Một số vi phân suy rộng và ứng dụng trong tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC QUÔC GIA TP HCM TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN VÕ ĐỨC THỊNH MỘT SÔ VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG Tối ưu KHÔNG TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TP Hồ Chí Minh - Năm 2022 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE VO DUC THINH GENERALIZED DIFFERENTIALS AND APPLICATIONS TO NONSMOOTH OPTIMIZATION Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - Year 2022 ĐẠI HỌC QUÕC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN VỎ ĐỨC THỊNH MỘT SỒ VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG Tối ưu KHÔNG TRƠN Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Dinh Huy Phản biện 2: PGS.TS Lê Thanh Tùng Phản biện 3: TS Phạm Duy Khánh Phản biện độc lập 1: TS Phạm Duy Khánh Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Hồng Quân NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Thái Doãn Chương PGS.TS Nguyễn Lê Hồng Anh TP Hồ Chí Minh, Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán ứng dụng, với đề tài “Một số vi phân suy rộng ứng dụng tối ưu khơng trơn" cơng trình khoa học tơi thực hưóng dẫn TS Thái Dỗn Chương PGS TS Nguyễn Lê Hoàng Anh Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bố ngồi nước Tác giả Võ Dức Thịnh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành (lưới hướng dẫn TS Thái Doãn Chương PGS TS Nguyễn Lê Hoàng Anh Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến người Thầy Trong thời gian dài, hai Thầy bước dẫn dắt tác giả tiếp cận thực nghiên cứu vấn đề trình bày luận án Dưới hướng dần hai Thầy, tác giả khơng tích lũy thêm kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà truyền cảm hứng động viên khích lệ để tác giả vượt qua khó khăn chuyên môn sống Làm việc với hai Thầy, tác giả học tinh thần trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong cách làm việc khoa học, trung thực, nghiêm túc Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới lãnh đạo Dại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, Phịng Dào tạo Sau Dại học, Khoa Tốn-Tin học Bộ mơn Tối ưu Hệ thống tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Võ Sĩ Trọng Long TS Nguyễn Minh Tùng, người Thầy giảng dạy cho tác giả kiến thức chuyên ngành bổ ích tạo điều kiện thuận lợi dể tác giả hoàn thành luận án Tác giả cảm ơn sâu sắc đến Quỹ Dổi Sáng tạo (VINIF), Viện Khoa học liệu thuộc Tập đoàn VinGroup trao hai năm học bống tiến sĩ, năm 2019 năm 2020, để tác giả có kinh phí trang trải chi phí học tập sinh hoạt trình tập trung nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn Lãnh đạo Trường Dại học Dồng Tháp, Lãnh đạo Khoa Sư phạm Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Đặc biệt, tác giả xin cám ơn thành viên Bộ mơn Sư phạm Tốn học giúp đỡ, dộng viên tác giả an tâm học tập, nghiên cứu góp ý để tác giả trình bày luận án tốt Mục lục 10 13 13 14 14 14 14 15 16 16 23 23 25 25 29 37 37 37 49 52 64 64 4.2.2 Cõng thức tính cho vi phân suy rộng theo hưởng 69 4.2.3 Diều kiện tối ưu theo hưởng cho toán tối ưu đa trị 78 VI PHÂN SUY RỘNG CÂP HAI VÀ ÁP DỤNG * I 93 5.1 Phân tích cấp hai cho tập nghiệm vững hệ khơng chắn nghiệm tốn tối ưu vữngl ■ 116 Áp dụng vào toán tối ưu vững 120 5.1.3 5.2 Phân tích cấp hai cho hệ hợp hữu hạn áp dụng 126 5.2.1 Cơng thức tính nón pháp tuyền nón tiếp tuyền cho hợp _ hữu hạn tập hợp 127 5.2.2 Sự khả vi epi cấp hai dưởi đạo hàm epi cấp hai cho hợp _ .131 Diều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu với ràng buộc _ hữu hạn tập hợp 5.2.3 hợp hữu hạn 138 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ • _ • I 142 DANH MỤC CÕNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRựC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 145 T TÀI LIỆU THAM KHẢO 146 TĨM TẮT THƠNG TIN VỀ LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Một số vi phân suy rộng ứng dụng tối líu khơng trơn Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 624601Ỉ2 Họ tên nghiên cứu sinh: Võ Dức Thịnh Khóa đào tạo: 2017 Người hưởng dẫn khoa học: TS Thái Doãn Chương PGS.TS Nguyễn Lê Hoàng Anh Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN Nội dưng luận án trình bày số tính chất, cơng thức tính quy tắc ước lượng cho số vi phân suy rộng cấp cấp hai ánh xạ đơn trị đa trị Từ áp dụng vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp cấp hai cho nghiệm số toán tối ưu khơng trơn tốn tối ưu đa trị nghiên cứu tính ổn định lập cho ánh xạ nghiệm vững toán tối ưu với liệu khơng chắn NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA LUẬN ÁN - Một số tính chất quy tắc tính cho vi phân tương ứng với tập, vi phân đối đạo hàm theo hướng Từ áp dụng vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp cho nghiệm toán tối ưu khơng trơn tốn tối ưu đa trị - Cơng thức tính đạo hàm epi cấp hai cho hàm hệ không chắn, hàm hệ hợp hữu hạn Từ áp dụng vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm toán tối ưu với liệu khơng chắn, tốn tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn - Cơng thức tính cho đạo hàm graphical cho ánh xạ nón pháp tuyến tập nghiệm hệ khơng chắn Từ áp dụng vào nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính Ổn định lập tập nghiệm phương trình tổng quát tập điểm yên ngựa toán tối ưu với liệu không chắn KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THựC TIỄN van đe CÒN BỞ NGỞ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN cứu - Vi phân suy rộng công cụ để nghiên cứu tốn tối ưu khơng trơn, mơ hình nhiều tốn thực tế Vì việc thiết lập quy tắc tính cho vi phân suy rộng việc thiết lập điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện ổn định cho nghiệm số tốn tối líu khơng trơn cần thiết tính tốn, phân tích tốn thực tế - Các kết cách tiếp cận luận án sử dụng vào nghiên cứu toán tối ưu khác đặc biệt toán tối ưu nhiều cấp toán điều khiển tối ưu *7 I necessary and sufficient conditions for the isolated calmness of the solution map­ ping of a generalized equation and the saddle point mapping of an optimization problem with uncertain data are also given APPLICATIONS AND PERSPECTIVE - Generalized differentiations are useful tools that can be used to study a non­ smooth optimization problem which is a mathematical model that covers many practical and real-life problems Therefore, providing calculus rules for general­ ized differentials as well as the establishing optimality conditions and criteria for stability of solution mapping are necessary when analyzing and solving realworld problems - The approaches and the results obtained in this thesis can be employed to study other optimization problems such as multi-level programming problems and optimal control problems Vì hệ (5.56) thoả mãn (DMSQC) X nên /ợ(x,v) := {ỉ G /g(x) v cho i/256;(x,z*)(w) = -aT2 (í ) - max {(A, V2/(t)(w,w)) + d2ỗ/C'(q(x}, A)(Vợ(x)w)} s< Aeà |(A, v2/(x)(w, w)) + d2ỗict(q^), A)(Vợ(x)w)| max AeAn(Kí||ã‘||Z3) 137 Từ Mệnh đề 5.2.9 (ii), ta có sq quy cấp hai X X* Ulin < max iG/(z,Vợ(Ẽ)w) l ĂGì(Kt||Ẽ*||ổ) Do chứng minh hoàn thành 5.2.3 Điều kiện tối lủi cấp hai cho tốn tối líu với ràng buộc hợp hữu hạn Trong mục này, ta xét toán tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn sau cho /U) (MPDC) Ợ’ f : R —> R khả vi liên tục cấp hai điểm xét, tập SfJ := {rẽ R" I q(x) e /C} nghiệm hệ (5.56) Hàm nhân tử Lagrange kết hợp với (MPDC) xác định