Hệ thống kiến thức hàm nhiều biến Toán cao cấp 2 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT dành cho tất cả sinh viên đó nhaaaaaa. Toán cao cấp 2Toán cao cấp 2Toán cao cấp 2Toán cao cấp 2Toán cao cấp 2Toán cao cấp 2vToán cao cấp 2Toán cao cấp 2
HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÀM NHIỀU BIẾN TÊN: TRẦN CÔNG THẢO –Đ19BH I Đạo hàm vi phân hàm biến Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau: a) 𝑍 = 𝑥 𝑦 − 𝑦 x 𝑍𝑥′ = (𝑥 )′ 𝑦 + (𝑦)′ 𝑥 + (−𝑦 )′ 𝑥 + (𝑥)′(−𝑦 )= 3𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑍𝑦′ = (𝑥 )′ 𝑦 + (𝑦)′ 𝑥 + (−𝑦 )′ 𝑥 + (𝑥)(−𝑦 )=𝑥 − 3𝑦 𝑥 b) 𝑧 = (5𝑥 𝑦 − 𝑦 + 7)3 𝑧𝑥′ = 3(5𝑥 𝑦 − 𝑦 + 7)2 (5𝑥 𝑦 − 𝑦 + 7)′ = (15𝑥 𝑦 − 3𝑦 + 21)2 10𝑥𝑦 𝑧𝑦′ = 3(5𝑥 𝑦 − 𝑦 + 7)2 (5𝑥 𝑦 − 𝑦 + 7)′ = (15𝑥 𝑦 − 3𝑦 + 21)2 (5𝑥 − 2𝑦) 𝑥 𝑦 c) 𝑧 = 𝑦 + 𝑥 1 𝑦 𝑧𝑥′ = (𝑥)′ + 𝑦 ( ) ′ = − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 ′ 1 𝑥 𝑧𝑦′ = 𝑥 ( ) + (𝑦)′ ( ) = − + 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 d) 𝑧 = 𝑒 − 𝑥 𝑦 𝑥 ′ −𝑥 −𝑥 𝑧𝑥′ = (− ) 𝑒 𝑦 = − 𝑒 𝑦 𝑦 𝑦 ′ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 − − 𝑧𝑦′ = (− ) 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑦 𝑦 𝑦 e) Đã giải f) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 )′ 2𝑥 𝑧𝑥′ = = 2 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 2 ′ (𝑥 + 𝑦 ) 2𝑦 𝑧𝑦′ = = 2 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 g) 𝑧 = 𝑒 𝑦 −𝑥 (5 + 𝑥 − 2𝑦) 𝑧𝑥′ = (𝑒 𝑦 −𝑥 ′ ) (5 + 𝑥 − 2𝑦) + (5 + 𝑥 − 2𝑦)′ (𝑒 𝑦 = 𝑒𝑦 𝑧𝑦′ = (𝑒 𝑦 −𝑥 ′ −𝑥 ) = −𝑒 𝑦 −𝑥 −𝑥 ) = 2𝑦𝑒 𝑦 (5 + 𝑥 − 2𝑦) + 𝑒 𝑦 −𝑥 (−5 − 𝑥 + 2𝑦 + 1) ) (5 + 𝑥 − 2𝑦) + (5 + 𝑥 − 2𝑦)′ (𝑒 𝑦 = 𝑒𝑦 2 −𝑥 −𝑥 −𝑥 (5 + 𝑥 − 2𝑦) − 2𝑒 𝑦 −𝑥 (10𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑦 − 2) h) 𝑧 = 𝑒 𝑦 −𝑥 (𝑥 − 𝑦) 2 2 2 2 2 𝑧𝑥′ =(𝑒 𝑦 −𝑥 )′ (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)′𝑒 𝑦 −𝑥 = −2𝑥𝑒 𝑦 −𝑥 (𝑥 − 𝑦) + 𝑒 𝑦 −𝑥 = −2𝑥^2𝑒 𝑦 −𝑥 + 2 2 2 2𝑥𝑦𝑒 𝑦 −𝑥 + 𝑒 𝑦 −𝑥 = 𝑒 𝑦 −𝑥 (−2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 1) 2 2 2 2 2 𝑧𝑦′ = (𝑒 𝑦 −𝑥 )′ (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)′𝑒 𝑦 −𝑥 = 2𝑦𝑒 𝑦 −𝑥 (𝑥 − 𝑦) − 𝑒 𝑦 −𝑥 = 2𝑥𝑦𝑒 𝑦 −𝑥 − i) j) 2 2 2𝑦^2 𝑒 𝑦 −𝑥 − 𝑒 𝑦 −𝑥 = 𝑒 𝑦 −𝑥 (2𝑥𝑦 − 2𝑦 − 1) 𝑧 = 𝑥 𝑒 4𝑦 + 𝑦𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑧𝑥′ = (𝑥 )′𝑒 4𝑦 + (𝑒 4𝑦 )′ 𝑥 + (𝑦)′ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + (𝑠𝑖𝑛3𝑥)′ 𝑦 = 3𝑥 𝑒 4𝑦 + 3𝑦𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑧𝑦′ = (𝑥 )′𝑒 4𝑦 + (𝑒 4𝑦 )′ 𝑥 + (𝑦)′ 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + (𝑠𝑖𝑛3𝑥)′ 𝑦 = 4𝑥 𝑒 4𝑦 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 (k) 𝑧 = 𝑒 𝑥−𝑦 (8 + 𝑥 + 3𝑦) 𝑥−𝑦 𝑧𝑥′ = (𝑒 𝑥−𝑦 )′ (8 + 𝑥 + 3𝑦) + (8 + 𝑥 + 3𝑦)′𝑒 = 𝑒 𝑥−𝑦 (8 + 𝑥 + 3𝑦) + 𝑒 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 = 8𝑒 + 𝑥𝑒 + 3𝑦𝑒 + 𝑒 𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑥−𝑦 (9 + 𝑥 + 3𝑦) 𝑥−𝑦 𝑧𝑦′ = (𝑒 𝑥−𝑦 )′ (8 + 𝑥 + 3𝑦) + (8 + 𝑥 + 3𝑦)′𝑒 = −𝑒 𝑥−𝑦 (8 + 𝑥 + 3𝑦) + 3𝑒 𝑥−𝑦 = −8𝑒 𝑥−𝑦 − 𝑥𝑒 𝑥−𝑦 − 3𝑦𝑒 𝑥−𝑦 + 3𝑒 𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑥−𝑦 (−5 − 𝑥 − 3𝑦) k) (l) 𝑧 = (1 + 𝑥𝑦) sin(𝑥 𝑦) 𝑧𝑥′ = (1 + 𝑥𝑦)′ sin(𝑥 𝑦) + (sin(x 𝑦))′ (1 + 𝑥𝑦) = 𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥 𝑦) + 2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 𝑦)(1 + 𝑥𝑦) 𝑧𝑦′ = (1 + 𝑥𝑦)′ sin(𝑥 𝑦) + (sin(x 𝑦))′ (1 + 𝑥𝑦) = 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 𝑦) + 𝑥 cos(𝑥 𝑦) (1 + 𝑥𝑦) l) (m) 𝑧 = 𝑥3𝑦 𝑧𝑥′ = (𝑥)′ 3𝑦 𝑧𝑦′ = (𝑥)′ −𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑥 + (3𝑦 + (3 −𝑥 𝑦 2−𝑥 ′ ) 𝑥 = 3𝑦 ′ −𝑥 ) 𝑥 = 2𝑥𝑦3 − 3𝑦 𝑦 −𝑥 −𝑥 𝑥𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau: 𝒂) 𝒛 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 𝑧𝑥′ = 12𝑥 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦 𝑧𝑦′ = 3𝑥 + 6𝑥𝑦 − 3𝑦 𝑧𝑥 2′′ =(12𝑥 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦 )′ = 24𝑥 + 6𝑦 ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 =(3𝑥 + 6𝑥𝑦 − 3𝑦 )′ = 6𝑥 + 6𝑦 𝑧𝑦2 ′′ = (3𝑥 + 6𝑥𝑦 − 3𝑦 )′ = 6𝑥 − 6𝑦 b) 𝒛 = 𝒙𝒚 + 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) 𝑧𝑥′ = (𝑥𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦))′ = 𝑦 + cos(𝑥 + 𝑦) 𝑧𝑦′ = (𝑥𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦))′ = 𝑥 + cos(𝑥 + 𝑦) 𝑧𝑥′′2 = (𝑦 + cos(𝑥 + 𝑦))′ = (𝑦)′ − (𝑥 + 𝑦)′ sin(𝑥 + 𝑦) = − sin(𝑥 + 𝑦) ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 =( 𝑥 + cos(𝑥 + 𝑦))′ = (𝑥)′ − (𝑥+y)’sin(x+y)=1-sin(x+y) ′′ 𝑧𝑦2 =( 𝑥 + cos(𝑥 + 𝑦))′ = −(𝑥 + 𝑦)sin(𝑥 + 𝑦) = −sin(𝑥 + 𝑦) 𝒄) 𝒛 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒚) 𝑧𝑥′ = (sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦))′ = (𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)′ cos(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) = cos(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) 𝑧𝑦′ = (sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦))′ = (𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)′ cos(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) = −𝑠𝑖𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) 𝑧𝑥′′2 = (cos(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦))′ = −(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)′sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) = −sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) ′ ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 =(= −𝑠𝑖𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)′ = (−𝑠𝑖𝑛𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 ) + (𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)) (−𝑠𝑖𝑛𝑦 ) = − sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) (−𝑠𝑖𝑛𝑦 ) 𝑧𝑦′′2 =(= −𝑠𝑖𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦))′ = (−𝑠𝑖𝑛𝑦)′𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) + (𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦))′(−𝑠𝑖𝑛𝑦) = cos(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦)(−𝑐𝑜𝑠𝑦)-2 sin2 𝑦 sin(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦) 𝟏 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝟐 ′ ((𝑥 + 𝑦 )) 𝑥 ′ 𝑧𝑥 = = 2𝑥/(𝑥 + 𝑦 ) = 2 2 𝑥 +𝑦 (𝑥 + 𝑦 ) ′ ((𝑥 + 𝑦 )) 𝑦 𝑧𝑦′ = = 2𝑦/(𝑥 + 𝑦 ) = 2 2 𝑥 +𝑦 (𝑥 + 𝑦 ) 𝒅) 𝒛 = ′ (𝑥)′ (𝑥 + 𝑦 ) − (𝑥 + 𝑦 )′𝑥 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 𝑥 −𝑥 + 𝑦 ) = = = (𝑥 + 𝑦 )2 (𝑥 + 𝑦 )2 (𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 )^2 ′ 2 2 ′ ′ (𝑦) (𝑥 + 𝑦 ) − (𝑥 + 𝑦 ) 𝑦 𝑦 −2𝑥𝑦 ′′ = 𝑧𝑦𝑥 =( ) = = (𝑥 + 𝑦 )2 (𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 )^2 𝑧𝑥′′2 = ( ′′ 𝑧𝑥𝑦 𝑧𝑦′′2 ′ 𝑦 (𝑦)′(𝑥 + 𝑦 ) − (𝑥 + 𝑦 )′𝑦 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦^2 𝑥 − 𝑦^2 =( ) = = = (𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 )^2 (𝑥 + 𝑦 )^2 (𝑥 + 𝑦 )^2 𝒆) 𝒛 = 𝒚𝟐 𝒍𝒏𝒙 𝒚𝟐 𝒙 ′ 𝟐 )′ ′ 𝟐 ( ) (𝒚 𝒛𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝒙 𝒚 = 𝟐𝒚𝒍𝒏𝒙 ′ 𝒛′𝒙 = (𝒚𝟐 ) 𝒍𝒏𝒙 + (𝒍𝒏𝒙)′ 𝒚𝟐 = 𝒚𝟐 𝑧𝑥′′2 =( )′ = ′ (𝒚𝟐) 𝒙−(𝒙)′𝒚𝟐 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟐 ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = (𝟐𝒚𝒍𝒏𝒙)′ = (𝟐𝒚)′ 𝒍𝒏𝒙 + (𝒍𝒏𝒙)′ 𝟐𝒚 = 𝑧𝑦′′2 = (𝟐𝒚𝒍𝒏𝒙) = (𝟐𝒚)′ 𝒍𝒏𝒙 + (𝒍𝒏𝒙)′𝟐𝒚 = 𝟐𝒍𝒏𝒙 𝟐𝒚 𝒙 𝒇) 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒚 𝒛′𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′𝒔𝒊𝒏𝒚 + (𝒔𝒊𝒏𝒚)′𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒚 𝒛′𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ 𝒔𝒊𝒏𝒚 + (𝒔𝒊𝒏𝒚)′ 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 𝑧𝑥′′2 = (𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒚)′ = (𝒄𝒐𝒔𝒙)′ 𝒔𝒊𝒏𝒚 + (𝒔𝒊𝒏𝒚)′ 𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙𝒔𝒊𝒏𝒚 ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = (𝒄𝒐𝒔𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = (𝒄𝒐𝒔𝒚)′ 𝒔𝒊𝒏𝒙 + (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ 𝒄𝒐𝒔𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒔𝒚 𝑧𝑦′′2 = (𝒄𝒐𝒔𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = (𝒄𝒐𝒔𝒚)′ 𝒔𝒊𝒏𝒙 + (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ 𝒄𝒐𝒔𝒚 = −𝒔𝒊𝒏𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 Chứng tỏ hàm số z 𝑧𝑥 = x2 1 x3 x thỏa mãn phương trình: x z x' y z 'y 2y x y y 2𝑥 1 + − 2𝑦 𝑥 𝑥2 𝑧𝑦 = − + 2𝑦 𝑦 2𝑥 1 𝑥2 𝑥 ( + − ) + 𝑦 (− + ) 2𝑦 𝑥 2𝑦 𝑦 (2𝑥 ) 𝑥2 𝑥3 = + 𝑥 −1− +1 = 2𝑦 2 𝑦 𝑥3 𝑥3 → = => 𝑑𝑝𝑐𝑚 𝑦 Cho hàm số z e x 𝑧𝑥′ = 2𝑥𝑒 𝑥 +𝑦 2 2𝑥𝑒 𝑥 +𝑦 2 2𝑦𝑒 𝑥 +𝑦 𝑥 y2 Tính giá trị biểu thức z 'x z ' y x y +𝑦 𝑧𝑦′ = 2𝑦𝑒 𝑥 − 𝑦 = 2𝑒 𝑥 +𝑦 − 2𝑦𝑒 𝑥 +𝑦 =0 Cho hàm số z x y Tính giá trị biểu thức z x' z 'y 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑦′ = (𝑥 + 𝑦 )′ = 2√𝑥 + 𝑦 (𝑥 + 𝑦 )′ = 2√𝑥 + 𝑦 𝑥 √𝑥 + 𝑦 𝑦 √𝑥 + 𝑦 2 𝑥2 𝑦2 ( ) +( ) = + =1 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑦 Cho hàm số z ln x2 y Chứng minh 𝑧𝑥′ 𝑧𝑦′ x y z 'x z ' y 2 (𝑥 + 𝑦 )′ 2𝑥 = = 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦 )′ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 2𝑥 𝑦 2𝑦 𝑥2 𝑦2 + = + =1 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 Tính vi phân tồn phần hàm số sau: a) z ye x 2 y điểm (1; 0) 𝑧𝑥′ = 𝑦𝑒 𝑥−2𝑦 𝑧𝑦′ = 𝑒 𝑥−2𝑦 − 2𝑦𝑒 𝑥−2𝑦 Tại điềm (1;0) 𝑧𝑥′ = 𝑦𝑒 𝑥−2𝑦 = 𝑧𝑦′ = 𝑒 𝑥−2𝑦 − 2𝑦𝑒 𝑥−2𝑦 = 𝑒 𝑑𝑧 = 𝑒𝑑𝑦 b) z e2 y x 1 xy 𝑧𝑥′ = −𝑒 2𝑦−𝑥 (1 + 𝑥𝑦) + 𝑦𝑒 2𝑦−𝑥 𝑧𝑦′ = 2𝑒 2𝑦−𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑦−𝑥 𝑑𝑧 = [= −𝑒 2𝑦−𝑥 (1 + 𝑥𝑦) + 𝑦𝑒 2𝑦−𝑥 ]𝑑𝑥 + [2𝑒 2𝑦−𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑦−𝑥 ]𝑑𝑦 c) z x y y x điểm ( x, y) (1,2) 𝑧𝑥′ = 𝑦𝑥 𝑦−1 + 𝑦 𝑥 𝑙𝑛𝑦 𝑧𝑦′ = 𝑥 𝑦 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥−1 Tại điểm (x,y)=(1,2) 𝑧𝑥′ = 𝑦𝑥 𝑦−1 + 𝑦 𝑥 𝑙𝑛𝑦 = + 2𝑙𝑛2 𝑧𝑦′ = 𝑥 𝑦 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥−1 = 𝑑𝑧 = (2 + 2𝑙𝑛2)𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 d) z sin( x y ) điểm ( x, y ) ( ,1) 𝑧𝑥′ = 2𝜋 cos(𝜋𝑥 𝑦)= 𝜋 √2 𝑧𝑦′ = 𝜋𝑥 cos( 𝜋𝑥 𝑦)= 𝜋√2 điểm ( x, y ) ( ,1) 𝑧𝑥′ = 2𝜋 cos(𝜋𝑥 𝑦)= 𝜋 √2 𝑧𝑦′ = 𝜋𝑥 cos( 𝜋𝑥 𝑦)= 𝑑𝑧 = 𝜋√2 𝜋√2 𝜋√2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 e) z x xy y điểm ( x, y) (1,2) 𝑧𝑥′ 𝑧𝑦′ = = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = = 2𝑥 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 + 2𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 Tại điểm ( x, y) (1,2) 𝑧𝑥′ 𝑧𝑦′ = = 𝑑𝑧 = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = = 2√7 5√7 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 14 2𝑥 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 + 2𝑦 2√𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 2√7 = 5√7 14 II Cực trị cực trị có điều kiện Tìm GTLN, GTBN miền đóng hàm số sau: a) z x xy y x y miền D x, y / x 0; y 2; x y 2 𝑧𝑥′ = 2𝑥 − 𝑦 + = { ′ 𝑧𝑦 = −𝑥 + 2𝑦 − = Từ (1) => y= 2x+5 thể