 3ca   3 a  8b 8b  27c a  27c3 Bài Nội dung cần đạt 3 Với x, y > 0, ta có: x  y  xy ( x  y ) 1 1 xy      x  y Mà x  y  x y  (cần chứng minh) Từ đó: x  y 2ab 6bc 3ca   3 a  8b 8b  27c a  27c3 1 1 1 1          a 2b 2b 3c 3c a  P Dấu “=” xảy a = 2b = 3c = Vậy giá trị lớn P ========== Bài 1   x y z Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài Nội dung x y  0;  x Có x > 0, y >  y nên theo BĐT Cơ si ta có: x y x y x y  2    2 y x y x y x (1) Dấu ‘ =’ xảy  x =y Có x + y + z = P =  1 1 x       x y z =3+  y  x  y  z  y  y z  x z        x  z y  z x Áp dụng BĐT (1) ta P  +2 +2 +  P   x  y z   x  y z   x  y  z 1  Pmin = ========== Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a4 b4 c4   1 Chứng minh rằng: b  c  a  Bài Bài Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số dương ta được: a4 b2 a4 b  2  2  a b2 b2 (1) Chứng minh tương tự ta : b4 c2 2   b c2 (2) c4 a2 2   c a2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: a4 b4 c4 a b c 6 2     ( a  b  c ) 2 b2 c2 a2 4 a b c 12  (a  b  c)    ⇒ b2 c2 a2 (4) + Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇒ 3( a  b  c ) a  b  c ⇒ a  b  c 3 (5) Từ (4) (5) suy a4 b4 c4 12     1 b2 c2 a2 (đpcm) Dấu “=” xảy a = b = c = ========== Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 bc ca ab    Chứng minh : 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b Câu * Với x, y > , ta có: 1 2     x  y  4 xy   x  y  0 x y xy (luôn đúng) x  y Dấu “=” xảy 1   * Áp dụng bất đẳng thức x y x  y ta : bc bc  1   bc bc  bc        2a  b  c ( a  b)  ( a  c )  a  b a  c   a  b a  c  ca  ca ca      2b  c  a  b  c b  a  ab  ab ab      Tương tự : 2c  a  b  c  a c  b 