L(x, A) := /(.r) 4- (À, q(xỴ) cho (x, À) e R" X R'" Diều kiện tối ưu cấp hai tốn có dạng (MPDC) đưực thiết lập nhiều báo sách chuyên khảo (xem [2ĨỊ ÍĨ5Ị Í5S]) Tuy nhiên, hầu het kết đạt giả thiết lồi tập V Vì kết khơng thể áp dụng cho nhiều tốn tối líu, chẳng hạn toán tối ưu ràng buộc tập bù, toán tối ưu với ràng buộc bảng số Kết mục cung cấp diều kiện cấp hai khơng khoảng cách cho tốn tối ưu vói ràng buộc hợp hữu hạn Những kết áp dụng vào toán tối ưu với ràng buộc tập bù, tốn tối ưu vói ràng buộc bảng số nhiều toán tối ưu khác Định lý 5.2.12 Giả sử X điểm khả thi toán (MPDC) ICi, với i E /(ợ(í)), quy pháp tuyến ợ(x) Giả sử hệ (5.56) thoá mãn (DMSQC) X Khi khẳng định sau (i) Nếu -Vf(x') e N(x; Sq) với w Ổ(.Ẽ, -V/(x))\{0}, i e ĩ(q(x), Nq(x)w), sup {v2a.Z,(x,A)(u',w) + d2 AeĂ 138 (5.68) tồn l > e > cho (5.69) pvà A A(r,-V/(x)) (ii) Hơn nữa, giả sử JCi, với i G /( Aeà k J Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 5.2.9 Định lý 5.2.11 (ii) [T91 Exercise 13.18] ta có íZ2y?(x 0)(w) = V2/(x)(w, w) + d2ỏSg(x, -V/(x))(w) > v2/(x)(w, w) + sup {cZ2ồ'k(ợ(z), A)(Vg(z)w) + V2(Aợ)(w,w Aeà = sup {(Z2Ổk(ợ(z), A)(Vợ(t)w) + V2iL(t,A)(w, lư)} AeA — sup A€Ã íZ2ổ£t(ợ(z), A)(Vợ(t)w) + V2T£(x, A)(w, w) > i€/(ợ(x),Vợ(a:)w) ' I Do đó, từ (5.68) ta có íZ2 với w G C(x, — v/(z)) \ {0} Vì -V/(ã) e 2V(£;SỢ) c N(x;Sq) nên € dp(x) Sử dụng ]TT Proposition 13.24 (c)] tồn z > c > cho (5.69) (ii) Từ Định lý 5.2.11 (iii) ta có d26sq(x,-Vf(x))(w) = I max | J AeĂ k Vậy chứng minh hoàn thành Chú ý rằng, Định lý 5.2.12, /c hợp hữu hạn tập lồi đóng V có thổ khơng lồi cĩmg khơng quy pháp tuyến kết [2111451158] không áp dụng Dể kết thúc mục này, ta xét ví dụ minh hoạ sau Ví dụ 5.2.13 Xốt toán (5.70) x\ + #2 cho < ± x Ta có K := {x = (xi,x2) I < aq ± X2 > 0} = (R+ x{0}) u ({0} X R+) không quy pháp tuyến (0,0) e R2 Bây giờ, ta ký hiệu V] := R+ x{0} v2 := {0}xR+ Khi V = /C1U/C2, Arp(z;/Ci) = Âr(z;/Ci) = R_ X R, jVp(z; v2) = JV(.r;/C2) = IRxR- A’P(.Ĩ;V) = Âf(Ẽ;JC) = R_ X R_ Hơn nữa, (5.70) điíỢc viết thành /(.r) := Xị 4- x\ cho X — (a?i,r2) e /c Từ tính tốn trực tiếp ta có v/(ĩ) = (0,0), Cj(x, -V7(.t)) = /Ci, vói i = 1,2, C(x, -V/(ã)) = V A(x, -V/(z)) = {(0,0)} Quan sát tất giả thiết Định lý 5.2.12 thoả mãn cho toán (5.70) Lấy X =■ (0,0) à = (0,0) Khi (x, A) điểm KKT toán (|5.70[)■ Sử dụng [2ĨỊ Example 3.4], ta có cho (5.69) Thật vậy, e > có thê chọn cách tuỳ ý l < 141 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các đóng góp luận án Luận án nghiên cứu vấn đề thời giải tích biến phân lý thuyết tối ưu Các đóng góp luận án gồm: a ) Về phương pháp luận: Luận án sử dụng cách tiếp cận thông qua lý thuyết vi phân suy rộng không gian đối ngẫu kết hợp với số lý thuyết vi phân suy rộng không gian Cách tiếp cận hiệu việc nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cấp hai nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp toán tối ưu khơng trơn Dặc biệt, cách tiếp cận tiếp tục phát triển để nghiên cứu toán tối ưu nhiều cấp toán điều khiển tối ưu b ) Về lý thuyết: Luận án trình bày số điều kiện cần, điều kiện đủ cấp cấp hai cho nghiệm số tốn tối ưu khơng trơn tối ưu đa trị nghiên cứu tính ổn định giải tích cho nghiệm số toán tối ưu Các kết trình bày luận án đóng góp có ý nghĩa khoa học chơ lý thuyết tối ưu Một cách cụ thể hơn, cốc đóng góp mặt lý thuyết luận án là: bị) Dối với vi phân suy rộng tương ứng với tập: Dưa số mối liên hệ dưởi vi phân tương ứng vói tập đạo hàm tương ứng với tập (Mệnh đề 4.1.11 Mệnh đề 4.1.12) Trình bày số tính chất quy tắc tính cho vi phân tương ứng với (Mệnh đề 4.1.7, Mệnh dề 4.1.8, Mệnh đề 4.1.16, Mệnh đề 4.1.17 Mệnh đề 4.1.18) - Trình bày áp dụng vi phân suy rộng tương ứng với tập vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cho nghiệm tốn tối ưu khơng ràng buộc (Dịnh lý|4.1.23| DỊnh lýI4.I.25I Hệ I4.1.26b - Trình bày áp dụng vi phân suy rộng tương ứng với tập vào nghiên cứu điều kiện cần điều kiện đíì cho nghiệm toán tối ưu với ràng buộc hàm (Định lý 4.1.30 Định lý 4.1.33 Hệ 4.1.34) 142 - Xây dựng ví dụ khẳng định ưu việc sử dụng vi phân tương ứng với tập để nghiên cứu điều kiện tối ưu so với số vi phân suy rộng khác (Ví dụ 4.1.35) bĩ) Đối với vi phân suy rộng theo hướng theo nghĩa Gfrerer: Thiết lập quy tắc giao cho nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.17) quy tắc tổng cho đối đạo hàm theo hướng hai ánh xạ đa trị (Định lý 4.2.19 Hệ 4.2.20) - Thiết lập điều kiện cần cho nghiệm địa phương toán tối ưu đa trị với ràng buộc tập thông qua vi phân theo hướng nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.27) - Thiết lập điều kiện cần cho nghiệm địa phương toán tối ưu đa trị với ràng buộc phương trình tổng qt thơng qua vi phân theo hướng, đối dạo hàm theo hướng nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.30) Xây dựng ví dụ cho thấy hiệu vi phân suy rộng theo hướng so với vi phân suy rộng khác việc nghiên cứu điều kiện tối ưu (Ví dụ 4.2.29) hi) Vi phân suy rộng cấp hai: - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm cấp hai cho hàm xác định hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.7) Từ dó, chúng tơi đạt cơng thức tính cho tập tiếp tuyến cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.8) - Thiết lập cơng thức tính cho dưởi đạo hặm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn (DỊnh lý 5.1.13) Áp dụng kết cơng thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm toán tối ưu nhúng không chắn (Định lý 5.1.17) - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng hữu hạn (Định lý 5.2.11) Áp dụng kết công thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm toán tối ưu nhúng hữu hạn (Định lý 5.2.12) 143 - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm graphical ánh xạ nón pháp tuyến tập nghiệm hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.18) - Ap dụng cơng thức tính cho đạo hàm graphical ánh xạ nón pháp tuyến A tập nghiệm hệ nhúng không chắn vào nghiên cứu ôn định cô lập cho ánh xạ nghiệm phương trình tổng qt vững có tham số ánh xạ nghiệm tốn tối ưu vững có tham số (Dinh lý 5.1.19 Hệ 5.1.21) Hướng phát triên vân đê nghiên cứu - Tiếp tục nghiên cứu số kết liên quan đến hệ nhúng khơng chắn như: tính đối đạo hàm cho ánh xạ nón pháp tuyến từ áp dụng vào nghiên cứu tính chất giả Lipschitz cho tập nghiệm toán tối ưu; hội tụ số thuật tốn tìm điểm KKT, thuật tốn tìm nghiệm tốn tối ưu nhúng khơng chắn - Áp dụng cách tiếp cận luận án vào nghiên cứu số toán tối ưu nhiều cấp toán điều khiển tối ưu 144 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIEP ĐEN luận án Bài báo khoa học liên quan trực tiếp đến luận án: V.D Thinh and T.D Chuông (2018), Directionally generalized differentiation for multifunctions and applications to set-valued programming problems, An­ nals of Operations Research 269, 727-751 (SCI) (Chương 4, mục 4.2) V.D Thinh and T.D Chuong (2019), Subdifferentials and derivatives with respect to a set and applications to optimization, Applicable Analysis, 98, 1005-1026 (SCIE) (Chương 4, Mục 4.1) V.D Thinh, T.D Chuong and N.L.H Anh (2022), Optimality conditions for circular cone complementarity programs, Optimization, 71, 529-560 (SCIE) (Chương 5, Mục 5.2) V.D Thinh, T.D Chuong and N.L.H Anh (2021), Second order variational analysis of disjunctive constraint sets and its applications to optimization problems, Optimization Letters, 15, pages 2201-2224 (SCIE) (Chương 5, Mục 5.2) V.D Thinh, T.D Chuong and