vào (2) −𝑥 + 2(2𝑥 + 5) − = → −𝑥 + 4𝑥 + 10 − = → 3𝑥 + = → 𝑥 = −2 → 𝑦 = Có điểm dừng M(-2;1) ∈ D Xét biên: z x xy y x y - Trên đường thẳng x= -1 𝑧 = + 𝑦 + 𝑦 − − 4𝑦 + → −𝑧 = −3𝑦 + 𝑦 + → 𝑧 ′ = −3 + 2𝑦 = → 𝑦 = Có điểm dừng 𝑀1 (−1; ) ∈ 𝐷 - Trên đường thẳng y=2 𝑧 = 𝑥 − 2𝑥 + + 5𝑥 − + → 𝑧 = 𝑥 + 3𝑥 + → 𝑧 ′ = 2𝑥 + = → 𝑥 = − Có điểm dừng 𝑀2 (− ; 2) ∈ 𝐷 - Trên đường thẳng y= -2-x 𝑧 = 𝑥 − 𝑥(−2 − 𝑥 ) + (−𝟐 − 𝒙)𝟐 + 5𝑥 − 4(−2 − 𝑥 ) + → 𝑧 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 5𝑥 + + 4𝑥 + = 3𝑥 + 15𝑥+18 3 𝑧 ′ = 6𝑥 + 15 = → 𝑥 = − 15 =− →𝑦= 2 Có điểm dừng 𝑀3 (− ; ) ∈ 𝐷 2 Giá trị hàm số điểm dừng biên: 𝑀2 (− ; 2) 𝑀3 (− ; ) M(-2;1) 𝑀1 (−1; ) 2 2 -1 -1/4 -1/4 − (x;y) Z(x;y) Zmax = A(-1; -1) C(-4; 2) Zmin = -1 M(-2; 1) b) z x y miền D x, y / x y 4 𝑧𝑥′ = 2𝑥 𝑧𝑦′ = −2𝑦 { 2𝑥 = 𝑥=0 { => có điểm dừng M(0;0)∈ 𝐷 2𝑦 = 𝑦=0 Xét biên: z x y - Trên biên 𝑥 + 𝑦 = → 𝑥 = − 𝑦 𝑧 = − 𝑦 − 𝑦 = − 2𝑦 𝑧 ′ = −4𝑦 → 𝑧 ′ = → 𝑦 = → 𝑥 = ±2 Có điểm dừng 𝑀1 (2; 0), 𝑀2 (−2,0) - Trên biên 𝑥 + 𝑦 = → 𝑦 = − 𝑥 𝑧 = 𝑥 − + 𝑥 = 2𝑥 − A=(-1;1) B(-1;2) C(-4;2) 6 𝑧 ′ = 4𝑥 → 𝑧 ′ = → 𝑥 = → 𝑦 = ±2 Có điểm dừng 𝑀3 (0; 2), 𝑀4 (0; −2) giá trị hàm số điểm dừng biên (x;y) Z(x,y) M(0:0) 𝑀1 (2; 0) 𝑀2 (−2,0) 𝑀3 (0; 2) -4 𝑀4 (0; −2) -4 𝐹𝑀𝐴𝑋 = 𝑇Ạ𝐼 𝑀1 (2; 0), 𝑀2 (−2,0) 𝑓𝑚𝑖𝑛 = −4 𝑀3 (0; 2), 𝑀4 (0, −2) c) z x3 y y 3xy 3x y miền D x, y { 𝑧𝑥′ = 3𝑥 − 3𝑦 − = 0(1) 𝑍𝑦′ = −3𝑦 − 6𝑦 − 3𝑥 − = 0(1) Từ (1)y=> 𝑦 = 𝑥 − vào (2) −3(𝑥 − 1)2 − 6(𝑥 − 1) − 3𝑥 − = → −3(𝑥 − 2𝑥 + 1) − 6𝑥 + − 3𝑥 − = → −3𝑥 + 6𝑥 − − 6𝑥 + − 3𝑥 − → −3𝑥 − 3𝑥 = → 𝑥 (−3𝑥 − 3) → 𝑥 = 0, 𝑥 = −1(𝑙𝑜ạ𝑖) Có điểm dừng 𝑀1 (0, −1) + Xét biên z x3 y y 3xy 3x y - Trên đt x = 0: / x 2; 2 y 1 𝑧 = −𝑦 − 3𝑦 − 3𝑦 − 𝑧 ′ = −3𝑦 − 6𝑦 − 3; 𝑧 ′ = → 𝑦 = −1 Điểm dừng M(0; -1) = M1(0; -1) - Trên đt x = 2: 𝑧 = −𝑦 − 3𝑦 − 9𝑦 + 𝑧 ′ = −3𝑦 − 6𝑦 − 9; 𝑧 ′ = ∶ 𝑉𝑁 Không có điểm dừng - Trên đt y = 1: 𝑧 = 𝑥 − 6𝑥 − 𝑧 ′ = 3𝑥 − 6; 𝑧 ′ = → 𝑥 = √2; 𝑥 = −√2(loại) Điểm dừng M3(√2; 1) - Trên đt y = -2: 𝒛 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒛′ = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑; 𝒛′ = 𝟎: 𝑽𝑵 Khơng có điểm dừng + Tính giá trị hàm số điểm dừng biên (x;y) M1(0; -1) f(x;y) + Kết luận: M3(√2; 1) A(0, 1) −8 − 4√2 -8 B(0; -2) C(2; 1) -12 D(2; -2) 15 Zmax = 15 D(2;-2) Zmin = −8 − 4√2 M3(√2; 1) d) z x y xy x y miền D x, y (ĐÚNG) / x 1; y 1;2 x y 6 𝑍𝑋′ = 8𝑥 − 2𝑦 + = { ′ 𝑧𝑦 = 2𝑦 − 2𝑥 + = Từ (1) => 𝑦 = 4𝑥 + vào (2) 2(4𝑥 + 4) − 2𝑥 + = → 8𝑥 + − 2𝑥 + = → 6𝑥 + = → 𝑥 = − → 𝑦 = −2 Có điểm dừng M(− ; −2_) ∈ 𝐷 Xét miền: z x y xy x y - Trên đường thẳng x= -1 𝑧 = + 𝑦 + 2𝑦 − + 𝑦 + → 𝑧 = 𝑦 + 3𝑦 + → 𝑧 ′ = 2𝑦 + = → 𝑦 = − → 𝑥 = −1 Có điểm dừng 𝑀1 (−1; − ; ) ∈ 𝐷 - Trên