Phan 5

================================== Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BM, CN ABC cắt H a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp AM.AC = AN.AB b) Tia AO cắt đường tròn (O) K, cắt MN I Chứng minh H, K trung điểm E BC thẳng hàng c) Chứng minh AK  MN Câu Đáp án A IM N H O B C E K Vẽ hình cho câu a Xét tứ giác BCMN có:   BMC BNC 900 (Vì BM  AC, CN  AB theo gt)  đỉnh M N kề nhìn cạnh BC góc vng Tứ giác BCMN nội tiếp (cmt)    NBC  NMC 180   Mà NMC  NMA 180 (kề bù)   suy NMA NBC Xét AMN ABC có:  BAC chung NMA NBC  (cmt)   AMN ABC ( g.g) AM AN   AB AC AM.AC = AN.AB  Có ACK 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  CK  AC Có BM  AC (gt)  CK // BM Có H  BM nên CK // BH Chứng minh tương tự BK // CH  Tứ giác BHCK hình bình hành  BC HK cắt trung điểm E đường  H, K trung điểm E BC thẳng hàng Xét tứ giác MCKI có :    ABC AKC (2 góc nội tiếp chắn AC đường tròn (O))   mà ABC NMA (câu b)     AKC NMA , có NMA góc ngồi đỉnh M tứ giác MCKI  Tứ giác MCKI nội tiếp    MIK  MCK 180 0   Mà ACK 90 ( cmt) hay MCK 90 (Vì M AC)   MIK 90  MI  IK hay MN  AK I ================================== Bài (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) có AB đường kính Trên tia đối tia AB lấy điểm D (không trùng với A), vẽ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ B xuống đường thẳng DC F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng BC a) Chứng minh tứ giác EFDB tứ giác nội tiếp CE EB = CF FD b) Chứng minh tia BC tia phân giác ^ EBD c) Gọi M giao điểm BE (O) Chứng minh CM BF = EF BC Vẽ hình cho câu a F D E M C 2 A O B a) Chứng minh tứ giác EFDB tứ giác nội tiếp CE CD = CB CF (1,0 điểm) Ta có BE  CD E; DF  BC F (gt)  ^ BED=^ BFD=900  B, E, F, D thuộc đường tròn đường kính BD  Tứ giác EFDB tứ giác nội tiếp (đinh nghĩa tứ giác nội tiếp) CEB CFD có: ^ CFD=90 ^ (c/m trên) CEB= ^ ^ ECB= FCD (2 góc đối đỉnh)  CEB  CFD (g.g)  Bài (3,0 điểm) CE EB = (đpcm) CF FD b) Chứng minh tia BC tia phân giác ^ EBD (1,0 điểm) + Xét (O) có AB đường kính ^ ACB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AC BC mà DF BC (gt)  AC // DF (từ vng góc đến song song) D 1= ^ ACD (2 góc so le trong) ^ ACD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Mà ^B1= ^ chắn cung AC (O) ^ (1) D 1= B ^ + Lại có: Tứ giác EFDB tứ giác nội tiếp ^ (2) (2 góc nội tiếp chắn cung EF) D 1= B ^ Từ (1) (2)  ^B1= ^B2  Tia BC tia phân giác ^ EBD (đpcm) c) Gọi M giao điểm BE (O) Chứng minh CM BF = EF BC (0,75 điểm) + Xét (O) có ^B1= ^B2 (chứng minh trên)    AC CM (2 góc nội tiếp chắn cung nhau)  AC=CM (3) (liên hệ: cung – dây) + Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác EFDB có: ^B1= ^B2  FE   FD (2 góc nội tiếp chắn cung nhau) FD=FE  (4) (liên hệ: cung – dây) BDF + Xét có AC // DF (chứng minh trên) AC BC = (hệ định lí Ta-lét) DF BF  AC BF=DF BC (5) + Thế (3), (4) vào (5) ta được: CM BF=EF BC (đpcm)  ================================== Bài (3,0 điểm) Qua điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R kẻ đường thẳng d (khơng qua tâm O) cắt đường tròn B C (B nằm A C) Các tiếp tuyến với đường tròn B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với OA (H thuộc OA) DH cắt cung nhỏ BC taị M Gọi I giao điểm DO BC a) Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OH OA = OI OD c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O) D C I B A E H O  a) Ta có: DH AO (gt)  OHD  90 CD tiếp tuyến (O) tiếp điểm C (gt)   CD OC  DCO  90   Tứ giác OHDC có: OHD  DCO  180 Suy : OHDC nội tiếp đường tròn b) Ta có:OB = OC (=R) O nằm đường trung trực BC; DB = DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)  D nằm đường trung trực BC  OD đường trung trực BC => OD vng góc với BC  Xét hai tam giác vng ∆OHD ∆OIA có DOA chung  ∆OHD ∽ ∆OIA (g-g) OH