N.L.H Anh, Second order analysis for robust inclusion systems and applications (submitted) (Chương 5, Mục 5.1) Báo cáo khoa học kết luận án: Báo cáo Hội thảo Khoa học cựu học viên, nghiên cứu sinh LIA, Viện Toán học, ngày tháng 12 năm 2018 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 11, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 11 năm 2018 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 12, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 12 năm 2020 145 Tài liệu tham khảo [1] A.A Khan, c Tarnmer and c Zalinescu (2015) Set-valued optimization: an introduction with applications, Springer, Heidelberg [2] p Fermat (1636), Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, Oeuvres, 1, 133-136 [3] J.v Grabiner (1983), The changing concept of change: the derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, 56, 195-206 [4] s Stahl (2011), Real Analysis: A historical approach, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey [5] D.J Struik (1969), Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Uni­ versity Press, Cambridge, MA [6] J.-L Lagrange (1813), Theorie des fonctions analytiques, Paris, 2nd edition In Oeuvres de Lagrange, ed M Serret, Gauthier-Villars, Paris, 9, 1867-1892 [7] c Boyer (1959), History of the calculus and its conceptual development, Dover, New York [81 G Bouligand (1930), Sur les surfaces dcpourvues de points hyperlimits, Ann Soc Polon Math 32-41 [9] F Severi (1930), Su alcune question! di topologia infinitesimale, Ann Soc Polon Math 9, 97-108 [10] J.M Danskin (1967), The theory of min-max and its application to weapon allocations problems, Springer, New York [11] V.F Demyanov and V.N Malozemov (1974), Introduction to minimax, Wi­ ley, New York [12] V.F Demyanov and A.M Rubinov (1995), Constructive nonsmooth analy­ sis, Peter Lang, Frankfurt, Germany [13] I Ginchev and V I Ivanov (2003), Second-order characterizations of convex and pseudoconvex functions, J Appl Anal 9, 261-273 [14] A.D Ioffe and V.M Tikhomirov (1979), Theory of extremal problems, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands [15] M.T Nadi, J.c Yao and J Zafarani (2019), Second-order characterization of convex functions and its applications, J Appl Anal 25, 49-58 146 [33] H Gfrcrcr (2013), On directional metric subregularity and second-order optimality conditions for a class of nonsmooth mathematical problems, SIAM J Optim 23, 632-665 [34] J.B Hiriart-Urruty, J.J Strodiot, V.H Nguyen (1984), Generalized Hessian matrix and second-order optimality conditions for problems with c1’1 data, Appl Math 11 43-56 [35] B.s Mordukhovich and J.v Outrata (2001), Second-order subdifferentials and their applications, SIAM J Optim 12, 139-169 36] B.s Mordukhovich and R.T Rockafellar (2012), Second-order subdiffer­ ential calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J Optim 22, 953-986 37] N.L.H Anh, P.Q Khanh and L.T Tung (2011), Higher-order radial deriva­ tives and optimality conditions in nonsmooth vector optimization, Nonlinear Anal 74, 7365-7379 [38] N.L.H Anh (2016) Higher-order optimality conditions for strict and weak efficient solutions in set-valued optimization, Positivity, 20 499-514 [39] J.p Aubin and H Frankowska (1990), Set-valued analysis, Birkhauser, Boston, Massachusetts [40] A Ben-Tai and Zowe (1982), A unified theory offirst and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces, Math Pro­ gramming Stud 19 39-76 [41] F.H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, Wiley, New York [42] R T Rockafellar (1988), First and second-order epi-differentiability in non­ linear programming, Trans Amer Math Soc 307, 75-108 43] M Studniarski (1986), Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth functions, SIAM J Control Optim 24, 1044-1049 [44] M Studniarski and D.E Ward (1999), Weak sharp minima: Characteriza­ tions and sufficient conditions, SIAM J Control Optim 38, 219-236 [45] A Mohammadi, B.S Mordukhovich and M.E Sarabi (2021), Variational analysis of composite models with applications to continuous optimization, to appear in Math Oper Res arXiv:1905.08837vl 46] N.H Chieu and L.v Hien (2017), Computation of graphical derivative for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim 27, 190-204 [47] II Gfrcrcr and D Kattc (2016), Lipschitz and Holder stability of optimiza­ tion problems and generalized equations, Math Program 158, 35-75 [48] H Gfrerer and J V Outrata (2016) On computation of generalized deriva­ tives of the normal-cone mapping and their applications, Math Oper Res 41, 1535-1556 148 [16] B.N Pshenichnyi (1971), Necessary Conditions for an Extremum, Marcel Dekker, New York [17] J.p Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, in Mathemat­ ical Analysis and Applications, edited by L Nachbin, 159-229, Academic Press, New York [18] A.D Ioffe (1984), Calculus of Dini subdifferentials and contingent coderiva­ tives of set-valued maps, Nonlinear Anal 8, 517-539 [19] R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational analysis, Springer, Berlin 20] B.s Mordukhovich (2006), Variational analysis and generalized differenti­ ation, I: Basic theory, Springer Berlin Heidelberg, Berlin [21] A Mohammadi, B.s Mordukhovich and M.E Sarabi (2021), Parabolic reg­ ularity in geometric variational analysis, Trans Amer Math Soc 374 17111763 [22] F.H Clarke (1973), Necessary conditions for nonsmooth problems in opti­ mal control and the calculus of variations, Ph.D dissertation, Department of Mathematics, University of Washington, Seattle 23] F.H Clarke (1975), Generalized gradients and applications, Trans Amer Math Soc 205, 247-262 [24] R T Rockafellar (1979), Clarke’s tangent cones and the boundaries of closed sets in Rn, Nonlinear Anal 3, 145-154 [25] A.D Ioffe (1989), Approximate subdifferentials and applications, 111: The metric theory, Mathematika, 36, 1-38 26] B.S Mordukhovich (1988), Approximation methods in problems of opti­ mization and control Nauka, Moscow 7 [27] B.s Mordukhovich and Y Shao (1996), Nonconvex coderivative calculus for infinite-dimensional multifunctions, Set-Valued Anal 4, 205-236 [28] B.s Mordukhovich (2006), Variational analysis and generalized differenti­ ation, 11: Applications, Springer Berlin Heidelberg, Berlin 29] A.D Ioffe (1981), Nonsmooth analysis: differential calculus of nondifferentiable mappings, Tians Amer Math Soc 266, 1-56 [30] I Ginchev and B s Mordukhovich (2011), On directionally dependent subdifferentials, c R Acad Bulgare Sci 64, 497-508 [31] I Ginchev and B s Mordukhovich (2012), Directional subdifferentials and optimality conditions, Positivity, 16, 707-737 [32] H Gfrerer (2013), On directional metric regularity, subregularity and op­ timality conditions for nonsmooth mathematical problems, Set-Valued Var Anal 21, 151-176 147 [49] G.M Lee and N.D Yen (2014), Coderivatives of a Karush Kuhn Tucker point set map and applications, Nonlinear Anal 95, 191-201 [50] N.T.V Hang, B.s Mordukhovich and M.E Sarabi (2020), Second-order variational analysis in second-order cone programming, Math Program 180, 75-116 [51] T.D Chuông, N.Q Huy and J.c Ya (2009), Subdifferentials of marginal functions in semi-infinite programming, SIAM J Optim 20, 1462-1477 [52] T.D Chuong and V Jeyakumar (2016), Characterizing robust local error bounds for linear inequality systems under data uncertain, Linear