đường thẳng y= - 𝑧 = 4𝑥 + + 2𝑥 + 8𝑥 − + → 𝑧 = 4𝑥 + 10𝑥 + → 𝑧 ′ = 8𝑥 + 10 = → 𝑥 = − 5 Có điểm dừng 𝑀2 (− ; −1) ∈ 𝐷 - Trên đoạn thẳng y=-2x-6 𝑧 = 4𝑥 + (−2𝑥 − 6)2 − 2𝑥(−2𝑥 − 6) + 8𝑥 + (−2𝑥 − 6) + → 𝑧 = 4𝑥 + 4𝑥 + 24𝑥 + 36 + 4𝑥 + 12𝑥 + 8𝑥 − 2𝑥 − + = 12𝑥 + 42𝑥 + 36 𝑧 ′ = 24𝑥 + 42 → 𝑧 ′ = → 𝑥 = − 7 Có điểm dừng 𝑀3 (− ; − ) ∈ 𝐷 Giá trị hàm số điểm dừng biên 𝑀1 (−1; − ; ) 𝑀2 (− ; −1) 2 1 Z(x;y) -1 − − 4 Zmax = B(-1 ;-4), C((− ; −1) (x;y) M(− ; −2_) A(-1;𝑀3 (− ; − ) 1) − B(-1;4) Zmin = −1 M(− ; −2) e) z x3 y x 3xy 12 x y miền D x, y / 3 x 0;0 y 2 C(− ; −1) 𝑧𝑥′ = −2𝑥 + = ⟺𝑥= 1 ⟹𝑦= 2 ′′ 𝑧𝑥𝑥 = −2 < 1 ⟹ 𝑥 = , 𝑦 = điểm cực đại b) z x 0,5 y 0,5 với điều kiện x y 13 𝐿(𝑥, 𝑦, ℷ) = 𝑥0,5 𝑦0,5 + ℷ(2𝑥 + 3𝑦 − 13) 𝐿ℷ = 2𝑥 + 3𝑦 − 13 = 𝐿′𝑥 = 0,5𝑥−0,5 𝑦0,5 + 2ℷ { =0 0,5 −0,5 𝑙𝑦 ′ = 0,5𝑥 𝑦 + 3ℷ = Chia (2) cho (3) 0,5𝑥 −0,5 𝑦 0,5 0,5𝑥 0,5𝑦 −0,5 =− 𝑦 2 = 𝑦 = 𝑥 𝑥 3 Thế 𝑦 = 𝑥 𝑣à𝑜 (1) 2𝑥 + 2𝑥 − 13 = < => 𝑥 = 13 13 13 Có điểm dừng M( ; ) với 0,5𝑥−0,5 𝑦0,5 + 2ℷ = => ℷ = − 0,5𝑥−0,5 𝑦0,5 𝑔1 = 𝑔𝑥′ = > 𝑔2 = 𝑔𝑦′ = > 𝐿11 = 𝐿′′𝑥 = −0,25𝑥 −1,5𝑦 0,5 < 𝐿12 = 𝐿21 = 𝐿𝑥𝑦 ′′ = 0,25𝑥 −0,5𝑦 −0,5 > 𝐿22 = 0,25𝑥 0,5𝑦 −1,5 > det(𝐻 ) = 2𝑔1 𝑔2 𝐿12 − 𝑔12 𝐿22 − 𝑔22 𝐿11 𝐿12 = 0,25 ℷ 𝑥 −0,5𝑦 −0,5 < 𝐿22 = −0,25 ℷ 𝑥 0,5𝑦 −1,5 > det(𝐻 ) = 2𝑔1 𝑔2 𝐿12 − 𝑔12 𝐿22 − 𝑔22 𝐿11 ∶ 𝐻À𝑀 ĐẠ𝑇 𝐶𝑇 Vậy với L=3√6, 𝐾 = 3√6 𝑡ℎì 𝑠ả𝑛 𝑙ượ𝑛𝑔 đạ𝑡 đượ𝑐 81 𝑠ả𝑛 𝑝ℎẩ𝑚 𝑣ớ𝑖 𝑐ℎ𝑖 𝑝ℎí 𝑡ố𝑖 𝑡ℎ𝑖ể𝑢 𝑛ℎấ𝑡 11 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường tách biệt Giả sử lượng cầu loại sản phẩm phụ thuộc vào giá bán doanh nghiệp thị trường sau: QD1 310 P1; QD2 350 P2 Tìm sản lượng giá bán tương ứng sản phẩm thị trường cho lợi nhuận doanh nghiệp đạt giá trị cực đại, biết hàm tổng chi phí TC phụ thuộc vào sản lượng TC 200 30Q Q Q Q1 Q2 𝑇𝐶 = 200 + 30(𝑄1 + 𝑄2 ) + (𝑄1 + 𝑄2 )2 = 200 + 30𝑄1 + 30𝑄2 + 𝑄12 + 2𝑄1 𝑄2 + 𝑄22 𝑄𝐷1 = 310 − 𝑃1 → 𝑃1 = 310 − 𝑄𝐷1 𝑄𝐷2 = 350 − 𝑃2 → 𝑃2 = 350 − 𝑄𝐷2 𝑇𝑅1 = (310 − 𝑄𝐷1 )𝑄𝐷1 = 310𝑄1 − 𝑄12 𝑇𝑅2 = (350 − 𝑄𝐷2 )𝑄𝐷2 = 350𝑄2 − 𝑄22 𝑇𝑅 = 310𝑄1 − 𝑄12 + 350𝑄2 − 𝑄22 𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 310𝑄1 − 𝑄12 + 350𝑄2 − 𝑄22 − 200 − 30𝑄1 − 30𝑄2 − 𝑄12 − 2𝑄1 𝑄2 − 𝑄22 → 𝑇𝑃 = −2𝑄12 − 2𝑄22 + 280𝑄1 + 320𝑄2 − 2𝑄1 𝑄2 − 200 ′ ′ 𝑇𝑃𝑄1 = −4𝑄1 − 2𝑄2 + 280 = 0(1) 𝑇𝑃𝑄1 = −4𝑄1 − 2𝑄2 = −280 𝑄 = 40 { ′ ′ { 𝑄2 = 60 𝑇𝑃𝑄2 = −2𝑄1 − 4𝑄2 + 320 = 0(2) 𝑇𝑃𝑄2 = −2𝑄1 − 4𝑄2 = −320 Có điểm dừng M(40;60) ′′ 𝐴 = 𝑇𝑃𝑄1 = −4 ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = (−4) ∗ (−4) − (−2)2 =12 𝐵 = 𝑇𝑃𝑄′′1𝑄2 = −2 𝐶 = 𝑇𝑃𝑄′′ = −4 Tại diểm dừng M(40;60) ∆> 0, 𝐴 < ℎà𝑚 đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 sản lượng giá bán tương ứng sản phẩm thị trường { 𝑄1 = 40 → 𝑃1 = 270 𝑄2 = 60 → 𝑃2 = 290 