OD = ⇒ OH OA=OI OD  OI OA (1) c) Xét ∆OCD vuông C có CI đường cao Ta có: OC2 = OI.OD mà OC = OM (=R)  OM2 = OC2 = OI.OD (2) (1) (2) suy OM2 = OH.OA ⇒ OM OH = OA OM Xét ∆OHM ∆OMA có : OM OH = AOM OA OM chung Do : ∆OHM ∽ ∆OMA (c-g-c)    OMA  OHM  90  AM  OM M ================================== Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H Kẻ AK đường kính đường trịn (O, R), gọi N hình chiếu C AK a) Chứng minh tứ giác AEHF tứ giác ACND nội tiếp b) Chứng minh ND // BK AB.AC = 2R.AD c) Giả sử BC cố định A điểm di động cung lớn BC Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEF lớn Bài Nội dung làm Vẽ hình cho câu a A E F B H D O C M N K Bài a (1 điểm) (3,0đ Xét tứ giác AEHF có: ) AEH  AFH 900 (Vì BE  AC, CF  AB theo gt)    AEH  AFH 180  tứ giác AEFH nội tiếp Xét tứ giác ACND có:   ADC ANC 900 (Vì AD  BC, CN  AK theo gt)  tứ giác ADNC nội tiếp(2 đỉnh D N kề nhìn cạnh AC góc vng) b (1,0 điểm)   Tứ giác ACND  ACB  AND ( chắn cung AD)   Mặt khác ACB  AKB ( chắn cung AB)    AKB  AND  DN // BK ACK 900 ( góc nt chắn nửa đt) ADB 90 (Vì AD  BC theo gt)    ACK  ADB 90   Lại có ABD  AKC ( góc nt chắn cung AC)  ABD ∽ AKC ( g.g) AB AD   AB.AC  AK.AD  AK AC mặt khác AK = 2R ( AK đường kính) AB.AC = 2R.AD c (0,75 điểm) C/m tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số k  SAEF k SAbc Mà AEF nội tiếp đường tròn đường kính AH, ABC nội tiếp đường trịn đường kính  k AH AK AK C/m tứ giác BHCK hình bình hành Gọi M trung điểm BC suy M trung điểm HK, lại có O trung điểm AK Suy OM đường trung bình tam giác AHK OM  AH  AH 2OM Mà M trung điểm BC cố định, O cố định Suy OM không đổi AH khơng đổi, AK đường kính (O;R) khơng đổi k khơng đổi  SAEF lớn  SABC lớn  AD.BC/2 lớn  AD lớn  AD qua tâm  A điểm cung lớn BC ================================== Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Ba đường cao AK, BD, CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp b) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEK c) Gọi I, J trung điểm DE BC Chứng minh OA // JI x A D I E H C O J K B Vẽ hình đến câu a Xét tứ giác BCDE có:   BEC BDC 900 (Vì CE  BA, BD  AC)  đỉnh E D kề nhìn cạnh BC góc vng Xét tứ giác CDHK có:   HKC HDC 900 ( gt )    HKC  HDC 900  900 1800  Tứ giác CDHK nội tiếp    DCH  DKH ( góc nt chắn cung HD)   Chứng minh tương tự  EBH EKH ( góc nt chắn cung HE)   Do tứ giác BCDE nt => EBD ECD ( góc nt chắn ED)     DKH  EKH  KH tia phân giác EKD  Chứng minh tương tự ta có EH tia phân giác DEK Mà H giao điểm KH EH  H tâm đường tròn nội tiếp  DEK Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O)    ABC = xAC (1) (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AC (O))   Có ADE  EDC 180 (hai góc kề bù)   Do tứ giác BEDC nt => ABC  EDC 180 (t/c tứ giác nội tiếp)    ADE ABC (2)   Từ (1) (2)  xAC ADE Mà góc vị trí so le  Ax // DE mà AO  Ax (t/c tiếp tuyến)  AO  DE (3) Ta có JB = JC =>J tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC IJ đường kính; DE dây cung Lại có ID = IE, J  DE  IJ  DE (4) (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Từ (3) (4)  IJ//OA ================================== Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ), hai đường kính AB CD vng góc với E điểm thuộc cung nhỏ BC (E không trùng với B C), tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) E cắt đường thẳng AB I Gọi F giao điểm DE AB, K điểm thuộc đường thẳng IE cho KF vng góc với AB a Chứng minh tứ giác OKEF nội tiếp   b Chứng minh OKF ODF DE.DF 2 R o   c Gọi M giao điểm OK với CF, tính tan MDC EIB 45 Vẽ hình cho câu a C K 1 E M H A Bài O F D (3,0đ) Tứ giác OKEF có:  OEK 90o (EK tiếp tuyến (O) tiếp điểm E) a  OFK 90o (KF  AB)    OEK OEK 90o  OKEF tứ giác nội tiếp OKEF tứ giác nội tiếp b  E 1  K  1 E  ODE cân O (OD = OE = R)  ODF B I