Algebra Appl 489, 199-216 [53] H Gfrerer (2014), Optimality conditions for disjunctive programs based on generalized differentiation with application to mathematical programs with equilibrium constraints, SIAM J optim 24, 898-931 54] R Henrion (2009), On the co-derivative of normal cone mappings to in­ equality systems, Nonlinear Anal 71, 1213-1226 [55] p Mehlitz (2020), On the linear independence constraint qualification in disjunctive programming, Optimization, 69, 2241-2277 [56] J.J Ye and J Zhou (2017), Exact formulas for the proximal/regular/limiting normal cone of the second-order cone complementarity set, Math Program 162, 33-50 [57] M Fabian, p Habala, p Hajek, V.M Santahicia, J Pelant and V Zizler (2011), Functional analysis and infinite-dimensional geometry, 2nd edition, Springer, New York [58] J.F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Series in Operations Research Springer New York [59] B.S Mordukhovich (2018), Variational analysis and applications, Springer International Publishing, Switzerland [60] R.R Phelps (1989), Convex functions, Monotone Opertators and Differen­ tiability, Leter Notes in Mathematics-1364, Springer-Verlag, Berlin [61] B.s Mordukhovich (1980) Metric approximations and necessary optimality conditions for general classes of extremal problems, Soviet Math DokL 22, 526-530 [62] V.I Ivanov (2015), Second-order optimality conditions in cone-constrained vector optimization with arbitrary non-differentiable functions, Nonlinear Anal 125, 270-289 [63] A.L Dontchev and R.T Rockafcllar (2014), Implicit functions and solution mappings, A view from variational analysis, 2nd cd, Springer, New York 64] J.p Penot (2014), Directionally limiting subdifferentials and second-order optimality conditions, Optirn Lett 8, 1191-1200 149 [65] T.D Chuông (2012), L-invex-infine functions and applications, Nonlinear Anal 75, 5044-5052 [66] T.D Chuong and D.s Kim (2014), Optimality conditions and duality in nonsmooth multiobjective optimization problems, Ann Oper Res 217, 117 136 [67] p Long, B Wang and X Yang (2017), Calculus of directional coderivatives and normal cones in Asplund spaces, Positivity, 21, 1115-1142 [68] T.Q Bao and B.s Mordukhovich (2007), Existence of minimizers and nec­ essary conditions in set-valued optimization with equilibrium constraints, Applications of Math 52, 453-472 [69] B.s Mordukhovich, N.M Nam and N.T.Y Nhi (2014), Partial second-order subdifferentials in variational analysis and optimization, Numer Funct Anal Optim 35, 1113-1151 70] T.D Chuong (2020), Robust optimality and duality in multiobjective opti­ mization problems under data uncertainty, SIAM J Optirn 30, 1501-1526 [71] LB Hiriart-Urruty and c Lemaréchal (1993), Convex Analysis and Mini­ mization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin [72] J.F Bonnans and C.H Ramirez (2005), Perturbation analysis of secondorder cone programmming problemmas, Math Program 104, 205-227 [73] B.s Mordukhovich and N.M Nam (2014), An easy path to convex analysis and applications, Morgan & Claypool Publishers, Willistion [74] A Shapiro (2009), On duality theory of convex semi-infinite programming, Optimization, 58, 133-161 [75] c Christof and G Wachsmuth (2020), Differential sensitivity analysis of variational inequalities with locally Lipschitz continuous solution operators, Appl Math Optim 81, 23-62 [76] Q.H Ansari, c.s Lalitha and M Mehta (2014), Generalized convexity, nonsmooth variational inequalities and nonsmooth optimization, CRC Press, Taylor and Francis Group 77] E Zeidler (1984), Nonlinear functional analysis and its applications III: Variational methods and optimization, Spinger-Verlag, New York 150