12 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q K 0,4 L0,3 Giả sử giá thuê wn vị tư 4USD, giá thuê đơn vị lao động 3USD doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050USD Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa 𝑇𝐶 = 4𝐾 + 3𝐿 = 1050 → 𝐿 = 350 − 𝐾 Q K 0,4 L0,3 𝑣ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 4𝐾 + 3𝐿 = 1050 → 𝐿 = 350 − 𝐾 Thế 𝐿 = 350 − 𝐾 𝑣à𝑜 𝑄 𝑄=𝐾 0,4 0,3 (350 − 𝐾) ′ → 𝑄 = (𝐾 = 0,4𝐾 0,4𝐾 −0,6 −0,6 0,4 )′ 0,3 0,3 (350 − 𝐾) + [(350 − 𝐾) ]′ 𝐾 0,4 3 0,3 −0,7 0,4 (350 − 𝐾) − 0,4𝐾 (350 − 𝐾) =0 3 0,3 −0,7 0,4 (350 − 𝐾) = 0,4𝐾 (350 − 𝐾) 3 0,3 (350 − 𝐾) 0,4𝐾 0,4 0,4 = → 0,4 (350 − 𝐾) = 0,4𝐾 −0,7 𝐾 −0,6 (350 − 𝐾) 140 − 14 𝐾 = 0,4𝐾 → 𝐾 = 140 → 𝐾 = 150 → 𝐿 = 150 15 15 𝑄 ′′(150) = −1.38 … < ĐẠ𝑇 𝐶Đ Vậy với K =150; L=150 sản lượng thu tối đa 13 Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu: TR 320 x x 3xy y 540 y 2000 Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B = 180 triệu đồng Tìm x, y để cực đại doanh thu 1x+4y=180 Tìm cực trị TR 320 x x 3xy y 540 y 2000 với điều kiện 1x+4y=180 Từ phương trình điều kiện 𝟏𝐱 + 𝟒𝐲 = 𝟏𝟖𝟎 → 𝐱 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟒𝐲 Thế x vào TR 320 x x 3xy y 540 y 2000 → 𝟑𝟐𝟎 (𝟏𝟖𝟎 − 𝟒𝒚) − 𝟐(𝟏𝟖𝟎 − 𝟒𝒚)𝟐 − 𝟑𝒚(𝟏𝟖𝟎 − 𝟒𝒚) − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟓𝟒𝟎𝒚 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 → 𝟓𝟕𝟔𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟖𝟎𝒚 − 𝟔𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟐𝟖𝟖𝟎𝒚 − 𝟑𝟐𝒚𝟐 − 𝟓𝟒𝟎𝒚 + 𝟏𝟐𝒚𝟐 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟓𝟒𝟎𝒚 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 → −𝟐𝟓𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝟎𝒚 − 𝟓𝟐𝟎𝟎 → 𝑻𝑹 = −𝟐𝟓𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝟎𝒚 − 𝟓𝟐𝟎𝟎 𝑻𝑹′ = −𝟓𝟎𝒀 + 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒉𝒐 𝑻𝑹′ = 𝟎 → 𝒀 = 𝟑𝟐 𝑻𝑯Ế 𝑽À𝑶 𝒙 → 𝒙 = 𝟓𝟐 𝑻𝑹 = −𝟓𝟎 < 𝟎 𝑯À𝑴 ĐẠ𝑻 𝑪Ự𝑪 ĐẠ𝑰 Vậy x=52, y=32 doanh thu đạt cực đại 14 Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa với hàm chi phí TC = 35 + 40Q với (Q = Q1 + Q2) Doanh nghiệp bán sản phẩm hai thị trường có hàm cầu tưng ứng: Cầu thị trường 1: Q1 = 24 – 0,2P1 Cầu thị trường 2: Q2 = 10 – 0,05P2 Hãy xác định mức sản lượng giá bán tối ưu cho thị trường trường hợp doanh nghiệp không phép phân biệt giá 𝑃1 = 120 − 5𝑄1 ; 𝑃2 = 200 − 20𝑄2 𝑇𝐶 = 35 + 40(𝑄1 + 𝑄2 ) = 35 + 40𝑄1 + 40𝑄2 𝑇𝑅1 = 𝑃1 𝑄1 =(120 − 5𝑄1 )𝑄1 = 120𝑄1 − 5𝑄12 𝑇𝑅2 = 𝑃2 𝑄2 = (200 − 20𝑄2 )𝑄2 = 200𝑄2 − 20𝑄22 𝑇𝑅 = 𝑇𝑅1 + 𝑇𝑅2 = 120𝑄1 − 5𝑄12 + 200𝑄2 − 20𝑄22 𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 120𝑄1 − 5𝑄12 + 200𝑄2 − 20𝑄22 − 35 − 40𝑄1 − 40𝑄2 = −5𝑄12 − 20𝑄22 + 80𝑄1 + 160𝑄2 − 35 𝑃1 = 𝑃2 → 120 − 5𝑄1 = 200 − 20𝑄2 → −5𝑄1 + 20𝑄2 = 80 Tìm cực trị hàm 𝑇𝑃 = −5𝑄12 − 20𝑄22 + 80𝑄1 + 160𝑄2 − 35 với điều kiện −5𝑄1 + 20𝑄2 = 80 Từ phương trình hàm điều kiện : −5𝑄1 + 20𝑄2 = 80 → 𝑄1 − 4𝑄2 = −16 → 𝑄1 = −16 + 4𝑄2 Thế vô 𝑇𝑃 = −5𝑄12 − 20𝑄22 + 80𝑄1 + 160𝑄2 − 35 → −5(−16 + 4𝑄2 )2 − 20𝑄22 + 80(−16 + 4𝑄2 ) + 160𝑄2 − 35 → −80𝑄22 + 640𝑄2 − 1280 − 20𝑄22 − 1280 + 320𝑄2 + 160𝑄2 − 35 → −100𝑄22 + 1120𝑄 − 2595 → 𝑇𝑃 = −100𝑄22 + 1120𝑄 − 2595 𝑇𝑃′ = −200𝑄2 + 1120 Cho TP’=0 → −200𝑄2 + 1120 = → 𝑄2 = 28 → 𝑄1 = 32 𝑇𝑃′′ = −200 < 0, ℎà𝑚 đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 sản lượng giá bán tối ưu cho thị trường 32 → 𝑃1 = 88 { 28 𝑄2 = → 𝑃2 = 88 𝑄1 = 15 Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm doanh nghiệp: Q K 0,3 L0,5 Giả sử giá thuê đơn vị tư WK = 6, giá thuê đơn vị lao động WL = doanh nghiệp tiến hành sản xuất điều kiện ngân sách cố định 4800 Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị vốn lao động thu sản lượng tối đa 𝑇𝐶 = 6𝐾 + 2𝐿 = 𝐵 → 6𝐾 + 2𝐿 = 4800 3𝐾 + 𝐿 = 2400 Tìm cực trị hàm 𝑄 = 2𝐾 0,3 𝐿0,5 𝑣ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 3𝐾 + 𝐿 = 2400 Từ phương trình hàm 3𝐾 + 𝐿 = 2400 → 𝐿 = 2400 − 3𝐾 Thế 𝐿 = 2400 − 3𝐾 vào 𝑄 = 2𝐾 0,3 𝐿0,5 → 𝑄 = 2𝐾 0,3 (2400 − 3𝐾 )0,5 𝑄 ′ = (2𝐾 0,3 )′ (2400 − 3𝐾 )0,5 + [(2400 − 3𝐾 )0,5 ]′ 2𝐾 0,3 = 0,6𝐾 −0,7 (2400 − 3𝐾 )0,5 − 3𝐾 0,3 (2400 − 3𝐾 )−0,5 Cho 𝑄 ′ = → 0,6𝐾 −0,7 (2400 − 3𝐾 )0,5 − 3𝐾 0,3 (2400 − 3𝐾 )−0,5 = → 0,6𝐾 −0,7 (2400 − 3𝐾 )0,5 = 3𝐾 0,3 (2400 − 3𝐾 )−0,5 ( (2400 − 3𝐾 )0,5 ) 3𝐾 0,3 → 0,6 = −0,7 → 0,6(2400 − 3𝐾 ) = 3𝐾 (2400 − 3𝐾 )−0,5 𝐾 → 1440 − 1,8𝐾 = 3𝐾 → 𝐾 = 300 → 𝐿 = 1500 Q’’(300)= 2,28…. HÀM ĐẠT CỰC ĐẠI Vậy với K =300; L=1500 sản lượng thu tối đa 16 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất hàm chi phí là: Q L0,5 K 0,5 ; TC L K Giả sử doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất lượng sản phẩm cố định Q0 =144, để tối thiểu hóa chi phí hãng cần sử dụng yếu tố sản xuất nào? Vì 𝑄0 = 144 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑐ó 𝐿0,5 𝐾 0,5 = 144 Tìm cực trị hàm 𝑇𝐶 = 𝐿 + 4𝐾 𝑣ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛: 𝐿0,5 𝐾 0,5 = 144 Từ phương trình hàm điều kiện: 𝐿0,5 𝐾 0,5 = 144 → (𝐿0,5𝐾 0,5)2 = 1442 → 𝐿𝐾 = 20736 20736 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑇𝐶 = 𝐿 + 4𝐾 𝐿 20736 82944 → 𝑇𝐶 = 𝐿 + ( )=𝐿+ 𝐿 𝐿 →𝐾= → 𝑇𝐶 ′ = − 82944 𝑐ℎ𝑜 𝑇𝐶 ′ = → −82944 = −1𝐿2 → 𝐿2 = 82944 → 𝐿 = 288 𝐿 𝑇𝐶 ′′ (288) = 6,99 … > 𝐻À𝑀 ĐẠ𝑇 𝐶𝑇 Vậy với L=288, 𝐾 = 72 𝑡ℎì 𝑠ả𝑛 𝑙ượ𝑛𝑔 đạ𝑡 đượ𝑐 144 𝑠ả𝑛 𝑝ℎẩ𝑚 𝑣ớ𝑖 𝑐ℎ𝑖 𝑝ℎí 𝑡ố𝑖 𝑡ℎ𝑖ể𝑢 𝑛ℎấ𝑡